chuyen_de_luong_giac.pdf

Cách 3: Với những yêu cầu biện luận tính chất nghiệm của phương trình trong (  ,  ), ta có thể lựa chọn phương pháp điều kiện cần và đủ. Cách 1 thường được sử dụng bởi các bài toán [r]

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

I CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

2kx

sinx

2kx

cosa

2

1

x

k)3

1arctan(

x

2

3

1x

x

180.k3015

x

30tan)15

x

tan(

3

3)15

k2

1

4

x

k62

x

)6cot(

)2

x

cot(

3)

sin

2

/

05cos

4

sin

/

2cos

3

sin

/

)3sin(

d

x x

c

x x

b

x x

Phương trình bậc nhất đối với sinax và cosax

Phương trình bậc nhất đối với sinax và cosax có dạng:

Asinax + Bcosax = C

a là các số thực ≠ 0 ; A và B không đồng thời bằng 0

Phương trình trên có thể được giải bằng 2 cách

Cách 1: Ta có Asinax + Bcosax = Rsin(ax + a), ở đó R = > 0, α là số thực thoả mãn: cos = , sin =

Do đó, phương trình trên sẽ tương đương với phương trình dạng cơ bản

Nếu 0 + phương trình (1) có hai nghiệm t1, t2

Khi đó việc giải phương trình quy về việc giải các phương trình cơ bản

sin4x + 3sin2x = tanx (ĐK: cosx 0)

II.Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Phương pháp chung

Đặt hàm số lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ nếu có (thí dụ với t = sinx hoặc t

= cosx, điều kiện | t | ≤ 1), rồi giải phương trình theo ẩn phụ này và từ đó suy ngược lại nghiệm x

Bài tập tự luận

1 Cho phương trình: cos x – (2m + 1)cosx + m +1 = 0 2

a Giải phương trình với m = 3

b Tìm m nguyên dương để phương trình có nghiệm

3 Cho phương trình: cos2x + 5sinx + m = 0

a Giải phương trình với m = 2

b Tìm m để phương trình có nghiệm

4 Cho phương trình: 4cos x – (2m – 1)cosx – m = 0 2

a Giải phương trình với m = 3

6 Giải và biện luận theo m phương trình: (m – 1)sin x - 2(m + 1)cosx + 2m – 1 = 0 2

III.Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Phương pháp chung

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng:

Để giải phương trình (1) ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 1 Kiểm tra:

1 Nếu a + b< c phương trình vô nghiệm

2 Nếu a + b  c, khi đó để tìm nghiệm của phương trình (1) ta thực hiện tiếp bước 2

Bước 2 Chia hai vế phương trình (1) cho 2 2

b

a b

2) = 1 nên tồn tại góc α sao cho

sinx.cos α + sin α cosx =

Cách 2: Thực hiện theo các bước:

Bước 1 Với cosx

2 = 0 x = π + 2k π , k  Z, kiểm tra vào phương trình

Bước 2 Với cosx

2  0 x  π + 2k π , đặt t = tgx

2, suy ra sinx = 2t2

Bước 3 Giải phương trình (2) theo t

Cách 3: Với những yêu cầu biện luận tính chất nghiệm của phương trình trong ( ,  ), ta có thể lựa chọn phương pháp điều kiện cần và đủ

Nhận xét quan trọng:

1 Cách 1 thường được sử dụng bởi các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải và biện luận phương trình theo tham số

2 Cách 2 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thuộc tập D với D [0, 2 π ]

3 Cách 3 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu biện luận theo tham số để phương trình k có nghiệm thuộc tập D với D  [0, 2 π ]  

4 Từ cách giải 1 ta có được kết quả sau:

- a2b2  asinx + bcosx  a2b2kết quả đó gợi ý cho bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số dạng

y = a.sinx + b.cosx, y = a.sinx + b.cosx

c.sinx + d.cosx và phương pháp đánh giá cho một số phương trình lượng giác

7 Giải các phương trình sau:

a 3sinx – 3 cos3x = 4sin x – 1 3

b 3 sin4x – cos4x = sinx – 3 cosx

c 2sinx(cosx – 1) = 3 cos2x

d 2sin3x – sin2x + 3 cos2x = 0

8 Giải các phương trình sau:

9 Giải các phương trình sau:

a (1 + 3 )sinx + (1 - 3 )cosx = 2

b sin2x + ( 3 - 2)cos2x = 1

10 Giải các phương trình sau:

a 3cosx – sin2x = 3 (cos2x + sinx)

11 Cho phương trình: (m - 1)sinx – cosx = 1

a Giải phương trình với m = 1

b Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc [ - π

2,

π

2]

