TOÁN 9 – ĐỀ CƯƠNG + ĐỀ THI HK2 KÈM ĐÁP ÁN.

 là tứ giác nội tiếp.. a) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp. b) Chứng minh AD AF. Chứng minh DI là tiếp tuyến của nửa đường tròn. Chứng minh tam giác AMN cân.. Suy ra tứ giác CD[r]

4) Phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm tổng quát, công thức nghiệm thu gọn

5) Hệ thức Vi-ét và ứng dụng để giải các bài toán liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai

6) Phương trình quy về phương trình bậc hai

7) Giải bài toán bằng cách lập phương trình

II HÌNH HỌC

1) Các góc của đường tròn: góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, góc có đỉnh bên trong đường tròn, góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

2) Liên hệ giữa cung và dây

3) Bài toán quỹ tích cung chứa góc

4) Tứ giác nội tiếp

5) Đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp

6) Các công thức tính toán: độ dài đường tròn, độ dài cung tròn, diện tích hình tròn, diện tích quạt tròn

7) Hình trụ, hình nón, hình cầu và các công thức tính toán liên quan

B BÀI TẬP

I – PHẦN ĐẠI SỐ

CHƯƠNG III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Dạng 1: Giải các hệ phương trình sau

xy

23

xy

xy

uv

uv

311

yx

yx

2

vu

21

xy

b Giải và biện luận hệ phương trình trên theo m

c Với  x y là nghiệm duy nhất của hệ phương trình Tìm hệ thức liên hệ giữa x và ; y không phụ thuộc vào m

d Gọi  x y là nghiệm duy nhất của hệ phương trình Tìm m để ;

xmy

xmy

Với m hệ phương trình vô nghiệm 0

c Với  x y là nghiệm duy nhất của hệ phương trình Tìm hệ thức liên hệ giữa x và ; y không phụ thuộc vào m

Theo phần b, để hệ có nghiệm duy nhất thì m0;m1 khi đó nghiệm duy nhất của hệ :

d Gọi  x y là nghiệm duy nhất của hệ phương trình Tìm m để ;

Theo phần b, để hệ có nghiệm duy nhất thì m0;m1 khi đó nghiệm duy nhất của hệ :

mm

xmy

CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Dạng 1: Giải phương trình bậc hai

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai

nhờ nghiệm của phương trình bậc hai cho trước Câu 1 Gọi x ; 1 x là các nghiệm của phương trình: 2 x23x 7 0 Tính:

trị của biểu thức sau:

a) Vẽ đồ thị các hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy

b) Tìm tọa độ các điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tính

c) Tính diện tích tam giác OAB

Câu 2 .Cho Parabol  P : y = x2và đường thẳng  d : y 2x+m

a) Vẽ  P và  d trên cùng một hệ trục tọa độ với m 3

Tìm tọa độ giao điểm của  d và P

b) Tìm m để  d tiếp xúc với P Xác định tọa độ giao điểm

Câu 3 Cho Parabol   1 2

b) Với Avà Blà hai giao điểm  P và  d Tính diện tích tam giác AOB

Câu 4 Cho Parabol ( ):P y và đường thẳng x2  d y: mx  m 1

a) Tìm m để đường thẳng d cắt parabol ( )P tại hai điểm phân biệt A B,

b) Gọi x x là hoành độ của 1; 2 A và B Tìm m sao cho x1  x2 2

Câu 5 Cho Parabol ( ):P y và đường thẳng x2  d y: mx-2

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ,  d luôn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt A B,

b) Gọi x x là hoành độ của 1; 2 A và B Tìm m sao cho 2 2

x x x x  Câu 6 Cho Parabol ( ):P y và đường thẳng x2  d y: mx- m+1 Tìm m sao cho đường thẳng  d

cắt parabol ( )P tại hai điểm phân biệt nằm ở hai phía của trục tung

Câu 7 Cho phương trình : x22m1x m   ( x là ẩn) 3 0

a) Tìm mđể phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b) Tìm mđể phương trình có 2 nghiệm trái dấu

a) Tìm mđể phương trình có 2 nghiệm là 2 số đối nhau

a) Tìm một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình mà không phụ thuộc vào m

