Sự hội tụ của các độ đo xác suất và ứng dụng

LỜI NÓI ĐẦUTrong lý thuyết độ đo, có rất nhiều khái niệm về sự hội tụ của các độ đoxác suất mà hội tụ yếu là một khái niệm quan trọng trong đó.. Hội tụ yếuhay còn gọi là hội tụ hẹp hoặc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG TRUNG HIẾU

SỰ HỘI TỤ CỦA CÁC ĐỘ ĐO XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG

HÀ NỘI−2014

Mục lục

Lời nói đầu 3

1 Mở đầu 5 1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản 5

1.2 Hội tụ yếu trên đường thẳng 17

2 Sự hội tụ yếu trong không gian Metric 19 2.1 Độ đo trên không gian Metric 19

2.1.1 Độ đo và tích phân 20

2.1.2 Tính chặt 21

2.2 Tính chất của hội tụ yếu 25

2.2.1 Định lý kết hợp 27

2.2.2 Tiêu chuẩn khác 29

2.2.3 Nguyên lý ánh xạ 33

2.2.4 Không gian tích 36

2.3 Sự hội tụ theo phân phối 38

2.3.1 Đại lượng ngẫu nhiên S-giá trị 38

2.3.2 Sự hội tụ theo phân phối 39

2.3.3 Sự hội tụ theo xác suất 41

2.3.4 Mối quan hệ giữa các loại hội tụ 43

2.3.5 Nguyên lý địa phương và nguyên lý tích phân 44

2.3.6 Qua giới hạn tích phân 46

2.3.7 Độ đo tương đối 48

2.4 Định lý Prohorov 53

2.4.1 Tính compact tương đối 53

2.4.2 Tính chặt 55

3 Sự hội tụ yếu trong không gian C và ứng dụng 62 3.1 Hội tụ yếu và tính chặt trong C 62

3.1.1 Tính chặt và tính compact trên C 63

3.1.2 Hàm ngẫu nhiên 67

3.2 Độ đo Wiener và định lý Donsker 69

3.2.1 Độ đo Wiener 69

3.2.2 Cấu trúc của độ đo Wiener 70

3.2.3 Định lý Donsker và ứng dụng 74

3.3 Hàm của các quỹ đạo chuyển động Brown 79

3.3.1 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 80

3.3.2 Luật Arcsin 83

3.3.3 Cầu Brown 87

3.4 Bất đẳng thức cực đại 90

3.4.1 Cực đại của các tổng riêng 90

3.4.2 Bất đẳng thức tổng quát hơn 94

Kết luận 98

Tài liệu tham khảo 99

LỜI NÓI ĐẦU

Trong lý thuyết độ đo, có rất nhiều khái niệm về sự hội tụ của các độ đoxác suất mà hội tụ yếu là một khái niệm quan trọng trong đó Hội tụ yếu(hay còn gọi là hội tụ hẹp hoặc yếu-hội tụ, đây là tên thích hợp hơn theoquan điểm giải tích hàm nhưng ít được sử dụng) là một trong các loại hội tụliên quan đến sự hội tụ của các độ đo

Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danhmục tài liệu tham khảo

Chương một là mở đầu Nêu một số khái niệm và tính chất bổ trợ chocác chương sau của luận văn Bên cạnh đó, chương một sẽ nhắc lại về sự hội

tụ yếu trên đường thẳng thực (tài liệu tham khảo [7])

Chương hai đề cập tới sự hội tụ yếu trong không gian Metric

Trong chương hai chúng ta sẽ tìm hiểu lý thuyết chung về khái niệm hội tụyếu trong không gian metric và xem xét nó khi ta hạn chế trong nhiều trườnghợp khác nhau Mở đầu bằng các khái niệm cơ bản về hội tụ yếu và các tínhchất của nó Từ đó ứng dụng vào trong việc xét sự hội tụ theo phân phối vàxác suất của các độ đo Cùng với đó là kết quả quan trọng liên quan tới một

họ các độ đo xác suất

Chương ba là sự hội tụ yếu trong không gian C và ứng dụng

Chương này quan tâm đến sự hội tụ yếu trong không gian C = C[0, 1] vớitôpô đều; C là không gian tất cả các hàm thực liên tục trên đoạn đóng [0, 1].Các ứng dụng sẽ được nêu ra trong chương này cho ta thấy lý do tại sao thậtthú vị và hữu ích khi phát triển lý thuyết chung về sự hội tụ của các độ đo(độ đo Wiener, chuyển động Brown)

Luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH ĐặngHùng Thắng Toàn thể ban lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ -Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên − Đại học Quốc Gia Hà nội đãgiúp tôi có thêm nhiều kiến thức để có thể hoàn thành luận văn và khóa họcmột cách tốt đẹp Các thầy cô phòng Sau Đại học đã tạo những điều kiệnthuận lợi giúp tôi hoàn thành các thủ tục bảo vệ luận văn cũng như học tập.Các thầy và các bạn trong seminar Toán xác suất về những góp ý để tôi cóthể hoàn thành luận văn này.

Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những sự giúp đỡ và đóng góp quý giáấy

Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và cácbạn

Hà Nội, tháng 10 năm 2014Hoàng Trung Hiếu

Chương 1

Mở đầu

Đầu tiên chúng ta nhắc lại một vài tính chất của không gian metric sẽđược sử dụng trong luận văn Sau đó, ta sẽ nhắc lại về sự hội tụ của độ đoxác suất trên đường thẳng

1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản

Ta đề cập một kết quả hữu ích được chứng minh đơn giản sau

Định lý 1.1.1 (M −test Weierstrass) Giả sử rằng limnxnk = xk với mỗi k

và |xnk| ≤ Mk, trong đó P

kMk < ∞ Khi đó P

kxk và tất cả các P

kxnkhội tụ và limnP

Chúng ta ký hiệu không gian metric là S và metric của nó là ρ(x, y); khônggian metric chính là cặp (S, ρ) Với các tập con A của S, ký hiệu A−, Ao và

∂A = A−− Ao lần lượt là bao đóng, phần trong và biên của A Khoảng cách

từ x tới A là ρ(x, A) = inf{ρ(x, y) : y ∈ A}; từ ρ(x, A) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, A) suy

ra ρ(·, A) liên tục đều Ký hiệu B(x, r) là r-hình cầu mở {y : ρ(x, y) < r};hình cầu sẽ có nghĩa là hình cầu mở và các hình cầu đóng ký hiệu là B(x, r)−

-lân cận của một tập A là tập mở A = {x : ρ(x, A) < }

So sánh các metric Giả sử ρ và ρ0 là hai metric trên cùng không gian

S Để nói rằng tô pô ρ0 là lớn hơn tô pô ρ là để nói các lớp tương ứng O và

O0 của các tập mở trong mối quan hệ

Điều này đúng nếu và chỉ nếu với mọi x và r, có một r0 sao cho B0(x, r0) ⊂B(x, r) và trong trường hợp này tô pô ρ0 cũng được nói là tốt hơn tô pô ρ.Coi ánh xạ đồng nhất i trên S như một ánh xạ từ (S, ρ0) vào (S, ρ) Khi đó

i là liên tục nếu và chỉ nếu G ∈ O kéo theo G = i−1G ∈ O0−nghĩa là nếu vàchỉ nếu (1.1) đúng Hơn nữa, i là liên tục theo nghĩa này nếu và chỉ nếu

ρ0(xn, x) → 0 kéo theo ρ(xn, x) → 0

Đây là cách khác để nói rằng tô pô ρ0 là "tốt hơn" tô pô ρ Metric ρ là rờirạc nếu ρ(x, y) = 1 với x 6= y; điều này đưa tới S tô pô tốt nhất có thể.Hai metric và tô pô tương ứng là tương đương nếu mỗi trong chúng là tốthơn cái kia: (S, ρ) và (S, ρ0) là đồng phôi Nếu ρ0 là tốt hơn ρ thì cả hai có thểtương đương; nói cách khác, "tốt hơn" không có nghĩa là "tốt hơn nghiêmngặt"

