de cuong chuong 1 gt 12

1. TÌM CAÙC TIEÄM CAÄN CUÛA HAØM SOÁ Bài toán 4 : Caùch xaùc ñònh tieäm caän :.. BIEÄN LUAÄN SOÁ NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH DÖÏA VAØO ÑOÀ THÒ.. c) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ([r]

Trường THPT Nguyễn Khuyến gv: Nguyễn Tuấn Dũng

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CHƯƠNG 1 – GIẢI TÍCH 12 CƠ BẢN Ph

ần bổ sung kiến thức

Giới hạn hàm số

Một số phương pháp khử dạng vô định:

1 Dạng 0

0

a) L =

0

( ) lim

( )

x x

P x

Q x

 với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0

Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.

4

x



b) L =

0

( ) lim

( )

x x

P x

Q x

 với P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc

Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.

4

c) L =

0

( ) lim

( )

x x

P x

Q x

 với P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x) là biêåu thức chứa căn không đồng bậc

Giả sử: P(x) = m u x( ) n v x với u x( ) m ( )0 n v x( )0 a

Ta phân tích P(x) = m u x( ) a  a n v x( ).

= lim0 3 2 13 1 11 1 1 53 2 6

2 Dạng 

: L = xlim Q x P x( )( )

  với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.

– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.

– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.

VD: a)

2

2

5 3 2

6 3

x x

 

 

3 2

1





3 Dạng  – : Giới hạn này thường có chứa căn

Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.

4 Dạng 0.:

Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.

2 0 2

2 2

4

x

x x





 Bài t ậ p áp d ụ ng

 tính các giới hạn sau:

 tính các giới hạn:

2 2

Trường THPT Nguyễn Khuyến gv: Nguyễn Tuấn Dũng

Một số cơng thức về đạo hàm cơ bản:

 

 

2 / /

2

/ / /

/ /

/ /

/

/ / /

.

5

) 0 (

4

.

.

3

.

.

2

.

1

v

v C v

C

v v

u v v u

v

u

v C v

C

v u v u

v

u

v u v

u













































 

 

 

 

 

/ /

/ 2 /

/

/

/

/

/ /

/ 2 /

2

9

1 10

2

12

1

13 log

.ln 1

14 ln

15 sin cos

16 cos sin

1

17 tan

cos 1

18 cot

sin

x x

a

C x

x

x

x

x a x

x

x

x x

x

   









 



 

 





















Đạo hàm của hàm

hợp

 

 

 

 

sin cot

cos tan

sin cos

cos sin

ln

ln log

.

ln

2

1

2

/ /

2

/ /

/ /

/ /

/ /

/ /

/ /

/ /

/ / 2 / /

/ 1 /

u

u u

u

u u

u u u

u u u u

u u

a u

u u

u e e

u a a a

u

u u

v

v v

u x u

a

u u

u u







































  

d cx

b ax

y







.

19 ta có

2

/

)

(cx d

bc

ad

y







2 2

2 2

1 1

2 1

20

c x b x

a

c x b x

a

y









 ta có

2 2

2 2

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2 2

1 1

/

2

c x b x a

c b

c b x c a

c a x b a

b a

y











Bài t ậ p áp d ụ ng

 tính đạo hàm của các hàm số sau:

2

2 4

3

2

1 1

4

4 1

2

x

x x

x







)y 1 1 2 x

 tính đạo hàm các hàm số sau:

sin

sin ) tan cot 2 ; ) tan 1 ; ) 2s?n cos5 ; ) tan 3 cot 3



Ph

ần kiến thức lớp 12

I XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Bài toán 1: xét tính đơn điệu

Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :

+ MXĐ: D= ?

+ Đạo hàm : y / = ?

cho y / = 0 ( nếu có ) xét dấu y /

+ BXD (sắp xếp nghiệm của PT y / = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)

* y / > 0 thì hàm số tăng ; y / < 0 thì hàm số giảm

+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng

Định lý 2 (dùng để tìm giá trị m):

a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f / (x)  0  x  (a;b)

b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f / (x)  0  x  (a;b).

Bài t ậ p áp d ụ ng

 Xét đồng biến, nghịch biến các hàm số

3 2

3

x

a y x  x b y x)  4 2x23

3 2

1

x x

c y   x

3 2

2

3

x

d y x  x 4 2

e yx  x  2

f y x  x  Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

)

1

x x

a y

x

 



 ) 2 3 1

2

b y

x





5 )

x

c y

x





 ) 3 1 1

2

d y x

x

  

 3

)

2 1

x

e y

x





 ) 5 5

3

f y x

x

 



II TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Bài tốn 2: Cực trị hàm số

 Dấu hiệu I :

+ MXĐ D=?

