Sang kien kinh nghiem hay

Do vai trß to lín cña to¸n häc trong ®êi sèng vµ khoa häc kü thuËt hiÖn ®¹i, nªn kiÕn thøc vµ ph¬ng ph¸p to¸n häc lµ c«ng cô thiÕt yÕu gióp häc sinh häc tËp tèt c¸c bé m«n khoa häc kh¸c,[r]

Phần I : Mở đầu I/ Lý do chọn đề tài.

1/ Cơ sở lý luận :

- Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính trừu tợng cao, tính logíc

đồng thời môn toán còn là bộ môn công cụ hổ trợ cho các môn học khác Do vai trò to lớn của toán học trong đời sống và khoa học kỹ thuật hiện đại, nên kiến thức và phơng pháp toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tập tốt các bộ môn khoa học khác, giúp học sinộchạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực của đời sống Đặc biệt là rèn luyện của học sinh khá, giỏi nâng cao đợc năng lực t duy, tính độc lập, sáng tạo linh hoạt trong cách tìm lời giải bài tập toán, việc bồi dỡng học sinh khá giỏi không

đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả năng sáng tạo, sự tìm tòi nhiều lời giải hay cho một bài toán - Qua các năm công tác giảng dạy ở trờng tôi nhận thấy việc học toán nói chung và bồi dỡng học sinh khá giỏi toán nói riêng, muốn học sinh rèn luyện đợc t duy sáng tạo trong việc học và giải toán thì bản thân mỗi ngời thầy cần phải có nhiều phơng pháp và nhiều cách giải nhất Đặc biệt qua những năm giảng dạy thực tế ở trờng việc có đợc học sinh giỏi của môn Toán

là một điều rất hiếm và khó, tuy nhiên có nhiều nguyên nhân có cả khách quan và chủ quan Song đòi hỏi ngời thầy cần phải tìm tòi nghiên cứu tìm ra nhiều phơng pháp và cách giải qua một bài Toán để từ đó rèn luyện cho học sinh năng lực hoạt động t duy sáng tạo Vì vậy tôi tâm huyết chọn sáng kiến kinh nghiệm này: "Hớng dẫn học sinh phơng pháp tìm lời giải các bài toán"

Với mục đích thứ nhất là rèn luyện khả năng sáng tạo Toán học, trớc mỗi bài tập tôi đã cho học sinh tìm nhiều cách giải, đồng thời ngời thầy giáo, cô giáo cũng phải gợi ý và cung cấp cho học sinh nhiều cách giải Trên cơ sở đó học sinh tự tìm ra cách giải hợp lý nhất Phát hiện ra đợc cách giải tơng tự và khái quát phơng pháp đờng lối chung Trên cơ sở đó với mỗi bài toán cụ thể các em có thể khái quát hoá thành bài Toán tổng quát và xây dựng các bài Toán tơng tự

Điều mong muốn thứ hai đó là mong muốn thay đổi phơng pháp bồi dỡng cho học sinh khá giỏi từ trớc đến nay Xây dựng một phơng pháp mới đó là rèn luyện khả năng sáng tạo Toán cho học sinh sao cho mọi lúc, mọi nơi các em có thể tự phát huy năng lực độc lập sáng tạo của mình

Thông qua bộ môn toán học phát triển cho học sinh các năng lực và phẩm chất trí tuệ, góp phần tích cực vào việc giáo dục cho học sinh t tởng đạo đức XHCN, thế giới quan và nhân sinh quan khoa học Do vậy thông qua việc hớng dẫn học sinh

ph-ơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán phần nào cũng đáp ứng đợc những vấn đề trên

2/ Cơ sở thực tiễn:

Trong những năm gần đây việc dạy Toán theo phơng pháp cũ không còn phù hợp với học bởi lẽ:

- Học sinh THCS vào học đúng độ tuổi quy định, thích ham chơi, ít có khả năng

tự kiềm chế mình trớc những hoạt động hấp dẫn, trong lớp còn đùa nghịch, làm việc riêng … ời suy nghĩ, tiếp thu thụ động l