12 Cho phương trình: 3 sinx + cosx = m

a Giải phương trình với m = -1

b Biện luận theo m số nghiệm thuộc (-π

Để giải phương trình (1) ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Với cosx = 0 x = π

2 + k π , k  Z Khi đó phương trình (1) có dạng a = d

1) Cách 1 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thuộc tập D

2) Cách 2 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải và biện luận phương trình theo tham số

Bài tập tự luận

13 Giải phương trình: 4sin x + 3 3 sin2x – 22 cos x = 4 2

14 Cho phương trình: 3sin x + m.sin2x - 42 cos x = 0 2

a Giải phương trình khi m = 4

b Xác định m để phương trình có nghiệm

15 Cho phương trình: (m + 1)sin x – 2sinx.cosx + cos2x = 0 2

a Giải phương trình khi m = 0

b Xác định m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc (0, π

2)

16 Cho phương trình: m.sin x – 3sinx.cosx – m – 1 = 0 2

a Giải phương trình với m = 1

b Tìm m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc (0, 3π

Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx có dạng:

Để giải phương trình (1) ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t |  2  sinx.cosx =

2cos2z =

1

2(2

2cos z - 1) Khi đó, phương trình ban đầu được đưa về dạng phương trình bậc hai đối với cosz 2) Phương trình (2) được giải tương tự như (1) với ẩn phụ:

t = sinx – cosx, điều kiện | t |  2  sinx.cosx =

18 Giải các phương trình sau:

a | sinx – cosx | + 4sin2x = 1

b | sinx + cosx | - sin2x = 1

19 Tìm m để phương trình: 3(sinx + cosx) = 4msinx.cosx có nghiệm thuộc (0, 3π

4 )

20 Cho phương trình: (1 - cosx)(1 - sinx) = m

a Giải phương trình với m = 2

b Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc [0, π

2]

21 Cho phương trình: m(sinx + cosx) + sinxcossx + 1 = 0

a Giải phương trình với m = 0

b Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc [-π

2, 0]

22 Cho phương trình: m(sinx + cosx) + sin2x = 0

a Giải phương trình với m = 0

b Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc [0, π ]

23 Giải và biện luận theo k phương trình: 1

cosx -

1sinx = k

24 Cho phương trình: m(sinx - cosx) + 2sinxcosx = m

a Giải phương trình với m = 1 + 2

b Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc [0, π ]

VI.Phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài 1: Giải phương trình:

2sin

x

sin

1tan

Bài 3: Giải phương trình:

2cossin

cos

sinx x  x x 

Bài 4: Cho phương trình:

a x

a) Giải phương trình với a = 2 2

b) Chứng minh rằng nếu a < 2 2 thì phương trình vô nghiệm

Bài 5:Giải phương trình

| sinx – cosx | + | sinx + cosx | = 2

VII Phương trình lượng giác chứa căn thức

Bài 1: Giải phương trình:

x x

x x

cos

sin

12cos

sin

Bài 3: Giải phương trình:

x x

x x

sin4cos

cos1cos

VIII.Phương trình sử dụng các công thức cộng cung

VÝ dô: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau

1 cos3x tgxsin3x 1;

2 cos3x 3 sin3x 2 cosx;

3 cos5x cos2x sin3xsin 2x 0.

Bµi tËp

1 Áp dông c¸c c«ng thøc céng cung gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh

1 3 sin5x cos5x 2sin x; 2.sin 7x cos7x 2 cos3x 3.cos4x tgxsin 4x 1; 4.sin 6x 3 cos6x 2 cosx cos6x sin x

1 2sin3x cosx sin 2x 3 cos4x;

2 2sin3x cosx sin 4x sin 2x 2;

3 2 cos5x cosx cos4x sin3x;

4 2sin 7xsin x cos8x 3 sin 6x 1;

