NÕu 2 ngêi cïng lµm trong 8 ngµy råi ngêi thø nhÊt lµm 1 m×nh trong 7 ngµy n÷a míi xong c«ng viÖc... Chøng minh tø gi¸c ACMO néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn.[r]
Trang 1Nội dung ôn thi
A Phơng pháp ôn tập
Đối với mỗi nội dung kiến thức: bắt đầu từ kiến thức cơ bản; cách giải các dạng toán cơ bản đến bài tập vận dụng
B Cách thức tổ chức ôn tập:
I Về phía Ban giám hiệu nhà trờng:
- Giao cho các tổ chuyên môn thống kê tính điểm trung bình môn thi vào cấp III của năm trớc để lấy cơ sở giao khoán chất lợng cho giáo viên dạy lớp 9
- Khảo sát; dự báo số em cha đủ khả năng đậu vào cấp III để động viên; nhắc nhở và
đặt ra biện pháp khắc phục; tạo động lực thúc đẩy cho các em có sự cố gắng
- Lấy kết quả khảo sát giữa kỳ II và biểu đồ điểm chuẩn vào PTTH hàng năm làm mốc; giao mức điểm cho học sinh đăng ký phấn đấu để thi vào cấp III có sự cam kết của phụ huynh và xác nhận giáo viên chủ nhiệm; giáo viên bộ môn
- Quản lý chặt chẽ nề nếp ra vào lớp của giáo viên và học sinh, khi học ôn càng phải
ra vào lớp đúng giờ, có nh vậy mới thể hiện đợc sự nghiêm túc và không ảnh hởng
đến chất lợng
- Lên kế hoạch và tổ chức các kỳ thi thử, đánh giá chất lợng đầu ra
II.Về phía phụ huynh học sinh:
- Giám sát con em; cùng với học sinh thực hiện tốt cam kết đã ký
III Về phía giáo viên
1 Ôn tập chú trọng đến các câu hỏi về kiến thức cơ bản; không nặng về câu giành
điểm 10; dành thời gian tập trung cho nội dung kiến thức cơ bản để số đông học sinh
có đợc từ điểm 5 trở lên
2 Phân loại đối tợng: yếu; trung bình; khá; giỏi
a) Đối tợng học sinh yếu
- Không đặt ra yêu cầu cao đối với các em mà phải vừa dạy; vừa động viên Dạy cho học sinh biết tìm điều kiện xác định của biến, giải hệ phong trình bậc nhất có hai
ẩn số; giải phơng trình bậc hai có một ẩn số (gồm cả phơng trình bậc hai đủ và
ph-ơng trình bậc hai khuyết) Yêu cầu các em thuộc công thức nghiệm của phph-ơng trình bậc hai; cách giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng; phơng pháp thế
- Biết thay giá trị của tham số vào phơng trình để giải khi cho trớc giá trị của tham số
Viết chữ rõ ràng; sạch sẽ
- Biết sử dụng MTBT thông thờng để thực hiện các phép toán: cộng; trừ; nhân; chia; khai phơng (biết dùng máy tính để kiểm tra nghiệm theo lập trình đã cài sẵn nếu các em có điều kiện mua đợc máy tính Casio - fx500MS hoặc Casio - fx570MS; Casio - fx500A)
b) Đối với học sinh trung bình:
Mục tiêu đặt ra: các em phải đạt đợc ít nhất 4,5 điểm vậy phải yêu cầu học sinh thuộc công thức; biết cách trình bày bài theo các dạng đề
- Biết sử dụng MTBT
c) Đối với học sinh khá giỏi:
- Biết cách trình bày bài theo các dạng đề
- Đọc bài tập; xác định đợc dạng bài tập; nêu cách giải của dạng
- Biết làm một số dạng toán nâng cao
các chủ đề ôn thi vào THPT phần đại số
Nếu thời gian tính từ lúc ôn đến lúc thi đợc 10 buổi toán ôn trên lớp thì chia Số học và Đại số 7 buổi; Hình học 3 buổi với thời lợng các chủ đề nh sau:
I Chủ đề 1:
Phơng trình bậc nhất một ẩn - Bất đẳng thức - Bất phơng trình (1 buổi).