Câu 8 Cho phương trình : x22mx2m 3 0 (ẩn x )

Câu 1 Một ô tô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định Nếu xe chạy với vận tốc 35km h thì đến /

chậm mất 2 giờ Nếu xe chạy với vận tốc 50km h thì đến sớm hơn 1 giờ Tính quãng đường /

AB và thời gian dự định đi lúc đầu

Câu 2 Một người đi xe máy đi từ A đến B cách nhau 120km với vận tốc dự định Sau khi đi được 1

3

quãng đường AB, người đó tăng vận tốc thêm 10km h trên quãng đường còn lại Tìm vận tốc /

dự địnhvà thời gian xe lăn bánh trên đường , biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút Câu 3 Một ca nô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30km h , sau đó lại ngược từ / B trở

về A Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút Tính khoảng cách giữa hai bến A

và B Biết rằng vận tốc dòng nước là 5km h và vận tốc riêng của cano lúc xuôi và lúc ngược /bằng nhau

Câu 4 Một ca nô xuôi một khúc sông dài 90km rồi ngược về 36 km Biết thời gian xuôi dòng sông

nhiều hơn thười gian ngược dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc khi ngược dòng

là 6km h Hỏi vận tốc ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng /

Dạng 4.2: Toán làm chung – làm riêng Bài 1 Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong Nếu người thứ nhất

làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người chỉ làm được 3

4 công việc

Hỏi nếu làm riêng mỗi người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong ?

Bài 2 Nếu vòi A chảy 2 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì được 4

5 hồ Nếu vòi A chảy trong 3 giờ

và vòi B chảy trong 1 giờ 30 phút thì được 1

2 hồ Hỏi nếu chảy một mình mỗi vòi chảy trong

bao lâu mới đầy hồ ?

Bài 3 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể Nếu mỗi vòi chảy một mình cho đầy

bể thì vòi II cần nhiều thời gian hơn vòi I là 5 giờ Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể

Dạng 4.3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm Bài 1 Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%,

tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

Bài 2 Năm ngoái tổng dân số của hai tỉnh A và B là 4 triệu người Dân số tỉnh A năm nay tăng 1, 2%

, còn tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4045000 người Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay?

Dạng 4.4: Toán có nội dung hình học Bài 1 Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280 m Người ta làm lối đi xung quanh vườn (thuộc

đất trong vườn) rộng 2 m Tính kích thước của vườn, biết rằng đất còn lại trong vườn để trồng trọt là 4256m 2

Bài 2 Cho một hình chữ nhật Nếu tăng chiều dải lên 10 m , tăng chiều rộng lên 5 m thì diện tích

tăng500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 m2

Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu

Bài 3.Cho một tam giác vuông Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích tam giác

tăng 50 cm2 Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thi diện tích sẽ giảm đi32 cm2 Tính hai cạnh góc vuông

Dạng 4.5 : Toán về tìm số

Bài 1 Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục

và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị

Bài 2 Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu

số cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và số dư là 3

 HẾT 

Câu 1 x228x52 0

Lời giải Phương trình có  2

Phương trình có   5 2  4.2.2 9 0  

 Phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt là

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S   2;2

Câu 7 3 x 2  4 x   2 0

Lời giải Phương trình có  2

xx

1

xx

2

1

xx

  hoặc a 2

1)

2

41

    nên phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S   1

    3 x 3 Khi đó: x  3 3 x2 hoặc x 3 x23

  (nhận) và x 1 (loại)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là S 2

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai

nhờ nghiệm của phương trình bậc hai cho trước Bài 1 Gọi x ; 1 x là các nghiệm của phương trình: 2 2

Bài 2 Gọi x ; 1 x là các nghiệm của phương trình: 2 2

5x 3x 1 0 Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức sau:



 