+ Đạo hàm : y / = ?

cho y / = 0 ( nếu cĩ ) xét dấu y /

+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y / = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)

+ Tính y CĐ ; y CT ; kết luận cực trị ?

Chú ý:

1) Nếu hàm số luơn tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên (a;b).

2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y / = 0.

Trường THPT Nguyễn Khuyến gv: Nguyễn Tuấn Dũng

3) x 0 là cực trị của hàm số 

/ ( 0) 0 /

( )









y x

y x

 Dấu hiệu II:

+ MXĐ

+ Đạo hàm: y / = ? y // = ?

cho y / = 0 ( nếu có ) => x 1 , x 2 …

+ Tính y // (x 1 ); y // (x 2 )…….

Nếu y // (x 0 ) > 0 thì hàm số đạt CT tại x 0 , y CT = ?

Nếu y // (x 0 ) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x 0 , y CĐ = ?

 Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x o :

+ x o là điểm cực trị

/ 0 / / 0

( ) 0 ( ) 0

f x

f x

 





+ x o là điểm cực đại <=>

/ 0 / / 0

( ) 0 ( ) 0

f x

f x







+ x o là điểm cực tiểu <=>

/ 0 / / 0

( ) 0 ( ) 0

f x

f x







 Hàm số đạt cực trị bằng y 0 tại x 0

Hàm số đạt cực trị bằng y 0 tại x 0 khi















 0 ) (

) (

0 ) (

0 //

0 0 0 /

x f

y x f

x f

Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y / khó xét dấu (như hàm lượng

giác,mũ,logarit,luỹ thừa,… )

* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:

y = phần dư của phép chia f(x) cho f / (x).

Dạng 2: Cực trị của hàm hữu tỉ :

Cho h/s y = u

v u(x) ; v(x) là các đa thức có MXĐ: D

Và y / = u v v u2

v

  

=g(x)2

v dấu của y / là dấu của g(x) Nếu hàm số đạt cực tri tại x 0 thì y / (x 0 )= 0 => g(x 0 ) = 0 <=> u / vv / u = 0

=> u u





 Do đó giá trị cực trị y(x 0 ) = u (x )0

v (x )0





Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp

- Để hàm số yf x  có 2 cực trị '  0 ó nghiêm 0

0

a

 



- Để hàm số yf x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung

CD CT

y y

đổi dấu qua x0

- Để hàm số yf x cĩ hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung

CD CT

x x

- Để hàm số yf x cĩ hai cực trị nằm trên trục hồnh

0

CD CT

CD CT

y y



 





- Để hàm số yf x cĩ hai cực trị nằm dưới trục hồnh

0

CD CT

CD CT

y y



 





- Để hàm số yf x cĩ cực trị tiếp xúc với trục hồnh

CD CT

y y

Bài t ậ p áp d ụ ng

 Tìm cực trị của hàm số (dấu hiệu I)

1 3 2

3

a y x  x  x 1 4 2 5

)

b y x x  e y) 3x 10 x2

) 2 2

3

x x

c y

x

 





4

1

d y x

x

  

 f y) x2 4 x2

 Định m để hàm số:

a y x)  3 3mx23m21x m Đạt cực trị tại x = 2

b y x)  3m1x2 mx5 Đạt cực tiểu tại x = 1

c y) x2 mx 1

x m



 Đạt cực đại tại x = 2

 Tìm a,b để hàm số :

a y x)  3ax2bx1 Đạt cực trị bằng 1 khi x = 2

4

x

b y ax b Đạt cực tiểu bằng 2 khi x = 1

 Cho hàm số y = (m là tham số)

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m hàm số cĩ cực đại, cực tiểu

b) Tìm giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại x = 2

c) Tìm giá trị của m để hàm số cĩ giá trị cực tiểu là 3

 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m Với giá trị nào của m thì hàm số cĩ cực đại cực tiểu sao cho

yCĐ và yCT trái dấu

 Cho hàm số y =

a) Xác định m để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu

b) Xác định m để yCĐ và yCT cùng dấu

 Tìm m để hàm số y = cĩ các điểm CĐ – CT nằm về 2 phía đối với trục tung

Trường THPT Nguyễn Khuyến gv: Nguyễn Tuấn Dũng

* Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3 Xác định m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm

số đối xứng nhau qua đường thẳng y = x

III TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Bài tốn 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

1 Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s y = f(x) trên [a;b]:

 xét hàm số y = f(x)=… trên [a;b]

 Đạo hàm : y / = ?

cho y / = 0 ( nếu cĩ ) _ x 1 , x 2 … chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]

 Tính f(x 1 ) ; f(x 2 ) ……… So sánh  KL

f(a) ; f(b)

 Kết luận: max y[a;b]  ? min y[a;b] ?

2 P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MX Đ :

 Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ

 Đạo hàm : y / = ?

cho y / = 0 ( nếu cĩ ) xét dấu y /

 Lập BBT:

 Từ BBT kết luận

* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT min y[a;b] yct

* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ max y[a;b]  y CĐ

Chú ý : Khi gặp h/s khơng cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của hàm số đĩ :

 Nếu TXĐ là một đoạn [a;b] hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1

 Nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2

 Đơi khi: Đặt ẩn phụ t=u(x) Biến bài tốn tìm GTLN,NN của hàm số y = f(x) trên một khoảng nào đĩ thành bài tốn tìm GTLN,NN của hàm số y = g(t) trên 1 đoạn khác

Bài t ậ p áp d ụ ng

 Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất các hàm số sau

a y) 4x3 3x4  

2

1

2

x

x





c y x)  4 6x28x1 ) 4 4 ; 1

1

x

  Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất các hàm số sau

a y x)  4 3x3 2x29 ;x x   2, 2 

b y x)  2 3x2 trên đoạn 0;10

c y) 3x 10 x2

d y) x2 4 x2

IV TÌM CÁC TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ

Bài tốn 4 : Cách xác định tiệm cận :

 Tiệm cận đứng : lim f (x)

x x0





 => x = x 0 là tiệm cận đứng Chú ý : tìm x 0 là những điểm hàm số không xác định

 Tiệm cận ngang : lim f (x) y0

x



  => y = y 0 là tiệm cận ngang Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử  bậc mẫu thì có tiệm cận ngang

 Tiệm cận xiên (ban cơ bản khơng cĩ phần này):

Cách 1: + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b +  (x)

limx  [f(x) –(ax + b)] = lim (x)

x



  = 0  y = ax + b là tiệm cận xiên Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ; a lim f (x)

x x



  ; b lim f (x) ax

x

 

 y = ax + b là tiệm cận xiên

Bài t ậ p áp d ụ ng

 Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:

) 2 1

1

x

a y

x







3 )

2 1

x

b y

x





 ) 7

1

x

c y

x





2

x

d y

x



 ) 5

2

e y

x





4

f y

x





V KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài tốn 5: Khảo sát hàm số

SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1.Tìm tập xác định: D=…

2 Tính đạo hàm: y’= cho y’=0 và tìm nghiệm

3.Tính giới hạn:

lim lim

o

x x x



 

  với x o là nghiệm mẫu

4.Tìm phương trình tiệm cận (nếu cĩ)

5.Lập bảng biến thiên

6.Chỉ ra khoảng đồng biến,nghịch biến

7.Chỉ rõ điểm CỰC ĐẠI,CỰC TIỂU

8.Xét tính lồi lõm và điểm uốn (Đối với hàm số bậc 3 và hàm trùng phương)

Tính y’’ cho y’’=0 tìm nghiệm và lập bảng xét dấu y’’

9.Nhận xét về đồ thị:

 Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng của đồ thị)

 Chỉ rõ giao điểm của (C) với trục Oy và Ox

 Cho thêm điểm đặt biệt để vẽ

10 Vẽ đồ thị.

1.Hàm số bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a  0 )

+ TXĐ : D = R

Trường THPT Nguyễn Khuyến gv: Nguyễn Tuấn Dũng

+ Đạo hàm: y / = 3ax 2 + 2bx + c với  / = b 2  3ac

y / cùng dấu với hệ số a

KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?)

y / = 0 có hai nghiệm x 1 ; x 2

KL: hàm số tăng? Giảm?

Hàm số không có cực trị  Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu?

+ Giới hạn:  lim (ax3 bx2 cx d)

x     = 















) 0 (

) 0 (

a a

 lim (ax3 bx2 cx d)

x     = 















) 0 (

) 0 (

a a

+ Bảng biến thiên:

x  + x  x 1 x 2 +

y / + y / + 0  0 +

y +

- y CĐ +

- CT x  +

 x  x 1 x 2 +

 y /  y /  0 + 0 

y +



y + CĐ

CT 



Chú ý : dù y / = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng + Vẽ đồ thị :  xác đinh Cực trị ?  ; điểm đặc biệt a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT Bài t ậ p áp d ụ ng

 Khảo sát , vẽ đồ thị các hàm số sau:

a y x)  3 3x23x 2 b y) x3 2x1 c y x)  3 3x1

a > 0

a < 0

Điểm uốn I( 3b a ;f( 3b a

3 2

4

e y x  x f y x)  3 6x29x 4

g y) x3x2 x1 h y) 2x3 3x21 1 3 2

3

i y x  x  x

j y) 3x2 2x3

2 Hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c ( a  0 )

+ TXĐ : D = R

+ Đạo hàm: y / = 4ax 3 + 2b.x =2x.(2a x 2 + b)

y / = 0  x = 0

KL: tăng? Giảm?

y / = 0  2x (2ax 2 + b) = 0  x= 0; x 1,2 =

a

b

2



KL: tăng? Giảm?