Tính khả ly Không gian S là khả ly nếu nó chứa một tập con trù mật,đếm được Một cơ sở cho S là một lớp các tập mở với tính chất: mỗi tập mở

là hợp của các tập trong lớp đó Một phủ mở của A là một lớp các tập mở

mà hợp của chúng chứa A

Định lý 1.1.2 Ba điều kiện sau là tương đương:

(i) S là khả ly

(ii) S có một cơ sở đếm được

(iii) Mỗi phủ mở của mỗi tập con của S có một phủ con đếm được

Chứng minh 1.(i) → (ii) Lấy D đếm được, trù mật và lấy V là lớp các hìnhcầu B(d, r) với d ∈ D và r hữu tỷ Lấy G mở, để chứng minh V là một cơ sở,chúng ta phải chỉ ra rằng nếu G1 là hợp của các phần tử của V mà bị chứatrong G thì G = G1 Thật vậy, ta đã có G1 ⊂ G và để chứng minh G ⊂ G1

ta lấy x ∈ D, d ∈ D và số hữu tỷ r sao cho x ∈ B(d, r) ⊂ G (Nếu x ∈ G thìB(x, ) ⊂ G với  nào đó.) Do D là trù mật nên có d ∈ D sao cho ρ(x, d) < /2.Lấy số hữu tỷ r thỏa mãn ρ(x, d) < r < /2 : x ∈ B(d, r) ⊂ B(x, )

2.(ii) → (iii) Lấy {V1, V2, } là một cơ sở đếm được và giả sử rằng {Gα}

là một phủ mở của A (α chạy trên một tập chỉ số tùy ý) Với mỗi Vk mà tồntại một Gα thỏa mãn Vk ⊂ Gα, lấy Gαk là tập nào đó trong Gα chứa nó.Khi đó, A ⊂ S

kGαk.3.(iii) → (i) Với mỗi n, {B(x, n−1) : x ∈ S} là một phủ mở của S

Nếu (iii) đúng thì có một phủ con {B(xnk, n−1) : k = 1, 2, } Tập đếmđược {xnk : n = 1, 2, } là trù mật trong S

Một tập con M của S là khả ly nếu có một tập đếm được D là trù mậttrong M (M ⊂ D−) Mặc dù D không nhất thiết là tập con của M , điều này

có thể dễ dàng được sắp xếp: Giả sử rằng {dk} trù mật trong M và lấy xkn làđiểm chung của B(dk, n−1) và M (nếu có) Lấy x trong M và  dương, chọn

n và dk để ρ(x, dk) < n−1 < /2 Do B(dk, n−1) chứa điểm x của M , nó chứa

xkn và ρ(x, xkn) <  Do đó, xkn tạo thành một tập con trù, mật đếm đượccủa M

Định lý 1.1.3 Giả sử tập con M của S là khả ly

(i) Có một lớp A đếm được của các tập mở với tính chất: nếu x ∈ G ∩ M

và G mở thì x ∈ A ⊂ A− ⊂ G với A nào đó trong A

(ii) Mỗi phủ mở của M có một phủ con đếm được (tính chất Lindel¨of ).Chứng minh 1.(i) Lấy D là tập con trù mật, đếm được của M và lấy Abao gồm các hình cầu B(d, r) với d ∈ D và r hữu tỷ Nếu x ∈ G ∩ M và G

mở, chọn  để B(x, ) ⊂ G, sau đó chọn d trong D sao cho ρ(x, d) < /2 vàcuối cùng chọn số hữu tỷ r: ρ(x, d) < r < /2 Suy ra rằng x ∈ B(d, r) ⊂B(d, r)− ⊂ B(x, ) ⊂ G

2.(ii) Lấy A = {A1, A2, } là lớp của phần (i) Cho một phủ mở {Gα}của M , với mỗi Ak chọn một Gαk chứa nó (nếu có) Thì M ⊂S

kGαk.Tính khả ly là một tính chất tô pô: Nếu ρ và ρ0 là hai metric tương đươngthì M là ρ-khả ly nếu và chỉ nếu nó là ρ0-khả ly

Tính đầy đủ Một dãy {xn} là cơ bản hoặc có tính chất Cauchy nếu

Tính đầy đủ không là một tính chất tô pô: S = [1, ∞) là đầy đủ theometric thông thường (ρ0(x, y) = |x − y|) nhưng không đầy đủ theo metrictương đương ρ(x, y) = |x−1 − y−1| Một không gian metric (S, ρ) là khônggian đủ tô pô nếu như trong ví dụ này có một metric tương đương để ρ theo

đó là đầy đủ

Cho một metric ρ trên S, xác định

Do φ(t) = 1 ∧ t là không giảm và thỏa mãn φ(s + t) ≤ φ(s) + φ(t) với s, t ≥ 0nên b là một metric (tương đương với ρ) Hơn nữa, do φ(t) ≤ t với t ≥ 0 vàφ(t) = t với 0 ≤ t ≤ 1 thì một dãy là b-cơ bản nếu và chỉ nếu nó là ρ-cơ bản;điều này cũng có nghĩa S là ρ-đầy đủ nếu và chỉ nếu nó là b-đầy đủ.

Tính compact Một tập A theo định nghĩa compact là nếu mỗi phủ mởcủa A có một phủ con hữu hạn Một -lưới cho A là một tập của các điểm{xk} với tính chất là với mỗi x trong A có một xk sao cho ρ(x, xk) < ; A làhoàn toàn bị chặn nếu với mỗi  dương, nó có một -lưới (các điểm của nó cóthể không nằm trong A)

Định lý 1.1.4 Ba điều kiện sau là tương đương:

Chứng minh là hiển nhiên nếu ta đặt thêm ba tính chất giữa (i) và (ii):(i1) Mỗi phủ mở đếm được của A có một phủ con hữu hạn

(i2) Nếu A ⊂S

nGn, ở đó Gn mở và G1 ⊂ G2 ⊂ · · · thì A ⊂ Gn với n nàođó

(i3) Nếu A ⊃ F1 ⊃ F2 ⊃ · · · , ở đó Fn là đóng và khác trống thì T

nFn làkhác trống

Đầu tiên chúng ra chứng minh tất cả (i1), (i2), (i3), (ii), (iii) là tương đương.(i1) ↔ (i2) Hiển nhiên, (i1) kéo theo (i2)

Ngược lại, nếu {Gn} phủ A, chỉ cần thay thế đơn giản Gn bởi k≤nGk.(i2) ↔ (i3) Đầu tiên,(i2) nói rằng A ∩ Dn ↑ A kéo theo A ∩ Gn = A với

n nào đó Và (i3) nói rằng A ∩ Fn ↓ ∅ kéo theo A ∩ Fn = ∅ với n nào đó (ởđây Fn không nhất thiết chứa trong A) Nếu Fn = Gcn thì hai phát biểu lànhư nhau

(i3) ↔ (ii) Giả sử (i3) đúng Nếu {xn} là một dãy trong A, lấy Bn ={xn, xn+1, } và Fn = Bn− Mỗi Fn là không trống, do đó nếu (i3) đúng thìT

nFn chứa x nào đó Do x là nằm trong bao đóng của Bn nên có in sao cho

in ≥ n và ρ(x, xin) < n−1; chọn in quy nạp sao cho i1 < i2 < · · · Khi đó,limnρ(x, xin) = 0: (ii) đúng

Mặt khác, nếu Fn là các tập đóng giảm, khác trống và (ii) đúng thì lấy

xn ∈ Fn và x là giới hạn của dãy con nào đó; rõ ràng x ∈T

nFn: (i3) đúng.(ii) → (iii) Nếu A không hoàn toàn bị chặn thì tồn tại  và dãy {xn}

vô hạn trong A sao cho ρ(xm, xn) ≥  với m 6= n Nhưng khi đó {xn} khôngchứa dãy con hội tụ và vì thế (ii) kéo theo A hoàn toàn bị chặn Và A− đầy

