30 bai hinh on vao 10 co DA

Baøi 34 : Cho tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn .ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AC caét AB taïi F .ñöôøng troøn taâm O’ ñöôøng kính AB caét AC taïi E .BE caét (O) taïi P vaø CF caét ñ[r]

Trang 1

TUYỂN TẬP CÁC B ÀI TOÁN HAY H ÌNH HỌC 9

Bài 1: Cho một đường tròn (O) đường kính AB Gọi C là điểm chính giữa cung AB Gọi M

là điểm di động trên cung BC, dây AM cắt OC ở E.Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác OME luôn thuộc đoạn thẳng cố định

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H Gọi E, F lần lượt là trung điểm AH, BC Các

đường phân giác góc ABH và ACH cắt nhau tại P.Chứng minh ba điểm E, F, P thẳng hàng

Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O),H là trực tâm của tam giác

ABC.Gọi E là điểm đối xứng của H qua BC

a) Chứng minh E thuộc đường tròn (O)

b) Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác trong của tam giác ABC và D là điểm đối xứng của I qua BC Tìm điều kiện của tam giác ABC để D thuộc đường tròn (O)

Bài 4: Các đường cao AH, BE,CF của tam giác nhọn ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam

giác đó tại các điểm thứ 2 tương ứng là M,N,P.Chứng minh :

a) AM BN CP + + = 4

AH BE CF

b) HA.HM + BE.EN + FC.FK≤1 (AB + AC + BC ) 2 2 2

4

Bài 5 : (BMO 2004)Cho hai đường tròn tiếp xúc trong tại M Đường tiếp tuyến với đường

tròn bên trong tại P cắt đường tròn bên ngoài tại Q và R.Chứng minh : QMP = RMP 

Bài 6 : (BMO 2000)Hai đ ường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại M, N.Vẽ tiếp tuyến chung PQ

(gần N hơn )của hai đường tròn.(P (O);Q (O') PN cắt đường tròn (O’) tại R.Chứng ∈ ∈ ) minh:

a) MQ là phân giác PMR

b) Diện tích hai tam giác MNP và MNQ bằng nhau

c) OMO' = 2PMQ 

Bài 7: (BMO 2004)Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O)vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường

tròn (O) PQ là đường kính bất kỳ PA, PB, PC cắt đường tiếp tuyến tại Q của đường tròn (O) theo thứ tự tại các điểm L, M, N.Chứng minh: L là trung điểm của MN

Bài 8 : (BMO 2004)Cho AB là đường kính của đường tròn tâm O và CD là dây cung

thẳng góc với AB Một dây cung bất kỳ AE cắt CO tại M, DE cắt BC taị N Chứngminh.:CM.CB=CN.CO

Bài 9 : (BMO 1999)Cho đường tròn đường kính AB Điểm C cố định trên AB Điểm P bất

kỳ trên đường tròn.Chứng minh : 



tgAPC tgPACkhông đổi

Bài 10: (BMO 1994)Cho đ ư ờng tr òn (O) T ừ một đi ểm P ở ngoài đ ư ờng tròn (O) vẽ

hai tiếp tuyến PQ và PR ( Q và R là hai tiếp đi ểm ) Trên PQ nối dài, lấy điểm A Đường tròn ngoại tiếp tam giác PAR cắt đường tròn (O) tại B và AR cắt đường

tr òn (O) tại C.Chứng minh PAR = ABC 

Bài 11: (BMO 1996)Tam giác ABC có các góc đều nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O.Vẽ

đường tròn tâm O' ngoại tiếp tam giác ABO Đường thẳng CA cắt đường

tròn (O’) tại P và CB cắt đường tròn (O’) tại Q Chứng minh: CO vuông góc PQ

Bài 12 : (BMO 2001)Cho hai đường tròn tiếp xúc trong tại A Từ điểm P của đường tròn

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Trang 2

lớn, vẽ các tiếp tuy ến PX và PY với đường tròn nhỏ , PX v à PY cắt đường tròn lớn tại các điểm Q và R Chứng minh QAR = 2XAY 