Giá trị cực trị : y(0) = c

có một cực trị  Giá trị cực trị: y(0)= c ; y( a

b

2

Có 3 cực trị + Giới hạn : lim (ax4 bx2 c)

x    = 















) 0 ( ) 0 (

a a

+ Bảng biến thiên :

x  0 +



x  x 1 0 x 2 +

y /  0 + y /  0 + 0  0 +

y

+ +



y + CĐ +



CT CT

x  0 + x  x 1 0 x 2 +

y / + 0  y / + 0  0 + 0 

y

 



y

CĐ CĐ

- CT -

+ Vẽ đồ thị :  cực đại , cực tiểu ;  y = 0 > x= ? giải pt trùng phương

a> 0

b <0

a< 0 b>0

a> 0

b <0

a > 0

CT

Trường THPT Nguyễn Khuyến gv: Nguyễn Tuấn Dũng

Bài t ậ p áp d ụ ng

 Khảo sát , vẽ đồ thị các hàm số sau: a y x)  4 x2 3 b y) 2x2 x4 e y x)  4x2 2 1 4 2 ) 2 1 4 g y x  x  1 4 2 3 ) 2 2 c y x  x  d y x)  4 4x21 f y)  x4 2x23 3.Hàm phân thức : y = cx ax d b   ( c  0; ad  bc  0 ) + TXĐ : D = R\     c d + Đạo hàm : y / = (cx d) 2 bc ad   adbc < 0 adbc > 0 y / < 0  x D y / > 0  x D Hàm số không có cực trị Hàm số nghịch biến trên D Hàm số đồng biến trên D + Tiệm cận:  x = d c là tiệm cận đứng vì lim x d c ax b cx d           =   y = c a là tiệm cận ngang vì lim x ax b cx d     = a c +Bảng biến thiên : x  d/c + x  d/c +

y /    y / +  +

y a/c +



a/c y + a/c a/c 

+ Vẽ đồ thị :  Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt  Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao điểm hai tiệm cận

Bài t ậ p áp d ụ ng

y= a/c

y= a/c

 Khảo sát , vẽ đồ thị các hàm số sau:

4

)

4

a y

x



1

x

b y x



1

x

c y x





x

d y

x





1 2

x

e y

x





1

x

f y x







)

1

x

g y

x





 ; ) 2 1

2

x

h y x





 ; ) 2 4

3

x

i y x





 ; ) 2 1

4 2

x

j y

x





2

k y x



 ; )

2

x

l y x





m y

x



x

n y

x







VI BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO ĐỒ THỊ

Bài toán 6: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :

Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0

 Biến đổi phương trình F(x; m) = 0 về dạng f(x) = g(x) Trong đó đồ thị hàm số y = f(x) đã vẽ và y=g(x) là 1 đường thẳng song song với Ox

Chú ý: Ở mức độ khĩ hơn thì đồ thị y=g(x) // với đường thẳng cố định hoặc quay quanh 1 điểm cố định)

 Vẽ đồ thị:y = g(x) ; đồ thị (C): y =f(x)

 Dựa vào đồ thị xét sự tương giao của đồ thị (C) với đồ thị y = g(x)

Bài t ậ p áp d ụ ng

 Cho hàm số: y x 3 3x2 có đồ thị là (C)

a) Khảo sất hàm số

b) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phưong trình:

3

x  x m   Cho hàm số: 3 2

yx  x  có đồ thị là (C) : a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phưong trình : x3 3x2m0  cho hàm số: y x 4 x2

a) Khảo sát vã vẽ đồ thị hàm số

b) Biện luân bằng đồ thị số nghiệm của phương trình: 4 2

1 0

x  x  m  VII PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

Bài toán 7: Phương trình tiếp tuyến :

Yêu Cầu Viết PTTT của (C): y=f(x) biết

1 Tiếp tuyến tại M(x 0 ; f(x 0 ))

 TT có phương trình là : y - f(x 0 )= f / (x 0 )(x x 0 )

 Từ x 0 tính f(x 0 ) ; Đạo hàm : y / = f / (x) => f / (x 0 ) = ?

 P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f / (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 )

2 Tiếp tuyến có hệ số góc k :

Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a

tiếp tuyến  đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k =  a1

 Giả sử M(x 0 ; f(x 0 )) là tiếp điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f / (x 0 ).

 Giải phương trình f / (x 0 ) = k => x 0 = ? > f(x 0 ) = ?

 Phương trình tiếp tuyến y = k (x  x 0 ) + f(x 0 )