đủ bởi vì nếu {xn} là cơ bản và có một dãy con hội tụ tới x thì toàn bộ dãyhội tụ tới x

(iii) → (ii) Sử dụng phương pháp đường chéo Nếu A hoàn toàn bị chặnthì với mỗi n có phủ bởi những hình cầu mở hữu hạn Bn1, , Bnkn bánkính n−1 Cho một dãy {xm} trong A, đầu tiên chọn một dãy tăng củacác số nguyên m11, m12, theo cách mà tất cả xm11, xm12, nằm trongcùng B1k (điều đó có thể vì chỉ có hữu hạn hình cầu) Sau đó chọn một dãy

m21, m22, , một dãy của m11, m12, theo cách mà tất cả xm21, xm22, nằm trong cùng B2k Tiếp tục như thế nếu ri = mii thì tất cả xrn, xrn+1, nằm trong cùng Bnk Nó kéo theo rằng xr1, xr2, là cơ bản và do đó hội tụđầy đủ tới điểm nào đó của A

Do vậy (i1) đến (iii) là tương đương Do (i) kéo theo (i1) nên ta có thểhoàn thành chứng minh bởi (i1) và (iii) cùng kéo theo (i)

Nhưng nếu A là hoàn toàn bị chặn thì nó rõ ràng là khả ly và nó suy ra bởitính chất Lindel¨of rằng một phủ mở bất kỳ của A có một phủ con đếm được.

Và do đó theo (i1), nó có một phủ con hữu hạn

Tính compact là một tính chất tô pô (theo điều kiện (ii) của định lý).Một tập A là bị chặn nếu đường kính sup{ρ(x, y) : x, y ∈ A} của nó hữu hạn.Theo nghĩa này, bao đóng của một tập hoàn toàn bị chặn rõ ràng là bị chặn;điều ngược lại là sai, như ví dụ các hình cầu đóng trong C (Ví dụ 2.1.3) làkhông compact Mặt khác, một tập trong k-không gian Euclid là hoàn toàn

bị chặn nếu và chỉ nếu nó là bị chặn

Một tập A là compact tương đối nếu A− là compact Điều này tươngđương với điều kiện mọi dãy trong A đều chứa một dãy con hội tụ (giới hạncủa chúng có thể không nằm trong A)

Một kết quả hữu ích: Ảnh liên tục của một tập compact là compact Giả

sử rằng f : S → S0 là liên tục và A là tập compact trong S Nếu {f (xn)} làmột dãy trong f (A), chọn {ni} sao cho {xni} hội tụ tới một điểm x của A.Bằng tính liên tục, {f (xni)} hội tụ điểm tới f (x) của f (A)

Tích các không gian metric Giả sử (Si, ρi), i = 1, 2, là các khônggian metric và xét tích Descartes S = S1× S2× · · · Khi đó rõ ràng

i>k2−i < ,sau đó chọn các điểm xi của Di sao cho ρi(yi, xi) < 

Khi đó, (1.4) thỏa mãn ρ(y, x) < 2.

Nếu mỗi Si đầy đủ thì S là đầy đủ Thật vậy, giả sử rằng xn = (xn1, xn2, )

là các điểm của S tạo thành một dãy cơ bản Khi đó, mỗi dãy x1i, x2i, làdãy cơ bản trong Si và do đó ρi(xni, xi) →n 0 với các xi nào đó thuộc Si.Theo M -test thì ρ(xn, x) → 0

Nếu Ai compact trong Si thì A1× A2× · · · compact trong S Do với dãycác điểm xn = (xn1, xn2, ) thuộc A cho trước, với mỗi i ta xét dãy x1i, x2i, trong Ai Vì Ai compact thì tồn tại dãy các số nguyên n1, n2, sao cho

có thể hoàn toàn tầm thường: Một đường thẳng là không đâu trù mật trongmặt phẳng

Nói A không đâu trù mật là để nói rằng với mỗi hình cầu mở B, A khôngtrù mật trong B, tức là B chứa x nào đó sao cho với  nào đó, hình cầuB(x, ) ⊂ Ac Nhưng vì B mở nên B(x, ) ⊂ B với  đủ nhỏ:

Vì vậy, A là tập không đâu trù mật nếu và chỉ nếu mỗi hình cầu mở B đềuchứa một hình cầu mở B(x, ) thỏa mãn (1.5) Bằng cách lấy  đủ nhỏ, ta cóthể nâng (1.5) thành B(x, −) ⊂ B ∩ Ac

Định lý 1.1.5 (Trù mật Baire) Nếu S đầy đủ thì nó không thể được biểudiễn như là hợp đếm được của các tập không đâu trù mật

Chứng minh Giả sử rằng A1, A2 là các tập không đâu trù mật Khi đó,tồn tại x1 ∈ S sao cho B(x1, 1)− ⊂ S ∩ Ac

1 với 1 nào đó Và B(x1, 1) chứa

x2 sao cho B(x2, 2)− ⊂ B(x1, 1) ∩ Ac2 với 2 nào đó Tiếp tục quá trình đó ta

có thể chọn n sao cho n < 2−n Do ρ(xn, xn+1) < 2−n nên dãy {xn} là dãy

cơ bản và do đó nó hội tụ tới x nào đó Với mỗi k, x nằm trong B(xk, k)−nên nó nằm ngoài Ak Vậy S = S

Chứng minh Với mỗi , các tập mở Gn = {x : fn(x) < } phủ S

Nếu K compact thì K ⊂ Gn với n nào đó và do đó fn hội tụ đều đến 0.Hàm Lipschitz Một hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên một tậpcon A của S có thể được mở rộng cho toàn bộ không gian

Định lý 1.1.7 Giả sử hàm f trên S thỏa mãn: |f (x) − f (y)| ≤ Kρ(x, y)với x, y ∈ A Tồn tại một mở rộng g của f thỏa mãn điều kiện tương tự

|g(x) − g(y)| ≤ Kρ(x, y) với x và y thuộc S Nếu f thỏa mãn |f | ≤ a trên Athì có thể lấy g để thỏa mãn |g| ≤ a trên S

Chứng minh Cố định z thuộc A Nếu y ∈ A thì với mọi x ∈ S

f (y) + Kρ(x, y) = f (z) + Kρ(x, y) + (f (y) − f (z))

≥ f (z) + Kρ(x, y) − Kρ(y, z) ≥ f (z) − Kρ(x, z)

Do đó, hàm g(x) = infy∈A(f (y) + Kρ(x, y)) được định nghĩa tốt trên S.Nếu x, y nằm trong A thì f (y) + Kρ(x, y) ≥ f (x), dấu bằng xảy ra tại

Tô pô và tính đo được Một σ-trường Borel S đối với (S, ρ) là σ-trườngđược sinh bởi các tập mở Lấy (S0, ρ0) là không gian metric thứ hai với σ-trường S0 Nếu h : S → S0 liên tục thì nó là S/S0 đo được (tức là A0 ∈ S0 thì

lim infnh−1n F và nằm trong F

Dh là tập các điểm nằm trong S mà h không liên tục Điều này đúngcho dù là h không là S/S0 đo được Để chứng minh, lấy Aδ là tập các xtrong S mà có các điểm y và z trong S thỏa mãn ρ(x, y) < δ, ρ(x, z) < δ và

ρ0(hy, hz) ≥  Khi đó Aδ mở và Dh ∈ S vì Dh =S



T

δAδ.Không gian con Tập con S0 của S là không gian metric Nếu O và O0 làlớp các tập mở trong S và S0 thì O0 = O ∩ S0 (= {G ∩ S0 : G ∈ O}), từ đóσ-trường trong S0 là

thể được xác định bởi nhiều tô pô như

t((x0, x00), (y0, y00)) =p[ρ0(x0, y0)]2+ [ρ00(x00, y00)]2 (1.8)và

t((x0, x00), (y0, y00)) = ρ0(x0, y0) ∨ ρ00(x00, y00) (1.9)Đối với cả hai metric này đều tồn tại sự hội tụ (x0n, x00n) → (x0, x00) trong Tnếu và chỉ nếu x0n → x0 trong S0 và x00n → x00 trong S00 Đối với metric (1.9)

ta có

Bt((x0, x00), r) = Bρ0(x0, r) × Bρ00(x00, r) (1.10)Xét phép chiếu π0 : T → S0 và π00 : T → S00 xác định bởi π0(x0, x00) = x0

và π00(x0, x00) = x00 đều là các ánh xạ liên tục Nếu T0 đếm được và trù mậttrong T thì π0T0 và π00T0 là đếm được và trù mật trong S0 và S00 Mặt khác,nếu S00 và S000 đếm được và trù mật trong S0 và S00 thì S000× S000 đếm được vàtrù mật trong T Do đó: T khả ly khi và chỉ khi S0 và S00 đều khả ly

Lấy T là σ-trường Borel trong T Ta cũng xét tích σ-trường S0× S00−được sinh bởi hình chữ nhật đo được, các tập A0×A00 với A0 ∈ S0 và A00 ∈ S00.Hình chữ nhật này là (π0)−1A0 ∩ (π00)−1A00; vì hai ánh xạ chiếu là liên tụcnên chúng tương ứng là T /S0 và T /S00 đo được và suy ra rằng hình chữ nhậtnằm trong T Do đó, S0× S00 ⊂ T Mặt khác, nếu T khả ly thì mỗi tập mởtrong T là hợp đếm được các tập trong (1.10) và do đó nằm trong S0× S00.Suy ra

X

m

|ynm− ym| →n 0

k≤n |Sk| ≥ 3α



≤ 3 max

k≤n P|Sk| ≥ α

Để chứng minh điều này, xét các tập Bk ở đó |Sk| ≥ 3α mà |Sj| < 3α với

j < k Do Bk là rời nhau nên

1.2 Hội tụ yếu trên đường thẳng

Trong lý thuyết độ đo, các khái niệm khác nhau về hội tụ của độ đo đãđược biết Tuy nhiên, trong lý thuyết xác suất, hội tụ yếu của độ đo xác suấtthường được nhắc tới Hội tụ yếu của độ đo xác suất được tổng quát hóa từhội tụ yếu của các hàm phân phối trên đường thẳng thực

Cho Fn, n ∈ N và F là các hàm phân phối Ta nhắc lại rằng Fn hội tụyếu tới F khi n → ∞ nếu

lim

n→∞Fn(x) = F (x),với mọi điểm liên tục x của F Nếu hàm giới hạn F là liên tục thì hội tụ bêntrên kéo theo với mọi x

Hội tụ yếu của hàm phân phối có thể được viết lại dưới độ đo xác suất.Cho Pn và P là các độ đo xác suất sinh bởi các hàm phân phối Fn và F ,được xác định bởi

Vậy, với độ đo xác suất trên (R, R) (R được ký hiệu là lớp các tập Borel củaR), hội tụ yếu của độ đo xác suất trùng với hội tụ yếu của các hàm phânphối

Do trên không gian metric tổng quát ta không định nghĩa hàm phân phốinên hội tụ yếu của các độ đo xác suất vẫn là phương pháp tiệm cận chủ yếucủa các định lý giới hạn.

Trong chương 2 sẽ nghiên cứu về hội tụ yếu của độ đo xác suất trongkhông gian metric Trình bày các tính chất của hội tụ yếu, xem xét sự hội tụtrong phân phối và xác suất, hội tụ yếu với các ánh xạ, đặc biệt là định lýProhorov Bên cạnh đó là một số ứng dụng sẽ được đưa ra

Chương 2

Sự hội tụ yếu trong không gian Metric

2.1 Độ đo trên không gian Metric

Trong mục này, chúng ta sẽ nghiên cứu độ đo xác suất trên không gianmetric S tổng quát

Và ký hiệu S là một σ-trường Borel sinh bởi các tập mở, với các phần tử

là các tập Borel Một độ đo xác suất trên không gian S là một hàm tập Pcộng tính đếm được, không âm và thỏa mãn P S = 1

Định nghĩa 2.1.1 (Hội tụ yếu) Ta nói rằng độ đo xác suất Pn là hội tụyếu tới độ đo xác suất P (ký hiệu Pn ⇒ P ) nếu:

Pnf = RSf dPn →R

Sf dP = P f với mọi hàm thực f liên tục, bị chặn trên S.Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu về các định lý và tính chất cơbản của sự hội tụ yếu, cùng với đó là các khái niệm liên quan tới sự hội tụtheo phân phối Đầu tiên chúng ta sẽ đưa ra môt vài tính chất đặc biệt của

độ đo trên (S, S) Mặc dù đôi khi ta cũng giả thiết S là không gian khả ly

hoặc đầy đủ Hầu hết các định lý trong chương này đều được phát biểu trongkhông gian metric.

2.1.1 Độ đo và tích phân

Định lý 2.1.1 Mọi độ đo xác suất P trên (S, S) là chính quy, tức là:Với mỗi S-tập A và với mọi  tồn tại một tập đóng F và một tập mở Gsao cho F ⊂ A ⊂ G và P (G − F ) < 

Từ đó suy ra: Với mỗi tập Borel A, ta có

Do Aδ giảm tới A khi δ ↓ 0 nên ta cần chỉ ra rằng lớp G của các S-tậpvới các tính chất đã được khẳng định là một σ-trường

Lấy các tập An trong G, chọn các tập đóng Fn và các tập mở Gn sao cho

Fn ⊂ An ⊂ Gn và P (Gn − Fn) < /2n+1 Nếu G = S

nGn và nếu F =S

n≤n 0Fn, với n0 được chọn sao cho P (S

IF(x) ≤ f (x) = (1 − ρ(x, F )/)+ ≤ IF(x) (2.1)

Định lý 2.1.2 Độ đo xác suất P và Q trên S trùng nhau nếu P f = Qf vớimọi hàm thực f liên tục đều và bị chặn.

Chứng minh Với hàm f liên tục đều, bị chặn được xác định trong (2.1),

2.1.2 Tính chặt

Khái niệm dưới đây về tính chặt đóng một vai trò cơ bản trong lý thuyết

về sự hội tụ yếu và ứng dụng của nó

Định nghĩa 2.1.2 (Tính chặt) Một độ đo xác suất P trên (S, S) được gọi

là chặt nếu với mỗi , tồn tại một tập compact K sao cho P K > 1 − 

Từ Định lý 2.1.1, ta thấy P là chặt nếu và chỉ nếu P A là cận trên đúngcủa P K, với mọi tập con compact K của A ∈ S

Định lý 2.1.3 Nếu S là không gian khả ly và đầy đủ thì mỗi độ đo xác suấttrên (S, S) đều chặt

Chứng minh Gọi P là độ đo xác suất bất kì trên (S, S)

Từ giả thiết S là khả ly nên với mỗi k, tồn tại một dãy Ak1, Ak2, của hình cầu mở phủ S

1/k-Chọn nk đủ lớn để P (S

i≤nk Aki) > 1 − /2k.Theo giả thiết về tính đủ của không gian S, ta sẽ được tập bị chặnT

k≥1

S

i≤nk Aki

có bao đóng compact K.