Bài 3 Cho phương trình 2

2x 3x 1 0 có hai ngiệm x ;1 x Hãy thiết lập phương trình ẩn 2 y có hai nghiệm y ; 1 y thoả mãn: 2

22

xyxxyx

xyxxyx

a) Vẽ đồ thị các hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy

b) Tìm tọa độ các điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tính

c) Tính diện tích tam giác OAB

Lời giải a) Vẽ đồ thị các hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy

 



Với x1     nên giao điểm 1 y1 1 A1;1

Với x2  2 y2  nên giao điểm 4 B 2; 4

c) Tính diện tích tam giác OAB

Lấy A' là hình chiếu của A trên trục OxA' 1;0 

Lấy B' là hình chiếu của B trên trục Ox B' 2; 0 

' ' '0 ' OAB AA B B AA BB O

Bài 2 Cho Parabol  P : y = x2và đường thẳng  d : y 2x+m

a) Vẽ  P và  d trên cùng một hệ trục tọa độ với m Tìm tọa độ giao điểm của 3  d và

 P

b) Tìm m để  d tiếp xúc với P Xác định tọa độ giao điểm

Lời giải a) Vẽ  P và  d trên cùng một hệ trục tọa độ với m Tìm tọa độ giao điểm của 3  d và

 



Với x1     nên giao điểm 1 y1 1 A1;1

Với x2  3 y2  nên giao điểm 9 B 3;9

b) Tìm m để  d tiếp xúc với P Xác định tọa độ giao điểm

Xét phương trình hoành độ giao điểm :

2

x 2x m  x22x m 0  1

' 1 m

  

để  d tiếp xúc với P thì phương trình  1 có nghiệm kép  ' 0  1 m 0m  1

Thay m 1vào phương trình  1 : x2 2x+1 = 0  2

4

Lấy A' là hình chiếu của A trên trục Ox A' 1  5; 0

Lấy B' là hình chiếu của B trên trục Ox B' 1  5; 0

' ' '0 ' OAB AA B B AA BB O

Bài 4 Cho Parabol ( ):P y và đường thẳng x2  d y: mx  m 1

a) Tìm m để đường thẳng  d cắt parabol ( )P tại hai điểm phân biệt A B,

b) Gọi x x là hoành độ của 1; 2 A và B Tìm m sao cho x1  x2 2

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của  d và ( )P là

Bài 5 Cho Parabol ( ):P y và đường thẳng x2  d y: mx 2

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ,  d luôn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt A B,

b) Gọi x x là hoành độ của 1; 2 A và B Tìm m sao cho 2 2

x x x x  Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của  d và ( )P là

28m

Bài 6 Cho Parabol ( ):P y và đường thẳng x2  d y: mx- m+1 Tìm m sao cho đường thẳng  d

cắt parabol ( )P tại hai điểm phân biệt nằm ở hai phía của trục tung

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của  d và ( )P là

x m    m x m   (*)

Để đường thẳng d cắt parabol ( )P tại hai điểm phân biệt nằm ở hai phía của trục tung

 (*) có hai nghiệm phân biệt trái dấu 1.m    1 0 m 1

Bài 7 Cho phương trình : x22m1x m   ( x là ẩn) 3 0

a) Tìm mđể phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b) Tìm mđể phương trình có 2 nghiệm trái dấu

c) Tìm mđể phương trình có 2 nghiệm là 2 số đối nhau

d) Tìm một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình mà không phụ thuộc vào m

Lời giải Xét phương trình : x22m1x m   3 0  1 ( x là ẩn)

Vậy với mọi m thì phương trình  1 có 2 nghiệm phân biệt

b) Để phương trình  1 có 2 nghiệm trái dấu 1.m    3 0 m 3

c) Vì phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt theo hệ thức Vi -et ta có:

 