Bài 13 : (BMO 2004)Cho tam gi ác đều ABC và điểm D trên cạnh BC Một đường

tròn tiếp xúc với BC tại D, cắt cạnh AB tại M, N và cắt cạnh AC tại P, Q

Chứng minh: BD+AM+AN=CD+ AP + AQ

Bài 14 : (BMO 2004)Cho tam giác ABC c ó AD và BE là hai đường cao Đường

thẳng AD cắt nửa đường tròn đường kính BC tại P.Đường thẳng BE cắt nửa đường tròn đường kính AC tại Q Chứng minh : CP = CQ

Bài 15: Cho hai tam giác ABC và DEF có hai đáy AB và DE cùng nằm trên một đường

thẳng DF//AC và EF//BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC và đường tròn ngoại tiếp tam giác CBD cắt nhau tại C, G Chứng minh C, G, F thẳng hàng

Bài 16 :(BMO 2005) Cho tam giác ABC có số đo góc A bằng 1200 .AD, BE, CF

là ba đường phân giác trong của tam giác ABC Chứng minh đường tròn đường kính EF đi qua D

Bài 17 : (BMO1995)Tam giác ABC với ba trung điểm D, E, F của 3 cạnh BC , AC , AB

.Chứng minh: DAC = ABE nếu và chỉ nếu   AFC = ADB=

Bài 18 :(BMO1997)Cho tam giác ABC Đường cao CF và trung tuyến BM Nếu

BM = CF và MBC = FCM , Chứng minh tam giác ABC đều 

Bài 19 :(BMO 2001)Cho tam giác ABC (  C > B ) Phân giác trong góc A cắt BC tại 

D.Điểm E trên AB sao cho góc EDB vuông.Điểm F trên AC sao cho BED = DEF 

Chứng minh: BAD = FDC 

Bài 20: (BMO 2001) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) DA và CB cắt nhau tại

P.Gọi là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Cho biết : CD = CP = CQ, Chứng minh : CAD = 60 0

Bài 21: (BMO 2002)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tr òn (O, R ) và đường cao AD

Hạ DE và DF thẳng góc với hai cạnh AB và AC Tính độ dài EF theo R và các tỉ số lượng giác các góc của tam giác ABC

Bài 22: (BMO 2005) Cho tứ giác nội tiếp ABCD với AC là phân giác góc A Lấy điểm E

trên AD.Chứng minh : CE = CA nếu và chỉ nếu DE = AB

Bài 23: (BMO 2007) Tam giác có ba góc ABC nhọn với AB > AC,  BAC = 60 Gọi O là 0

tâm đường ngoại tiếp, H là trực tâm tam giác ABC , và OH cắt cạnh AB tại P và AC tại Q Chứng minh : PO = HQ

Bài 24: (BMO 2008) Tam giác ABC có góc A tù, nội tiếp trong vòng tròn Lấy điểm Q

trên cung BC có chứa điểm A Kẻ đường kính QP.Từ Q, hạ các đường thẳng góc xuống

AC và AB, theo thứ tự tại các điểm V và W Chứng minh hai tam giác PBC và AWV

đồng dạng

Bài 25: Cho tam giác ABC nội tiếp trong vòng tròn Phân giác của ba góc A,

B, C cắt đường tròn tại A', B', C' Đường A'B' cắt BC tại N và đường C'B'

cắt AB tại M Chứng minh MN đi qua tâm O của đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Bài 26:Cho tam giác ABC vuông tại A.Trên BC lấy điểm D sao cho  BDA = 2.BAD  Chứng minh : 2 = 1 + 1

AD BD CD Bài 27: Cho hình bình hành ABCD.Lấy điểm E sao cho AE thẳng góc AB và EC thẳng

góc BC Chứng minh DEA = CEB 

Trang 3

Bài 28 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại M và N Gọi d là tiếp tuyến chung

của hai đường tròn (O) và (O’) tại A và B (d gần M hơn N ) Qua M vẽ đường thẳng song song với d cắt hai đường tròn (O) và (O’) tại C và D Biết CA và BD cắt nhau tại

E , AN cắt CD tại P , BN cắt CD tại Q Chứng minh :

a) Tứ giác AEBN là tứ giác nội tiếp

b) EP = EQ

Bài 29 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Tiếp tuyến tại A của

đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) tại N Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O’) cắt đường tròn (O) tại M Biết BN cắt đường tròn (O) tại Q , BM cắt đường tròn (O’) tại P .Chứng minh MP = NQ

Bài 30 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) AD là đường kính

của đường tròn Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt BC tại P Đường thẳng PO cắt

AC và AB tại M và N Chứng minh OM = ON

Bài 31 : Cho M là một điểm trên đoạn thẳng AB ( MB < MA ) Trên cùng một nửa mặt

phẳng bờ là AB vẽ hai hình vuông AMCD và MBFE Hai đường tròn ngoại tiếp hai hình vuông AMCD và MBEF cắt nhau tại N Chứng minh ba điểm A, F ,N thẳng hàng

Bài 32 : Cho đường tròn (O) có AB là đường kính C và D là hai điểm trên hai tia đối

nhau của tiếp tuyến tại B của đường tròn AC và AD cắt đường tròn tại E và F CF và

DE cắt đường tròn lần lượt tại G và H Chứng minh BG = BH

Bài 33 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại P và Q Một đường thẳng qua P cắt

hai đường tròn lần lượt tại A và A’ Một đường thẳng qua Q song song AA’cắt hai đường tròn tại B và B’(A và B cùng thuộc một đường tròn ).Chứng minh hai tam giác PBB’ và QAA’ có cùng chu vi

Bài 34 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn đường tròn tâm O đường kính AC cắt AB

tại F đường tròn tâm O’ đường kính AB cắt AC tại E BE cắt (O) tại P và CF cắt đường tròn (O’) tại Q Chứng minh AP = AQ

Bài 35* : P là điểm trên đường cao AD của tam giác ABC BP, CP cắt AB và AC theo

thứ tự tại E, F.Chứng minh: AD là phân giác gĩc EDF

Bài 36: (3 điểm) Cho tam giác PNM Các đường phân giác trong của các gĩc M và N cắt

nhau tại K, các đường phân giác ngồi của các gĩc M và N cắt nhau tại H.a) Chứng minh KMHN là tứ giác nội tiếp

b) Biết bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác KMHN bằng 10cm và đoạn KM bằng 6cm, hãy tính diện tích tam giác KMH

Trang 4

K I

F

H

P E

C B

A

TUYỂN TẬP CÁC B ÀI TOÁN HAY H èNH HỌC 9

Bài 1: Cho một đường trũn (O) đường kớnh AB Gọi C là điểm chớnh giữa cung AB Gọi M

là điểm di động trờn cung BC, dõy AM cắt OC ở E.Chứng minh tõm I của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc OME luụn thuộc đoạn thẳng cố định

Giải

Ta có tứ giác BMEO nội tiếp đường tròn tâm I là trung điểm

của EB

ð I thuộc trung trực của OB

ð I thuộc đoạn HK cố định

Bài 2: Cho tam giỏc ABC nhọn cú trực tõm H Gọi E, F lần lượt là trung điểm AH, BC Cỏc

đường phõn giỏc gúc ABH và ACH cắt nhau tại P.Chứng minh ba điểm E, F, P thẳng hàng Giải

90

PBC PCB ABH AHB AHC ABH BAC

=> ∠BPC = 900

=> PF = FC = BF

=> ∠PFB = 2∠PCF = ∠ACB + ∠HCK (1)

Gọi I là trung điểm của BH => FI // HC

=> ∠IFB = ∠HCK (2)

=> EI //AB ; EI = 1

Ta có: ∆ ABK ~ ∆ CHK => EI AB AK

IF = HC = CK => ∆ EIF ~ ∆AKC (G.C.G)

=> ∠EIF = ∠ACK (3)

từ (2) (3) => ∠EFB = ∠ACB + ∠HCK Kết hợp (1) => ∠EFB = ∠ PFB =>

F, P, E Thẳng hàng

Bài 3: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn nội tiếp đường trũn (O),H là trực tõm của tam giỏc

ABC.Gọi E là điểm đối xứng của H qua BC

a) Chứng minh E thuộc đường trũn (O)

b) Gọi I là giao điểm của hai đường phõn giỏc trong của tam giỏc ABC và D là điểm đối xứng của I qua BC Tỡm điều kiện của tam giỏc ABC để D thuộc đường trũn (O)

Giải

a) Do H đối xứng E qua BC

=> ∠BEC = ∠BHC = 1800 - ∠BAC

=> ∠BEC + ∠BAC = 1800

=> E thuộc đường tròn tâm O

b) Gọi D đối xứng với I qua BC; D thuộc đường tròn tâm O

<=> ∠BHE =∠BEH ; ∠EHI = ∠HED => ∠BHI = ∠BED

∠ICB =∠BCD Mà ∠BCD + ∠BED = 1800

=>∠BHI +∠ICB = 1800 => tứ giác BHIC nội tiếp

=> ∠BHC =∠BIC => 180-0 - Â = 900 + Â/2 <=> Â = 600

E

I M

O

K

H C

B A

D

O I H

E

C B

A

Trang 5

M

O I

F

H P

E

C B

A

O'

R

Q

M O

H

P

O'

R

Q N

M

O

K

I H

P

Bài 4: Cỏc đường cao AH, BE,CF của tam giỏc nhọn ABC cắt đường trũn ngoại tiếp tam

giỏc đú tại cỏc điểm thứ 2 tương ứng là M,N,P.Chứng minh :

a) AM BN CP + + = 4

AH BE CF

b) HA.HM + BE.EN + FC.FK≤1 (AB + AC + BC ) 2 2 2

4

Giải

a)Ta có: IH = MH ; IE = EN ; FI = FP

=> AM BN CP 3 HI IE FI

AH + BE+CF = +AH +BE+FC

= 3+ BIC

ABC

S

S + AIC ABI 3 1 4

ABC ABC

b) AH.HM = BH.HC ≤ 2

4

BC (1)

BE.EN = AE.EC ≤ 2

4

AC

(2)

CF.FP = AF.FB ≤ 2

4

AB (3) Cộng => dpcm Dấu bằng xảy ra <=> ABC là tam giác đều

Bài 5 : (BMO 2004)Cho hai đường trũn tiếp xỳc trong tại M Đường tiếp tuyến với đường

trũn bờn trong tại P cắt đường trũn bờn ngoài tại Q và R.Chứng minh : QMP = RMP 

Giải

Dễ có O’P // OH

mà O’P ⊥ QR ⇒ OH ⊥ QR

⇒ H là điểm chính giữa của cung QR

⇒ ∠QMP = ∠PMR

Bài 6 : (BMO 2000)Hai đ ường trũn (O) và (O’) cắt nhau tại M, N.Vẽ tiếp tuyến chung PQ

(gần N hơn )của hai đường trũn.(P (O);Q (O') PN cắt đường trũn (O’) tại R.Chứng ∈ ∈ ) minh:

a) MQ là phõn giỏc PMR

b) Diện tớch hai tam giỏc MNP và MNQ bằng nhau

c) OMO' = 2PMQ 

Giải

a) ∠MQP = ∠MNR=∠NPM+∠NMP

=∠NPM+∠NPQ=∠MPQ

Lại có: ∠MQP = ∠MRQ (= 1/2 sđ cung MQ)

⇒∠PMQ = ∠QMR

⇒MQ là phân gíac của ∠PMR

b)PI2 = QI2 = IM.IN ⇒PI=QI

⇒ SMPN = SMNQ

c) N, H, K,thẳng hàng⇒ MHN MPN

MKN NRM



Trang 6

M

D O

E

C

S

R P

O

L Q

M

N

C B

A

Bài 7: (BMO 2004)Từ điểm A ở ngoài đường trũn (O)vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường

trũn (O) PQ là đường kớnh bất kỳ PA, PB, PC cắt đường tiếp tuyến tại Q của đường trũn (O) theo thứ tự tại cỏc điểm L, M, N.Chứng minh: L là trung điểm của MN

Giải

vẽ tiếp tuyến RPS ⇒ RS // MN ⇒ ∠SOK = 900

Ta có : ∠PSO = ∠QOK ( cùng phụ ∠POS)

⇒ ∆ OSP ~ ∆ KOQ ⇒ PS OP PS R

OQ = KQ⇒ R = KQ (1) Tương tự: PR R

R = HQ (2) lấy (1) : (2) ta có: PS HQ PS HQ

PR= KQ⇒ PR PS = KQ HQ

RS = HK ⇒ HQ = HK

Lại có: RP AP PS; AP

HL= AL LK = AL

HL LK LK HL LK

+

+ (Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

LK = HK ⇒ PS PS

LK = HQ ⇒ LK = HQ

HQ = LK ⇒ MH = LK

Và HL = QK = KN

⇒ LM = LN

Bài 8 : (BMO 2004)Cho AB là đường kớnh của đường trũn tõm O và CD là dõy cung

thẳng gúc với AB Một dõy cung bất kỳ AE cắt CO tại M, DE cắt BC taị N Chứngminh.:CM.CB=CN.CO

Giải

 AC=AD ⇒ ∠AED =∠ABC = ∠OCB

Hay ∠MEN = ∠MCN

⇒ Tứ giác ENMC nội tiếp

⇒ ∠ENC = ∠EMC

mà: ∠ECN = ∠EAB ⇒ MN = AB

CO = CB ⇒ CN.CO = CM.C

Bài 9 : (BMO 1999)Cho đường trũn đường kớnh AB Điểm C cố định trờn AB Điểm P bất

kỳ trờn đường trũn.Chứng minh : 



tgAPC tgPAC

khụng đổi

Trang 7

O

P

C

B A

x O'

R

Q

O I

P

C B A

x

O'

Q O P

C B

A

Y X

R

Q

P

A

Giải

PC cắt đường tròn tâm O tại D

⇒ ∠APC = ∠ABD

⇒ tan  tan 

g APC g ABD AD AP AP AD

BD BP BD BP

g PAC = g PAB = = = AC DC. AC

DC BC = BC không đổi

Bài 10: (BMO 1994)Cho đ ư ờng tr ũn (O) T ừ một đi ểm P ở ngoài đ ư ờng trũn (O) vẽ

hai tiếp tuyến PQ và PR ( Q và R là hai tiếp đi ểm ) Trờn PQ nối dài, lấy điểm A Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc PAR cắt đường trũn (O) tại B và AR cắt đường

tr ũn (O) tại C.Chứng minh PAR = ABC 

Giải

BC cắt đường tròn tâm O’ tại I

Ta có: ∠APR = ∠RBx (1)

∠API = ∠ABI (2)

∠ARP = ∠CBR (3)

Cộng (1) (2) (3) ta có: ∠APR +∠ARP = 1800

⇒ PI // AR ⇒  AI =PR⇒ ∠PAR = ∠ABC

Bài 11: (BMO 1996)Tam giỏc ABC cú cỏc gúc đều nhọn, nội tiếp đường trũn tõm O.Vẽ

đường trũn tõm O' ngoại tiếp tam giỏc ABO Đường thẳng CA cắt đường

trũn (O’) tại P và CB cắt đường trũn (O’) tại Q Chứng minh: CO vuụng gúc PQ

Giải

Kẻ tiếp tuyến Cx ta có

∠BCx = ∠BAC

Mà tứ giác ABQP nội tiếp

⇒ ∠BAC = ∠PQC ⇒ ∠PQC = ∠BCx

⇒ PQ // Cx

Lại có Cx ⊥ OC ⇒ OC ⊥ PQ

Bài 12 : (BMO 2001)Cho hai đường trũn tiếp xỳc trong tại A Từ điểm P của đường trũn

lớn, vẽ cỏc tiếp tuy ến PX và PY với đường trũn nhỏ , PX v à PY cắt đường trũn lớn tại cỏc điểm Q và R Chứng minh QAR = 2XAY 

GiảI

Theo bài 5 ta có:

∠AQX = ∠XAP ; ∠PAY = ∠YAR

⇒ ∠QAR = 2 ∠XAY

Trang 8

D

P

E

C B

A

a

D

F

E

B

A

C

Bài 13 : (BMO 2004)Cho tam gi ỏc đều ABC và điểm D trờn cạnh BC Một đường

trũn tiếp xỳc với BC tại D, cắt cạnh AB tại M, N và cắt cạnh AC tại P, Q

Chứng minh: BD+AM+AN=CD+ AP + AQ

Giải

AM.AN = AP.AQ

⇔ (a – BM)(a – BN) = (a – CP)(a – CQ)

⇔ a2 – a(BM + BN) + BM.BN = a2 – a(CP + CQ)+ CP.CQ

⇔ -a(BM + BN – CP – CQ) = (CD – BD)(CD +BD)

⇔ -a(BM + BN – CP – CQ) = a (CD – BD)

⇔ CD – CP – CQ = BD – BM – BN

⇔CD – (a – AP) – (a – AQ) = BD – (a – AM)- (a- AN)

⇔ CD + AP + AQ = BD + AM + AN

Bài 14 : (BMO 2004)Cho tam giỏc ABC c ú AD và BE là hai đường cao Đường

thẳng AD cắt nửa đường trũn đường kớnh BC tại P.Đường thẳng BE cắt nửa đường trũn đường kớnh AC tại Q Chứng minh : CP = CQ

Giải

áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

CQ2 = CE CA

CP2 = CD.CB

Mặt khác tứ giác nội tiếp

⇒ CE CA = CD CB

⇒ CQ2 = CP2 ⇒ CQ = CP

Bài 15: Cho hai tam giỏc ABC và DEF cú hai đỏy AB và DE cựng nằm trờn một đường

thẳng DF//AC và EF//BC Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AEC và đường trũn ngoại tiếp tam giỏc CBD cắt nhau tại C, G Chứng minh C, G, F thẳng hàng

Giải

Từ E kẻ tia song song với BC cắt CG tại F’

⇒ ∠F’ED = ∠CBA (góc có cạnh tương ứng //)

Lại có : ∠CBA = ∠DGF’ (Cùng bù với ∠CBD)

⇒ ∠F’GD = ∠F’ED

⇒ Tứ giácF’GED nội tiếp

⇒ ∠EGx = ∠F’DE

Mà ∠EGx = ∠CAE (Cùng bù với ∠CGE)

⇒ ∠F’DE = ∠CAE ⇒ DF’ // AC

⇒ F’ trùng F ⇒ C,F ,G thẳng hàng

Bài 16 :(BMO 2005) Cho tam giỏc ABC cú số đo gúc A bằng 1200 .AD, BE, CF

là ba đường phõn giỏc trong của tam giỏc ABC Chứng minh đường trũn đường kớnh EF đi qua D

Giải

Từ B kẻ đường thẳng // AC cắt AD tại I

⇒∆ ABI đều có cạnh là a

Đặt AC = b

a

Q N

M

D

O P

C B

A

x

F' C

G

Trang 9

I

C B

A

C B

A

Q

D

H P

C

B

A

;

AD DI DI BD a DI DI

AC = BI = a BC =a b = AI = a

+

⇒ FA

EB

AD BD

AC = BC AD AC

BD BC

FB ⇒ DF là phân giác của ∠ ADB Tương tự DE là phân giác của ∠ADC ⇒ ∠EDF = 900

Bài 17 : (BMO1995)Tam giỏc ABC với ba trung điểm D, E, F của 3 cạnh BC , AC , AB

.Chứng minh: DAC = ABE nếu và chỉ nếu   AFC = ADB

Giải

∠AFC = ∠ADB ⇒ tứ giác BFID nội tiếp

⇒ ∠ABE = ∠ADF

Lại có : FD // AC ⇒ ∠FDA = ∠DAC (so le)

⇒ ∠DAC = ∠ABE

Bài 18 :(BMO1997)Cho tam giỏc ABC Đường cao CF và trung tuyến BE Nếu

BE = CF và EBC = FCE , Chứng minh tam giỏc ABC đều 

Giải

E là trung điểm của AC

⇒ FE = EC ⇒ ∠EFC = ∠ECF = ∠EBC

⇒ Tứ giác EFBC nội tiếp

⇒ BE ⊥ AC ⇒∆ ABC cân tại B

Mặt khác BE = CF ⇒ AB = AC ⇒∆ ABC đều

Bài 19 :(BMO 2001)Cho tam giỏc ABC (  C > B ) Phõn giỏc trong gúc A cắt BC tại  D.Điểm E trờn AB sao cho gúc EDB vuụng.Điểm F trờn AC sao cho BED = DEF  Chứng minh: BAD = FDC 

