[r]
Trang 1Dy c¸c sè viÕt theo quy luËt
Bµi 1: TÝnh:
A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100
H−íng dÉn
3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98)
3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100
3A = 99.100.101
Bµi 2: TÝnh:
A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101
H−íng dÉn
A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ +99(100+1)
A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99
A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99)
Bµi 3: TÝnh:
A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102
H−íng dÉn
A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2)
A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2
A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99)
Bµi 4: TÝnh:
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100
H−íng dÉn
4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97)
4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.101-97.98.99.100
4A = 98.99.100.101
Bµi 5: TÝnh:
A = 12+22+32+ +992+1002
H−íng dÉn
A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1)
A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100
A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100)
Bµi 6: TÝnh:
A = 22+42+62+ +982+1002
H−íng dÉn
A = 22(12+22+32+ +492+502)
Bµi 7: TÝnh:
A = 12+32+52+ +972+992
H−íng dÉn
A = (12+22+32+ +992+1002)-(22+42+62+ +982+1002)
A = (12+22+32+ +992+1002)-22(12+22+32+ +492+502)
Bµi 8: TÝnh:
A = 12-22+32-42+ +992-1002
H−íng dÉn
A = (12+22+32+ +992+1002)-2(22+42+62+ +982+1002)
Bµi 9: TÝnh:
A = 1.22+2.32+3.42+ +98.992
H−íng dÉn
A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1)
Trang 2A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99
A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) Bµi 10: TÝnh:
a) A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100
H−íng dÉn
3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98)
3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100
3A = 99.100.101
A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101
b) A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102
c) A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100
d) A = 12+22+32+ +992+1002
e) A = 22+42+62+ +982+1002
g) A = 12+32+52+ +972+992
h) A = 12-22+32-42+ +992-1002
k) A = 1.22+2.32+3.42+ +98.992
CHUY£N §Ò −íc chung vµ béi chung
Bµi to¸n mÉu : Trong một số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ ñặc biệt giữa ƯCLN,
BCNN và tích của hai số nguyên dương a, b, ñó là : ab = (a, b).[a, b], trong ñó (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b Việc chứng minh hệ thức này không khó :
Theo ñịnh nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 (*)
Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd
=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab
=> ab = (a, b).[a, b] (**)
Bài toán 2 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6
Bài toán 4 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5
Bài toán 5 :
Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140
Bài toán 6 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và (a, b)
Trang 3CHUY£N §Ò DY ph©n Sè VIÕT THEO QUY LUËT
D¹ng 1 : TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG
Chúng ta cùng bắt ñầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau :
Bài toán A :
Tính tổng :
Lời giải :
Vì 1 2 = 2 ; 2 3 = 6 ; ; 43 44 = 1892 ; 44 45 = 1980 ta có bài toán khó hơn chút xíu
Bài 1 : Tính tổng :
Và tất nhiên ta cũng nghĩ ñến bài toán ngược
Bài 2 : Tìm x thuộc N biết :
Hơn nữa ta có :
ta có bài toán
Bài 3 : Chứng minh rằng :
Do vậy, cho ta bài toán “tưởng như khó”
Bài 4 : Chứng tỏ rằng tổng :
không phải là số nguyên
Chúng ta cũng nhận ra rằng nếu a1 ; a2 ; ; a44 là các số tự nhiên lớn hơn 1 và khác nhau thì
Giúp ta ñến với bài toán Hay và Khó sau :
Bài 5 : Tìm các số tự nhiên khác nhau a1 ; a2 ; a3 ; ; a43 ; a44 sao cho
Ta còn có các bài toán “gần gũi” với bài toán 5 như sau :
Bài 6 : Cho 44 số tự nhiên a1 ; a2 ; ; a44 thỏa mãn
Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau
Trang 4Bài 7 : Tỡm cỏc số tự nhiờn a1 ; a2 ; a3 ; ; a44 ; a45 thỏa món a1 < a2 a3 < < a44 < a45 và
Cỏc bạn cũn phỏt hiện ủược ủiều gỡ thỳ vị nữa rồi chăng ?
Dạng 2: so sánh
Bài 1 : Chứng minh rằng : 1/5 + 1/6 + 1/7 + + 1/17 < 2 Lời giải : Cú khỏ nhiều cỏch chứng minh nhờ “ủỏnh giỏ” vế trỏi bởi cỏc kiểu khỏc nhau
Ta gọi vế trỏi của bất ủẳng thức là A
Cỏch 1 : Ta cú :
5+6+7+ +17<
5+6+7+ +10<5+5+5+5+5+5=5
11 12+ +13+ +17 <11 11 11 11 11 11 11 11+ + + + + + + =11
Do đó : 1 1 1 1 6 7 110 2
Cỏch 2 : Ta cú :
1/5 + 1/6 + 1/7 < 1/5 + 1/5 + 1/5 = 3/5 (3)
1/8 + 1/9 + 1/10 + + 1/17 < 10.1/8 = 5/4 (4)
Từ (3), (4) => : A < 3/5 + 5/4 = 37/20 < 2
Cỏch 3 :1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1 (5)
1/10 + 1/11 + + 1/17 < 8.1/8 = 1 (6)
Từ (5), (6) => : A < 1 + 1 = 2
Cỏch 4 : 1/6 + 1/7 + + 1/11 < 6.1/6 = 1 (7)
1/12 + 1/13 + + 1/17 < 6.1/12 = 1/2 (8)
Từ (7), (8) => : A < 1/5 + 1 + 1/2 = 17/10 < 2
Cỏch 5 : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1 (9)
1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14< 5.1/10 = 1/2 (10)
1/15 + 1/16 + 1/17 < 3.1/15 = 1/5 (11)
Từ (9), (10), (11) => : A < 1 + 1/2 + 1/5 = 17/10 < 2
Bài 2 : Cho A = 1 - 7 + 13 - 19 + 25 - 31 +
a) Biết A cú 40 số hạng Tớnh giỏ trị của A
b) Biết A cú n số hạng Tớnh giỏ trị của A theo n
Lời giải :
a) Ta cú A = 1 - 7 + 13 - 19 + 25 - 31 +
= (1 -7) + (13 - 19) + (25 - 31) + = (-6) + (-6) + (-6) +
Vỡ A cú 40 số hạng nờn sẽ cú 20 cặp số cú giỏ trị bằng -6
Do ủú A = (-6) 20 = -120
b) Ta xột 2 trường hợp :
Do ủú A = (-6).n/2 = - 3n
Trường hợp 2 : Với n lẻ, khi ủú n - 1 chẵn
Ta cú A = 1 - 7 + 13 - 19 + 25 - 31 +
= 1 + (- 7 + 13) + (- 19 + 25) + = 1 + 6 + 6 +
Vỡ A cú (n - 1)/2 cặp số cú giỏ trị bằng 6 nờn A = 1 + 6 (n - 1)/2 = 1 + 3(n - 1) = 3n - 2 Vậy A = -3n (với n chẵn) ; A = 3n - 2 (với n lẻ)