Ôn tập phần này để bổ trợ cho phần tìm điều kiện xác định của biến ở căn thức bậc hai hoặc làm các bài toán ở chủ đề II
- Giải phơng trình bậc nhất có một ẩn số; phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
- Giải phơng trình tích
- Giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu số
- Giải bất phơng trình bậc nhất một ẩn
Trang 2- Giải bất phơng trình tích; bất phơng trình thơng; phân biệt đợc sự giống và khác nhau trong cách giải và cách trình bày giữa phơng trình chứa ẩn ở mẫu
và bất phơng trình chứa ẩn ở mẫu
Cách làm:
- Ôn tập kiến thức cơ bản
- Đa ra ví dụ minh hoạ
- Cho học sinh tự giải; GV chốt lại và chỉ ra những sai lầm học sinh có thể mắc phải và cách khắc phục; sửa chữa
- Phát triển bài tập thành nhiều dạng
Đối với học sinh yếu chỉ yêu cầu thuộc cách giải và biết vận dụng làm các bài tập
đơn giản và nhận dạng dợc các biểu thức dạng A2 + k ( k > 0) là luôn dơng; dạng
-A2 + k ( k < 0) là luôn âm
Đối với học sinh từ trung bình trở lên: yêu cầu phải giải đợc các bất phơng trình có dạng bất phơng trình tích, bất phơng trình thơng mà vế trái gồm 2 biểu thức
Vì thời gian cho mỗi chủ đề có hạn nên mỗi buổi chỉ đa cho HS vài bài tập; xoay quanh các bài tập đó vừa giải vừa củng cố kiến thức
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải các phơng trình sau:
a) 24 1
1
x x (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2006 - 2007)
b) x- 3 5 - x= 7 ; c) x+ = - 3 5 x
Ví dụ 2: Giải các bất phơng trình sau:
x
ở mỗi bài tập sau khi giải xong cần chốt lại cách làm và lu ý học sinh nếu gặp các dạng tơng tự; đặc biệt là liên hệ đợc giải bất phơng trình với việc tìm ĐKXĐ của căn thức bậc hai; hoặc tìm điều kiện của biến để các biểu thức luôn dơng; luôn âm trong chủ đề rút gọn biểu thức
II Chủ đề 2: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức ( 2 buổi).
1 Dạng toán rút gọn biểu thức A:
a) Biểu thức không chứa biến:( củng cố kỹ năng thực hiện các phép toán; các phép
biến đổi trên căn thức) Không yêu cầu HS yếu phải làm đợc
VD: Tính giá trị của biểu thức sau:
A = 32 50 8 : 18 (Đề thi vào lớp 10 THPT năm học 2002- 2003)
Loại biểu thức này cần phải có kỹ năng cơ bản về biến đổi căn thức nên nếu khuyến khích và ôn lại nhiều lần thì học sinh yếu mới có thể làm đợc
b) Biểu thức chứa biến
+ Tìm điều kiện cho biểu thức có nghĩa:
Có 3 dạng biểu thức cần tìm ĐKXĐ:
- Dạng 1: ĐKXĐ của A là: A 0
- Dạng 2: ĐKXĐ của 1
A là: A 0
- Dạng 3: ĐKXĐ của 1
A là: A > 0.
Lu ý cho học sinh:
- Khi tìm điều kiện xác định các biểu thức chứa biến ở mẫu nên tìm ĐK ở mẫu thức chung
- Biểu thức đứng sau dấu “ : ” phải đặt điều kiện cho cả tử và mẫu khác 0
+ Rút gọn biểu thức A
+ Tính giá trị của biểu thức khi cho biến một giá trị cụ thể (lu ý HS trớc khi thay số vào để tính giá trị của biểu thức cần kiểm tra xem giá trị của biến có thoả mãn
ĐKXĐ không)
+ Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức có giá trị nguyên
Trang 3+ Tìm giá trị lớn nhất; nhỏ nhất của biểu thức sau khi đã rút gọn.
