bai tap vecto tong hop du dang

Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC, E là điểm trên đường chéo AC thỏa mãn tỉ số AE:AC=2:3.. Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a.[r]

25 - 10 - 09 Vấn đề 1: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng:

1 Cho tam giác ABC M, N, E lần lượt là điểm chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo các tỉ số lần lượt là

4 3; 2;

3

  

I

là trung điểm cảu AN Chứng minh M, E, I thẳng hàng

2 Cho hình bình hành ABCD Gọi M là điểm chia đoạn AB theo tỉ số

1 3

 , E là điểm chia đoạn thẳng AD theo tỉ số 2 Chứng minh ba điểm M, N, E thẳng hàng

3 Cho tam giác ABC Chứng minh I, J, A thẳng hàng nếu biết I, J là các điểm xác định bởi

3         IB         2              IC                0 à v JA                              3 JB                              2 JC  0

4 Cho tam giác ABC Biết I, J là các điểm xác định bởi               IC IB IA                                              0 à               v JA JB                                             3 JC  0

a Chứng minh I, G, B thẳng hàng với G là trọng tâm tam giác ABC

5 Cho tam giác ABC trọng tâm G, M là điểm tùy ý GọiA B C1; ;1 1lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm I,

J, K của các cạnh BC, CA, AB

a Chứng minh AA BB CC1; 1; 1đồng quy tại trung điểm O của mỗi đường.

b Chứng minh M, G, O thẳng hàng

a Chứng minh A, D, E thẳng hàng

b Dựng điểm D thỏa các điều kiện trên?

7 Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC, E là điểm trên đường chéo AC thỏa mãn tỉ số AE:AC=2:3 Chứng minh D, E, I thẳng hàng

a Tính AM  theo AB, AC   .

b Chứng minh rằng

c Tính x theo a để cho AM vuông góc với PN

Vấn đề 2: Chứng minh hai điểm trùng nhau:

1 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng tam giác ANE

và tam giác CMF cĩ cùng trọng tâm

2 Cho tam giác ABC, hai điểm D, E thỏa mãn hệ thức

1

DB k DC EB EC k k

k

a Biểu diễn các vecto    AD AE DE , , theo các vecto    AB AC BC , ,

b Chứng minh tam giác ABC và tam giác DEF cùng trọng tâm

c Gọi I và F là hai điểm thỏa mãn hệ thức IC k IA  ; FA k FA  .

Chứng minh               AD BI CF                                              0

Vấn đề 3: Chứng minh biểu thức vecto khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M:

khơng phụ thuộc vị trí điểm M BÀI TẬP TỔNG HỢP VECTO

2 Cho tứ giác ABCD A B C D1; ; ;1 1 1 là các điểm di động và k là một số thay đổi sao cho:

AA k AB BB  k BC CC  k CD DD  k DA

chứng minh vecto u  A C1 1 B D1 1 khơng đổi



       

khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M

4 Cho tam giác ABC và M là một điểm tùy ý

a Chứng minh rằng vector v MA 2MB 3MC                                              

không phụ thuộc vào vị trí của M

b Hãy dựng điểm I sao cho CI v 

 

và CI 3CN                             

Vấn đề 4: Xác định vị trí điểm M thỏa một đẳng thức vecto cho trước:

2 Cho lục giác ABCDEF Hãy xác định vị trí điểm M sao cho

a MA MB MC MD ME MF

3 Cho tam giác ABC

b Chứng minh điểm G nằm trên đường thẳng BC

Vấn đề 5: Chứng minh đường thẳng thay đổi luơn đi qua điểm cố định.

a Chứng minh đường thẳng MN luơn đi qua một điểm cố định

chứng minh đường thẳng MP luơn đi qua một điểm cố định

2 Cho tam giác đều ABC M là một điểm thay đổi thuộc miền trong tam giác Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của M trên BC, CA, AB Gọi I là trọng tâm tam giác A’B’C’ Chứng minh đường thẳng MI luơn đi qua một điểm

cố định

a Chứng minh đường thẳng MN luơn đi qua một điểm cố định khi M, N thay đổi

chứng minh đường thẳng ME luơn đi qua một điểm cố định

4 Cho tam giác ABC trọng tâm G và hai điểm I, J thoả mãn : IA 2 IB, 3 JA              2JC O=

CMR : Đường thẳng IJ đi qua G

Vấn đề 6: Tìm tập hợp điểm:

1 Cho tứ giác ABCD Tìm tập hợp các điểm M thỏa k MA                              2 MB  (2                k MC )                              3 MD  0

với k là một số thực tùy ý

2 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện:

b MA MB    2MC  2MA MB  3MC

c MA  3 MB  2 MC  2 MA MB MC  

d

2

MA MB MC  MA MB MC

Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện:

MA  MB MC   MA  MB MC 

4 Cho tứ giác ABCD Hai điểm M, N thay đổi trên các cạnh AB, CD sao cho AM:AB=CN:CD Tìm tập hợp trung điểm I của MN

5 Cho tam giác ABC, tìm tập hợp điểm M thỏa

a          MA                     2 MB                              3 MC  0

b MA MB   3 MC  0

nhỏ nhất

Vấn đề 7: Chứng minh hai vecto cùng phương và các tính chất hình học:

3 Cho tam giác ABC, I và J lần lượt là hai điểm thỏa điều kiện: IA  2 IB  0; JA  5 JB  3 JC  0

Chứng minh BCIJ

là hình bình hành

4 Tam giác ABC vuơng tại A AH là đường cao Chứng minh rằng:

) c ) c AC b AB



5 Tam giác ABC cĩ               AB AC vu                ơng gĩc voi                             AB CA 

Chứng minh tam giác ABC cân đỉnh A

6 Hai đoạn thẳng AB, CD bằng nhau và trượt trên các cạnh Ox, Oy của gĩc xOy, A thuộc đoạn OB, C thuộc đoạn OD; I,

J theo thứ tự là trung điểm của AC, BD Chứng minh rằng IJ luơn song song với phân giác của gĩc xOy và độ dài IJ khơng đổi

7 Cho tứ giác ABCD Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD, BCD Chứng minh EF song song với AC

8 Cho tam giác ABC Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức  BC+ MA= O ; AB − NA − 3 AC= O Chứng

minh MN // AC

9 Cho hình thang ABCD ( đáy lớn DC, đáy nhỏ AB) gọi E là trung điểm DB CMR:              EA EB EC ED DA BC                                                                           

Vấn đề 8: Vecto trên hệ trục toạ độ:

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A 2,k ; B k, 4 , C 2k,4k ; D k ; 1  2       2  

a) Định k để có AB CD                             

b) Gọi I a,b  là trung điểm của AB Tìm hệ thức giữa a và b độc lập đối với k.

2 Tìm trên trục hoành điểm P sao cho tổng các khoảng cách từ P tới các điểm A 1,2 ; B 3,4    là nhỏ nhất.

3 Cho biết ba trung điểm của ba cạnh của tam giác ABC lần lượt là A 2,1 ; B 5,3 , C 3, 4        , hãy lập phương trình ba cạnh của tam giác.

4. Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0) Tìm tọa độ điểm D nếu biết:

a) AD 

– 2BD 

+ 3CD  = 0  b) AD  – 2AB  = 2BD

 + BC 

c) ABCD hình bình hành

d) ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD với BC = 2AD

5. Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0) Tìm tọa độ điểm D nếu biết:

a) AD  – 2BD  + 3CD

 = 0  b) AD  – 2AB  = 2BD  + BC



c) ABCD hình bình hành

d) ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD với BC = 2AD

6. Cho lục giác đều ABCDEF Chọn hệ trục tọa độ (O; i;   j ), trong đó O là tâm lục giác đều , i cùng hướng với   OD,  j

cùng hướng  EC Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều , biết cạnh của lục giác là 6

7. Cho tam giác đều ABC cạnh a Chọn hệ trục tọa độ (O; i;   j ), trong đó O là trung

điểm BC, i cùng hướng với   OC,  j cùng hướng  OA

a) Tính tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC

b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC

c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC