Các mô hình xác suất và ứng dụng phần i

Ngày nay các mô hình xác suất đã thực sự dược ứng dụng rộng rãi trong khoa học t ự nhiên cũng như khoa học xã hội.. Tuy nhiên, ờ Việt Nam có rất ít những tài liệu về các mô hình xác suất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

•

O K I

H a N ộ i NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI H Ọ C Q U Ố C GIA HÀ NỘI

N G U Y Ễ N D U Y T I Ê N

CÁC MÔ HÌNH XÁC S U Ấ T

VÀ ỨNG DỤNG PHẦN I - XÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG

NHÀ X U Ấ T BẢN ĐẠI H Ọ C Quốc G I A HÀ NỘI 2000

Giám đốc NGUYỄN VĂN THỎA Tổng biên tập NGUYỄN THIỆN GIÁP

Người nhận xét: PGS.TS NGUYỄN VĂN HỮU

PGS.TS PHẠM V I Ế T P H Ú

TS NGUYỄN HỮU D ư

Biên tập và sửa bài: PHẠM PHÚ TRIÊM

NGUYỄN LAN HƯƠNG

Trình bay bìa: NGỌC ANH

2.9.1 Di dộng ngẫu nhiên trên đường thằng 89

2.9.2 Di động ngẫu nhiên t r ê n đường thằng

2.9.5 Di động ngẫu nhiên trôn đường thằng

có hai trang thái phản hồi 96

2.9.6 D i động ngẫu nhiên đ ố i xứng trong mặt phang 97

2.9.7 Di động ngẫu nhiên tống quát 97

3.4.1 Các giả t h i ế t quan trọng 120

Xác suất Thống kê là lĩnh vực toán ứng dung, nó (lòi hồi một cơ sờ toán học sâu sắc Ngày nay các mô hình xác suất đã thực sự dược ứng dụng rộng rãi trong khoa học t ự nhiên cũng như khoa học xã hội Tuy nhiên, ờ Việt Nam

có rất ít những tài liệu về các mô hình xác suất và ứng (lụng của chúng Đó

là lý do chính chúng tôi viết giáo trình nàv Nhằm phục vụ các độc giớ trong nhiều lĩnh vực khác nhau (toán học, vật lý, cơ học, sinh học, khoa học trái đất kinh tế, y học, nông nghiệp, v.v ) nên giáo trình (lược viết theo tinh thần: chính xác về lý thuyết tới mức độ nhất, định, nhiều ví dụ ứng dụng cụ thế thường gặp trong thực tế và tương đối dễ hiểu

Giáo trình C á c m ô h ì n h x á c suất và ứ n g dung do GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến chủ biên bao gồm:

P h ầ n ì X í c h M a r k o v v à ứ n g dung, GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến viết

P h ầ n l i Q u á t r ì n h d ừ n g v à ứ n g dung, PGS.TSKH Đặng Hùng Thắng viết

P h ầ n U I G i ớ i t í c h n g ẫ u n h i ê n , GS.TSKH Nguyên Duy Tiến viết

Các thành viên của Bộ môn Xác suất Thống kê, khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học T ự nhiên - Đại học Quốc gia Hà NỴÚ (ĐHKHTN - DHQGIIN) d ã nhiều năm giớng dạy quá trình ngẫu nhiên và tích lũy được nhiều kinh nghiệm để viết giáo trình này dưới dạng mô hình ứng dụng phục

vụ cho đông đớo bạn đọc Tuy nhiên, đây không phới là tài liệu sơ cấp, vì vậy để đạt được hiệu quớ cao bạn đọc cần phới có kiến thức toán của hai năm đầu đ ạ i học và đặc biệt phới có kiến thức xác suất cổ điền (chằng hạn như trong tài liệu của Đào Hữu Hồ [1], Đặng Hùng Thắng [2] hoặc Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến [3])

Chúng tôi hy vọng giáo trình này sẽ có ích cho nhiều bạn dọc, phục vụ t ố t cho ứng dụng, giớng dạy và nghiên cứu

Chắc chắn giáo trình còn nhiều thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý

và chi bào của bạn đọc

Cuối cùng chúng tôi xin cám ơn Ban Giám hiệu trường ĐHKHTN-ĐHQGHN, Khoa Toán - Ca - T i n học, Bộ môn Xác suất Thống kê Đi IKHTN - ĐHQGHN

và Nhà Xuất bản ĐHQGHN đã động viên, cổ vũ , giúp đỡ nhiệt tình chúng tôi khi biên soạn giáo trình này

Các t á c g i ả

Phần I XÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG

Đàu thế kỷ XX, A.A.Markov (14 / 6 / 1856 - 20 / 7 / 1922) - nhà Toán học và Vật lý nối tiếng người Nga đã đưa ra một mô hình toán học để mô tả chuyển động của các phân từ chất lỏng trong một bình kín về sau mô hình này được phát triển và sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác như cơ học, sinh học y học, kinh tế, v.v và được mang tên là: Quá t rình Markov

Trong nhệng năm gần đây, quá trình Markov đưac ứng dụng rất nhiều trong thương nghiệp, tin học, viễn thông, v.v và là một mon hoe bắt buộc đối với sinh viên của nhiều trường đại học

Xích Markov là trường hợp riêng của quá trình Markov (khi ta có thể đánh

số được các trạng thái) Để hiểu xích Markov, bạn đọc chỉ cần biết nhệng khái niệm cơ bản nhất của xác suất (đặc biệt là xác suất có điều kiện, công thức xác suất đầy đủ), đại số tuyến tính và cách giải một số phương trình sai phản đơn giản

Phần Xích Markov v à ứ n g d ụ n g có 3 chương

Chương Ì trình bày các định nghĩa cơ bản và nêu một số mó hình ứng dụng quan trọng Trong chương này cần đọc kỹ các khái niệm và nắm vệng các kết quả như: tính Markov, xác suất chuyển, phương trình Chapman-Kolmogorov, phân phối dừng, định lý ergodic, phương pháp phân tích bước t h ứ nhất và

ba bài toán liên quan

Chương 2 chứa nhiều kết quả quan trọng, trình bày phân lớp trạng thái cùa xích Markov thuần nhất Bạn đọc càn hiểu rõ mục đích của chương 2, nắm vệng các khái niệm trạng thái hồi quy, không hồi quy, phân phối dừng, phân phối giới hạn và sự tồn t ạ i Di động ngẫu nhiên là mô hình quan trọng hay gặp trong ứng dụng Chương 2 còn có nhiều ví dụ lý thú

Q u á trình Poisson là dạng đặc biệt của quá t r ì n h Markov và đ ó n g vai t r ò

vô cùng quan trọng trong ứng dụng C h ư ơ n g 3 trình bày các k ế t q u ả quan trọng nhất của q u á trình Poisson: q u á t r ì n h đ ế m , quá trình đ i ể m , t h ờ i gian

đ ế n , thời gian đ ế n trung gian, q u á t r ì n h Poisson phức Ì lợp, quá t r ì n h Poisson

đ á n h dấu B ạ n sẽ tìm thấy ờ chương 3 r ấ t nhiều mó hình ứng dụng sinh động

Mỗi chương đ ề u có các bài t ậ p giúp bạn đọc hiểu sáu thèm lý t h u y ế t và

t ậ p ứng dụng giải các bài t o á n thực t ế Bài tập khó có đ á n h d ấ u *

Phổn phụ lục giúp các bạn nhớ l ạ i các k ế t quả t ổ n thiết về xác suất,

p h ư ơ n g trình sai p h â n (hay truy hồi)

Nội dung của giáo t r ì n h này được biên soạn theo các sách nổi tiếng [5], [8], [10], [ l i ]

Bản thảo của P h ổ n ì đ ã được Nguyễn Duy T i ế n , Vũ T i ế n V i ệ t và Phạm Xuân Bình d ù n g làm tài liệu giảng dạy cho sinh viên nân) t h ứ ba Đ H K H T N - ĐHQG Hà N ộ i v à Đ H S P Quy N h ơ n năm học 1998-1999 Tôi xin c h â n t h à n h

c á m ơn PGS TS Nguyễn Văn Hữu, TS Nguyễn V i ế t Phú, TS Nguyễn H ữ u

D ư , TS Nguyễn P h ú Triêm và Thạc sĩ V ũ T i ế n Việt đã đọc kỹ bàn thảo và cho nhiều nhận x é t quý b á u đ ể cuốn sách này hoàn thiện hơn

Hà Nội 2000

T á c g i ả

Đ i n h nghĩa Ta nói rằng X(t) có tính Markov nêu:

P { X { t n + l ) = j \ X ( t 0 ) = i 0 , ,X(t n - l ) = i n -uX(l 1> ) = i}

= p{xạn+ì)=j\xạn) = i}, với bất kỳ to < h < • • • < tn < í n + 1 < và i0, ,in-\,i,j € E

