Câu 2: 2 điểm Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R, M là điểm di động trên đường tròn, kẻ MH vuông góc với AB H thuộc AB.. Tìm vị trí của M trên đường tròn O sao cho diện tích tam giác
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
THANH HÓA GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2007- 2008
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐIỂM CỦA BÀI THI (Họ tên và chữ ký)Các giám khảo
SỐ PHÁCH
(Do chủ tịch hội đồng chấm thi ghi)
Bằng số
………
Bằng chữ ………
……….……….
……….
……….……….
Chú ý: 1 Thí sinh chỉ được sử dụng máy tính Casio fx-570MS trở xuống 2 Nếu không nói gì thêm hãy tính chính xác đến 8 chữ số thập phân 3 Chỉ ghi kết quả vào ô và không thêm ký hiệu gì khác Đề bài Kết quả C âu 1: (2 điểm) a Với a=1,15975328 Hãy tính:
2 2 1 1 1 a 4 a A 1 1 1 1 1 a a 4 a 2 a æ ö÷ ç ÷ + çç - ÷÷ çè ø = æ ö÷ æ ö÷ ç ÷ ç ÷ + çç - ÷÷- çç - ÷÷ ç ç è ø è ø b Cho: 27 B 31 7 15 2008 = + + Biết: 0 1 n 1 n 1 B b 1 b
1 b b -= + + + Tìm dãy số: b0,b1,…,bn Câu 2: (2 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R, M là điểm di động trên đường tròn, kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB) a Tìm vị trí của M trên đường tròn (O) sao cho diện tích tam giác OMH lớn nhất b Tìm diện tích lớn nhất đó khi R=1,94538958 Câu 3: (2 điểm) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên thỏa mãn: ( )4
1 2 3 4 5 6 7 8 6 8
a a a a a a a a = a a
Câu 4: (2 điểm) Tìm hai số tự nhiên x, y với x lớn nhất
Trang 2thay đổi sao cho MNPQ là hình chữ nhật.
a Xác định điều kiện để diện tích hình chữ nhật MNPQ
là lớn nhất Tính diện tích đó theo s
b Áp dụng với s=16,69957094
Câu 6: (2 điểm)
a Tính tổng các chữ số của A2 Biết rằng:
= ¼123
n ch÷ sè 9
99 9
A
b Áp dụng với n=20072
Câu 7: (2 điểm) a Tìm số dư khi chia M=k2n + kn + 1
cho k2 + k + 1 với mọi số tự nhiên n, và k ∈ Z, k≠1
b Áp dụng tìm số dư khi chia 20072.2008+20072008+1 cho
20072+2007+1
C
âu 8: (2 điểm) Trong một trận bóng đá, ban tổ chức
cần 1000 nhân viên an ninh cả chuyên nghiệp và không
chuyên nghiệp được sắp xếp xung quanh sân đấu Các
vị trí dành cho các nhân viên chuyên nghiệp được ban tổ
chức đánh dấu bắt đầu từ vị trí số 1, cứ cách 15 vị trí lại
đánh dấu tiếp Việc đánh dấu sẽ kết thúc khi bắt gặp
một vị trí đã đánh dấu Hỏi ban tổ chức đã cần bao
nhiêu nhân viên an ninh chuyên nghiệp và bao nhiêu
nhân viên an ninh không chuyên nghiệp?
Câu 9: (2 điểm) Tìm chữ số thập phân thứ 252010 của
phép chia số 2331 cho 13209
C
âu 10: (2 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp trong
đường tròn tâm O bán kính R Đường phân giác trong
và ngoài của góc A cắt BC theo thứ tự tại D và E Giả
sử AD=AE
a Hãy tính AB2+AC2 theo R
b Áp dụng với R=1,53156738
Trang 3SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
THANH HÓA GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2007- 2008
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1: (2 điểm) a Rút gọn biểu thức ta được:
A 1 1 1
æ ö÷ ç
= ççè + ÷ ø÷
b A 31 54216
30127
= +
1 32
1 1
1 3
1 1
1 94
1 1
1 5
1 3 3
+ + + + + + +
a.Rút gọn rồi tính ≈ 0,931 126 18
b {b0,b1,b2,…,bn} =
{32,1,3,1,94,1,5,3,3}
1
1
Câu 2: 2 OMH
R
S
4 ³
a Vậy ta có 4 điểm M tạo với OA hoặc OB góc 450
b Smax= R2
4
a góc(MOX)=450
(Với X là A hoặc B)
(tìm được 4 điểm M)
b Smax=0,946 135 15
1 1
Câu 3: (2 điểm) Ta có: 56 a a < 6 8 £ 99
Dùng quy trình: M=M+1: M^4 = = …
(65; 17 850 625) (86; 54 700 816) (91; 68 574 961)
2
Câu 4: (2 điểm) Ta có: y x x 5 4x
2
=
Với X=999 Dùng quy trình:
X=X-1:(-X+X√(1+4X))÷2:(-X-X√(1+4X))÷2= = …
X=991 Y=30721
2
Câu 5: (2 điểm) Ta có: MNPQ ABC
dấu bằng “=” xảy ra khi QB=QA
=> Smax= s
2
1
khi P, Q là trung điểm của AC và AB
a P, Q là trung điểm
của AC và AB.