+ Tìm giá trị của biến để biểu thức A thoả mãn một số điều kiện sau: A > 0; A < 0;
0
A ; A 0; A = k (k R) (quy về giải bất phơng trình; giải phơng trình)
2 Dạng toán chứng minh (Không yêu cầu học sinh yếu làm phần này)
+ Chứng minh đẳng thức
+ Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
+ Chứng minh bất đẳng thức kép: p A k p k R;
3 Các ví dụ
: 1
x
a) Tìm điều kiện xác định của biến và rút gọn B
b) Tìm x để B = 1
c) Tính giá trị của B khi x = 12 6 3 (B = 2 (1- 3))
d) Với giá trị nào của x thì B < 2 (0 x 9)
e) Tìm các giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên
phần bài tập có dạng nh câu d) cần lu ý học sinh sau khi giải xong phải kết hợp giá trị của biến vừa tìm đợc với ĐKXĐ để chọn điều kiện chung cho biến
x x x x x
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức P
b) Chứng minh P =
1
x
x x
c) Chứng minh: 0 P 1
Để chứng minh đợc bài toán có dạng nh câu c) giáo viên cần hớng dẫn các em tách thành hai trờng hợp: chứng minh P 0 và chứng minh P 1 rồi kết hợp lại
1
A
a
a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa
b) Chứng minh rằng: 2
1
A a
c) Tìm a để A < - 1
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2005 - 2006)
Tuy câu hỏi là chứng minh nhng thực tế bài toán chính là rút gọn biểu thức A, vì vậy
ta phải rút gọn A rồi kết luận bài toán
Câu c) quy về dạng toán giải bất phơng trình A + 1 < 0
4 Bài tập giao về nhà:
1 :
a Tìm x để biểu thức A có nghĩa ( x 0 , x4, x9)
b Rút gọn A (KQ : A =
2
3
x )
c Với giá trị nào của x thì A < 1
d Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị là một số nguyên
e Tìm giá trị lớn nhất của A
Bài 2: Cho B = 2 9 3 2 1
a) Tìm a để biểu thức B có nghĩa (a 0 , a9 , a4)
b) Rút gọn B ( KQ : B = 1
3
a a
)
Trang 4c) Tìm a để B < 1
d) Tìm giá trị của B khi a 12 6 3
9
x
với x 0 , x9
a Chứng minh: A = 3
3
a
b Tìm x để A < -1
2
III Chủ đề 3: Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn số (1 buổi)
1 Giải hệ phơng trình
+ Giải hệ phơng trình bậc nhất có hai ẩn số (chỉ yêu cầu HS yếu làm đợc dạng toán này)
+ Giải hệ phơng trình bậc nhất có chứa ẩn ở mẫu; Giải hệ phơng trình bằng đặt ẩn phụ
2 Tìm giá trị tham số
+ Tìm tham số khi cho biết nghiệm
+ Tìm tham số khi cho điều kiện của ẩn
+ Các bài toán quy về giải hệ phơng trình ( xác định hệ số a; b của đờng thẳng
y = ax + b khi đi qua hai điểm cho trớc)
3 Các ví dụ
3 2( ) 7
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2004 - 2005)
Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình:
2 1
1
1 1
12 8
1
1 1
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2007 - 2008)
Đối với học sinh khá giỏi trớc khi làm mỗi dạng yêu cầu các em xác định dạng toán
và nêu các bớc giải
Đối với học sinh trung bình; trung bình khá sau khi làm xong mỗi dạng yêu cầu các
em nêu tổng quát lại cách giải
4 Bài tập về nhà:
Bài 1: Giải hệ phơng trình:
7 6
4 2
y x y x
Tìm m biết rằng phơng trình 2y - x = m có cùng nghiệm với hệ phơng trình trên
Bài 2: Giải hệ phơng trình:
15 19
7 5
4
7 17 2 7
y y x
y x y x
Bài 3: Giải hệ phơng trình:
18 2
3
5 2
y x y x
Bài 4: Giải hệ phơng trình:
18 2 2 1 3
5 2 1 1 2
y x
y x
Bài 5 Cho hệ phơng trình:
a y ax
y x
(
a Giải hệ phơng trình với a 2
b Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y > 0
IV Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị (1 buổi)
Vì thời gian có hạn nên để ôn tập đợc chơng này ta dùng bài tập để vừa ôn cũ vừa giảng mới Trong chơng này cần ôn những nội dung sau:
1 Hàm số - Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)
+ Vị trí tơng đối của các đờng thẳng: y = ax + b (a 0) và y = a’x + b’ (a’0) + Xác định (viết phơng trình) đờng thẳng y = ax + b khi biết một số điều kiện:
- Đi qua một điểm và biết hệ số góc
- Đi qua 2 điểm
Trang 5- Tạo với Ox một góc có số đo cho trớc.
