lý thuyết đồ thị

° Baäc cuûa moät ñænh trong ñoà thò voâ höôùng laø soá caùc caïnh.. lieân thuoäc vôùi noù.[r]

Trang 1

Đồ thị

7.1 Mở đầu

Tài liệu này được soạn theo sách Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học, K H

Rosen, người dịch: Phạm Văn Thiều và Đặng Hữu Thịnh, Nhà xuất bản Khoa học

và kỹ thuật, 1998.

Tài liệu lưu hành nội bộ

Trang 2

Các loại đồ thị

– Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh đó.

– Chương này: Giới thiệu các loại đồ thị khác nhau bằng mô hình các loại mạng máy tính khác nhau.

– Định nghĩa 1 Một đơn đồ thị G = (V, E) gồm

° V: tập các đỉnh

° E: tập các cạnh

– cạnh là cặp không thứ tự của các đỉnh phân biệt.

TPHCM

A

Cần Giờ

Trang 3

– Định nghĩa 2 Một đa đồ thị G = (V, E) gồm

° hàm f từ E tới {{u, v} u, v  V, u  v} Các cạnh e1 và e2được gọi là song song hay cạnh bội nếu f(e1) = f(e2 ).

Tây Ninh

Cần Thơ

B TPHCM

A

C

Cần Giờ

Trang 4

– Định nghĩa 3 Một giả đồ thị G = (V, E) gồm

° hàm f từ E tới {{u, v} u, v  V}.

° Một cạnh là một khuyên nếu f(e) = {u} với một đỉnh u nào

đó.

Tây Ninh

Cần Thơ

B TPHCM

A

C Cần Giờ

Trang 5

• Nhận xét:

– Giả đồ thị là loại đồ thị vô hướng tổng quát nhất vì

° có thể chứa các khuyên

° có thể chứa các cạnh bội.

– Đa đồ thị: có thể chứa các cạnh bội, nhưng không chứa

khuyên.

– Đồ thị đơn: không chứa khuyên, không chứa cạnh bội.

Trang 6

– Định nghĩa 4 Một đồ thị có hướng G = (V, E) gồm

° V: tập các đỉnh

° E: tập các cạnh

– cạnh là cặp có thứ tự (không cần phải khác nhau) của

các phần tử thuộc V.

Tây Ninh

Cần Thơ

B TPHCM

A

C

Cần Giờ

Trang 7

– Định nghĩa 5 Một đa đồ thị có hướng G = (V, E) gồm

° V: tập các đỉnh

° E: tập các cạnh

° hàm f từ E tới {(u, v)  u, v  V}.

– Các cạnh e1 và e2 là các cạnh bội nếu f(e1) = f(e2)

Tây Ninh

Cần Thơ

B TPHCM

A

C

Cần Giờ

Trang 8

• Bảng 1 Thuật ngữ đồ thị

Loại

Đơn đồ thị

Đa đồ thị

Giả đồ thị

Đồ thị có hướng

Đa đồ thị có hướng

Cạnh

Vô hướng Vô hướng Vô hướng Có hướng Có hướng

Có cạnh bội không?

Không Có Có Không Có

Có khuyên không?

Không Không Có Có Có

Trang 9

Các mô hình đồ thị

– Ví dụ 1 Đồ thị “lấn tổ” trong sinh thái học,

° Mỗi loài được biểu diễn bằng một đỉnh

° Một cạnh vô hướng nối hai đỉnh nếu hai loài được biểu diễn bằng các đỉnh này là cạnh tranh với nhau (tức là chúng có chung nguồn thức ăn).

Cú Gấu trúc Cắt

Quạ

Sóc Thú có túi

Chuột trù

Chuột Chim gõ kiến

Mô hình của hệ sinh thái rừng

Trang 10

– Ví dụ 2 Đồ thị ảnh hưởng dùng để mô hình ảnh hưởng của các

người trong một nhóm người

° Mỗi người của nhóm được biểu diễn bằng một đỉnh

° Khi một người được biểu diễn bằng đỉnh a có ảnh hưởng lên người được biểu diễn bằng đỉnh b thì đỉnh a và đỉnh b được

nối bằng một cạnh có hướng

Minh

Hùng

Hải

Trang 11

– Ví dụ 3 Thi đấu vòng tròn Một cuộc thi đấu thể thao trong đó

mỗi đội đấu với mỗi đội khác đúng một lần gọi là đấu vòng

tròn Mô hình bằng một đồ thị có hướng:

° Mỗi đội là một đỉnh

° Một cạnh đi từ đỉnh a đến đỉnh b, ký hiệu là (a, b), nếu đội a thắng đội b.

