Các mô hình xác suất và ứng dụng phần II

Phương trình vi phân ngẫu nhiên và dự báo quá... Tích phân này có một số tính chất như tích phân thông thường.. Nếu Xt là Li - khả tích thì không nhất thiết hàm chọn -Xo, í là khả tích

L Ờ I N Ó I Đ Â U

Xác suất Thống kê là lĩnh vực toán ứng dụng, nó đòi hồi một cơ sờ

t o á n học sâu sắc Ngày nay các m ô hình xác suất đ ã thực sự được ứng dụng rộng rãi trong khoa học t ự nhiên cũng n h ư trong khoa học xã h ộ i

Tuy nhiên, ờ V i ệ t Nam có r ấ t ít những t à i liệu về các mô hình xác suất

v à ứng dụng của chúng Đó là lý do chính chúng tôi v i ế t giáo t r ì n h này

N h ằ m phục vụ các độc g i ớ trong nhiều lĩnh vực khác nhau (toán học,

v ậ t lý, cơ học, sinh học, khoa học trái đ ấ t , kinh t ế , y học, nông nghiệp, v.v ) nên giáo t r ì n h được v i ế t theo tinh thần: chính xác về lý thuyết

t ớ i mức đ ộ nhất định, nhiều ví d ụ ứng dụng cụ t h ể thường gặp trong thực t ế và t ư ơ n g đ ố i dễ hiểu

Các t h à n h viên của B ộ môn Xác suất Thống kê, Khoa Toán Cư

-T i n học, Đ H K H -T N - Đ H Q G H N đ ã nhiều n ă m giớng dạy quá t r ì n h ngẫu nhiên v à tích lũy được nhiều kinh nghiệm đ ể v i ế t giáo trình nà y d ư ớ i dạng mô hình ứng dụng phục vụ cho đ ô n g đ ớ o bạn đọc Tuy nhiên, đ â y không phới là giáo trình sơ cấp Vì vậy đ ể đ ạ t được hiệu quớ cao, bạn đọc cần phới có k i ế n thức toán cuớ hai n ă m đ ầ u đ ạ i học và đặc biệt

p h ớ i có k i ế n thức xác suất cổ đ i ể n (chằng hạn n h ư trong Đào H ữ u H ồ [1], Đặng H ù n g T h ắ n g [2], hoặc Nguyễn V i ế t P h ú , Nguyễn Duy T i ế n [3])

Chúng tôi hy vọng giáo trình này sẽ có ích cho nhiều bạn đọc, phục

^ vụ tốt cho ứng dụng, giảng dạy và nghiên cứu

Chắc chắn giáo trình còn nhiều thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý và chỉ bảo của bạn đọc Chúng tôi xin chân thành cám ơn

Cuối cùng chúng tôi xin cám ơn Ban Giám hiệu ĐHKHTN ĐHQGHN, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Xác suất Thống kê ĐHKHTN - ĐHQGHN và Nhà Xuất Bản ĐHQGHN đã động viên, cổ

-Hà Nội mùa thu năm 1999

C á c t á c giả

M Ụ C L Ụ C Phần l i : Q U Á T R Ì N H D Ừ N G V À Ứ N G D Ụ N G

Lời nói đầu 3

1.2.3 Khai triển Karunen - Loève 28

1.3 Độ đo ngẫu nhiên và tích phân ngẫu nhiên 31

1.3.1 Độ đo ngẫu nhiên 31

1.3.2 Tích phân đối với một độ đo ngẫu nhiên 33

Bài tập 42

C h ư ơ n g 2 Quá trình dừng

2.1 Các khái niệm cơ bản 47

2.1.1 Định nghía và tính chất 47

2.1.2 Các ví dụ 49

2.1.3 Biểu diễn phổ 52

2.2 Biến đ ổ i tuyến tính quá trình dừng 61

2.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên và dự báo quá 74

Tài liệu tham khảo 119

M Ở ĐÂU

Xét không gian xác suất cớ sờ (ũ, F, P) , trong đó:

ũ là không gian mẫu gồm t ấ t cá các kết cục có thể xảv ra của phép thử ngẫu nhiên M ỗ i kết cục W Ễ Í Ì gọi là một điểm mẫu hay là một biến cố sơ cấp Người ta cũng còn gọi íĩ là không gian các biến

cố sơ cấp

T là cr-đại số (ơ-trường) các biến cố Tức là T là một họ các

tợp con của ũ thoà mãn 3 điều kiện sau

Mỗi tợp A € T gọi là một biến cố

p là độ đo xác suất xác định trên T Tức là ánh xạ p : T —• M thoi mãn 3 điều kiện sau