+ Tính số đo góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b với trục Ox (a 0)
+ Tính diện tích các hình đợc tạo bởi giao điểm các đờng thẳng trên mặt phẳng toạ
độ
+ Xác định tham số để các đờng thẳng đồng quy trên một mặt phẳng toạ độ
+ Xác định tham số để đờng thẳng đi qua một điểm cố định trên mặt phẳng toạ độ
Ví dụ 1: Cho các hàm số: y = 2x + (3 +m) (d1) và y = (3 + 2m)x +(5 - m) (d2) Với giá trị nào của m thì:
a) Hàm số (d1) đồng biến; hàm số (d2) nghịch biến
b) Đồ thị (d1) // (d2) (m = 1
2
) c) Đồ thị (d1) (d2)
d) Đồ thị của (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm có hoành độ bằng 4
e) Đồ thị của (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục tung
f) (d2) tạo với Ox một góc bằng: 300 ; 1350
g) Xác định hệ số góc của (d1) rồi tính góc tạo bởi (d1) và Ox (làm tròn đến phút) h) Khi m = -1; gọi giao điểm của (d1) ; (d2) là A; giao điểm (d1) với Ox là B; giao
điểm (d2) với Ox là C Xác định toạ độ các điểm: A, B, C? Tính chu vi và diện tích tam giác ABC? (A(2; 6); B(-1; 0); C(- 4; 0))
k) Khi m = -1 hãy tìm n để đờng thẳng (n - 2)x + y = 3 đồng quy với 2 đờng thẳng
(d1) và (d2) ? (n = 1
2)
Ví dụ 2: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: 2( m - 1 )x + ( m - 2 )y = 2
a/ Vẽ (d) với m = 3
b/ Chứng minh rằng: (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m
2 Hàm số - đồ thị hàm số y = ax 2 (a 0) Hàm
+ Xác định hệ số của hàm số
+ Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng y = ax + b và parbol y = ax2 (a 0)
Ví dụ 1: Tìm hai số thực dơng a; b sao cho điểm M(a; b2 + 3) và N( ab; 2) cùng thuộc đồ thị của hàm số: y = x2
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2005 - 2006)
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và điểm B(0;1)
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm B(0;1) và có hệ số góc k
b) Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt
E và F với mọi k
c) Gọi hoành độ của hai điểm E và F lần lợt là x1 và x2
Chứng minh rằng: x1.x2 = - 1, từ đó suy ra tam giác EOF là tam giác vuông
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2009 - 2010)
3 Bài tập về nhà:
Bài 1: Cho parabol (P): y = x2 và đờng thẳng (d): y = 2x+m
Xác định m để hai đồ thị trên:
a Tiếp xúc với nhau Tìm hoành độ tiếp điểm
b Cắt nhau tại hai điểm, một điểm có hoành độ x = -1 Tìm tọa độ điểm còn lại
c Giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B Tìm quĩ tích trung điểm I của AB khi m thay đổi
Bài 2 Cho đờng thẳng có phơng trình: 2(m - 1)x+(m - 2)y = 2 (d)
a Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P); y = x2 tại hai điểm phân biệt A và B
Trang 6b Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB theo m.
c Tìm m để (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất
d Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi
Bài 3 Cho hàm số: y = (m - 2)x + n (d)
Tìm các giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số:
a Đi qua điểm A(-1;2) và B(3;- 4)
b Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 2
c Cắt đờng thẳng -2y + x - 3 = 0
d Song song với đờng thẳng 3x + 2y = 1
V Chủ đề 5: Phơng trình bậc hai- Hệ thức Vi et ( 2 buổi)
1) Giải phơng trình
+ Giải phơng trình theo công thức nghiệm
+ Giải phơng trình khi cho biết giá trị của tham số
(chỉ yêu cầu HS yếu làm đợc 2 dạng toán này)
2) Bài toán biện luận
+ Bài toán biện luận và các bài toán điều kiện nhỏ
3) Hệ thức Vi et