- Phía thày: Lo thuyết trình các bài giảng, ít làm cho học sinh động não suy nghĩ Trong các giờ luyện tập phần lớn là thày chữa các bài tập ra về nhà cho học sinh Chính vì lẽ đó học sinh hay ỷ lại cho thày, lời suy nghĩ Do vậy đứng trớc một bài toán

cụ thể không định hớng đợc phơng pháp giải đi từ đâu đến đâu, không biết vận dụng các quy luật của toán học vào tong trờng hợp cụ thể

Chúng ta thấy dù có kỹ thuật giải cao, có thành thục thực hiện các thao tác và các phép toán nhng khi cha có phơng hớng tốt thì không có lời giải hoặc lời giải tồi

Bởi vậy xuất phát từ cơ sở lý luận và thực tiễn trên trong khuôn khổ bài viết này tôix in đợc đề cập tới vấn đề hớng dẫn học sinh phơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán

II/ Nhiệm vụ.

Hớng dẫn học sinh tìm tòi lới giải các bài toán, cụ thể là:

- Tìm hiểu về vấn đề dạy toán

- Nội dung của phơng pháp tìm tòi lời giải bài toán

- Hớng dẫn học sinh một số phơng pháp tìm tòi lời giải bài toán

- Một vài kết luận

III/ Đối t ợng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu.

1/ Đối tợng:

- Học sinh:

+ Học sinh giỏi cấp THCS

+ Học sinh đại trà cấp THCS

- Các thày giáo, cô giáo có nhiều kinh nghiệm

2/ Phạm vi nghiên cứu:

- Kiến thức toán THCS

- Học sinh các lớp đồng đội của trờng THCS Thị Trấn Cao Thợng

- Thày giáo đang giảng dạy tại trờng THCS Thị Trấn

IV/ Ph ơng pháp nghiên cứu.

- Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm, phơng pháp điều tra qua học sinh và qua giáo viên

- Phơng pháp quan sát: (Dự giờ, dự chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi)

- Nghiên cứu tài liệu, đọc sách tham khảo, sách giáo khoa

Phần II: Nội dung.

I/ Quan niệm về vấn đề dạy giải toán.

Việc giảng dạy các bài toán cho học sinh bao gồm hai bớc:

- Tìm tòi, suy nghĩ lời giải bài toán

- Giải bài toán

Trong quá trình giảng dạy hai nội dung trên có khi tiến hành đồng thời nhng cũng có khi tách thành hai quá trình Tuy về mặt nhận thức cần phân biệt hai nội dung trên là hoàn toàn khác nhau (mặc dù có quan hệ hỗ trợ lẫn nhau) Mỗi nội dung đảm bảo yêu cầu riêng biệt trong công việc rèn luyện học sinh giải toán, ngời thày dạy toán cũng nh trò học toán cần nhận thức rõ ý nghĩ và tác dụng của mỗi nội dung và mối quan hệ giữa hai nội dung đó

Ta hãy nói đến vấn đề giải bài toán khi đã có đờng lối giải, vấn đề này tất nhiên

là quan trọng trong việc rèn luyện học snh giải toán Phải làm cho học sinh thấy rõ từ chỗ tìm đợc phơng hớng giải bài toán đến việc giải hoàn chỉnh bài toán đó là cả một quá trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu: Từ việc nắm vững kiến thức cơ bản về nội dung lý thuyết và phơng pháp thực hành đến việc luyện tập để thành thạo các quy trình và thao tác có tính chất kỹ thuật Điều này đòi hỏi đức tính nghiêm túc và kiên nhẫn của ngời dạy toán và học toán, đây là mặt yếu của học sinh hiện nay