+) P{A) > 0 với mọi A € ĩ ,

H à m số n à y có các t í n h chất (cần v à đ ủ ) sau:

(i) đ ơ n đ i ệ u không giám,

(li) liên tục bên t r á i ,

(in) l i m F(x) = 0 , l i m F(x) = 1

x - » - o o X - Í - + 0 0

Xét h à m giá trị thực (hoặc phức) X(uJ,t) v ớ i u € ũ v à t ÉT

N ế u cố định teT t h ì t a đ ư ợ c X(UJ,») là một đ ạ i lượng ngẫu nhiên hay b i ế n ngẫu nhiên

m ộ t quỹ đạo của x(t) , còn gọi là một t h ể hiện hay m ộ t h à m chọn của

P h â n p h ố i h ữ u hạn chiều của q u á t r ì n h ngẫu nhiên X(t) , í € T

Chương Ì

Q U Á T R Ì N H C Ấ P 2

C h ư ơ n g n à v trình b à v những khái niệm cơ bản và công cụ toán hoe cần thiết, đ ể nghiên cứu q u á t r ì n h dừng bao gồm khái niệm q u á t r ì n h cấp hai, h à m t ư ơ n g quan, p h é p t í n h tích p h â n , v i p h â n cho q u á t r ì n h cấp hai v à tích p h â n ngẫu nhiên đ ố i v ớ i đ ộ đ o ngẫu nhiên gia số trỉc giao

Ký h i ệ u L2(Ũ,J : ,P) là không gian Hilbert các đ ạ i lượng ngẫu

nhiên X sao cho E | X |2 < oo Tích vô hướng trong L2(ĩl,J r ,P) là

C h ứ n g m i n h G i ả sử t ồ n t ạ i l i m Xn = X

n—yoo

Khi đ ó theo b ấ t đ ằ n g thức Schwarz t a có

lim | E Xn - EX\ = l i m | E ( Xn - EX)\ < l i m ựE\X n -X\ 2 = 0

n-*oo n—>oo n—>oo

Mặt k h á c Cov(X n ,X m ) = < x n , x m > ~(EX n )(EX m ) , n ê n t a có

lim Cov{X n ,X m ) = <x,x> -(EX) 2

Định lý sau đ â y cho ta tiêu chuẩn đ ể b i ế t t í n h L 2 - liên tục của

X(t) t h ô n g qua tính liên tục của h à m t r u n g b ì n h v à h à m t ự t ư ơ n g

quan

Đ i n h l ý 2 Quá trình Xịt) là L2 - liên tục khi và chỉ khi hàm

trung bình m(t) và hàm tự tương quan r(s,t) là liên tục

C h ứ n g m i n h Điêu kiện cần: G i ả sử X(t) là L2 - liên tục

Định lý đ ư ợ c chứng m i n h đ ầ y đ ủ n

Định lý t r ê n cho p h é p t a k ế t l u ậ n q u á t r ì n h Wiener v à q u á t r ì n h

Poisson là Z/2 - liên t ụ c

C h ú ý C ầ n p h â n b i ệ t k h á i n i ệ m L-1 - liên tục v ớ i khái niệm liên

tục theo quỹ đ ạ o Ta n h ớ l ạ i r ằ n g x(t) được gọi là liên tục theo quỹ

đ ạ o n ế u v ớ i h ầ u h ế t Lú € f ì t h ì quỹ đạo Xu : ị —> x^t) là m ộ t

h à m liên tục Việc t ì m tiêu chuẩn nhận b i ế t t í n h liên tục theo quỹ đạo

của m ộ t q u á t r ì n h X(t) là m ộ t b à i t o á n khó h ơ n r ấ t nhiều

Q u á t r ì n h Wiener có các quỹ đ ạ o là h à m liên tục, trong khi các quỹ

đ ạ o của q u á t r ì n h Poisson l ạ i là các h à m bậc thang gián đ o ạ n C h ú ý

r ằ n g h à m t ả t ư ơ n g quan của hai q u á t r ì n h n à y có dạng hoàn t o à n giống nhau N h ư v ậ y việc b i ế t h à m t ả t ư ơ n g quan của một q u á t r ì n h cấp 2

c h ư a đ ủ t h ô n g t i n đ ể cho p h é p k ế t l u ậ n về tính liên tục theo quỹ đ ạ o của q u á t r ì n h đ ó

1.2 Phép tính vi tích phân cho quá trình cấp 2

(i) Hàm trung bình m(t) khả vi tại í =

to-(ii) Tòn tại giới hạn

l i m \r(to + h,t 0 + k) - r(t 0 + h,to) - r(t 0 ,t 0 + k)+ r(t 0 ,t 0 )