+ Chú ý công thức và điều kiện để sử dụng hệ thức Vi-et
+ Các bài toán xuôi; ngợc
4) Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho phơng trình: x2 + (m + 3 ) x + 2(m +1) = 0 (1)
a) Giải phơng trình (1) khi m = 0
b) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m
c) Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của phơng trình (1)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x1 + x2 - x1 x2
d) Tìm một hệ thức độc lập liên hệ giữa hai nghiệm x1 ; x2 không phụ thuộc vào m e) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm đối nhau
Giải: a) Khi m = 0 PT trở thành: x2 + 3x +2 = 0
PT có 2 nghiệm: x1 = - 1; x2 = - 2
b) = (m + 3)2 - 4.2(m + 1) = (m - 1)2 => PT luôn có nghiệm
c) Vì PT luôn có nghiệm nên theo hệ thức Vi-et ta có:
2 2
3
2 1 2 1
m x
x
m x
x
A = x1 + x22 - x1x2 = (x1+ x2)2 - 3 x1x2
A = (m + 3)2 - 4m - 4 = m2 + 6m + 9 - 6m - 6 = m2 +3
Amin = 3 m = 0
d) Hệ thức độc lập liên hệ giữa hai nghiệm x1 ; x2 không phụ thuộc vào m là:
2(x1 + x2 ) + x1 x2 + 4 = 0
e) Phơng trình (1) có hai nghiệm đối nhau m + 3 = 0 m = - 3
Ví dụ 2: Cho phơng trình (m - 1)x2 - 2mx + m - 2 = 0 (x là ẩn)
Tìm m để:
a) Phơng trình có nghiệm x 2 Tìm nghiệm còn lại
b) Phơng trình có nghiệm
c) Phơng trình có hai nghiệm phân biệt (m 2
3
)
d) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu (nhằm nhắc lại cho HS việc phải kết hợp nghiệm)
( ĐK là: 2
1
3m )
Trang 7e Khi m = 2 không giải phơng trình hãy tính giá trị các biểu thức:
1 1
x x ;
2 2
2
1 x
x ;
3
2
3
1 x
x ; 2 2
1 1
Ví dụ 3: Cho x = 1 3
2
; y = 1 3
2
a) Hãy tính x + y; x.y
b) Hãy lập phơng trình có hai nghiệm là x ; y
Giải:
a) Ta có: x + y = 1 3
2
+1 3
2
= 1
x.y = 1 3
2
1 3
2
= - 1
2.
b) Phơng trình cần tìm là: 2x2 +2 x - 1 = 0
GV chốt lại: Muốn lập phơng trình khi cho biết 2 nghiệm cần phải tìm tổng và tích hai nghiệm đã cho
Ví dụ 4: Cho phơng trình: x2- (m + 5) x - m + 6 = 0
a) Giải phơng trình khi m = 1
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt > 0 (m + 5)2 - 4 (- m + 6) > 0
m > 7 4 3 hoặc m < 7 4 3
Nếu học sinh dùng điều kiện tích a.c < 0 => > 0 để chỉ ra giá trị của m > 6 làm cho phơng trình có 2 nghiệm phân biệt là hoàn toàn sai lầm (Bài tập này cần chỉ rõ cho học sinh thấy điều đó vì khi a.c < 0 chỉ là dấu hiệu để nhận biết chắc chắn phơng trình có hai nghiệm phân biệt chứ không phải là điều kiện)
5 Bài tập về nhà:
Bài 1: Cho phơng trình x2- 2(m +1)x + m - 4 = 0 (x là ẩn) (1)
a Chứng minh: phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu
c Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình (1), chứng minh: giá trị của biểu thức
) 1 (
) 1
.( 2 2 1
x
M không phụ thuộc vào m
d Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn: 2x1+ 3x2 =1; 2 2
Bài 2: Cho phơng trình bậc hai: x2 + 4x + m + 1 = 0 (1)
a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình (1), tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm thoả mãn: 1 2
10 3
x x
x +x = .
VI Chủ đề 6: Giải toán bằng cách lập phơng trình - Hệ phơng trình ( 1 buổi)
1 Một số dạng toán thờng gặp
a) Dạng toán chuyển động: Quãng đờng = Vận tốc x Thời gian (S = v.t)
=> t = ; v =
Chú ý các mối quan hệ sau:
+ Chuyển động xuôi dòng nớc: vxuôi = v thc+ v nớc
+ Chuyển động ngợc dòng nớc: vngợc = v thc- v nớc
Trang 8+ Đi gặp nhau.
+ Đuổi kịp nhau
+ Đến sớm - đến muộn
b) Dạng toán làm chung - làm riêng
c) Dạng toán cấu tạo số
d) Dạng toán năng suất
e) Toán có nội dung Vật lý , Hoá học; Hình học
.