1 2

1 2

2 1 3

Bài 8 Cho phương trình : x22mx2m 3 0 (ẩn x )

a) Chưng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm mđể phương trình có 2 nghiệm cùng dấu Chứng minh rằng: với giá trị tìm được

của m hai nghiệm cùng dương

có 2 nghiệm phân biệt với mọi  m

b) Gọi x x là 2 nghiệm của phương trình 1; 2  1 theo hệ thức Vi -et ta có: 1 2

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LÂP PHƯƠNG TRÌNH - HPT

Dạng 4.1 : Chuyển động (trên đường bộ, trên đường sông có tính đến dòng nước chảy)

Bài 1 Gọi thời gian dự định của ô tô để đi từA đến B là x ( giờ ) x 1

Thời gian ô tô đi từA đến B với vận tốc 35km h là / x2 h

Quãng đường ô tô được là 35.x2 km

Thời gian ô tô đi từA đến B với vận tốc 50km h là / x1 h

Quãng đường ô tô được là 50.x1 km

Do quãng đường không đổi nên ta có phương trình:

  (thỏa mãn điều kiện)

Vậy thời gian dự định người đó đi hết quãng đường AB là 8 giờ

Quãng đường AB dài : 50 8 1   350 km 

Bài 2 Gọi vận tốc dự định người đó đi từA đến B là xkm h/  x0

Vậy thời gian dự định người đó đi hết quãng đường AB là 120 h

x

Chiều dài quãng đường còn lại là : 120 40 80 km   

Vận tốc người đó đi trên quãng đường còn lại là x10 km h / 

Thời gian người đó đi trên quãng đường còn lại là 80  

(loại) Vậy người đó dự định đi từ A đến B với vận tốc 40km h / 

Thời gian xe lăn bánh trên đường là: 40 80 2, 6 

40 40 10  h

Bài 3 Vận tốc thực của ca – nô là : 30 – 5 = 25 km h / 

Vận tốc đi ngược dòng của ca – nô là : 25 – 5 = 20 km h / 

Gọi chiều dài quãng sông là x km ,x0

Vậy thời gian ca – nô đi xuôi là :  

30

xh

Thời gian ca – nô đi ngược là :  

20

xh

Do thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 1 giờ 20 phút = 11  4 

3 h 3 h , nên ta có phương trình:

  (thỏa mãn điều kiện)

Vậy khoảng cách giữa hai bến là 80 km h / 

Bài 4 Gọi vận tốc ca – nô đi xuôi dòng là : xkm h/  x6

Vậy thời gian ca – nô đi xuôi dòng 90 km là : 90 h

x

Vận tốc ca – nô đi ngược dòng là : x6 km h / 

Thời gian ca – nô đi ngược dòng 36 km là : 36  

Bài 1 Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong Nếu người thứ nhất

làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người chỉ làm được 3

4 công việc

Hỏi nếu làm riêng mỗi người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong ?

Lời giải Đổi : 7 giờ 12 phút = 36

Vì người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì được 3

4 công việc nên ta

x

tmy

Bài 2 Nếu vòi A chảy 2 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì được 4

5 hồ Nếu vòi A chảy trong 3 giờ

và vòi B chảy trong 1 giờ 30 phút thì được 1

2 hồ Hỏi nếu chảy một mình mỗi vòi chảy trong

bao lâu mới đầy hồ ?

Lời giải Đổi : 1 giờ 30 phút = 3

2 giờ

Gọi thời gian vòi A chảy một mình để đầy hồ nước là x (giờ, x ) 0

Gọi thời gian vòi B chảy một mình để đầy hồ nước là y (giờ, y0)

Một giờ vòi A chảy được 1

20

y

tmx

Bài 3 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể Nếu mỗi vòi chảy một mình cho đầy

bể thì vòi II cần nhiều thời gian hơn vòi I là 5 giờ Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể

Gọi thời gian vòi II chảy một mình để đầy hồ nước là y (giờ, y6)

Một giờ vòi I chảy được 1

2

x

tmy

x

ktmy

Vậy nếu chảy riền thì vòi I chảy đầy bể trong 10 giờ, vòi II chảy đầy bể trong 15 giờ