/i->-0 hk í

fc->0

C h ú ý T í n h L2 - k h ả v i không có liên quan gì đ ế n tính k h ả v i

của h à m chốn T h ậ t vậy, h à m chốn của q u á t r ì n h Poisson là m ộ t h à m bậc thang do đ ó nó chỉ không k h ả v i t ạ i các đ i ể m bước nhẩy Đ ố i v ớ i

q u á t r ì n h Wiener, bằng một chứng minh r ấ t khó v à tinh t ế n g ư ờ i ta

đ ã chỉ ra r ằ n g h à m chốn của q u á trình Wiener là h à m liên tục n h ư n g

không k h ả v i ờ b ấ t cứ đ i ể m n à o

Đ i n h lý 4. Quá trình x ( t ) là Li - khả vi nếu hàm trung bình

d 2 r(s t) mịt) khả vi và đạo hàm cấp 2 d— của hàm tụ tuơng quan là tồn tại và liên tục

Như vậy, nếu X(t) là quá trình Li - khả vi thì Li - đạo hàm x'(t)

của quá trình ấy lại là một quá trình cấp 2 mới T ừ chứng minh của các định lý trên ta suy ra các công thức tính hàm trung bình và hàm

t ự tương quan của X'(t) như sau:

EX'(t) = m'(t)

d 2 r(s,t) Cov[X'(s),X'(t)] =

Cov[X'(s),X(t)] =

dsdt dr(s, í)

da Tương t ự ta có thổ xây dựng các khái niệm Li - khả vi cấp 2,3, 1.2.2 L 2 - khả tích

Giả sử x(t) là một Lĩ - quá trình (quá trình cấp 2) trên đoạn

trong đó Si là điổm tuy ý thuộc [ í j , í j+i ]

Nếu tồn t ạ i giới hạn l.i.m5(A) = ì ,

• lAI-To

thì ta nói X(t) là L2 - khả tích và viết

6

= J X{t)dt

Tích phân này có một số tính chất như tích phân thông thường Chằng hạn:

6 Định lý 5 (i) Nếu X(t) > 0 , Ví € [0,6] thì Ị X{t)dt > 0

khi đó Y(t) là L 2 - khả vi và Y'(t) = X(t)

(v) (Công thức Newton - Leibnitz)

Nếu x(t) là L% - khả vi liên tục (tức x'(t) là L2 - liên tục) trên

Chú ý Nếu X(t) là Li - khả tích thì không nhất thiết hàm

chọn -Xo, (í) là khả tích Riemann với xác suất Ì Tuy nhiên, nếu

hàm chọn Xựjj)(t) là khả tích Riemann với xác suất Ì thì tích phân

Đ ị n h l ý 6 Quá trình X(t) là Z/2 - khả tích trên [a, bị nếu và

quan r(s,t) khả tích trên [a, b] X [a, bị

Trong trường hợp đó ta có các công thức sau đây:

Vì 5 ( A ) = ^ X ( s i ) ( í j + 1 — ti) hội t ụ bình p h ư ơ n g trung bình t ớ i

V í d ụ 4 ( Q u á t r ì n h W i e n e r t í c h h ợ p ) G i ả sử W(t) , t > 0

là q u á t r ì n h Wiener v ớ i tham số ơ 2 w(t) có h à m t r u n g binh m(t) = 0

v à h à m t ự t ư ơ n g quan r(s,t) = ơ 2 min ( s , í ) Ta xây d ự n g m ộ t q u á

N h ư là một bước đ ầ u tiên đ ể t ì m quy l u ậ t xác suất của X(t) ,

trước h ế t ta hãy t ì m h à m trung bình v à h à m t ự t ư ơ n g quan của nó

N h ư là m ộ t á p dụng của k h á i n i ệ m Li - k h ả v i và Z/2 - k h ả tích, t a có

định lý sau đ ư ợ c xem n h ư là b ấ t đ ẳ n g t h ứ c Chebyshev cho q u á t r ì n h ngẫu nhiên

Đ ị n h l ý 7 Giả sử x(t) , a < í < b là quá trình 1/2 - khả vi liên tục

Khi đó ta có đánh giá sau:

Do đ ó Ịi.m V zk<pk{t) = Xo (í) ,

fc—>00

fc=l hay

oo

X{t) = m{t) + Y^ZWk{t)

fc=i

V ậ y t a c ó đ ị n h lý sau:

Đ ị n h l ý 8 ( K h a i t r i ể n K a r u n e n - L o è v e ) Giả sử X(t),t e [a, ói

là quá trình L2 - liên tục với hàm trung bình m(t) và hàm tự tuông quan

với kỳ vọng 0 và dãy hàm không ngẫu nhiên {<Pn(t)} sao cho V í € [a, b)

ta có khai triển sau:

00

n = l

trong đó chuỗi à trên hội tụ bình phương trung bình với mỗi í € [a,b]

Dãy {<Pn(t)} là cơ sỏ trục chuịn của L2[a,b] và là các hàm riêng của

Độ đo ngẫu nhiên cộng tính hữu hạn z được gọi là độ đo ngẫu nhiên nếu với bất, kỳ dãy các tập Ai, Ai, e A đôi một không giao nhau thì

oo n 2

E\z(\jA k )-Y,Z(A k )\ 0 ( n - + o o ) ,

fc=i fe=i hay là

Tương t ự như đ ặ i với độ đo thông thường, tính chất cộng tính đếm được của độ đo ngẫu nhiên (theo nghía bình phương trung bình) tương đương với

tính chất liên tục t ạ i "không" (theo nghía bình phương trung bình), tức là

E | Z ( , 4n) |2 -> 0 khi An \ 0 , An e A

Độ đo ngẫu nhiên z được gọi là trực giao (hay là độ đo với giá trị trực giao) nếu với bất kỳ hai tập A\,Ả2 € Á mà Ai n A2 = 0 thì

EZ(A X )Z(A 2 ) = 0 (hoặc E Z ( A i ) Z ( A2) = 0) ,

điều này t ư ơ n g đương với sự kiện: với bất kỳ hai tập A\,A2 € A thì

EZ(A 1 )Z(A 2 ) = E\Z(Ai n A 2 )\ 2

Đặt m{A) = E\Z(A)\ 2 thì ta thấy ra là độ đo hữu hạn, nó được gọi là

độ đo cấu trúc của độ đo ngẫu nhiên trực giao z

Ta còn có t h ề định nghiã độ đo ngẫu nhiên trực giao và độ đo cấu trúc của nó theo cách khác (tương đương với cách trên) như sau:

Già sư (S,A,m) là không gian có độ đo Ánh xạ

z : A —>• L2(fl,J : , P) được gọi là một độ đo ngẫu nhiên trực giao nếu

thoả mãn các tính chất:

a) < Z{A 1 ),Z(A 2 ) > = m{A 1 nA 2 ) ,VA 1 ,A 2 eA

b) V ớ i {A n }^ =l là dãy các t ậ p đôi một r ờ i nhau thuộc A t h ì

oo oo

n=l n=l

trong đ ó chuỗi ờ trên hội t ụ theo n g h í a bình p h ư ơ n g t r u n g b ì n h

Độ đ o m đ ư ợ c gọi là đ ộ đ o cấu t r ú c của đ ộ đ o z N g ư ờ i t a đ ã chứng minh đ ư ợ c rằng luôn t ồ n t ạ i đ ộ đo ngẫu nhiên trực giao z n h ậ n m ộ t đ ộ đ o

ra cho t r ư ớ c làm đ ộ đ o cấu t r ú c

T ả t í n h chất a) ta có m(A) = E | Z ( A ) |2

1.3.2 Tích phân đ ố i với m ó t đ ô đo ngẫu n h i ê n

Cho z : A —> L<2{Ũ,!F,P) là m ộ t đ ộ đo ngẫu n h i ê n v ớ i đ ộ đ o c ấ u

t r ú c ra Trans m ú c này, ta sẽ xây dựng tích p h â n dạng / m i z ( t ) , V *

/ 6 L2{S,A,m) theo cách sau:

Ký hiệu I 4 là h à m chỉ tiêu của t ậ p hợp A tức là

Vậy I :U -ì Li(íĩ, T, P) là phép đằng cự giưã li và một bộ phận của

L/2{tt, T, P) Vì u là trù.-tnật trong L2(S, A, m) , nên / được mờ rộng

thành một đằng cự t ừ toàn bộ L,2(S, Ả,m) lên một bộ phận của L2{fl,!F, p)

Tính chất tuyến tính, đằng cự của ì được phát biểu lại thành các tính

chất sau đây của tích phân ngẫu nhiên

Đ i n h l ý 9 Tích phân ngẫu nhiên có các tính chất sau:

(i) Tuyến tính: với các hằng số a, ọ tuy ý thì

Ta sẽ chứng t ỏ rằng có một h à m thực không giảm F(t) liên tục bên t r á i sao cho với s < t thì

Gọi m là đ ộ đ o hữu hạn sinh b ờ i h à m thực không g i ả m liên tục bên t r á i

F(t) v à Zỵ là đ ộ đ o ngẫu nhiên t r ự c giao t r ê n R n h ậ n m là đ ộ đ o cấu

t r ú c Ta định n g h i ã

J f(t)dX(t) = J f(t)dZx(t)

ấ Ố

Ngược l ạ i , nếu cho trước đ ộ đ o ngẫu nhiên trực giao z t r ê n M t h ì t a

có t h ể xây dựng m ộ t q u á t r ì n h X(t) có gia số trực giao v à L2 - liên tục bên

t r á i bằng cách đ ặ t

X(t) = Z{(-oo,t)}

D ễ d à n g k i ể m t r a r ằ n g z —

Zx-Đ i n h l ý 1 0 (i) Nếu hàm / ( í ) liên tục trên [a, bị thỉ

/ f(t)4X(t) = Ì i m J T / (5 i) X ( t l + l ) - Xịu)

trong đó A là phân hoạch tuy ý a = to < tị < Í 2 < < í n + 1 = b , Si

điềm tuy ý thuộc [ti,ti + i] và | A | = m a x | í j+ i — í j |

(li) Nếu X(t) là L2 - khả vi Kên tục thì

b f{t)dX{t) = ị f{t)X'(t)dt

Vậy Li.m r i ( íi + 1) ị / ( ii + 1) - f(u)} = / X(t)f'(t)ds

Công thức tích phân từng phần đ ã được chứng minh.D

G i à sử W(i) là q u á t r ì n h Wiener v ớ i t h a m số Ớ 1 T ừ nay t r ờ đ i t a h i ể u

q u á t r ì n h Wiener W(t), —oo < t < oo, v ớ i tham số ơ 2 là q u á t r ì n h gia số trực

giao có p h â n p h ố i chuẩn v ớ i trung b ì n h 0 v à t h ỏ a m ã n E\W(t) — W(s)\ 2 =

ơ 2 \t — s\ Độ đ o cấu trúc là độ đo Lebesgue sai khác m ộ t h ệ số tỷ l ệ ơ 2 N h ư

t a đ ã b i ế t q u á t r ì n h W(t) không Li - k h ả v i t ạ i b ấ t cứ đ i ể m n à o (xem ví

d ễ 3) Tuy n h i ê n , do nhu cầu của nhiều bài t o á n t h ự c t i ễ n , n g ư ờ i t a v ẫ n cần

p h ả i gán cho đ ạ o h à m w'{t) một ý n g h i ã n à o đ ó

T ư ơ n g t ự n h ư h à m suy rộng Dirac ẵ(x) đ ư ợ c xem n h ư là p h i ế m h à m

t u y ế n t í n h t r ê n k h ô n g gian C[a, bị các h à m liên tễc, x á c đ ị n h b ờ i công thức

T ừ đ ị n h lý 9 ta suy ra các k ế t quả sau:

G i ả i Ta t h ấ y Xịt) có h à m t r u n g b ì n h m(t) = 0

c ò c

E [ Ị f{t)dW{t) J g(t)đW(t) = ơ 2 Ị f(t)g{t)dt , v ớ i a < c < b

8 Cho các q u á t r ì n h ngẫu nhiên độc lập Xi(t),X2(t) , t ÉT có các

h à m t r u n g b ì n h là mi(t),rn2(t) và các hàm t ự t ư ơ n g quan là ri(s,t),7"2(s.,i)

t ư ơ n g ứng H ã y t ì m h à m trung bình và hàm t ự t ư ơ n g quan của q u á t r ì n h ngẫu nhiên

Y(t) = X l {t)X 2 {ị)

9 Cho X(t) , 0 < í < co là q u á trình Poisson v ớ i tham số A Đ ặ t

Y(t) = X(t) - t x ị l ) , 0 < í < 1 T ì m h à m trung b ì n h v à h à m t ự t ư ơ n g quan

11 Cho X(t) , - o o < t < oo là quá trình Gauss v à f(t),g(t) là hai

h à m không ngẫu nhiên n à o đ ó Đ ặ t

Tìm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên

15 Cho W ( í ) , í > 0 là quá trình Wiener với tham số ơ2

Tìm kỳ vọng và phương sai của các đ ạ i lượng ngẫu nhiên

Ì Ì

X = J tdW(t) , Y = Ị t2dW{t)

0 0

16 Cho W ( i ) , í > 0 là quá trình Wiener với tham số Ớ1

Tìm hàm trung bình và hàm tự tương quan của các quá trình sau:

t

ì) X(t) = Ị sdW(s) , t > 0