2) Một số ví dụ
Ví dụ 1: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A; B cách nhau 85km và đi ngợc chiều
nhau, sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô đi ngợc dòng là 9km/h và vận tốc dòng nớc là 3km/h
(đáp số: vận tốc riêng của ca nô xuôi: 27km/h; vận tốc riêng của ca nô ngợc: 24km/h)
Ví dụ 2: Hai ngời cùng làm trong 12 ngày thì xong 1 công việc Nếu 2 ngời cùng
làm trong 8 ngày rồi ngời thứ nhất làm 1 mình trong 7 ngày nữa mới xong công việc Hỏi mỗi ngời làm 1 mình thì trong bao lâu xong công việc
Giải: Gọi thời gian ngời thứ nhất làm một mình xong việc là x (ngày)
Gọi thời gian ngời thứ hai làm một mình xong việc là y (ngày) (ĐK: x; y > 0) Mỗi ngày ngời thứ nhất làm đợc: 1
x công việc.
Mỗi ngày ngời thứ hai làm đợc: 1
y công việc.
Mỗi ngày hai ngời làm chung đợc: 1
12 công việc.
Phơng trình: 1 1 1
12
x y
Tám ngày hai ngời làm chung đợc: 8 2
123 công việc.
Bảy ngày ngời thứ hai làm đợc: 7
y công việc.
Ta có phơng trình: 7 1
3
y
Lập hệ rồi giải ta đợc: x = 28 ; y = 21 (TMĐK)
Ví dụ 3: Hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông hơn kém nhau 2cm Nếu giảm
cạnh lớn đi 4cm và tăng cạnh nhỏ lên 6cm thì diện tích không đổi Tính diện tích của tam giác vuông
Giải: Gọi x (cm) là độ dài cạnh góc vuông lớn (x > 0); Gọi y (cm) là độ dài cạnh góc vuồng nhỏ (y > 0)
Lập đợc hệ
12 y 2 x 3
2 y x
Giải hệ tìm đợc x = 8 ; y = 6 => Diện tích của tam giác là : 24(cm 2)
Ví dụ 4: Tính các cạnh của một tam giác vuông biết rằng chu vi của nó là 12cm và
tổng bình phơng độ dài các cạnh bằng 50
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2002 - 2003)
3) Bài tập về nhà:
Bài 1: Lúc 7 giờ một ô tô đi từ A để đến B Lúc 7 giờ 30 phút một xe máy đi từ B
để đến A với vận tốc kém vận tốc của ô tô là 24km/h Ô tô đến B đ ợc 1 giờ 20 phút thì xe máy mới đến A Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng quãng đờng AB dài 120km (Tài liệu ôn thi vào lớp 10 THPT năm học 2008 - 2009)
Bài 2: Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải l m 360 dụng cụ Nhàm 360 dụng cụ Nh ng thực tế xí nghiệp I
l m vàm 360 dụng cụ Nh ợt mức kế hoạch 10%, xí nghiệp II vợt mức kế hoạch 15%, do đó cả hai xí nghiệp đã l m đàm 360 dụng cụ Nh ợc 404 dụng cụ.Tính số dụng cụ m mỗi xí nghiệp phải l m theo kếàm 360 dụng cụ Nh àm 360 dụng cụ Nh hoạch
Trang 9VII Các dạng toán khác (Chỉ dành cho học sinh giỏi để lấy điểm 10) không tính thời lợng buổi ôn
- Phơng trình nghiệm nguyên
- Chứng minh bất đẳng thức
- Tìm giá trị lớn nhất; nhỏ nhất của một biểu thức
- Giải phơng trình vô tỉ
- Hệ phơng trình bậc cao; hệ phơng trình đối xứng
-
Một số bài tập:
Bài 1: Chứng minh với mọi x,y ta có: A = 2x2 + 4y2 + 4xy - 2x + 1 0
Bài 2: Cho 3 số dơng a , b , c thoả mãn : a2 + b2 + c2 =
3
5
.CMR :
abc c b a
1 1 1 1
Bài 3: Chứng minh: x8 - x5 + x2 - x + 1 > 0 với mọi x
Bài 4: Cho a > 1; b > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 2
1 1
a b
Bài 5: Cho a > 0, b > 0 Chứng minh rằng:
3 3
3
2
a
Bài 6: Cho , , 0
1
a b c
a b c
CMR: abc (a + b)( b+ c) (c + a) 8
729
D Một số đề tham khảo
1 Đề số 1:
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2009 - 2010 (Đề A)
Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (1,5đ):
Cho phơng trình: x2 - 4x + m (1) với m là tham số
1 Giải phơng trình (1) khi m = 3