1 cos9x cosx sin13x sin3x

2 cos9x cosx cos5x 1 cos 4x

2 2

2

3 3

1 sin x 3cos x sin 2x 2 cos2x 5

2 sin x cos2x 2sin 2x 1

3 cos3x cosx 4sin x

4 cosx cos2x cos x sin x

5 2sin x cosx cos x cosx sin x

1 sin3x cos3x 2 sin x cosx 1

2 sin x cos x sin x cosx 2

3 cosx sin x 2sin x cosx 1

4 3sin x cosx 3sin 2x 8sin x 1

5 sin x cos x sin 2x 1 0

1 2 cos3x sin 2x cosx 0

2 sin3x sin 2x 2sin x 0

3 3 cos3x 4sin x 3sin x 1

4 cos3x cos2x sin x 2

5 cos3x 3cosx 4 cos 3x

3 2

1 sin3x cos3x 2sin 2x 1

2 sin x cos x 1 sin x cosx

3 8cos x 8cos x 1 sin 4x

4 8cos x 8cos x 1 cos8x

5 8cos x 8cos x 1 sin x cos x

1 3 1 tg x sin 2x tg x 1

2tgx

2 3 2 cot gx 0

1 tg x sin3x

IX.Phương trình lượng giác không mẫu mực

Trường hợp 1: tổng hai số không âm

0 ) 1 tan 3 ( ) 3 cos

k x

x x

14

cos

2

(

03cos1)14cos44

cos

4

(

03cos11)4cos1(4cos

x x

x

x x

x





2 3

2

2

1 4

Trường hợp 2: phương pháp đối lập

x.sin 6 2sin33

Do: sin23x1 và sin2x 1 nên 4sin23x.sin2 x4

Vậy 4sin23x.sin2 x462sin3x

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi  2 

2 k

x 

2 3  cos x  cos x  1  2 (2)

1cos4)1(cos

2

1cos4cos5cos

3

1cos2

x x

x

x x

Ta có:

và

x x

x x

4

, 0 ) 1 (cos

B M A

N M B A

2sin

sin

1sin,1sin2sin

sin

1sinsin

2sin

v

u

v u

v

u

v u

v

u

Tương tự cho các trương hợp:

2cos

cos

;2cos

2

cos x x  (1)

24

3cos

2

cos x x  nên dấu = của (1) xảy ra khi và chỉ khi:

Z k k

x

x x

14

3cos

2

2

16cos2

cos

4

cos

36cos2

cos4

cos62(cos4

1cos.2cos

3

cos

2

13cos2cos.3

x

x x

x

x x

x

x x

x x

x x

x x x

x x

x

x x

Ta thường gặp 2 dạng toán sau:

Dạng 1: Tìm nghiệm thuộc (a, b) của phương trình

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình

Bước 2: Giải phương trình để tìm nghiệm x = α + 2kπ

Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình x β + 2lπ

 Nghiệm x0 chấp nhận được khi và chỉ khi:

α + 2kπ

n  β + 2lπ

n

Phương pháp hình học:

 Biểu diễn các điểm x = β + 2lπ

n , l, n  Z trên đường tròn đơn vị, khi đó ta được tập các điểm C = {C1,…, Cp}

 Biểu diễn các điểm x = α + 2kπ

n , k, n  Z trên đường tròn đơn vị, khi đó ta được tập các điểm D = {D1,…, Dq}

 Lấy tập E = D\C = {E1,…, Er} từ đó kết luận nghiệm của phương trình là:

26 Giải các phương trình sau:

a 6sinx – 2cos x = 3 5sin 4x.cosx

27 Giải các phương trình sau:

a s inx + sin2x + sin3x

cosx + cos2x + cos3x = 3

cosx - sinx = cos2x

29 Giải các phương trình sau:

31 Giải các phương trình sau:

2sin 4x

32 Giải các phương trình sau:

33 Tìm các nghiệm của phương trình:

34 Tìm các nghiệm của phương trình:

1

2(cos5x + cos7x) -

2cos 2x + sin 3x = 0 2thỏa mãn điều kiện | x | < 2

35 Tìm các nghiệm của phương trình:

1) 22 sin(x + /4)=1/sin x + 1/cos x

2) Giải phương trình sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x)

3) Giải phương trình sin2x = 2cos2x + cos23x

4) 8cos3(x + /3) = cos3x

5) sin6x + cos6x = 2(sin8x + cos8x)

6) cos6x – sin6x = 13/8 cos22x

7) 1 + 3tgx = 2sin2x

8) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4

26

k x

k x

23

2

k x

k x

51arcsin

22

51arcsin

k x

k x

k x

k x

2

3sin2cos

x x

( x(;))

Tìm x để y min, max

Ans:

2max

11

2min





y

y

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sin x và cos x

1 4sin x2 - 5sin x cos x - 6cos x2 = 0

Ans:

2tan

4

3tan

k x

k x

Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x :

1 (2 + 2 )(sin x cos x ) – sin x2 = 2 2 + 1

3

2

k x

4

3

k x

k x

k x

x

k x

Ans:

2

48

13

cos.2cos

12

x x

2

23

2

28

k x

k x

k x

4)2

3sin(

1sin

1

x x





k x

k x

1 sinx = 2 sin x5 - cosx

Ans:

324

7

216

k x

4

3

k x

k x

sin

cos

gx x

x 3 2sin2 8cos

cos

24

2

k x

k x

k x

Ans: Phương trình vô nghiệm

9 (Đại học hàng hải năm 2000-2001)