Dạng 4.3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm

Bài 1 Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%,

tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

Lời giải Gọi số chi tiết máy tổ I và tổ II làm được trong tháng giêng lần lượt là x , y( chi tiết )

xy





Vậy số dân tỉnh A năm ngoái và năm nay lần lượt là 1000000 người và 1012000 người

Số dân tỉnh B năm ngoái và năm nay lần lượt là 3000000 người 3033000 người

Dạng 4.4: Toán có nội dung hình học

Bài 1 Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280 m Người ta làm lối đi xung quanh vườn (thuộc

đất trong vườn) rộng 2 m Tính kích thước của vườn, biết rằng đất còn lại trong vườn để trồng trọt là 4256m 2

Lời giải Gọi chiều rộng và chiều dài của khu vườn lần lượt là x , y  m 0  x y 140

Chu vi khu vườn hình chữ nhật là 280 m x y .2 280   x y 140  x 140y  1

Sau khi làm lối đi, chiều dài và chiều rộng còn lại của khu vườn là x4  m , y4  m

Đất còn lại trong vườn để trồng trọt là 4256m nên ta có phương trình: 2

yy





Với y80 x 60(thỏa mãn điều kiện của ẩn)

Với y60 x 80(không thỏa mãn điều kiện của ẩn)

Vậy chiều dài của khu vườn hình chữ nhật là 80 m, chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật là

Lời giải

Gọi chiều dài, chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là a b m a b a;    ; 15;b9

Nếu tăng chiều dài lên 10m , tăng chiều rộng lên 5m thì diện tích tăng500m2 nên ta có

Bài 3 Cho một tam giác vuông Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích tam

giác tăng 50 cm2 Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thi diện tích sẽ giảm đi32 cm2 Tính hai

cạnh góc vuông

Lời giải Gọi hai cạnh góc vuông là a b cm a b;   ; 2

Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2cm và 3cm thì diện tích tam giác tăng 50cm2 nên ta có

2 a b 2ab ab a b ab 3a2b94 1  Nếu giảm cả hai cạnh đi 2cm thi diện tích sẽ giảm đi32cm2 nên ta có phương trình:

Bài 1 Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục

và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị

Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm là ab a b , ;0a b, 9

Bài 2 Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu

số cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và số dư là 3

Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm là ab a 0, ,a b;0a b, 9

Vì số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó nên ta có phương trình:

Câu 1 Cho đường tròn O R dây ;  AB AB2R Từ điểm C thuộc tia đối của tia AB vẽ tiếp tuyến

CD tới đường tròn O R (;  D thuộc cung lớn của đường tròn O R ) ;  I là trung điểm của dây

AB DI cắt đường tròn O R tại ;  K Kẻ KE song song với AB EO R;   Chứng minh:

CD CA CB

b) Tứ giác CIOD nội tiếp

c) CE là tiếp tuyến của đường tròn O R ; 

d) Khi C chuyển động trên tia đối của tia AB thì trọng tâm G của ABDchuyển động trên một đường tròn cố định

Câu 2 Cho nửa đường tròn tâm  O đường kính AB , kẻ tiếp tuyến Bx cùng phía với nửa đường tròn

có bờ là đường thẳng AB Lấy điểm C, D trên nửa đường tròn sao cho C nằm trên cung AD (C không trùng với A , D ), kẻ các tia AC, AD lần lượt cắt Bx tại E , F

a) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp

b) Chứng minh AD AF  AC AE

c) Gọi I là trung điểm của BF Chứng minh DI là tiếp tuyến của nửa đường tròn

d) Giả sử đường thẳng CD cắt Bx tại G, tia phân giác của góc CGE cắt tia AF , AE lần lượt

tại M , N Chứng minh tam giác AMN cân

Câu 3 Cho O R , dây AB cố định Qua trung điểm I của dây AB , kẻ đường kính PQ ( thuộc ; 

cung nhỏ AB ) E là điểm bất kỳ trên cung nhỏ QB QE cắt AB tại M , PE cắt AB tại D

a) Chứng minh tứ giác DIQE nội tiếp

b) Chứng minh ME MQ MD MI 

c) Kẻ Ax // DE, Ax cắt  O tại F Chứng minh rằng BE vuông góc với QF

d) Gọi giao điểm của BE và QF là K , tìm vị trí của E trên cung QB sao cho diện tích tứ giác QABK có giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó theo R biết dây AB R 3