Mặt khác nh ta đã biết kết quả của một bài toán trớc hết phải biểu hiện ở một lời giải đúng Nh vậy có nghĩa là bài toán không hoàn chỉnh nếu quá trình giải vụng

về, có sai sót Và ngời làm toán phải hiểu rằng, làm một bài toán là phải hoàn thành trọn vẹn các khâu, chứ không phải vạch ra phơng hớng mà thôi Lại có những bài toán, đờng lối giải không phải là cái khó chủ yếu, có khi còn rõ ràng (do nội dung lý thuyết đã chỉ rõ) mà cái khó chủ yếu thuộc về kỹ thuật giải Do vậy đòi hỏi ngời làm toán cần không ít sáng tạo

Nhng dù sao vẫn phải xem việc rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải là thứ yếu trong toàn bộ công việc giải toán vì lẽ sau:

- Dù kỹ thuật cao, có thành thạo trong việc thực hiện các thao tác và các phép tính nhng khi cha có phơng hớng hoặc cha có phơng hớng tốt thì cha có lời giải hoặc lời giải cha tốt

- Mặt khác phải nên lao động tuy khâu thực hiện các thao tác khi đã có phơng h-ớng là lao động tính chất kỹ thuật, không thể có những sáng tạo lớn nh lao động để tìm tòi phơng hớng giải

- Ngoài ra, khâu tìm tòi lời giải các bài toán chính là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả năng làm việc độc lập và sáng tạo

Những điều nêu ra ở trên (dù sơ bộ) cũng đủ để chứng tỏ tính chất quyết định của khâu rèn luyện phơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán trong quá trình giải toán cũng

nh rèn luyện khả năng t duy cho học sinh

II/ Nội dung của ph ơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán.

Bằng thực nghiệm nhiều năm trên nhiều đối tợng học sinh khác nhau và đợc kiểm nghiệm qua quá trình giảng dạy của bản thân, sau khi đúc kết lại tôi xin nêu ra dới đây các mặt của phơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán đó là

1/ Trớc hết, với mỗi bài toán công việc của ngời làm toán phải cần đặt ra là: Phải làm sao từ chất liệu của bài toán đã cho bao gồm giả thiết, các điều kiện trong bài (kể cả yêu cầu mà bài toán đòi hỏi) cần xác định đợc:

- Thể loại toán

- Vạch đợc phơng hớng giải toán

- Tìm đợc phơng pháp và công cụ thích hợp

2/ Hơn thế nữa, ngời làm toán cần đạt đợc yêu cầu cao hơn đó là: Phân tích đợc nguồn gốc hình thành các giả thiết, các điều kiện đã cho trong giải toán và có khi cả giả thiết kết quả bài toán nữa Phải phát hiện cho đợc mối liên hệ có tính tất yếu (mang tính quy luật) giữa giả thiết và kết luận, giữa những điều đã cho và những điều mà bài toán

đòi hỏi

3/ Từ các kết quả trên ngời làm toán cần đặt ra một vấn đề nữa là tìm mọi cách để sáng tạo các bài toán mới

4/ Cuối cùng, ngời làm toán phải vơn tới việc đoán nhận quá trình hình thành bài toán của tác giả

* Mối quan hệ giữa các mặt của nội dung:

Mặt thứ nhất là một yêu cầu quan trọng và quyết định trong sự thành hoặc bại, hay hoặc dở của một lời giải bài toán Năng lực làm toán và học toán của ngời học sinh cũng bộc lộ rõ rệt trong mặt này Phần lớn học sinh có thói quen không tốt là hễ

có bài toán thì cứ ghi ghi chép chép và nháp lia lịa mặc dù cha biết mình đang giải quyết gì? Và những con tính của mình phục vụ yêu cầu nào Mặt này là thớc đo năng lực học toán của học sinh vì rằng không thể đánh giá một học sinh học toán tốt chỉ thể hiện ở khâu tiếp thu và vận dụng tốt Bỏ qua mặt này mà một bài toán giải đợc thì hoặc là bài toán quá dễ do đờng lối giải rõ ràng hoặc là do kết quả ngẫu nhiên của một quá trình mò mẫm

Mặt thứ hai nhằm rèn khả năng đi sâu vào một bài toán Việc phân tích giả thiết, các điều kiện của bài toán và kết quả của nó giúp cho học sinh thấy rõ quá trình xảy ra có tính chất quy luật của mọi bài toán Nói cụ thể là học sinh biết đợc tính tất yếu kết quả giải diễn ra nh thế nào? Và để có kết quả nh thế thì cần đòi hỏi các giả thiết, các điều kiện nh thế nào? Điều kiện này, biểu thức nọ có mặt trong bài toán giải

đợc hình thành trong quá trình nào?

