Cuối cùng, ta đồng loạt thay số ban đầu được điền vào mỗi ô được chọn bởi giá trị trung bình tương ứng đã tính ở trên.. Hỏi với mọi cách điền số ban đầu, có thể làm cho tất cả c[r]
Trang 1ĐỀ THI OLYMPIC CHÂU Á THÁI BÌNH DƯƠNG LẦN THỨ 31
Thời gian làm bài: 240 phút Tháng 3 năm 2019
Bài 1 Tìm tất cả các hàm số f :
thỏa mãn
2
( ) ( )
a f a f b chia hết cho f a( )b với mọi ,a b
Bài 2 Cho m là số nguyên dương cố định Xét dãy số ( ) a n như sau: a1 là số nguyên dương, còn với mỗi n 1 thì a n1 sẽ được tính bằng:
2
2m
n
a nếu 2m
n
a ;
2
n
a
nếu 2m
n
a Với mỗi ,m xác định tất cả giá trị a1 sao cho tất cả các số hạng của dãy trên đều nguyên
Bài 3 Cho tam giác ABC không cân nội tiếp có M là trung điểm BC. Một điểm P thay
đổi trên đoạn thẳng AM. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác BPM và CPM lần lượt cắt lại
tại các điểm D và E. Các đường thẳng DP và EP cắt lại các đường tròn ngoại tiếp các
tam giác CPM và BPM tại các điểm X và Y. Chứng minh rằng khi P thay đổi thì đường
tròn ngoại tiếp của tam giác AXY đi qua một điểm cố định T khác A
Bài 4 Xét bảng ô vuông 2018 2019 mà mỗi ô được điền một số nguyên nào đó Hai ô vuông được gọi là láng giềng nếu chúng có chung cạnh Trong mỗi thao tác, người ta chọn một số ô vuông Sau đó, ở mỗi ô được chọn, ta tính giá trị trung bình của các ô láng giềng của nó Cuối cùng, ta đồng loạt thay số ban đầu được điền vào mỗi ô được chọn bởi giá trị trung bình tương ứng đã tính ở trên Hỏi với mọi cách điền số ban đầu, có thể làm cho tất cả các số trên các ô của bảng bằng nhau sau hữu hạn bước thao tác thích hợp hay không?
Bài 5 Xác định tất cả các hàm số f : sao cho
( ( )) ( ( )) ( ) 2 ( )
f x f y f f x f y f xy với mọi x y,
Đề thi này phải được bảo mật cho đến khi công bố chính thức trên website
http://www.ommenlinea.org/apmo/