Trang 12

– Ví dụ 4 Đồ thị có ưu tiên trước sau.

° Mỗi câu lệnh được biểu diễn bằng một đỉnh

° Có một cạnh từ một đỉnh tới một đỉnh khác nếu câu lệnh được biểu diễn bằng đỉnh thứ hai không thể thực thi được trước khi câu lệnh được biểu diễn bằng đỉnh thứ nhất thực thi

Trang 13

Đồ thị

7.2 Các thuật ngữ về đồ thị

Trang 14

Những thuật ngữ cơ sở

– Định nghĩa 1.

° Hai đỉnh u và v trong một đồ thị vô hướng G được gọi là

liền kề (hay láng giềng) nếu {u, v} là một cạnh của G.

° Nếu e = {u, v} thì e gọi là cạnh liên thuộc với các đỉnh u và

v.

° Cạnh e cũng được gọi là cạnh nối các đỉnh u và v.

° Các đỉnh u và v gọi là các điểm đầu mút của cạnh {u, v}.

– Định nghĩa 2.

° Bậc của một đỉnh trong đồ thị vô hướng là số các cạnh

liên thuộc với nó.

° Riêng khuyên tại một đỉnh được tính hai lần cho bậc của nó.

° Ký hiệu bậc của đỉnh v là deg(v).

Trang 15

– Ví dụ 1 Bậc của các đỉnh trong G và H là bao nhiêu?

deg(d) = 5

Trang 16

– Định lý 1 Định lý bắt tay Cho G = (V, E) là một đồ thị vô

hướng có e cạnh Khi đó

– Ví dụ 2 Có bao nhiêu cạnh trong đồ thị có 10 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc bằng 6?

° Tổng các bậc của đồ thị là 10  6 = 60 Do đó: 2  e = 60 Vậy e = 30.

2 e =  deg (v)

v  V

Trang 17

– Định lý 2 Một đồ thị vô hướng có một số chẵn các đỉnh bậc

lẻ.

– Định nghĩa 3 Cho (u, v) là cạnh của đồ thị có hướng G

° u được gọi là nối tới v.

° v được gọi là được nối từ u.

° Đỉnh u gọi là đỉnh đầu của cạnh (u, v).

° Đỉnh v gọi là đỉnh cuối của cạnh (u, v).

° Đỉnh đầu và đỉnh cuối của khuyên là trùng nhau.

Trang 18

– Định nghĩa 4 Trong đồ thị có hướng,

° bậc-vào của đỉnh v ký hiệu là deg-(v) là số các cạnh có đỉnh cuối là v.

° bậc-ra của đỉnh v ký hiệu là deg+(v) là số các cạnh có đỉnh đầu là v.

° (Một khuyên tại một đỉnh góp 1 đơn vị vào bậc-vào và 1 đơn vị vào bậc-ra của đỉnh này.)

Trang 19

– Ví dụ 3 Tìm bậc-vào và bậc-ra của mỗi đỉnh trong G.

Các bậc-vào là

deg-(a) = 2 deg-(b) = 2 deg-(c) = 3 deg-(d) = 2 deg-(e) = 3 deg-(f ) = 0

Các bậc-ra là

deg+(a) = 4 deg+(b) = 1 deg+(c) = 2 deg+(d) = 2 deg+(e) = 3 deg+(f ) = 0

Trang 20

– Định lý 3 Gọi G = (V, E) là một đồ thị có hướng Khi đó

– Đồ thị vô hướng nền là đồ thị vô hướng nhận được khi lờ đi

các hướng của các cạnh của đồ thị có hướng.

– Nhận xét: Đồ thị có hướng và đồ thị vô hướng nền của nó có cùng số cạnh.

 deg- (v) =  deg + (v) = E 

Trang 21

Những đồ thị đơn đặc biệt

– Ví dụ 4 Đồ thị đầy đủ n đỉnh, ký hiệu là K n , là một đơn đồ thị

chứa đúng một cạnh nối mỗi cặp đỉnh phân biệt.