Làm quen mặt này, ngời làm toán có đủ lòng tin vào đờng lối của mình đã tiến hành và hy vọng ở tính đúng đắn của mọi thao tác đến nó, cũng là cơ sở vững chắc để cho ngời làm toán có điều kiện đoán nhận các kết quả phải xảy ra để rồi bằng mọi cách để chứng minh và kiểm nghiệm tính đúng đắn của sự đoán nhận đó Làm tốt mặt này cũng gây ích cho ngời làm toán sáng tạo bài toán mới và cũng đoán nhận quá trình hình thành bài toán của tác giả

Khi tìm cách sáng tạo bài toán mới, trớc hết ngời làm toán phải phân tích kỹ để nắm đợc đặc điểm và bản chất của bài toán Các yếu tố cấu tạo lên bài toán đó Nh vậy mới có thể thấy đợc mối quan hệ giữa các bài toán trong cùng một loại và giữa các loại bài toán khác nhau Làm tốt mặt này một lần nữa ngời làm toán làm tốt mặt thứ hai ở trên, từ đó ngời làm toán không những nắm đợc bài toán dới dạng riêng lẻ

mà còn nắm đợc bài toán dới dạng tổng quát Và cũng làm tốt mặt này ngời làm toán mau làm quen với việc nhận dạng các bài toán cũng nh phân loại các bài toán

Cuối cùng việc đoán nhận đợc quá trình hình thành các bài toán của tác giả thì ngời làm toán sẽ hiểu biết và khắc sâu sắc về bài toán đó, qua đó cũng giúp học sinh sáng tạo ra các bài toán mới

Bốn mặt trên có yêu cầu khác nhau, nhng nó có quan hệ hỗ trợ lẫn nhau một cách đắc lực Vì thế phải hớng dẫn học sinh tìm tòi lời giải bài toán

III/ Các ph ơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán.

Nội dung phần này xin trình bày một số phơng pháp thông dụng và chủ yếu để tìm lời giải các bài toán, đồng thời với việc giới thiệu các phơng pháp, phân tích các khía cạnh của việc vận dụng các phơng pháp đó là việc trình bày các ví dụ minh hoạ

mà lời giải của chúng là sự thực hiện của việc vận dụng các phơng pháp đó

A/ Phơng pháp 1:

Khai thác triệt để giả thiết của bài toán để vạch ra phơng hớng giải Công việc này bao gồm những mặt sau đây:

1/ Nghiên cứu cácc đặc điểm về dạng của bài toán

Các đặc điểm về dạng của bài toán là phần hình thức của bài toán đó, tuân theo quy luật của phép biện chứng duy vật là sự thống nhất giữa nội dung và hình thức thì việc nghiên cứu phần hình thức của bài toán thực chất là khám phá các đặc điểm trong

nội dung của bài toán Chính vì thế, nhiều bài toán có lời giải hay là nhờ vào việc khai thác đúng các đặc điểm về dạng toán đó

2/ Nghiên cứu các điều kiện đặt ra cho các đại lợng tham gia trong bài toán, các biểu thức đợc đa trong bài toán và các hàm số có mặt trong bài toán đó để xác định ph ơng hớng giải các NT đó

