Đề thi thử vào 10 môn Toán

Gọi F là điểm chính giữa cung AB không chứa E của đường tròn (O)2. Tính diện tích tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng..[r]

ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10

Năm học: 2013 - 2014

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (2 điểm) Cho 2 biểu thức: P = (√x −11 +

√x

x − 1):(√√x −1 x − 1) và Q =

1

x x



 với x ≥ 0; x  1

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm x để P < 12

3 c) Tìm x để P + Q = 6

Bài 2: (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng bình phương hai chữ số bằng 73 và khi đổi chỗ hai chữ số ta được số có hai chữ số kém số ban đầu là 45

Bài 3: (2 điểm)

a) Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m –1 = 0 (1), với m là tham số

Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện

1 ( 1 2) 2 ( 2 2) 10

x x  x x  

b) Cho hệ phương trình

1

x my





 Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

mà x, y là các số nguyên

Bài 4: ( 3,5 điểm)

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Gọi d1 và d2 lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn (O) (E không trùng với A và B) Đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại M, N

1 Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh góc ENI = góc EBI và góc MIN = 900

3 Chứng minh AM.BN = AI.BI

4 Gọi F là điểm chính giữa cung AB không chứa E của đường tròn (O) Tính diện tích tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng

Bài 5: ( 0,5 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 9

Chứng minh rằng: a2

b+c+

b2

c +a+

c2 a+b ≥

9 2

HUỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN 9

Bài Đáp án Điểm

Bài 1

( 2 đ)

a) ĐK: x ≥ 0 ; x ≠ 1

P = (√x −11 +

√x

x − 1):(√√x −1 x − 1) = √x+1+√x

(√x −1) (√x +1):√x −(√x −1)

√x − 1

= 2√x +1

= 2√x+1

√x+1

b) Với x ≥ 0 ; x ≠ 1

Để P = 12

3 = 53 thì 2√x+1

√x+1 =

5 3

⇔6√x+3=5√x+5 ⇔√x =2⇔ x=4 (TMĐK)

Vậy để P = 12

3 thì x = 4 c) Ta có: P = 2√x+2−1

√x+1 = 2− 1

√x +1

Vì x ≥ 0  √x ≥ 0  √x +1≥ 1> 0

√x +1 ≤ 1 2− 1

√x +1 ≥ 2 – 1= 1 Dấu bằng xảy ra  x = 0 (TMĐK)

Vậy min P = 1  x = 0

0,25 0,25

0,25

0,25 0,25 0,25

0,25

0,25

Bài 2

(2 đ)

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x(giờ, x> 6)

Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được 1x (bể)

Mà 1 giờ cả hai vòi chảy được 61 (bể)

 1 giờ vòi 2 chảy được 61−1

x (bể) Nếu mở riêng vòi 1 trong 2 giờ sau đó đóng lại rồi mở tiếp vòi 2

trong 3 giờ nữa thì đầy được 52 bể nên ta có phương trình:

2 1x + 3 (16−

1

x) = 52 Giải phương trình ra x = 10 (TMĐK)

Vậy vòi thứ nhất chảy 1 mình đầy bể sau 10 giờ

Vòi thứ hai chảy 1 mình đầy bể sau 1:(16−

1

10)=15 giờ

0,25

0,5

0,5 0,5 0,25 PT: x2 + 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0 (1)

Ta có ’ = (m + 3)2 – (m2 + 3) = 6.(m+1) 0,25

Bài 3

(2 đ)

a) Để phương trình (1) có nghiệm kép thì ’ = 0

 6.(m+1) = 0  m = – 1

Khi đó x1 = x2 = −b'

a = – (m + 3) = – 2 b) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì ’ > 0

 6.(m+1) > 0  m > – 1 (*)

Theo hệ thức Vi-ét:

¿

x1+x2=− b

a=−2 m− 6

x1x2=c

a=m

2

+ 3

¿ {

¿

Theo đề bài: x1 – x2 = 2 (4)

Từ (2)(4) ta có hệ

¿

x1 +x2 =− 2 m−6

x1− x2= 2

⇔

¿x1=− m− 2

x2 =−m− 4

¿ {

¿

(5)

Thay (5) vào (3) ta có: (m + 2)(m + 4) = m2 + 3 m= − 56 (TM

(*))

Vậy với m = − 56 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

1, 2

x x thỏa mãn: x

1 – x2 = 2

0,25 0,25

0,25

0,25

0,25 0,25 0,25

Bài 4

(3,5 đ)

Vẽ hình đúng đến câu a

d

a) Chứng minh được tứ giác ADMB nội tiếp

b) Chứng minh được CMB đồng dạng với  CAD (g-g)

 CMCA = CB

CD (t/c) CM CD = CA CB không đổi (đpcm) c) Vì tứ giác ADMB nội tiếp (cmt)

 DAM = DBM (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MD)

0,25

1 0,5 0,5

M

C O

K

GI P

(2) (3)

Mà B, M, N, K cùng thuộc (O) Tứ giác BMNK nội tiếp (đ/n)

 DBM = MNK (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh

đối diện)

Do đó DAM = MNK (= DBM)

Mà 2 góc ở vị trí so le trong

 DA // NK (dhnb)

Mà DA  BC (gt)

d) Gọi I là trung điểm của AC  I cố định (do AC cố định)

Có MI là trung tuyến của MAC, mà G là trọng tâm của MAC

 G MI và IGMI= 1

3 (đ/lí) Trên đoạn OI lấy P sao cho IPIO= 1

3  P cố định (do OI cố định)

Ta có IGMI= IP

IO=

1

3  GP // MO (định lí Ta-lét đảo)

 PGMO= IP

IO=

1

3 (đ/lí Ta-lét)  PG=1

3MO=

R

3 không đổi

Lại có P cố định (cmt)

 G thuộc đường tròn tâm P, bán kính R3 cố định

0,25 0,25

0,25

0,25

0,25

Bài 5

(0,5 đ)

Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số dương

Ta có a2

b+c

4 ≥2√ a2

b +c

4 =a

Tương tự có b2

a+c+

a+c

4 ≥ b ; c2

a+b+

a+b

4 ≥ c

Do đó a2

b+c+

b2

c +a+

c2 a+b ≥

a+b+c

2

Mà a + b + c = 9

Vậy a2

b+c+

b2

c +a+

c2 a+b ≥

9 2

0,25

0,25

Hết /

 NK  BC (đ/lí)