Trang 22

Những đồ thị đơn đặc biệt

– Ví dụ 5 Chu trình (vòng) C n , với n  3, là một đồ thị có n đỉnh

v1, v2,…,v n và các cạnh {v1, v2}, {v2, v3},…, {v n - 1 , v n } và {v n , v1}

Trang 23

– Ví dụ 6 Đồ thị hình bánh xe W n , với n  3, là đồ thị có được từ chu trình C n bằng cách:

° thêm một đỉnh vào C n ,

° nối đỉnh này với mỗi đỉnh của C n bằng những cạnh mới

Trang 24

– Ví dụ 7 Các khối n chiều, ký hiệu là Q n , là các đồ thị:

° có 2n đỉnh,

° mỗi đỉnh được biểu diễn bằng xâu nhị phân độ dài n,

° Hai đỉnh là liền kề nếu và chỉ nếu các xâu nhị phân biểu diễn chúng khác nhau đúng một bit

11 10

Trang 25

Đồ thị phân đôi

– Định nghĩa 5 Một đồ thị đơn G được gọi là đồ thị phân đôi nếu tập các đỉnh V có thể phân làm hai tập con không rổng, rời nhau

V1 và V2 sao cho mỗi cạnh của đồ thị G nối một đỉnh của V1 với

Trang 26

– Ví dụ 9 K3 là không phân đôi Vì nếu chia các đỉnh của nó

thành hai phần rời nhau thì một trong hai phần này phải chứa 2 đỉnh; nếu đồ thị là phân đôi thì các đỉnh này không thể nối với

nhau bằng một cạnh, nhưng trong K3 mỗi đỉnh được nối với một đỉnh bất kỳ khác bằng một cạnh

– Ví dụ 10

c

d e

f g

c

d e

f

Trang 27

– Ví dụ 10

c

d e

f g

c

d e

Đồ thị H là không phân đôi, vì

° f nối với tất cả các đỉnh khác;

do đó V1 = {f}.

° a và b lại nối với nhau.

Trang 28

– Ví dụ 11 Đồ thị phân đôi đầy đủ K m,n là đồ thị

° có tập đỉnh được phân thành hai tập con tương ứng với m đỉnh và n đỉnh,

° có một cạnh giữa hai đỉnh nếu và chỉ nếu một đỉnh thuộc tập con này và đỉnh thứ hai thuộc tập con kia

Trang 29

Một vài ứng dụng của các đồ thị đặc biệt

– Ví dụ 12 Các mạng cục bộ (LAN)

Cấu trúc hình sao

Đồ thị phân đôi đầy đủ K 1,n Cấu trúc vòng trònChu trình C n Đồ thị hình bánh xe WCấu trúc hỗn hợp n

Trang 30

Một vài ứng dụng của các đồ thị đặc biệt

– Ví dụ 13

° Thuật toán tuần tự (hay nối tiếp)

° Thuật toán song song– Mảng một chiều– Mảng kiểu lưới (hay mảng hai chiều)– Mạng kiểu siêu khối

Trang 31

Các đồ thị mới từ đồ thị cũ

– Định nghĩa 6 Đồ thị con của đồ thị G = (V,E) là đồ thị H = (W,F) trong đó W  V và F  E.

– Ví dụ 14 Đồ thị G là đồ thị con của đồ thị K5

a

Trang 32

Các đồ thị mới từ đồ thị cũ

– Định nghĩa 7 (Đồ thị) hợp của hai đồ thị đơn G1 = (V1 , E1 )và G2

= (V2 , E2 )là đồ thị đơn có

° tập các đỉnh là V1V2

° tập các cạnh là E1E2 .– Ký hiệu: hợp của các đồ thị G1 và G2 là G1G2

– Ví dụ 15 Đồ thị hợp của G1 và G2

c b

Trang 33

Đồ thị

7.3 Biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu

Trang 34

Biểu diễn đồ thị

– Ví dụ 1 Dùng danh sách liền kề để mô tả đồ thị đơn: liệt kê tất cả các đỉnh liền kề với mỗi đỉnh của đồ thị

Đỉnh Đỉnh liền kề

b, c, e a

a, d, e

c, e

a, c, d

Trang 35

Biểu diễn đồ thị

– Ví dụ 2 Biểu diễn đồ thị có hướng: liệt kê tất cả các đỉnh cuối của các cung xuất phát từ mỗi đỉnh của đồ thị

Trang 36

Ma trận liền kề

• Biểu diễn đồ thị bằng ma trận: Ma trận liền kề Cho G = (V, E) là đồ thị đơn có n đỉnh, các đỉnh của G là v1, v2,…, v n

• Ma trận liền kề A hay A G của G là ma trận không-một (0-1) cấp n 

n có phần tử hàng i cột j là a ij bằng

° 1 nếu v i và v j liền kề nhau,

° 0 nếu chúng không được nối với nhau

• Nhận xét:

– Ma trận liền kề của một đồ thị tuỳ thuộc vào thứ tự liệt kê các đỉnh

– Ma trận liền kề của một đồ thị đơn là đối xứng Đồ thị đơn

không có khuyên nên a ii = 0 với i = 1, 2,…, n.