S max = s 2 1
b Smax =8,349 785 47
1 1
Câu 6: (2 điểm) Ta có: A2=99 9800 01123 123¼ ¼
n-1 sè 9 n-1 sè 0 Vậy tổng các chữ số của A2 là: (n-1)9+8+1=9n
a 9n
b 36 252 441
1 1
Câu 7: (2 điểm) Đặt n=3t+r (r=0,1,2 và t∈N) ta có:
M=k2r(k6t-1)+kr(k3t-1)+(k2r+kr+1) Vậy:
+ Với r=0 (n=3t) thì số dư là 3.
+ Với r=1 hoặc r=2 thì số dư là 0
a
+ Nếu n=3t đáp số 3.
+Nếu n=3t+1 hoặc n=3t+2 đáp số là 0. 1,5
Trang 4và kết thúc ở vị trí 991.
+ Vòng 2 vị trí bắt đầu đánh dấu là 6 tiếp theo là các vị
trí 15k+6 (k=1,2, ) và kết thúc tại 996
+ Vòng 3 vị trí bắt đầu đánh dấu là 11, tiếp theo là
15k+11 (k=1,2, ) và kết thúc tại 986
+ Vòng 4 vị trí bắt đầu đánh dấu là 1, đã được đánh dấu
67+67+66=200
- Số nhân viên an ninh không chuyên nghiệp cần là:
1000-200=800
2
Câu 9: (2 điểm) Ta có:
2331 3
13209 = 17=0,(1764705882352941) chu kỳ có 16 chữ
số
Mà 252=625=624+1=39x16+1
Vậy 252≡1(mod16) ⇔252008=(252)1004≡11004=1(mod16)
Chữ số thập phân cần
Câu 10: (2 điểm) AB2+AC2=4R2 a AB 2 +AC 2 =4R 2
b 9,382 794 56
1 1
Chú ý: - Với những câu có hai phương án (a Nêu công thức; b Áp dụng) khi chấm nếu phương án a sai thì không cho điểm phương án b
Trang 5SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
THANH HÓA GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2007- 2008
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐIỂM CỦA BÀI THI (Họ tên và chữ ký)Các giám khảo
SỐ PHÁCH
(Do chủ tịch hội đồng chấm thi ghi)
Bằng số
………
Bằng chữ ………
……….……….
……….
……….……….
Chú ý: 1 Thí sinh chỉ được sử dụng máy tính Casio fx-570MS trở xuống 2 Nếu không nói gì thêm hãy tính chính xác đến 8 chữ số thập phân 3 Chỉ ghi kết quả vào ô và không thêm ký hiệu gì khác Đề bài Kết quả Câu 1: (2 điểm) a Với x=1,15795836 Hãy tính:
2 2 1 1 1 x 4 x A 1 1 1 1 1 x x 4 x 2 x æ ö÷ ç ÷ + çç - ÷÷ çè ø = æ ö÷ æ ö÷ ç ÷ ç ÷ + çç - ÷÷- çç - ÷÷ ç ç è ø è ø b Cho: 27 B 27 7 15 2008 = + + Biết: 0 1 n 1 n 1 B k 1 k
1 k k -= + + + Tìm dãy số: k0,k1,…,kn Câu 2: (2 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AC=2R, B là điểm di động trên đường tròn, kẻ BH vuông góc với AC (H thuộc AC) a Tìm vị trí của B trên đường tròn (O) sao cho diện tích tam giác OBH lớn nhất b Tìm diện tích lớn nhất đó khi R=1,94358198 Câu 3: (2 điểm) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên thỏa mãn: ( )4
x x x x x x x x = x x
Câu 4: (2 điểm) Tìm hai số tự nhiên a, b với a lớn nhất
Trang 6thay đổi sao cho MNPQ là hình chữ nhật.