Các đại lợng tham gia trong các bài toán đại số, số học, các yếu tố tạo nên hình trong các bài toán hình học Các điều kiện đặt ra cho các đại lợng đó không thể là ngẫu nhiên tuỳ tiện mà là sự biểu hiện những mối liên hệ nào đó giữa các yếu tố tạo nên bài toán Khai thác đúng hớng các điều kiện đó có thể dẫn tới lời giải các bài toán

ở một số bài toán, có nhiều biểu thức nào đó đợc tác giả các bài toán đa vào kèm với một số điều kiện Suy nghĩ cho cùng các biểu thức cũng nh các điều kiện đi kèm theo phải đợc tạo nên trong quá trình hình thành bài toán Khai thác triệt để ý nghĩa các biểu thức và các điều kiện kèm theo đó chắc chắn sẽ xác định đợc các yếu

tố phơng hớng bài toán Dới đây là các bài toán minh hoạ

Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức.

A = (1 ,2345)4+ (0 , 7655)4−(1 , 2345)3 (0 , 7655)2−(1, 2345)2 (0 , 7655)3+4 , 938 3 , 062

* Tìm tòi lời giải và giải:

Tham gia trong biểu thức A là các số thập phân sau:

1 ,2345 ;0 , 7655 ;4 , 938 ;3 , 062.

Để ý rằng:

1,2345 + 0,7655 = 2 1,2345 x 4 = 4,938 0,7655 x 4 = 3,602 Những kết quả trên chính là đặc điểm về dạng của bài toán đã cho Khi đó nếu

đặt a = 1,2345; b = 0,7655 thì ta có:

a + b =2; 4a = 4,938; 4b = 3,062

Và A = a4 + b4 – a3 b2 – a2 b3 + 16 ab

= a4 + b4 - a2 b2 (a + b) + 16 ab

= a4 + b4 - 2 a2 b2 + 16 ab

= (a2 - b2)2 + 16 ab

= (a + b)2 (a - b)2 + 16 ab

= 4[(a - b)2 + 4 ab] (do a + b = 2)

= 4(a + b)2 = 16 Vậy A = 16

Bài toán 2: Rút gọn biểu thức.

B = (1 4

+ 1

4)⋅(3 4

+ 1

4)⋅(5 4

+ 1

4)⋅⋅(19 4

+ 1

4) (24+ 1

4)⋅(44+ 1

4)⋅(64+ 1

4)⋅⋅(204+ 1

4)

* Nhận xét và lời giải:

Các thừa số ở tử và mẫu đều có dạng a4+ 1

4 và có thể xem B là tích của các

phân số có dạng:

a4

+ 1 4

(a+1)4+ 1

4

với a = 1, 3, 5, …, 19

Ta nghĩ đến việc biến đổi biểu thức a4

+ 1

4 thành tích để hy vọng có thể rút gọn các

biểu thức giống nhau ở t số và mẫu số

Ta có:

a2+ 1

2¿

2

−a2=(a2+ 1

2+a)(a

2

+ 1

2− a)

a4+ 1

4=¿

Lại để ý rằng:

a+1¿2−(a+1)+1

2

a2+a+1

2=¿

(*)

Khi đó

a4

+ 1

4

(a+1)4+ 1

4

= (a2− a+1

2) [(a+1)2−(a+1)+1

2] [( a+1)2− (a+1)+1

2]⋅[(a+1)2+(a+1)+1

2]=

a2−a+1

2

(a+ 1)2+(a+1)+1

2

áp dụng công thức trên với a lần lợt bằng 1, 3, 5, …, 19 ta có

B =

1 2−1+1

2

2 2

+ 2+1

2

⋅

3 2−3+1

2

4 2

+ 4+1 2

⋅

5 2−5+1

2

6 2 +6+1

2

⋅⋅

19 2− 19+1

2

20 2 +20+1

2

Sử dụng công thức (*) ta thấy mẫu số của phân số đứng trớc bằng tử số của phân sốp

đứng sau nên có thể giản ớc cho nhau, do đó:

B =

1 2−1+1

2

20 2

+ 20+1

2

= 1

841 .