Q

Câu 4 Cho  O , dây BC không đi qua tâm Trên cung lớn BC lấy A sao cho AB AC Gọi D là

điểm chính giữa của cung nhỏ BC , OD cắt BC tại I Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với

AD, cắt AD tại H, cắt AC tại K và cắt  O tại điểm thứ hai là E

a) Chứng minh tứ giác BHID nội tiếp trong một đường tròn

b) Chứng minh tam giác EKC cân

c) Chứng minh DI DE DH DC 

d) Gọi M là giao điểm của DE và AC Chứng minh khi A chuyển động trên cung lớn BC và thỏa mãn yêu cầu đề bài thì trung điểm đoạn HM luôn chuyển động trên cung tròn cố định

Câu 5 Trên hai cạnh góc vuông xOy lấy hai điểm A và B sao cho OA OB Môt đường thẳng qua

A cắt OB tại M ( M nằm trên đoạn OB) Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H , cắt AO

kéo dài tại I

a) Chứng minh tứ giác OMHI nội tiếp

b) Tính góc OMI

c) Từ O vẽ đường vuông góc với BI tại K Chứng minh rằng: OK KH

d) Tìm tập hợp các điểm K khi điểm M thay đổi trên OB

ĐÁP ÁN Câu 1 Cho đường tròn O R dây ;  AB AB2R Từ điểm C thuộc tia đối của tia AB vẽ tiếp tuyến

CD tới đường tròn O R (;  D thuộc cung lớn của đường tròn O R ) ;  I là trung điểm của dây

AB DI cắt đường tròn O R tại ;  K Kẻ KE song song với AB EO R;   Chứng minh:

CD CA CB

b) Tứ giác CIOD nội tiếp

c) CE là tiếp tuyến của đường tròn O R ; 

d) Khi C chuyển động trên tia đối của tia AB thì trọng tâm G của ABDchuyển động trên một đường tròn cố định

Lời giải

b) Xét đường tròn O R có ;  I là trung điểm của dây AB OI AB tại I CIO 900

Vì CD là tiếp tuyến của đường tròn O R; CD OD CDO900

Xét tứ giác có:  CIO CDO 900900 1800

CIOD

 là tứ giác nội tiếp

c) Vì CIOD là tứ giác nội tiếpCID COD  (Hai góc nội tiếp cùng chắn CD )

Mà KE/ /ABCID EKD  ( 2 góc đồng vị)

Nên COD EKD

2EKD DOE (Góc nội tiếp , góc ở tâm cùng chắn cung DE )

Mà CDO900 nên CEO900 hay CE OE

Mà Ethuộc ( )O CE là tiếp tuyến của đường tròn O R ; 

Lại có AB cố định nên I cố định mà O cố định nên J cố định

Vậy khi C chuyển động trên tia đối của tia AB thì trọng tâm G của ABDchuyển động trên một đường tròn ;1

Câu 2 Cho nửa đường tròn tâm  O đường kính AB , kẻ tiếp tuyến Bx cùng phía với nửa đường tròn

có bờ là đường thẳng AB Lấy điểm C, D trên nửa đường tròn sao cho C nằm trên cung AD (C không trùng với A , D ), kẻ các tia AC, AD lần lượt cắt Bx tại E , F

a) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp

b) Chứng minh AD AF  AC AE

c) Gọi I là trung điểm của BF Chứng minh DI là tiếp tuyến của nửa đường tròn

d) Giả sử đường thẳng CD cắt Bx tại G, tia phân giác của góc CGE cắt tia AF , AE lần lượt

tại M , N Chứng minh tam giác AMN cân

Lời giải

2 1

M N

G I F

E

C

D