Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD.[r]
Trang 1PHÒNG GD - ĐT HOÀI NHƠN KÌ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI
- Môn thi: KIẾN THỨC BỘ MÔN TỐN.
Thời gian làm bài: 120 phút
-C©u1 ( 3 ®iĨm) :
a) Anh (chị) hãy trình bày các bước thực hiện dạy một đơn vị kiến thức theo phương pháp “ Nêu và giải quyết vấn đề ”.
b) Soạn tĩm tắc giáo án dạy HS giải bài tốn sau theo phương pháp “ Nêu và giải quyết vấn đề ”.
Bài tốn: Tìm x, y, z thoả mãn: x = 2y = 3z và x2 + y2 + z2 = 441
Câu 2 ( 7 điểm): Anh (chị) hãy giải các bài tốn sau:
Bài 1 (1,5 điểm): Tìm số chính phương lớn nhất cĩ chữ số tận cùng khác 0 thoả
mãn: Khi ta xố hai chữ số tận cùng của nĩ thì vẫn được một số chính phương.
Bài 2 (1,5 điểm): Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình:
x2 – 2(m – 1)x + 2m2 – 3m + 1 = 0 ( với m là tham số) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = |x1+x2+x1x2|
Bài 3 (1 điểm): Giải hệ phương trình
¿
x3 +2 y2−4 y+3=0
x2+x2y2− 2 y=0
¿{
¿
Bài 4 (3 điểm):
1) Cho tam giác ABC cĩ AB < AC và Â = 840 Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho
CD = AB Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD Tính số đo của gĩc CNM 2) Cho tam giác ABC cĩ diện tích S khơng đổi Điểm M, N, P lần lượt thuộc cạnh
AB, BC, CA sao cho AMMB =BN
NC=
CP
PA=k (k > 0) a) Chứng minh rằng
¿
k
¿
b) Tìm k để SMNP nhỏ nhất
Trang 2Câu 1a) Theo tài liệu: “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP DẠY – HỌC TOÁN PHỔ THÔNG”
(Hợăc theo nội dung tập huấn thay sách – Chu kì 2001-2005)
Câu 1b) Tõ x=2 y=3 z ⇒ x
6=
y
3=
z
2⇒ x2
36=
y2
9 =
z2
4=
x2+y2+z2
441
49 =9
tõ x = 2y = 3z nªn x, y, z cïng dÊu vËy (x; y; z)=(18; 9; 6)=(-18; -9; -6)
Câu 2 – Bài 1:
Gọi số cần tìm là Axy thì theo đề cho ta có:
¿
Axy=k2
A=t2
¿{
¿
⇔
100 A +xy=k2
A=t2
¿{
(I) , với k, t N*
* Nếu xy=00 , dễ dàng ta có A chính phương là thoả bài toán
=> Không xác định số chính phương dạng A 00 lớn nhất thoả bài toán
* Nếu xy ≠ 00 , từ (I) => 0 < xy=k2− (10 t)2=(k +10 t ) (k −10 t )≤ 99
=> 0 < k +10t 99 (*) => 10t < 99 => t < 9 => t {1;2 ;3 ; ;8} và k – 10t > 0
Mặt khác: A lớn nhất khi t lớn nhất, do đó ta xét:
+) Với t 5, từ (*) => k 49 => k – 10t < 0, vô lý
+) Với t = 4 => k 41 Lại có k – 10t >0 => k > 10t = 40 => k = 41
Khi đó, ta có xy=81 1=81 , A = 16 thoả bài toán
* Vậy: - Không xác định số chính phương lớn nhất dạng A 00 thoả bài toán
- Nếu hai chữ số tận cùng khác 0 thì số chính phương lớn nhất thoả bài toán là 1681.
(Nếu GV thể hiện được trường hợp xy=00 rồi dừng lại ( => Kết luận) thì xem lại sự cố gắng phát triển nghề nghiệp)
Câu 2 – Bài 2:
* Phương trình: x2 – 2(m – 1)x + 2m2 – 3m + 1 = 0 có nghiệm khi:
[-(m – 1)]2 – (2m2 – 3m + 1) 0 0 ≤ m≤1 (1)
* Với 0 ≤ m≤1 , phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 Ta có:
P = |x1+x2+x1x2|=|2m2−m− 1|=2| (m−1
4)2− 9
16| Vì 0 ≤ m≤1 =>
−1
4≤ m−
1
4≤
3
4⇒(m−1
4)2≤ 9
16
Do đó P = 2[ 9
16 −(m−1
4)2]=9
8− 2(m−1
4)2≤9
8 và P =
9
8⇔ m=1
4 (thoả (1)) Vậy Giá trị lớn nhất của P là 9
8 khi m =
1 4
Trang 3Câu 2 – Bài 3:
¿
x3+2 y2−4 y+3=0 (1)
x2 +x2y2− 2 y =0 (2)
¿{
¿
Từ (1) => x3 = – 1 – 2 (y – 1)2 – 1 => x – 1 (1’)
Từ (2) => x2= 2 y
y2+1≤ 1 => −1 ≤ x ≤1 (2’)
Từ (1’) và (2’) => x = –1 => y = 1 Vậy hệ cĩ nghiệm là (x; y) = (–1; 1)
Câu 2 – Bài 4a) Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua M
⇒ CA’ = AB = CD và 1800− A ^ C A ' = BÂC = 840
⇒ Δ CDA’ cân ở C ⇒ C ^ D A '=180
0− A ^ C A '
- MN là đường trung bình của Δ ADA’
⇒ MN // DA’ ⇒ C ^ N M=C ^ D A '
- Từ đó suy ra C ^ N M=420
a) ¸p dơng c«ng thøc trªn SAMP=1
2 AM AP SinA nªn SAMP
AM AP
AB AC =
AM
AB .
AP
AC(∗)
theo GT AM
MB =k ⇒AM
AB =
k
k +1 ;
AP
PC=
1
k ⇒AP
AC=
1
k +1
thay vµo (*) ta cã
¿
k
¿
( Nếu GV phát hiện ra được kết luận của giả thiết trong trường hợp: “vị trí M, N, P nằm ngồi cạnh của tam giác thì quá tốt )
b) T¬ng tù
k +1¿2
¿
S
S=
k
¿
;
¿
k
¿
k +1¿2
¿ S
1− 3 k
¿
SMNP=S −3 SAMP=¿
ta cã
k +1¿2
¿
¿
k +1¿2≥ 4 k ⇒ 3 k¿
¿
dÊu “=” x¶y ra khi k=1
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt SMNP=1
4S khi k=1
Trang 4hay M,N,P lµ trung ®iÓm AB, BC, CA
Phßng GD&§T HOÀI NHƠN
Trêng THCS TAM QUAN
Kú Thi Gi¸o viªn giái CẤP trêng n¨m häc 2009-2010
híng dÉn chÊm M«n To¸n
1b
6=
y
3=
z
2⇒ x2
36=
y2
9 =
z2
4=
x2 +y2 +z2
441
49 =9
x2=324⇒ x=± 18 ; y2=81⇒ y=± 9 ; z2=36⇒ z=± 6
tõ x = 2y = 3z nªn x, y, z cïng dÊu vËy (x; y; z)=(18; 9; 6)=(-18; -9; -6)
Trang 5Gọi số cần tìm là Axy thì theo đề cho ta có:
¿
Axy=k2
A=t2
¿{
¿
⇔
100 A +xy=k2
A=t2
¿{
(I) , với k, t N*
* Nếu xy=00 , dễ dàng ta tcó A chính phương là thoả bài toán
=> Không xác định số chính phương dạng A 00 lớn nhất thoả bài toán
* Nếu xy ≠ 00 , từ (I) => 0 < xy=k2− (10 t)2
=(k +10 t ) (k −10 t )≤ 99
=> 0 < k +10t 99 (*) => 10t < 99 => t < 9 => t {1;2 ;3 ; ;8}
và k – 10t > 0
Mặt khác: A lớn nhất khi t lớn nhất, do đó ta xét:
+) Với t 5, từ (*) => k 49 => k – 10t < 0, vô lý
+) Với t = 4 => k 41 Lại có k – 10t >0 => k > 10t = 40
=> k = 41
Khi đó, ta có xy=81 1=81 , A = 16 thoả bài toán
* Vậy:
- Không xác định số chính phương lớn nhất dạng A 00 thoả bài toán
- Nếu hai chữ số tận cùng khác 0 thì số chính phương lớn nhất thoả bài toán là
1681.
* Phương trình: x2 – 2(m – 1)x + 2m2 – 3m + 1 = 0 có nghiệm khi:
[-(m – 1)]2 – (2m2 – 3m + 1) 0 0 ≤ m≤1 (1)
* Với 0 ≤ m≤1 , phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 Ta có:
P = |x1+x2+x1x2|=|2m2−m− 1|=2| (m−1
4)2− 9
16|
Vì 0 ≤ m≤1 => −1
4≤ m−
1
4≤
3
4⇒(m−1
4)2≤ 9
16
Do đó P = 2[ 9
16−(m−1
4)2]=9
8− 2(m−1
4)2≤9
8
P = 9
8⇔ m=1
4 (thoả (1)) Vậy Giá trị lớn nhất của P là 9
8 khi m =
1 4
0,5 0,5 0,5 0,5
Trang 6H
A
M
N
P
a) ¸p dông c«ng thøc trªn SAMP=1
2 AM AP SinA nªn SAMP
AM AP
AB AC =
AM
AB .
AP
AC(∗)
theo GT AM
MB =k ⇒AM
AB =
k
k +1 ;
AP
PC=
1
k ⇒AP
AC=
1
k +1
thay vµo (*) ta cã
k +1¿2
¿
SAMP
k
¿
b) T¬ng tù
k +1¿2
¿
S
S=
k
¿
;
k +1¿2
¿
SCNP
k
¿
k +1¿2
¿ S 1− 3 k¿
SMNP=S −3 SAMP=¿
ta cã
k +1¿2
¿
¿
k +1¿2≥ 4 k ⇒ 3 k¿
¿
dÊu “=” x¶y ra khi k=1
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt SMNP=1
4 S khi k=1 hay M,N,P lµ trung ®iÓm AB, BC, CA
0,5
1,0
1,0
0,5