a Xác định điều kiện để diện tích hình chữ nhật MNPQ
là lớn nhất Tính diện tích đó theo a
b Áp dụng với a=18,13794273
Câu 6: (2 điểm)
a Cho = ¼123
k ch ÷ sè 9
99 9
A Tính tổng các chữ số của A2
b Áp dụng với k=20082
Câu 7: (2 điểm) a Tìm số dư khi chia M=k2n + kn + 1
cho k2 + k + 1 với mọi số tự nhiên n, và k ∈ Z, k≠1
b Áp dụng tìm số dư khi chia 20082.2007+20082007+1 cho
20082+2008+1
Câu 8: (2 điểm) Trong một trận bóng đá, ban tổ chức
cần 1000 nhân viên an ninh cả chuyên nghiệp và không
chuyên nghiệp được sắp xếp xung quanh sân đấu Các
vị trí dành cho các nhân viên chuyên nghiệp được ban tổ
chức đánh dấu bắt đầu từ vị trí số 1, cứ cách 15 vị trí lại
đánh dấu tiếp Việc đánh dấu sẽ kết thúc khi bắt gặp
một vị trí đã đánh dấu Hỏi ban tổ chức đã cần bao
nhiêu nhân viên an ninh chuyên nghiệp và bao nhiêu
nhân viên an ninh không chuyên nghiệp?
Câu 9: (2 điểm) Tìm chữ số thập phân thứ 252010 của
phép chia số 2238 cho 12682
Câu 10: (2 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp trong
đường tròn tâm O bán kính R Đường phân giác trong
và ngoài của góc A cắt BC theo thứ tự tại D và E Giả
sử AD=AE
a Hãy tính AB2+AC2 theo R
b Áp dụng với R=1,53746298
Trang 7SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
THANH HÓA GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2007- 2008
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1: (2 điểm) a Rút gọn biểu thức ta được:
A 1 1 1
æ ö÷ ç
= ççè + ÷÷ø
b A 27 54216
30127
1 28
1 1
1 3
1 1
1 94
1 1
1 5
1 3 3
+ + + + + + +
a.Rút gọn rồi tính ≈ 0,931 794 46
b {k0,k1,k2,…,kn} =
{28,1,3,1,94,1,5,3,3}
1
1
Câu 2: 2 OBH
R
S
4 ³
a Vậy ta có 4 điểm B tạo với OA hoặc OC góc 450
b Smax=
4
R 2
a góc(BOX)=450
(Với X là A hoặc C)
(tìm được 4 điểm B)
b Smax=0,944 377 73
1 1
Câu 3: (2 điểm) Ta có: 56 <x6x8≤ 99
Dùng quy trình: M=M+1: M^4 = = …
(65; 17 850 625) (86; 54 700 816) (91; 68 574 961)
2
Câu 4: (2 điểm) Ta có: b a a 5 4a
2
=
Với X=999 Dùng quy trình:
X=X-1:(-X+X√(1+4X))÷2:(-X-X√(1+4X))÷2= = …
a=991 b=30721
2
Câu 5: (2 điểm) Ta có: MNPQ ABC
dấu bằng “=” xảy ra khi QB=QA
=> Smax= a
2
1
khi P, Q là trung điểm của AC và AB
a P, Q là trung điểm
của AC và AB.
S max = a 2 1
b Smax =9,068 971 37
1 1
Câu 6: (2 điểm) Ta có: A2=99 9800 01123 123¼ ¼
k-1 sè 9 k-1 sè 0 Vậy tổng các chữ số của A2 là: (k-1)9+8+1=9k
a 9k
b 36 288 576
1 1
Câu 7: (2 điểm) Đặt n=3t+r (r=0,1,2 và t∈N) ta có:
M=k2r(k6t-1)+kr(k3t-1)+(k2r+kr+1) Vậy:
+ Với r=0 (n=3t) thì số dư là 3.
+ Với r=1 hoặc r=2 thì số dư là 0
a
+ Nếu n=3t đáp số 3.
+Nếu n=3t+1 hoặc n=3t+2 đáp số là 0. 1,5
Trang 8và kết thúc ở vị trí 991.
+ Vòng 2 vị trí bắt đầu đánh dấu là 6 tiếp theo là các vị
trí 15k+6 (k=1,2, ) và kết thúc tại 996
+ Vòng 3 vị trí bắt đầu đánh dấu là 11, tiếp theo là
15k+11 (k=1,2, ) và kết thúc tại 986
+ Vòng 4 vị trí bắt đầu đánh dấu là 1, đã được đánh dấu
67+67+66=200
- Số nhân viên an ninh không chuyên nghiệp cần là:
1000-200=800
2
Câu 9: (2 điểm) Ta có:
2238 3
12682 = 17=0,(1764705882352941) chu kỳ có 16 chữ
số
Mà 252=625=624+1=39x16+1
Vậy 252≡1(mod16) ⇔252008=(252)1004≡11004=1(mod16)
Chữ số thập phân cần
Câu 10: (2 điểm) AB2+AC2=4R2 a AB 2 +AC 2 =4R 2
b 9,455 169 66
1 1
Chú ý: - Với những câu có hai phương án (a Nêu công thức; b Áp dụng) khi chấm nếu phương án a sai thì không cho điểm phương án b