Ta xem i n là h i ệ n t ạ i , ín +1 là t ư ơ n g lai, (to, í i , l à q u á k h ứ Vì

cách chính x á c là: g i ả s ư (ũ, A, p) là không gian xác suất, xn :ĨÌ-*E l à

biến ( đ ạ i lượng) ngẫu nhiên nhận giá trị trong t ậ p đ ế m đ ư ợ c E E là k h ô n g

(o + 6 ) ( l - 6 ) 6 + ( l - a ) ( l - 6 )

0 , 1 0 , 4 0,5 0,0

\ 0 , 0 0 , 1 0,4 0 , 5 /

Giải thích N g o à i Pio v à Poo đ ã t í n h ở t r ê n , t a c ó t h ể d ễ d à n g t í n h

Đ ạ t pịn^ = P{xn — j}, ta t h ư ờ n g quan t â m đ ế n các đ ạ i lượng sau:

lim y^p'71^ và lim y^j/4n' •

n,—>oo ^ — ' J n—>oo ^ — J J

j<0 j>0

Y nghĩa của các đ ạ i lượng này là:

• Đai l ư ơ n g t h ứ n h ấ t bằng l i m P{Xn < 0), đ ó là xác suất không đ ậ p

n —»00 " ' •

ứng đ ư ợ c nhu cầu của khách h à n g t ạ i chu kỳ n trong t ư ơ n g lai xa

• Đại lượng t h ứ hai bằng số lượng h à n g d ư thừa trung bình t ạ i chụ kỳ

V trong t ư ơ n g lai xa

Điều này chỉ rõ t ầ m quan trọng cùa nhírng k ế t quộ vê lim = 7Tj

1.3.2 M ô h ì n h b ì n h E h r e n f e s t

G i ộ t h i ế t có 2 container chứa 2a quộ cầu (có t h ể xem m ỗ i quộ cầu là một phàm t ử ) G i ộ sử container A chứa k quộ và container B chứa (2a — k) quộ M ộ t quộ đ ư ợ c chọn ngẫu nhiên t ừ tổng số 2a quộ và cho vào container

kia (xem n h ư p h â n t ử khuếch t á n ngẫu nhiên qua m à n g mồng) R õ ràng các quộ c ầ u luân chuyển giữa hai container theo quy l u ậ t chung: chuyển t ừ b ì n h

có n h i ề u quộ h ơ n sang b ì n h có ít quộ h ơ n

G i ộ sử Yn là số quộ cầu trong A t ạ i giai đ o ạ n t h ứ 71 và đ ặ t xn — Yn — a

K h i d ó , { x n } là xích Markov có các t r ạ n g thái là

—a, -a + Ì , — 1 , 0 , Ì, ,.a

hàng) t ạ i thời điểm đầu của chu kỳ là số khách xếp hàng chờ phục vụ Nếu

hiện t ạ i hệ ờ trạng thái ỉ thì sau một chu kỳ hệ roi vào trạng thái

nêu nếu i

Ì > Ì ,

0

(Ẹ là biến ngẫu nhiên có phân phối (fitfc) ở trên)

Ta ký hiệu Xn là số khách t ạ i thời điểm xuất phát của chu kỳ n Khi đó

X-n-ị-l = ( x n — 1 )+ + £ n ,

với x+ = max(0, X) Rõ ràng (Xn) là xích Markov (thuần nhất) với không

gian trạng thái E = {0, Ì, 2, } và ma trận xác suất chuyển là

Ta chú ý rằng EẸ = kữk là số trung bình khách tới trong mưi kỳ phục

vụ Bằng trực giác ta cảm nhận dược rằng nếu E£ > Ì thì số người xếp

hàng (chờ phục vụ) ngày càng tăng Nếu E£ < Ì thì số người xếp hàng sẽ

đạt tới trạng thái cân bằng theo nghĩa sau đây

lim P(X n = k\x0 = j) = TT k > 0 ; VA; = 0, Ì, 2 , (Y TT k = 1)

Trong mô hình này còn hai đại lượng quan trọng nữa cần tính đến Đó là:

• 7To là xấc suất không có khách, tức là tỷ lệ thời gian cửa hàng không

có khách so với thời gian cửa hàng mờ cửa

• Thời gian trung bình một khách ờ trong cửa hàng bằng 53(1 +

k)iĩk-1.4 Xích Markov có hữu han trang thái

1.4.1 Xích có hai trang thái

Bây giờ ta xét trường hợp đơn giản nhất của xích Markov: không gian

trạng thái E của xích (X ) gồm hai phần từ Ta ký ìiiệu E = {0,1}

(trong số 1200 này) sẽ t ừ 0 chuyền t h à n h 0 hay Ì, hoặc t ừ Ì chuyển t h à n h