Do đó P K > 1 −  hay P là chặt

Trước khi xét một vài ví dụ, ta sẽ nhắc tới một số khái niệm

Định nghĩa 2.1.3 (Lớp khả ly) Một lớp con A của S được gọi là lớp khả

ly nếu hai độ đo xác suất mà đồng nhất trên A thì cũng đồng nhất trên S,tức là với A ∈ A thì các giá trị P A là đủ để khả ly P từ tất cả các độ đo xácsuất trên S

Dễ thấy, từ Định lý 2.1.1 thì các tập đóng tạo thành một lớp khả ly.Định nghĩa 2.1.4 (π-hệ thống) Một lớp A được gọi là một π-hệ thống nếu

nó là đóng đối với phép giao hữu hạn

Từ định nghĩa về π-hệ thống thì A là lớp khả ly nếu nó là một π-hệ thốngsinh ra σ-trường S

Ví dụ 2.1.1 Xét không gian Euclide k-chiều Rk với metric thông thường

|x − y| =

q

Pk i=1(xi− yi)2 Và ký hiệu Rk là lớp các tập Borel k-chiều.Hàm phân phối tương ứng của một độ đo xác suất P trên Rk là

Ví dụ 2.1.2 Giả sử R∞ là không gian của dãy các số thực x = (x1, x2, )

−tích của đếm được các bản sao của R1

Nếu b(α, β) = 1 ∧ |α − β| thì b là một metric trên R1 tương đương với

metric thông thường và hiển nhiên R1 là hoàn toàn khả ly.

Metric hóa R∞ bởi

là mở Hơn nữa, nếu y ∈ Nk,(x) thì ρ(x, y) <  + 2−k

Cho số dương r, chọn  và k sao cho  + 2−k < r thì Nk,(x) ⊂ B(x, r).Nghĩa là, các tập trong (2.3) tạo thành một cơ số đối với tôpô của R∞ hay

R∞ khả ly: một tập con trù mật, đếm được bao gồm các điểm chỉ có hữuhạn các tọa độ khác không, mỗi tọa độ đó đều là các số hữu tỷ Nếu {xn} là

cơ bản thì mỗi {xni} là cơ bản và do đó hội tụ tới xi nào đó và dĩ nhiên xnhội tụ điểm với các tọa độ xi Do đó, R∞ cũng là không gian đủ

Vì R∞ là không gian khả ly và đủ nên theo Định lý 2.1.3 thì mỗi độ đoxác suất trên R∞ là chặt

Giả sử R∞f là lớp các tập hữu hạn chiều hay các tập dạng π−1k H với k ≥ 1

và H ∈ Rk Vì πk liên tục nên nó là R∞/Rk đo được và R∞f ⊂ R∞ Hơnnữa, do πk−1H = πk+1−1 (H × R1) nên tập các chỉ số khi liệt kê một R∞f -tậpluôn có thể được mở rộng và nó kéo theo hai tập A và A0 trong R∞f có thểbiểu diễn A = πk−1H và A0 = πk−1H0 với cùng giá trị k

Có A ∩ A0 = πk−1(H ∩ H0) làm cho ta thấy rõ là R∞f là một π-hệ thống (thậmchí là một trường) Hơn nữa, vì tập hợp (2.3) hình thành một cơ sở và đều

nằm trong R∞f , nó xảy ra bởi tính khả ly, tức là mỗi tập mở là hợp của cáctập đếm được trong R∞f , do đó tạo ra σ-trường R∞: R∞f là một lớp khả ly.Nếu P là một độ đo xác suất trên (R∞, R∞) thì các phân phối hữu hạnchiều của nó là các độ đo P π−1k trên (Rk, Rk), k ≥ 1 và vì R∞f là một lớpkhả ly nên các độ đo này hoàn toàn xác định P

Ví dụ 2.1.3 Giả sử C = C[0, 1] là không gian các hàm liên tục x = x(·)trên [0, 1]

Ta xác định chuẩn của x như sau kxk = supt|x(t)| và đưa vào C mộtmetric đều

0 đến 1 trên [0, n−1], tuyến tính giảm từ 1 về 0 trên [n−1, 2n−1] và vẫn bằng

0 ở bên phải của 2n−1; tức là

zn(t) = ntI[0,n−1 ](t) + (2 − nt)I(n−1 ,2n −1 ](t) (2.5)Khi đó, zn hội tụ điểm tới hàm 0, trong khi ρ(zn, 0) = 1

Không gian C là khả ly Cho Dk là tập các hàm đa giác−các hàm tuyếntính trên mỗi đoạn con Iki = [(i − 1)/k, i/k] và có các giá trị hữu tỷ tại cácđiểm cuối Khi đóS

kDk là đếm được và hơn nữa nó là trù mật Thật vậy, vớimỗi x và  bất kì, chọn k để |x(t) − x(i/k)| <  với t ∈ Iki, 1 ≤ i ≤ k thì bởitính liên tục đều ta chọn được một y thuộc Dk sao cho |y(i/k) − x(i/k)| < với mỗi i Ta có

do đó có giới hạn x(t) Cho m → ∞ trong bất đẳng thức |xn(t) − xm(t)| ≤ n

ta được |xn(t) − x(t)| ≤ n; do đó xn(t) hội tụ đều tới x(t), x liên tục vàρ(xn, x) → 0

Vậy C là một không gian khả lý và đầy đủ, do đó theo Định lý 2.1.3 thìmỗi độ đo xác suất trên σ-trường Borel C là chặt

Với 0 ≤ t1 < t2 < < tk ≤ 1, ta xác định một phép chiếu tự nhiên:

πt1 tk : C → Rk

πt1 tk(x) = (x(t1), , x(tk))

Trong C, các tập hữu hạn chiều có dạng πt−11, ,tkH, H ∈ Rk và chúng nằmtrong C vì các phép chiếu là liên tục Tương tự như trong ví dụ đã xét, tậpchỉ số xác định một tập hữu hạn chiều có thể luôn được mở rộng

Giả sử, chúng ta muốn mở rộng t1, t2 thành t1, s, t2 (trong đó t1 < s < t2)Xét ánh xạ chiếu ψ : R3 → R2 xác định bởi ψ(u, v, w) = (u, w)

Ta có πt1t2 = ψπt1st2 và do đó πt−11t2H = π−1t1st2ψ−1H và dĩ nhiên ψ−1H ∈ R3nếu H ∈ R2

Với ý tưởng tương tự ta sẽ chứng minh được lớp Cf của các tập hữu hạnchiều là một π-hệ thống Hơn nữa, ta có B(x, )− = T

r{y : |y(r) − x(r)| ≤ },trong đó r là tất cả các số hữu tỷ nằm trong [0, 1] Do đó, σ-trường σ(Cf)sinh bởi Cf chứa trong các hình cầu đóng nên chứa trong hình cầu mở haytập mở Từ Cf là một π-hệ thống và σ(Cf) = C nên Cf là một lớp khả ly

2.2 Tính chất của hội tụ yếu

Chúng ta có định nghĩa Pn ⇒ P nghĩa là Pnf → P f với mỗi hàm thực

f liên tục bị chặn trên S Lưu ý rằng, tích phân P f hoàn toàn xác định

P (Định lý 2.1.2), một dãy đơn {Pn} không thể hội tụ yếu tới hai giới hạnkhác nhau Mặc dù điều đó là không quan trọng tới chủ đề này, nó dễ dàng

tô pô hóa độ đo xác suất trên không gian (S, S) như một cách mà hội tụyếu là hội tụ trong không gian tô pô này: Lấy lân cận của tập có dạng{Q : |Qfi− P fi| < , i ≤ k}, ở đó fi là liên tục, bị chặn Nếu S là không gian

đủ và khả ly thì tô pô này có thể xác định một metric (metric Prohorov).Hội tụ yếu là chủ đề của toàn bộ luận văn Chúng ta bắt đầu với hai ví

dụ đơn giản để minh họa cho ý tưởng nằm phía sau định nghĩa này

Ví dụ 2.2.1 Trên không gian S tùy ý, ký hiệu δx là độ đo xác suất trên Stập trung tại x xác định bởi δx(A) = IA(x) Nếu xn → x0 và f liên tục thì

1

ở đó |J | ký hiệu độ dài: Khi n → ∞, tỉ lệ của những điểm xnk nằm trongmột khoảng là tiệm cận bằng với độ dài của nó

Lấy Pn để có một điểm-khối của 1/rn tại mỗi điểm xnk (nếu có vài điểm

xnk trùng nhau thì lấy khối lượng tổng) và cho P là độ đo Lebesgue bị chặntrên [0,1] Nếu (2.7) đúng thì Pn ⇒ P

Giả sử f liên tục trên [0,1] Khi đó, nó là khả tích Riemann và với mỗi cho trước, có một phân hoạch hữu hạn của [0,1] vào trong khoảng con Ji saocho nếu vi và ui là cận trên đúng và cận dưới đúng của f trên Ji thì tổngDarboux trên P vi|Ji| và tổng Darboux dưới P ui|Ji| nằm trong phạm vi 

của tích phân Riemann P f = R01f (x)dx Kết hợp (2.7), ta có

Trường hợp đặc biệt, lấy rn = 10n và xnk = k10−n với 0 ≤ k < rn

Nếu J = (a, b] thì (2.7) đúng vì tồn tại k thỏa mãn ba10nc < k ≤ bb10nc.Trong trường hợp này Pn ⇒ P

Trường hợp thứ hai, lấy xnk là phần thập phân của kθ, 0 ≤ k < rn = n.Nếu θ là số vô tỷ thì (2.7) cũng đúng

2.2.1 Định lý kết hợp

Định lý sau đây cung cấp các điều kiện tương đương hữu ích với hội tụyếu, bất cứ điều kiện nào trong số chúng cũng có thể dùng như định nghĩacho sự hội tụ yếu Một tập A trong S mà có biên ∂A thỏa mãn P (∂A) = 0được gọi là một P -tập liên tục (chú ý rằng ∂A là đóng và do đó nằm trongS) Lấy Pn, P là các độ đo xác suất trên (S, S)

Định lý 2.2.1 Năm điều kiện sau là tương đương

(i) Pn ⇒ P

(ii) Pnf → P f với mọi hàm f bị chặn, liên tục đều

(iii) lim supnPnF ≤ P F với mọi F đóng

(iv) lim infnPnG ≥ P G với mọi G mở

(v) PnA → P A với mọi A là P -tập liên tục

Trở lại Ví dụ 2.2.1 để xem ý nghĩa của các điều kiện này

Giả sử rằng xn → x0 vì thế δxn ⇒ δx0 và giả sử thêm rằng tất cả xn khác x0(ví dụ lấy x0 = 0 và xn = 1/n) Khi đó bất đẳng thức trong phần (iii) xảy

ra dấu bằng nếu F = {x0} và bất đẳng thức trong (iv) đúng nếu G = {x0}c.Nếu A = {x0} sự hôi tụ trong (v) không xảy ra; nhưng điều này mâu thuẫnvới định lý, vì giới hạn độ đo của ∂{x0} = {x0} là 1, không phải 0.

Và giả sử trong Ví dụ 2.2.2, (2.7) đúng, khi đó Pn ⇒ P

Nếu A là tập tất cả các xnk, với mỗi n và k thì A đếm được và với mỗi Pnsao cho PnA = 1 9 P A = 0; Nhưng trong trường hợp này ∂A = S Bằngtính chính quy (Định lý 2.1.1), có một tập mở G sao cho A ⊂ G và P G < 12.Với G mở, bất đẳng thức trong phần (iv) là đúng Chú ý rằng: Nếu (2.7) làđúng cho khoảng J thì theo phần (v) của định lý trên nó cũng đúng cho lớpcác tập mở rộng hơn có biên là có độ Lebesgue 0

Chứng minh 1 (i) ⇒ (ii): Hiển nhiên

2 (ii) ⇒ (iii) f trong (2.1) là bị chặn và liên tục đều Hai bất đẳng thức trong(2.1) và điều kiện (ii) kéo theo lim supnPnf ≤ lim supnPnf = P f ≤ P F.Nếu F đóng, cho  ↓ 0 được bất đẳng thức trong (iii)

3 (iii)&(iv) tương đương do phần bù của tập đóng (mở) là tập mở (đóng)

4 (iii)&(iv) → (v) Nếu Ao và A− là phần trong và bao đóng của A thì điềukiện (iii)&(iv) cùng suy ra

Nếu A là một P -tập liên tục thì các P A− = P Ao = P A, suy ra (v)

5 (v) ⇒ (i) Do tính tuyến tính chúng ta có thể giả sử rằng f bị chặn thỏamãn 0 < f < 1

Khi đó P f = R0∞P {f > t}dt = R01P {f > t}dt và tương tự cho Pnf

Nếu f liên tục thì ∂{f > t} ⊂ {f = t} và do đó {f>t} là một P -tập liên tụctrừ một số đếm được t Theo điều kiện (v) và định lý hội tụ bị chặn

Pnf =

Z 1 0

Pn{f > t}dt →

Z 1 0

P {f > t}dt = P f

Vậy định lý đã được chứng minh.

(ii) Mỗi tập mở là hợp đếm được của các AP-tập

Nếu PnA → P A với mọi A trong AP thì Pn ⇒ P

Chứng minh Nếu A1, , Ar nằm trong AP thì do AP là một π-hệ thốngnên ta có thể lấy giao của chúng, do đó theo công thức bao hàm và loại trừ

Vì  bất kì nên điều kiện (iv) của định lý trước đó là đúng

Do đó ta có điều phải chứng minh

Định lý 2.2.3 Giả sử rằng

(i) AP là một π-hệ thống

(ii) S là khả ly và với mỗi x trong S và  > 0, có trong AP một A

sao cho x ∈ Ao ⊂ A ⊂ B(x, )

Nếu PnA → P A với mọi A trong AP thì Pn ⇒ P

Chứng minh Giả thiết có nghĩa là, với mỗi điểm x của một tập mở G chotrước, x ∈ Aox ⊂ Ax ⊂ G đúng với một vài Ax trong AP Do S khả ly nêntồn tại một dãy các tập con đếm được {Aox

i} của {Ao

x : x ∈ G} mà phủ G và

iAoxi

Do đó các giả thiết của Định lý 2.2.2 là thỏa mãn

Định nghĩa 2.2.1 (Lớp hội tụ xác định) Cho A là một lớp con của S

A được gọi là một lớp hội tụ xác định nếu với mỗi P và dãy {Pn}, hội tụ

PnA → P A với mọi P -tập liên tục trong A thì kéo theo Pn ⇒ P

Một lớp hội tụ xác định hiển nhiên là lớp khả ly theo phần 2.1

Để chắc chắn rằng A đã cho là một lớp hội tụ xác định, ta cần có điềukiện, với P bất kỳ, lớp AP của P -tập liên tục trong A thỏa mãn giả thiếtcủa Định lý 2.2.3 Với A cho trước, gọi Ax, là lớp của các A-tập thỏa mãn

x ∈ Ao ⊂ A ⊂ B(x, ) và ∂Ax, là lớp gồm biên của chúng Nếu ∂Ax, chứa

vô số các tập rời nhau thì ít nhất có một tập phải có P -độ đo 0

Điều kiện của ta được phát biểu như sau:

Định lý 2.2.4 Giả sử rằng A là lớp con của S và

Chứng minh Cố định P tùy ý, lấy AP là lớp của các P -tập liên tục trong A.Vì

nên AP là một π- hệ thống

Giả sử rằng PnA → P A với mọi A trong A thỏa mãn P (∂A) = 0, tức làvới mỗi A nằm trong AP Nếu ∂Ax, không chứa ∅ thì nó phải chứa vô sốnhững tập phân biệt rời nhau từng đôi một Suy ra ∂Ax, chứa một tập có

P -độ đo 0 Điều này có nghĩa là mỗi Ax, chứa một phần tử của AP, cho nênthỏa mãn giả thiết của Định lý 2.2.3

Do PnA → P A với mỗi A trong AP nên Pn ⇒ P

Ví dụ 2.2.3 Xét Rk như trong Ví dụ 2.1.1 và lấy A là lớp các hình chữnhật {y; ai < yi ≤ bi, i ≤ k} Vì nó thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.2.4 nên

Mà D trù mật suy ra AP thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.2.3

Vậy những tập Qx này hình thành một lớp hội tụ xác định

Lấy F (x) = P (Qx) và Fn(x) = Pn(Qx) là hàm phân phối của P và Pn Do

F liên tục tại x nếu và chỉ nếu Qx là một P -tập liên tục nên Pn ⇒ P nếu vàchỉ nếu Fn(x) → F (x) tại tất cả điểm liên tục x của F

Ví dụ 2.2.4 Trong Ví dụ 2.1.2 chúng ta chỉ ra rằng lớp R∞f các tập hữuhạn chiều là một lớp khả ly Nó cũng là một lớp hội tụ xác định

Thật vậy, với x và  cho trước, ta chọn k sao cho 2−k < /2 và xét tập

hữu hạn chiều

Aη = {y : |yi− xi| < η, i ≤ k} với 0 < η < 

2.Khi đó x ∈ Aoη = Aη ⊂ B(x, )

Do ∂Aη bao gồm những điểm y thỏa mãn |yi− xi| ≤ η với i ≤ k (dấu bằngxảy ra tại một số điểm i nào đó với biên của chúng rời nhau) Và do R∞

là khả ly nên theo Định lý 2.2.4 suy ra: R∞f là một lớp hội tụ xác định và

Pn ⇒ P khi và chỉ khi PnA → P A với mọi A là P -tập liên tục hữu hạn chiều

Ví dụ 2.2.5 Trong Ví dụ 2.1.3, dãy các hàm zn xác định bởi (2.5) chỉ rarằng không gian C không là σ-compact nhưng nó cũng chỉ ra nhiều vấn đềquan trọng hơn: Mặc dù lớp Cf của các tâp hữu hạn chiều trong C là lớp khả

ly nhưng nó không là một lớp hội tụ xác định

Thật vậy, lấy Pn = δzn và lấy P = δ0 tập trung tại hàm 0 Khi đó Pn ; Pbởi vì zn 9 0.

Mặt khác, nếu 2n−1 nhỏ hơn giá trị ti nhỏ nhất khác không thì

Nhắc lại rằng A là một nửa vành nếu nó là một π- hệ thống chứa ∅ vànếu A, B ∈ A và A ⊂ B cùng suy ra rằng tồn tại hữu hạn A-tập Ci rời nhausao cho B − A = Sm

i=1Ci.Định lý 2.2.5 Giả sử rằng

(i) A là một nửa vành

(ii) Và mỗi tập mở là một hợp đếm được của những A-tập

Nếu P A ≤ lim infnPnA với A trong A thì Pn ⇒ P

Chứng minh Nếu A1, , Ar nằm trong A thì do A là nửa vành nênSr

i=1Ai

có thể được biểu diễn như một hợp rời nhau Ss

j=1Bj của những tập kháctrong A và nó chỉ ra rằng

Do đó ta có điều phải chứng minh

Dưới đây là một điều kiện đơn giản hơn cho hội tụ yếu:

Định lý 2.2.6 Điều kiện cần và đủ để Pn ⇒ P là với mỗi dãy con {Pni}đều chứa một dãy con {Pn

ik} hội tụ yếu đến P khi k → ∞

Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên

Điều kiện đủ: Nếu Pn ; P thì Pnf 9 P f với f liên tục bị chặn nào đó.Khi đó tồn tại  > 0 và dãy con {Pni} nào đó: |Pnif − P f | >  với mọi i.Nhưng theo giả thiết {Pni} trích ra được dãy con {Pn

ik}: Pn

ik ⇒ P Suy ra limkPn

ikf = P f (mâu thuẫn)

2.2.3 Nguyên lý ánh xạ

Giả sử rằng ánh xạ h từ không gian metric S vào không gian metric S0khác, với metric ρ0 và σ-trường Borel S0 Nếu h là S/S0 đo được thì mỗixác suất P trên (S/S) cảm sinh trên (S0/S0) một xác suất P h−1 được xácđịnh bởi P h−1(A) = P (h−1A) Chúng ta cần điều kiện Pn ⇒ P kéo theo

Pnh−1 ⇒ P h−1 Một điều kiện như vậy là h liên tục: Nếu f bị chặn và liêntục trên S0thì f h bị chặn và liên tục trên S và bằng cách đổi biến thì Pn ⇒ Pkéo theo

Ví dụ 2.2.6 Do phép chiếu tự nhiên πk từ R∞ vào Rk là liên tục nên nếu

Pn ⇒ P trên R∞ thì Pnπk−1 ⇒ P πk−1 trên Rk với mỗi k Lập luận dưới đâychỉ ra chiều ngược lại là kết quả của việc lớp các tập R∞f hữu hạn chiều trong

R∞ là lớp hội tụ xác định (Ví dụ 2.2.4)

Từ tính liên tục của πk dễ dàng thấy ∂πk−1H ⊂ π−1k ∂H với H ⊂ Rk Sửdụng tính chất đặc biệt của phép chiếu ta có thể chứng minh phép bao hàmtheo hướng khác

Nếu x ∈ πk−1∂H thì πkx ∈ ∂H, do đó tồn tại các điểm α(u) trong H vàđiểm β(u) trong Hc sao cho α(u) → πkx và β(u) → πkx (u → ∞) Do nhữngđiểm (α(u)1 , , α(u)k , xk+1, ) nằm trong πk−1H và hội tụ tới x và do nhữngđiểm (β1(u), , βk(u), xk+1, ) nằm trong (πk−1H)c và cũng hội tụ tới x nên

x ∈ ∂(π−1k H) Do đó, ∂πk−1H = πk−1∂H

Nếu A = πk−1H là một P -tập liên tục hữu hạn chiều thì ta có

P πk−1(∂H) = P (π−1k ∂H) = P (∂πk−1H) = P (∂A) = 0,nên H là một P πk−1-tập liên tục Điều này có nghĩa là, nếu P πk−1 ⇒ P πk−1với mọi k thì PnA → P A với mỗi P -tập liên tục A trong R∞f và do đó (vì

R∞f là một lớp hội tụ xác định) Pn ⇒ P Vậy

Pn ⇒ P nếu và chỉ nếu Pnπk−1 ⇒ P πk−1 với mọi k

Đây là một trình bày cơ bản về các tập hữu hạn chiều tạo thành một lớp hội

tụ xác định Lý thuyết hội tụ yếu trong R∞ được ứng dụng nhiều trong việcnghiên cứu một số vấn đề về lý thuyết số và phân tích tổ hợp

Ví dụ 2.2.7 Do tính liên tục của phép chiếu tự nhiên πt1 tk từ C vào Rk,nếu Pn ⇒ P theo xác suất trên C thì Pnπ−1t

Do đó điều kiện (iii) của Định lý 2.2.1 đúng.

Ví dụ 2.2.8 Cho F là hàm phân phối trên đường thẳng và ϕ là hàm điểmphân vị tương ứng sao cho

ϕ(u) = inf{x : u ≤ F (x)} với 0 < u < 1,trong đó ϕ(0) = ϕ(1) = 0

Nếu P là độ đo Lebesgue hạn chế trên [0, 1] như trong Ví dụ 2.2.2 thì P ϕ−1

là độ đo xác suất có hàm phân phối F vì

P ϕ−1(−∞, x] = P {u : ϕ(u) ≤ x} = P {u : u ≤ F (x)} = F (x)

Do ϕ có đếm được các điểm gián đoạn nên P Dϕ = 0

Nếu Pn cũng được xác định như trong Ví dụ 2.2.2 thì Pn ⇒ P

Và do đó Pnϕ−1 ⇒ P ϕ−1.