Bài toán 3: Cho  ABC có AB = a, CA = b, AB = c Gọi đờng cao hạ từ các

đỉnh A, B, C xuống các cạnh BC, CA, AB tơng ứng là ha, hb, hc Gọi O là một điểm bất

kỳ trong  ABC khoảng cách từ O đến ba cạnh BC, CA, AB lần lợt là x, y, z Tính tỉ

số: M = x

h a+

y

h b+

z

h c .

* Nhận xét và lời giải:

Để tính tỉ số x

h a ta nghĩ đến việc xem x và ha

là các đờng cao tơng ứng của hai tam giác

có chung cạnh đáy BC đó là  BOC và  BAC

Ta có:

SBOC

SABC=

x

h a ;

SCOA

SABC=

y

h b ;

SAOB

SABC=

z

h c

Cộng từng vế các tỉ số và để ý rằng

SBOC+SCOA+SAOB=SABC

ta đợc M = x

h a+

y

h b+

z

h c = 1.

Bài toán 4: Cho tứ giác ABCD mà AD = BC, đờng thẳng đi qua trung điểm M,

N của hai cạnh AB và CD cắt AD và BC kéo dài tại E và F

Chứng minh rằng: AEM = MFB

* Tìm tòi lời giải và lời giải:

Gọi E1 = AEM ; F1 = MFB

Điều kiện đặt ra cho hai cạnh AD và BC làm ta

phải quan tâm Điều kiện đó có vẻ xa lạ với kết

luận E1 = F1 Qua M và N ta kẻ các đờng

thẳng lần lợt song song với AD và BC, chúng cắt nhau ở I

Trớc hết ta nhận thấy E1 = IMN và

F1 = INM nh vậy nếu E1 = F1 thì  MNI cân tại I

do đó IM = IN lại có IM // AD, IN // BC điều này làm ta nghĩ đến vai trò của điểm I

và điều mong muốn IM = IN có liên quan đến giả thiết AD = BC Nh vậy điểm I phải thoả mãn các tính chất IM = IN, IM // AD, IN // BC => I là trung điểm của BD

Ta có lời giải:

A

O

I

F E

N

M A

D

C B

Nối BD gọi I là trung điểm của BD, dễ chứng minh MI, NI lần lợt là đờng trung bình của các  ABD và  DBC do đó ta có IM = IN, IM // AD, IN // BC

Từ đó suy ra (đpcm)

Bài toán 5: Chứng minh rằng hàm số: y = f(x) = √x2+x +1+√x2− x +1 có giá trị nhỏ nhất bằng 2

Lời giải 1:

Theo hớng chuyển bài toán cực trị về bài toán chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh giá trị nhỏ nhất của f(x) = 2 khi x = 0 ta cần chứng minh f(x) 2 với mọi x và dấu “=” xảy ra khi x = 0

Hay √x2

+x +1+√x2− x +1 2 đẳng thức xảy ra khi x = 0

Dùng cách biến đổi tơng đơng dẫn đến bất đẳng thức đúng

Lời giải 2: (Sử dụng công cụ của bất đẳng thức) ta biến đổi y về dạng y = y1 + y2

trong đó y1 0 và y2 2 rồi chứng tỏ dấu đẳng thức xảy ra khi x = 0

Ta có: y = (√4 x2

+x +1 −√4 x2− x +1)2+ 2√4 x4

+x2 +1 Gọi y1 = (√4 x2+x +1 −√4 x2− x +1)2 và y2 = 24√x4

+x2

+ 1

Rõ ràng y1 0, y2 2 với mọi x và dấu đẳng thức xảy ra khi x = 0

Lời giải 3: (Sử dụng công cụ bất đẳng thức)

Sử dụng bất đẳng thức a+1

a ≥2 (a > 0) dấu “ = ” xảy ra khi a = 1.