Giải

D là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác AEF

⇒ DF là phân giác của ∠EFC

⇒ ∠EDF = 1800

- ∠DEF - ∠DFE = 360 0 

2

BEF CFE

90

B C+ = −A = 900 - ∠DAC Lại có: ∠CDF = 900 - ∠EDF ⇒ ∠FDC = ∠DAC

Bài 20: (BMO 2001) Cho tứ giỏc ABCD nội tiếp đường trũn (O) DA và CB cắt nhau tại

P.Gọi Q là giao điểm của hai đường chộo AC và BD Cho biết : CD = CP = CQ, Chứng minh : CAD = 60 0

Giải

Ta có : ∠CPD = ∠CDP = ∠CBA

⇒∆ BAP cân tại A ⇒ AB = AP

Mặt khác : ∠CDQ = ∠CQD ; ∠CDQ = CAB ;

∠CQD = ∠BQA

⇒∆ABQ cân tại B ⇒ AB = BQ ⇒ AP = BQ (1)

AC cắt đường tròn tâm C tại H

Ta có tứ giác ABCD nội tiếp ⇒ ∠CAP = ∠CBQ (2)

∠BQC = ∠APH (3) (cùng bù với ∠DQH)

Từ (1);(2);(3) ⇒∆PAH = ∆QBC (g.c.g)

⇒ PH = QC ⇒∆ PHC đều

D

F E

C B

A

Trang 10

O

K

F E

C B

A

D

O

E

C

B A

Q

O

I

H P

E

C B

A

w X

R

O

C

B A

⇒ ∠CHP = 600⇒ ∠ABD = 600

Bài 21: (BMO 2002)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tr òn (O, R ) và đường cao AD

Hạ DE và DF thẳng góc với hai cạnh AB và AC Tính độ dài EF theo R và các tỉ số lượng giác các góc của tam giác ABC

Gi¶i

Tø gi¸c AEDF néi tiÕp

⇒ EF = AD sinA

MÆt kh¸c ∆ ABD ~ ∆ ACK

AB = AK ⇔ .

2

AC AB AD

R

=

AB AC A R C R B A FE

= 2R.sinA.sinB.sinC

Bài 22: (BMO 2005) Cho tứ giác nội tiếp ABCD với AC là phân giác góc A Lấy điểm E

trên AD.Chứng minh : CE = CA nếu và chỉ nếu DE = AB

Gi¶i

AB = DE (gt)

DC = CB (C lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung DB)

∠CDE = ∠ABC (Cïng bï ∠ADC)

⇒∆ ABC = EDC (c.g.c)

⇒ AC = CE

Bài 23: (BMO 2007) Tam giác có ba góc ABC nhọn với AB > AC,  BAC = 60 Gọi O là 0

tâm đường ngoại tiếp, H là trực tâm tam giác ABC , và OH cắt cạnh AB tại P và AC tại Q Chứng minh : PO = HQ

Gi¶i: Ta cã OI ⊥ AC ; CH c¾t AB t¹i E

⇒ AE = 1

2AC = AI

∠BAO = ∠CAH ⇒ ∠EAH = ∠OAI

⇒∆ AEH ~ ∆ AIO

⇒ AH = AO ⇒ ∠AOH = ∠AHO

⇒ ∠AOP = ∠AHQ ⇒∆AOP = ∆ AHQ ( C.G.C)

⇒ PO = HQ

Bài 24: (BMO 2008) Tam giác ABC có góc A tù, nội tiếp trong vòng tròn Lấy điểm Q

trên cung BC có chứa điểm A Kẻ đường kính QP.Từ Q, hạ các đường thẳng góc xuống

AC và AB, theo thứ tự tại các điểm V và W Chứng minh hai tam giác PBC và AWV đồng dạng

Gi¶i: ∠XAC = ∠CPB ( Cïng bï ∠ CAB) (1)

∠QAW = ∠CPQ

⇒∆QAW ~ ∆ QPC (g.g)

⇒ ∠AQW = ∠CQP

L¹i cã: ∠aqw = ∠ AXW ( Tø gi¸c AXQW néi tiÕp)

∠CQP = ∠ CBP

⇒ ∠CBP = ∠AXW (2)

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	183,37 KB