0 hay 1

• 0 —> 0 có nghĩa là trước đ â y không nghiện, nay vẫn không nghiện

• 0 —> Ì có nghĩa là trước đ â y không nghiện, nay nghiện,

o Ì —» 0 có nghĩa là trước đ â y nghiện, nay không nghiện

• Ì —• Ì có nghĩa là trước đ â y nghiện, nay v ẫ n nghiện

Các; số liệu này có t h ể thu t h ậ p được, chẳng hạn:

T ấ t nhiên, ta còn p h ả i tính đ ế n tốc đ ộ h ộ i t ụ của P" Trong thực t ế , có

t h ể dùng m á y t í n h đ ể t í n h P2, F3, v à r ú t ra n cần t h i ế t Nế u n 24, thì có nghĩa là 24 X 3 t h á n g = 6 n ă m sẽ có p h â n phối can bằng nói t r ê n

Sau 3 t h á n g đ ầ u tiên t a có t ỷ l ệ n g ư ờ i k h ô n g nghiện và n g ư ờ i nghiện là

Trong các ví d ụ t r ê n , ta t h ấ y rõ càn phải nghiên cứu những điều k i ệ n đ ố

•Kị = l i m pịy không phu thuôc

Tì.—inn J Tí—>00

sao cho

vào ì

•Kị > 0 V j G E , Ỵ ^ T ĩ j = \

Ta cần n ắ m vững nội dung của k ế t quả sau:

Đ ị n h l ý Giả sử p = ( p t j ) là ma trận xác suất chuyến của xích Markov ( x ) có không gian trạng thái hữu hạn E = { 1 , 2 , , i \ }

(i) Nếu p chính quy theo nghĩa sau: tồn tại no sao cho

Vậy m Ịn ) < m ịn + 1 ) hay ( m ịn )) là dãy đơn điệu tăng

Tương tự ta có Ằ / jn ) > A / jn + 1 ) hay ( M jn )) là dãy đơn điệu giảm

(4.2)

(4.4)

( i i ) H i ể n n h i ê n t ừ (4.2) v à (4.3) suy r a (4.1) vì số t r ạ n g t h á i l à h ữ u h ạ n ( i i i ) (4.4) l à h ệ q u ả t r ự c t i ế p c ủ a (4.3)

Đ i n h n g h ĩ a Nghiệm không âm {-Kị,7TJV) của phu ưng trình (4.4) sao

c/i.o ]T) = Ì đ i r ợ c g ọ i / à phân phối dừng (hay bất biên) cùa xích Markov với ma trận xác suất chuyển p = (jpij)

Ta có t h ề chứng minh p h â n phối đồng t h ờ i của các biến ngẫu nhiên

Xk Xk+I, • ••> Xk+rn không phụ thuộc v à o k đ ố i với mọi 77! Q u á t r ì n h có

/ T r i \

7 T 2 7Tọ

PNN I \ Ĩ Ĩ N ) \ 7 T i V /

1.4.4 P h â n p h ố i giới h ạ n v à p h â n p h ố i ergodic

Đ i n h n g h ĩ a Ta nói rằng xích Markov có phái) phối giới hạn, nếu

Yj 1,2, Ar tồn tại các giới hạn ÍT ị — lim pịy không phụ thuộc vào ị

T>—*00 J

vả thoa mãn các điêu kiện: 7Tj > 0 , ^2 7Tj — Ì TTOVỊI trườn;] hợp đó ta gọi

( i ĩ \ , 7 Ĩ 2 , T Ĩ N ) là phân phối giới hạn

Ta nói rằng xích Markov có tính ergodic, nếu V ỹ - 1 , 2 , N tần tạt

Theo cảu iii) của đệnh lý ergodic t r ê n thì phản phối giãi hạn (và phản phối

(Tgodic) là phàn phối dừng Điều ngược l ạ i không đứng, rức: là có những q u á

i lình r ó phan phối dừng, nhung không có p h â n phối giới hạn Chẳng hạn

thì p h â n phối giới hạn duy nhất là p h â n phối đ ề u

Ta có các xác suất chuyển sau:

Tóm l ạ i với các số liệu trên, nếu chọn m ô h ì n h là xú']Ì Markov thì:

* Không gian trạng thái là các cửa h à n g : E =-• { 1 , 2 , 3 }

-Do đ ó , nếu đẩu thủ thứ nhất chơi kém hơn đấu thù thứ hai t h i việc tăng

tiền thắng cuộc trong mỗi ván lên hai lần sẽ làm giảm xác suất thua cuộc của anh ta

2) N ế u đ ấ u t h ủ t h ứ n h ấ t có vốn là — A, còn đ ấ u thủ t h ứ hai có vốn

B —* 00 thì x á c suất thua cuộc của đ ấ u t h ủ t h ứ nhất sẽ là

và xác suất đ ể đ ấ u t h ủ t h ứ nhất không bao giờ hết tiên (nghĩa là t r ò chai cứ

t i ế p tạc mãi) là

C h ú ý Các k ế t q u ả sau đ ã dược chứng minh:

1) Tốc đ ộ hội t ụ của an = an(0) đ ế n a — a(0) và của [ị, = /3n(0) đ ế n /3 — /3(0) r ấ t nhanh C ụ t h ể là t ồ n t ạ i Ễ € (0,1) sao cho

E)ặ€ biệt khi hai đ ấ u t h ủ có vốn ban đ ầ u như nhau (tức là B —A ) thì

m(0) ổ2 N h ư vậy, chầng hạn m ỗ i ván chơi có t i ề n thắng cuộc là 1$ thì khi mỗi đ ấ u t h ủ có vốn ban đ ầ u là 100$, t r ò chơi về trung bình sẽ k ế t t h ú c (V ván t h ứ m(0) •= 1002 = 10000

Bài toán t r ò chơi ờ t r ê n và nhiều bài t o á n khác cứa lý thuyết xác suất liên

quan đ ế n quỹ đạo của q u á t r ì n h ngẫu nhiên Các vấn đồ d ư ớ i đây m i n h họa ]

Đường gấp k h ú c nối các đ i ể m (0,0) , ( Ì , S i ) , , (x + y,Sx+y) được

gọi là một quỹ đạo (của việc t h ă m d ò ) Đ i ể m đ ầ u của đ ư ờ n g gấp k h ú c n à y

là (0,0), các đ i ể m trung gian là (n, Sn) và đ i ể m cuối là (x + y, X — y)

luôn n ằ m trên trục h o à n h (vì đ i ề u đ ó có nghĩa là X luôn luôn chiếm đ a số:

Si > 0 , s2 > 0 , , sn > 0 , , sx+y = x-y>0)

Chằng h ạ n v ớ i X + y = 3 , X = 2 , y = Ì thì t ấ t cà có 3 quỹ đạo

4-RÕ r à n g là ứng cử viên X thích quỹ đạo t h ứ n h ấ t him cả

Trong t r ư ờ n g hợp tổng q u á t ta dễ d à n g t í n h được tổng số các quỹ đ ạ o có

t h ể có, số này là

= ( x + yỴ- = r y

+ y xì y\ x+y '

Tuy nhiên, đ ể t í n h số các quỹ đạo luôn luôn n ằ m trên trục hoành, ta p h ả i

sử dụng nguyên lý phản x ạ Theo nguyên lý phản x ạ (mà ta sẽ nêu ra d ư ớ i

đ â y ) thì số này là

x _|_ y *TV

và do đ ó xác suất đ ể X luôn luôn chiếm đ a số là

x + y

1.7.2 N g u y ê n l ý p h ả n x ạ

G i ả s ử A — (a, a ) , B = (6, (3) l à h a i đ i ể m t r ê n m ặ t p h a n g v ớ i c á c t ọ a đ ộ sao cho b > a > 0 , a > 0 , Ị3 > 0 Đ i ể m A! = (a, —a) đ ư ợ c g ọ i l à đ i ể m

p h ả n x ạ c ủ a A qua t r ụ c Ox

Đ i n h l ý ( N g u y ê n l ý p h ả n x a ) Số quỹ đạo nối A với B mà cắt hoặc

tiếp xác với trục Ox bằng số quỹ đạo nối A' với B

• Quá trình sẽ bị hút vào trạng thái nào (0 hay 2)?

• Sau bao lâu thì hiện tượng trên xảy ra?

Phương pháp giải quyết hai vấn đề này là: P h â n t í c h b ư ớ c t h ứ n h ấ t Đặt

• li là xác suất phá sản (hết tiền) của đấu thủ thứ nhất

• ũ là xác suất phá sản (hết tiền) của đấu thú ti lư hai

• V là thời gian (số ván) trung bình để trò chơi kết thúc

Sau bước thứ nhất (ván thứ nhất) Xi có 3 khả năng: Xi — 0, Xi — Ì, Xi - 2

với xác suất t u ô n g ứng là a, b, c Nếu Xi = 0 hoác Xi 2 thì T Ì, nếu Xi = Ì thì trò chơi lại lặp lại từ đầu