Trang 37

• Biểu diễn đồ thị bằng ma trận: Ma trận liền kề.

– Ví dụ 3 Các đỉnh được sắp xếp theo thứ tự: a, b, c, d.

a

d c

Trang 38

– Ví dụ 4 Cho ma trận liền kề với thứ tự các đỉnh là a, b, c, d Vẽ

đồ thị tương ứng

a

c d

Trang 39

• Ma trận liền kề có thể dùng để biểu diễn đồ thị vô hướng có

khuyên và (hay) có cạnh bội

– Khuyên tại đỉnh a i được biểu diễn bằng 2 tại vị trí (i, i) của ma

trận liền kề

– Khi có cạnh bội, phần tử ở vị trí (i, j) của ma trận bằng số các cạnh nối các đỉnh a i và a j

• Nhận xét: Tất cả các đồ thị vô hướng (đơn đồ thị, đa đồ thị, giả đồ thị) đều có ma trận liền kề đối xứng

Trang 40

– Ví dụ 5 Dùng ma trận liền kề để biểu diễn giả đồ thị

° Thứ tự các đỉnh là a, b, c, d.

a

c d

Trang 41

• Cho G = (V, E) là đồ thị có hướng có n đỉnh, các đỉnh của G là v1, v2,

…, v n

• Ma trận liền kề A hay A G của G là ma trận không-một (0-1) cấp n 

n có phần tử hàng i cột j là a ij bằng

° 1 nếu có cạnh đi từ v i tới v j ,

° 0 trong các trường hợp khác

• Nhận xét:

– Ma trận liền kề của một đồ thị tuỳ thuộc vào thứ tự liệt kê các đỉnh

– Ma trận liền kề của đồ thị có hướng không có tính đối xứng

– Cũng có thể dùng ma trận liền kề để biểu diễn đa đồ thị có

hướng Khi đó a ij bằng số các cung đi từ đỉnh v i tới đỉnh v j

Trang 42

Ma trận liên thuộc

• Biểu diễn đồ thị bằng ma trận liên thuộc Cho G = (V, E) là đồ thị vô hướng có n đỉnh và m cạnh:

° các đỉnh của G là v1, v2,…, v n ,

° các cạnh của G là e1, e2,…, e m

• Ma trận liên thuộc M hay M G của G là ma trận M = [m ij ] trong đó m ij

bằng

° 1 nếu cạnh e j nối với đỉnh v i ,

° 0 nếu cạnh e j không nối với đỉnh v i

• Nhận xét:

– Ma trận liền thuộc của một đồ thị tuỳ thuộc vào thứ tự liệt kê các đỉnh và các cạnh

Trang 43

• Ma trận liên thuộc

– Ví dụ 6 Xác định ma trận liên thuộc

Trang 44

– Ví dụ 7 Biểu diễn cạnh bội và khuyên bằng ma trận liên thuộc

Trang 45

Sự đẳng cấu của các đồ thị

– Định nghĩa 1 Các đồ thị đơn G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2) là

đẳng cấu nếu có hàm song ánh f từ V1 lên V2 sao cho các đỉnh a và b là liền kề trong G1 nếu và chỉ nếu f(a) và f(b) là liền kề trong G2 với mọi a và b trong V1 Hàm f như thế được gọi là một

đẳng cấu.

Trang 46

– Ví dụ 8 Các đồ thị G = (V, E) và H = (W, F) là đẳng cấu

Đinh nghĩa hàm f như sau f(u1) = v1, f(u2) = v4 , f(u3) = v3, f(u4) = v2

Hàm f là 1-1 giữa V và W Hàm f bảo toàn quan hệ liền kề vì:

° trong G các đỉnh liền kề là u1 và u2 , u1 và u3 , u2 và u4 , u3 và u4

° mỗi cặp f(u1) = v1 và f(u2) = v4 , f(u1) = v1 và f(u3) = v3 , f(u2) = v4 và

f(u4) = v2 , f(u3) = v3 và f(u4) = v2 là liền kề trong H.