2 Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm
Bài 2 (1,5đ):
Giải hệ phơng trình sau:
4 2
5 2
y x
y x
Bài 3 (2,5đ):
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = x2 vào điểm A(0;1)
1 Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A(0;1) và có hệ số góc k
2 Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt M
và N với mọi k
3 Gọi hoành độ của hai điểm M và N lần lợt là x1 và x2 Chứng minh rằng: x1.x2
= -1, từ đó suy ra tam giác MON là tam giác vuông
Bài 4 (3,5đ):
Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R Trên tia đối của tia AB lấy điểm
E ( E khác với điểm A) Từ các điểm E, A và B kẻ các tiếp tuyến với nửa đờng tròn (O).Tiếp tuyến kẻ từ E cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B lần lợt tại C và D
1 Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E tới nửa đờng tròn (O) Chứng minh
tứ giác ACMO nội tiếp đợc trong một đờng tròn
2 Chứng minh tam giác AEC đồng dạng với tam giác BED, từ đó suy ra:
CE
CM DE
DM
3 Đặt AOC = Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BD theo R và Chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc và R, không phụ thuộc và
Bài 5 (1đ):
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: y2 + yz + z2 = 1 -
2
3x2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + z
Trang 10Đáp án Bài 1: khi m = 3 phơng trình trở th nh: àm 360 dụng cụ Nh x2 4x 3 0
1 Phơng trình n y có dạng a + b + c = 0, nên có hai nghiệm l : àm 360 dụng cụ Nh àm 360 dụng cụ Nh x1 1 ; x2 = 3
2 ' 4 m
Để phơng trình có nghiệm thì: ' 0 hay m 4
B i 2: ài 2:
4 2
5 2
y x
y x
8 4
2
5 2
y x
y x
1 2 4 1
x y
1 2
y x
B i 3 ài 2:
a) Phơng trình đờng thẳng d đi qua A(0;1) v có hệ số góc k l : y=kx+1àm 360 dụng cụ Nh àm 360 dụng cụ Nh
b) Ho nh độ giao điểm của (d) v (P) l nghiệm của phàm 360 dụng cụ Nh àm 360 dụng cụ Nh àm 360 dụng cụ Nh ơng trình: x2 = kx + 1
x2- kx-1= 0 (1) k2 4
Vì k2 + 4 > 0 với mọi k nên phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Do đó đ-ờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M v N với mọi k.àm 360 dụng cụ Nh
c) Ápdụng hệ thức Vi-et v o phàm 360 dụng cụ Nh ơng trình (1) ta có : x1.x2 = -1
Ta có : > 0 với mọi k nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Do đó đờng thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt M(x1 ; x1 ); N(x2 )
Phơng trình đờng thẳng OM l : y = xàm 360 dụng cụ Nh 1.x
Phơng trình đờng thẳng ON l : y = xàm 360 dụng cụ Nh 2.x
Tích hai hệ số góc của hai đờng thẳng trên là: x1.x2 = -1
Vậy hai đờng thẳng OM và ON vuông góc với nhau, do đó tam giác OMN là tam giác vuông tại O
Bài 4:
1 tứ giác ACMO có : CAO CMO 180 0
=> tứ giác ACMO nội tiếp trong
đờng tròn đờng kính OC
2 Tam giác AEC v tam giác BED có :àm 360 dụng cụ Nh
góc E chung
90 0
AEC
=>
DB
DE
CA
CE
m CA = CM ; DB = DMàm 360 dụng cụ Nh
Vậy
DM
DE CM
CE
hay
CE
CM DE
DM
3 Tam giác vuông AOC có : AC = R.tg
Tam giác vuông OBD có : BD = tg R
Từ đó ta có: AC BD = Rtg
tg
R
= R2
Vậy , tích AC BD chỉ phụ thuộc v o R, không phụ thuộc v o àm 360 dụng cụ Nh àm 360 dụng cụ Nh
B i 5 ài 2: : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: z2 + yz + y2 = 1 - 3 2
2
x
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + z
Đáp án:
Từ
2
3 1
2 2
y
yz
z , biến đổi th nhàm 360 dụng cụ Nh : 2z2 2yz 2y2 2 3x2
2 2
2 2
2
2 2 2
2 ) ( ) ( )
C
E
D
M
A