Từ nhận xét: √x2

+x +1.√x2− x +1=√x4

+x2

+1≥ 1

ta có: √x2+x +1≥ 1

√x2− x +1 dấu “ = ” xảy ra khi x = 0

khi đó y √x2− x +1+ 1

√x2− x+1 ≥2 (do √x2− x +1 > 0)

Dấu “ = ” xảy ra khi x = 0 và x = 1

Phối hợp cả hai kết quả trên suy ra y 2 và y = 2 ⇔ x = 0

Lời giải 4: Do y là tổng của hai số dơng nên ta sử dụng bất đẳng thức Cô-si:

y 2 √4(x2

+x+1).(x2− x +1)=2√4x4

+x2 +1 ≥2 dấu “ = ” xảy ra khi x = 0

Lời giải 5: Ta chuyển bài toán đại số về bài toán hình học Nhận xét rằng vì y là tổng

của hai căn thức mà dới dấu căn là các tam thức bậc hai luôn luôn dơng với mọi x

Ta có x2+x +1=(x +1

2)2+ 3

4 còn x

2

− x +1=(x −1

2)2+ 3

4 do đó để ý đến công thức độ

dài đoạn thẳng nối hai điểm M(x, y) và N(a, b) là: √( x − a)2+( y − b)2 Ta nghĩ đến việc biểu diễn y thành tổng các độ dài của hai đoạn thẳng nào đó Muốn vậy ta viết lại biểu thức y dới dạng sau:

y = √ [x −(−1

2) ]2+(0 −√3

2 )2+√ (x −1

2)2+(0−√3

2 )2

rồi gọi M, A, B là các điểm của mặt phẳng toạ độ với M(x, 0), A( −1

2;√

3

2 ), B(

1

2;√

3

2 ) thì y = MA + MB

- Bài toán đại số đã cho đợc

chuyển thành bài toán hình học

và phát biểu nh sau:

“ Chứng minh rằng tổng

MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất

bằng 2 khi điểm M trùng với gốc toạ độ O ”

- Đây là bài toán quen thuộc học sinh đã biết cách giải

B/ Phơng pháp 2:

Phân tích và biến đổi kết quả (hay cũng là yêu cầu của bài toán) để tìm phơng pháp giải bài toán

Một bài toán đợc hình thành chính là sự tổng hợp kết quả của các phép biến đổi liên tiếp suy từ một chân lý đúng đắn này đến một chân lý đúng đắn khác Việc thực hiện các phép biến đổi theo hớng này chính là ta đã tìm đợc các phép biến đổi ngợc với các phép bởi khi tác giả hình thành bài toán đó Tất nhiên cách làm đó dẫn ta tới việc tìm ra đờng lối giải cũng bằng cách phân tích và biến đổi kết quả, ta tìm cách thay bài toán đã cho bởi bài toán mới là các bài toán tơng đơng hoặc bài toán điều kiện đủ Tất nhiên bài toán mới thu đợc chỉ đợc chấp nhận khi bài toán đó đơn giản hơn và giải đợc Dới đây là các bài minh hoạ

Bài toán 6:

Với điều kiện: ax + by + cz = 0 hãy đơn giản biểu thức sau

P = ax 2

+ by 2 +cz 2

ab ( x − y )2+bc ( y − z)2+ca (z − x )2

* Hớng dẫn và lời giải:

Tử số của biểu thức P là ax2 + by2 + cz2 đã thu gọn không biến đổi thêm đợc nữa Vì vậy ta nghĩ đến việc biến đổi mẫu số

Chú ý đến giả thuyết ax + by + cz = 0 và yêu cầu của bài toán, ta nghĩ tới việc biến đổi mẫu số thành dạng tổng các số hạng sao cho có chứa các đại lợng

ax2 + by2 + cz2 và ax + by + cz = 0 Gọi M là mẫu số ta biến đổi nh sau:

M = ab(x2− 2 xy+ y2)+ bc(y2−2 yz+z2)+ca(z2−2 zx +x2)

= ax2 (b + c) + by2 (c + a) + cz2 (a + b) - 2abxy - 2bcyz - 2cazx

O M A

A'

B