Trang 47

– Ví dụ 9 Các đồ thị G và H là không đẳng cấu.

d

e

H d

e

G

b

c a

c

b a

Cả G và H đều có 5 đỉnh và 6 cạnh Tuy nhiên H có đỉnh e bậc 1

còn G thì không có đỉnh nào bậc 1 cả Vậy G và H là không đẳng

cấu

Trang 48

• Nhận xét:

– Số đỉnh, số cạnh, bậc của đỉnh là các bất biến đối với phép

đẳng cấu: nếu hai đồ thị là đẳng cấu thì

° chúng có cùng số đỉnh, số cạnh

° hai đỉnh tương ứng nhau trong phép đẳng cấu có cùng bậc.– Nếu các bất biến của hai đồ thị là khác nhau thì chúng là không đẳng cấu

– Tuy nhiên, nếu các bất biến của hai đồ thị là như nhau thì chưa chắc rằng chúng là đẳng cấu

Trang 49

– Ví dụ 10 Các đồ thị G và H có đẳng cấu hay không?

c d

g h

u v

x

y z

w

Xét các bất biến: Cả hai đồ thị đều có 8 đỉnh, 10 cạnh, 4 đỉnh bậc 2,

và 4 đỉnh bậc 3.

Tuy nhiên G và H là không đẳng cấu: vì deg(a) = 2 nên a phải ứng

với một trong các đỉnh bậc 2 của H là t, u, x, y; nhưng cả 4 đỉnh này

đều có nối với một đỉnh bậc 2 khác của H, trong khi a chỉ nối với đỉnh

bậc 3 của G mà thôi.

Trang 50

– Ví dụ 10 (tiếp theo) Cách khác: G và H là không đẳng cấu vì các đồ thị con của G và H tạo nên từ các đỉnh bậc 3 và các cạnh

nối chúng là không đẳng cấu

d

h

b f

v

z w s

Trang 51

– Dùng ma trận liền kề để chứng tỏ hàm f là bảo tồn các cạnh:

° Ma trận liền kề của G, (với một thứ tự các đỉnh)

° Ma trận liền kề của H, với hàng và cột được gán nhãn tương ứng với ảnh qua f của các đỉnh trong G.

° Nếu các ma trận liền kề trên giống nhau thì G và H là đẳng

cấu

Trang 52

– Ví dụ 11 Đồ thị G và H có đẳng cấu không?

f(u1) = v6 , f(u2) = v3 , f(u3) = v4 ,

f(u4) = v5 , f(u5) = v1 , f(u6) = v2

Trang 53

– Ví dụ 11 (tiếp theo)

° Các ma trận liền kề của G và H là

° Vì A G = A H nên f bảo tồn các cạnh Vậy f là một phép đẳng

Trang 54

Đồ thị

7.4 Tính liên thông

Trang 55

Đường đi

– Định nghĩa 1 Đường đi độ dài n từ u tới v, với n là một số

nguyên dương, trong một đồ thị vô hướng là một dãy các cạnh

e1, e2,…, e n của đồ thị sao cho f(e1) = {x0, x1}, f(e2) = {x1, x2},…,

f(e n ) = {x n - 1 , x n }, với x0 = u và x n = v

° Khi đồ thị là đơn, ta ký hiệu đường đi bằng dãy các đỉnh x0,

x1,…, x n

° Đường đi được gọi là chu trình nếu nó bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh, tức là u = v.

° Đường đi hay chu trình gọi là đơn nếu nó không chứa cùng

một cạnh quá một lần

Trang 56

Đường đi

– Ví dụ 1.

° a, d, c, f, e là đường đi đơn độ dài 4 vì {a, d}, {d, c}, {c, f},

{f, e} đều là các cạnh.

° d, e, c, b không là đường đi vì {e, c} không là cạnh.

° b, c, f, e, b là chu trình độ dài 4 vì {b, c}, {c, f}, {f, e}, {e, b}

là các cạnh và đường đi này bắt đầu và kết thúc tại b.

° a, b, e, d, a, b độ dài 5 không là đường đi đơn vì chứa cạnh

Trang 57

Đường đi

– Định nghĩa 2 Đường đi độ dài n, với n nguyên dương, từ u tới

v trong đa đồ thị có hướng là dãy các cạnh e1, e2,…, e n của đồ

thị sao cho f(e1) = (x0, x1), f(e2) = (x1, x2 ),…, f(e n ) = (x n - 1 , x n ), với

x0 = u và x n = v

° Khi không có cạnh bội trong đồ thị, ta ký hiệu đường đi

này bằng dãy các đỉnh x0, x1, x2,…, x n

° Đường đi bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh được gọi

là một chu trình.

° Đường đi hay chu trình gọi là đơn nếu nó không chứa

cùng một cạnh quá một lần.

Định dạng
Số trang	88
Dung lượng	565,2 KB