Xét trường hợp xnk = k10−n Nếu ϕ được tính với mỗi quan sát xấp xỉ phân

bố đều, điều này cho ta một dãy các quan sát xấp xỉ phân bố theo F

Ví dụ 2.2.9 Nếu S0 ∈ S thì σ-trường Borel đối với S0 trong tôpô tương đốibao gồm các S-tập chứa trong S0

Giả sử rằng Pn và P là các độ đo xác suất trên S và PnS0 ≡ P S0 = 1.Lấy Qn và Q là hạn chế của Pn và P trên S0 Ánh xạ đồng nhất h từ S0 vào

S là liên tục và Pn = Qnh−1, P = Qh−1 Do đó theo nguyên lý ánh xạ thì

Qn ⇒ Q kéo theo Pn ⇒ P

Điều ngược lại cũng đúng Xét tập mở tổng quát trong S0 là G ∩ S0, trong

đó G là mở trong S Nhưng Qn(G ∩ S0) = Pn(G ∩ S0) = PnG và tương tự với

Q Nếu Pn ⇒ P thì lim infnQn(G ∩ S0) = lim infnPnG ≥ P G = Q(G ∩ S0)

Do đó:

Nếu PnS0 ≡ P S0 = 1 thì Pn ⇒ P (trên S) nếu và chỉ nếu Qn ⇒ Q

(trên S0)

Ví dụ 2.2.10 Ta lại giả sử S0 ∈ S và PnS0 ≡ P S0 = 1 Và giả sử ánh

xạ đo được h : S → S0 liên tục khi hạn chế trên S0, tức là nếu xn ∈ S0hội tụ tới x ∈ S0 thì hxn → hx Nếu Pn ⇒ P thì Qn và Q trong ví dụtrước thỏa mãn Qn ⇒ Q Hạn chế h0 của h từ S vào S0 là ánh xạ liên tục

từ S0 vào S0 và áp dụng nguyên lý ánh xạ ta được (S0 ∩ h−1A0 = h−10 A0)

Pnh−1 = Qnh−10 ⇒ Qh−10 = P h−1 Do đó:

Nếu PnS0 ≡ P S0 = 1 và hạn chế trên S0 của h liên tục thì Pn ⇒ P kéotheo Pnh−1 ⇒ P h−1

2.2.4 Không gian tích

Giả sử tích T = S0× S00 là khả ly, tức là S0 và S00 khả ly và giả sử rằng

ba σ-trường Borel được liên hệ bởi T = S0 × S00 Ký hiệu phân phối biênduyên của độ đo xác suất P trên T bởi P0 và P00: P0(A0) = P (A0 × S00) và

P00(A00) = P (S0× A00) Vì các phép chiếu π0(x0, x00) = x0 và π00(x0, x00) = x00liên tục và P0 = P (π0)−1 và P00 = P (π00)−1 nên theo nguyên lý ánh xạ thì

Pn ⇒ P kéo theo Pn0 ⇒ P0 và Pn00 ⇒ P00

Điều ngược lại là sai Nhưng xét π-hệ thống A của hình chữ nhật đo được

A0× A00(A0∈ S0 và A00 ∈ S00) Nếu ta lấy khoảng cách giữa (x0, x00) và (y0, y00)

là ρ(x0, y0) ∨ ρ(x00, y00), khi đó hình cầu ở trog T có dạng

Bt((x0, x00), r) = Bρ0(x0, r) × Bρ00(x00, r) (2.12)Các hình cầu này nằm trong A và do ∂Bt((x0, x00), r) rời nhau với các giá trị

r khác nhau nên A thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.2.4 và do đó là một lớphội tụ xác định

Ta có một kết quả liên quan hữu ích hơn Cho AP là lớp của A0 × A00trong A mà P0(∂A0) = P00(∂A00) = 0 Áp dụng (2.9) trong S0 và S00 thì AP

là một π-hệ thống Và vì

∂(A0× A00) ⊂ ((∂A0) × S00) ∪ (S0× (∂A00)), (2.13)nên mỗi tập trong AP là P -tập liên tục Do Bρ0(x0, r) và Bρ00(x0, r) trong(2.12) có biên rời nhau với các giá trị r khác nhau nên tồn tại số r đủ nhỏ để(2.12) nằm trong AP Áp dụng Định lý 2.2.3 cho AP thì Pn ⇒ P nếu và chỉnếu PnA ⇒ P A với mọi A thuộc AP Do đó ta có định lý sau trong đó (ii)

là một hệ quả tất yếu của (i)

Định lý 2.2.8 (i) Nếu T = S0 × S00 khả ly thì Pn ⇒ P khi và chỉ khi

Pn(A0 × A00) → P (A0 × A00) với mỗi A0 là P0-tập liên tục và A00 là

P00-tập liên tục

(ii) Nếu T khả ly thì Pn0 × P00

n ⇒ P0 × P00 khi và chỉ khi Pn0 ⇒ P0 và

Pn00 ⇒ P00

2.3 Sự hội tụ theo phân phối

Lý thuyết hội tụ yếu có thể được diễn tả như lý thuyết về sự hội tụ theophân phối

2.3.1 Đại lượng ngẫu nhiên S-giá trị

Định nghĩa 2.3.1 Cho X là một ánh xạ từ không gian xác suất (Ω, F , P )vào không gian metric S X được gọi là đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trịtrên S nếu nó là F /S đo được

Ta nói rằng đại lượng ngẫu nhiên X được xác định trên miền Ω và nhậngiá trị trong S và gọi nó là đại lượng ngẫu nhiên S-giá trị

Chú ý 2.3.1 Đại lượng ngẫu nhiên X của S

• được gọi là biến ngẫu nhiên nếu S là R1

• được gọi là một véctơ ngẫu nhiên nếu S là Rk

• được gọi là một dãy ngẫu nhiên nếu S là R∞

• được gọi là một hàm ngẫu nhiên nếu S là C hoặc một không gian hàmnào đó khác

Phân phối của X là độ đo xác suất P = PX−1 trên (S, S) xác định bởi

P A = P(X−1A) = P{w : X(w) ∈ A} = P{X ∈ A} (2.14)

Nó cũng được gọi là luật của X và kí hiệu là L(X) Trong trường hợp

S = Rk, nó còn được gọi là hàm phân phối của X = X(X1, , Xk) xác địnhbởi

F (x1, , xk) = P {y : yi ≤ xi, i ≤ k} = P{Xi ≤ xi, i ≤ k} (2.15)

Chú ý rằng P là một độ đo xác suất trên không gian đo được bất kì, ở đó

P luôn được xác định trên σ-trường Borel của một không gian metric Phânphối P chứa thông tin cần thiết về đại lượng ngẫu nhiên X Ví dụ, nếu f làmột hàm thực đo được trên S (S/R1 đo được) thì bằng cách đổi biến

(Ω, F , P) = (S, S, P ), X(w) = w, w ∈ Ω = S (2.17)Khi đó X là một đại lượng ngẫu nhiên trên Ω với giá trị trong S (F /S đođược) và nó có phân phối P

2.3.2 Sự hội tụ theo phân phối

Cho Xn và X là các đại lượng ngẫu nhiên S-giá trị

Định nghĩa 2.3.2 Ta nói rằng {Xn} hội tụ theo phân phối tới X nếu

Pn ⇒ P , trong đó Pnvà P là các hàm phân phối của Xnvà X Viết Xn ⇒ X

Định lý 2.2.1 khẳng định sự tương đương của các phát biểu dưới đây

Giả sử Xn, X là các đại lượng ngẫu nhiên S-giá trị Khi đó các mệnh đề sau

là tương đương