3cos4)4sin24cos3

x gx

x x

x cos sin cot cos tan 2sin2

( gợi ý: sinxcosx 2sin2x)

11 (Đại học ngoại thương - Khối A – CSII – năm 2000-2001)

x x

x x

x cos3 cos sin2 cos2

26

7

26

k x

k x

k x

sinx 4 xm x

Ans: m(;1][1;)

13 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

m( sin x +cos x ) + sin x2 = 0

k x

)51arctan(

b, a(;1)(0;)

15.: Giải phương trình: cotanx + sinx(1+tanx.tanx/2)=4

(Đề thi ĐH&CĐ,khối B,năm 2006)

16 Giải các phương trình sau:a) sin³x.cosx- cos³x.sinx=¼

b) sin cos x =5/8

( Trích sách 400 bài toán lượng giác tự luận )

17 Giải các phương trình sau :

a)cos^6x+sin^6x=cos^6x +1/16 b)cos^6-sin^6x=cos2x

(Trích sách ‘400 BT lượng giác tự luận ’)

18 Giải các phương trình sau: a) (sinx.cot5x)/ cos9x = 1 (ĐH Huế)

b) 2tanx +cot2x = 2sin2x +1/sin2x ( ĐHQG Hà Nội)

(Trích sách ‘400 BT lượng giác tự luận)

19 Giải các phương trình sau: cos3x +cos2x – cosx-1=0

(Trích sách ‘400BT lượng giác tự luận’)

20.Giải phương trình sau: sin²2x +cos²3x =1

21.Giải các phương trình sau: a) cos²x + cos²2x + cos²3x +cos²4x = 3/2 ( HVQHQT)

22 Cho phương trình (*):

0cos)34(cossin)2(2sin)12(3sin

)

6

4

a/ Giải phương trình khi m = 2

b/ Tìm m để phương trình (*) có duy nhất một nghiệm trên

0 

Gợi ý-Đáp án

Phương trình lượng giác cơ bản

II Một số bài tập tham khảo:

3 Giải phương trình:

2

1)

5x

2

16x1k

0k

Z

k

2

16

7k6

52

12

1k

6

2

1k

5k6

72

12

1k

6

2

1k

6

x

*

)Zk(2

1k

6

x

2k31

2

3cos)

105x0k

1k

Z

k

12

1k12

1390

180.k75

590

180.k30

x

180.k30

x

360.k13515

x

2

360.k4515

x

2

4 Giải phương trình:

x

sin

2

0xsin2

k2x

k22

x92

k22

x2

02

x9

2

cos

02

x

2

cos

02

x92cos.2

2

cos(

0x5cos

k210x

2k2x2

kx22

x

2kx2

x

)x22sin(

x

sin

x2cos

2x

2k2x2

k)3x(1

x

2

2k3x

1

x

2

)3xsin(

1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x (1)

Chuyển tất cả số hạng từ vế phải sang vế trái rồi biến đổi thành tích:

sinx + (1– cos2x) – (cosx – cos3x) – sin2x

= sinx + 2sin 2 x – 2sinxsin2x – sin2x

= sinx(1 + 2sinx) – sin2x(2sinx + 1)

cos2x – cosx = 2sin 2

–2sin sin – 2sin 2 = 0

(k )

BT3: Giải phương trình

sin4x + 3sin2x = tanx (ĐK: cosx 0)

Nhân hai vế của phương trình với cosx rồi biến đổi như sau:

sin4xcosx + 3sin2xcosx – sinx = 0

sin5x + 4sin3x + sinx = 0

sin5x + sinx + 4sin3x = 0

sin3x(cos2x + 2) = 0

sin3x = 0

x = (tmđk)

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

1 Đặt t = cosx, điều kiện | t |  1 Khi đó, phương trình có dạng:

2cosx = m

Vậy, với -1  m  0 thỏa mãn điều kiện đề bài

2 Biến đổi phương trình về dạng:

5 – 4(1 - cos x) – 4(1 + cosx) = 3m 2 4cos x – 4cosx – 3m – 3 = 0 2

Đặt t = cosx, điều kiện | t |  1

(1) có nghiệm thuộc [-1, 1] (1) có 1 nghiệm thuộc [-1, 1]

hoặc(1) có 2 nghiệm thuộc [-1, 1]

Vậy, với m = 1 hoặc m = 0 phương trình có nghiệm

3 Biến đổi phương trình về dạng:

1 - 2sin x + 5sinx + m = 0 2 2sin x – 5sinx – m -1 = 0 2

Đặt t = sinx, điều kiện | t |  1

b Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thuộc [-1, 1]

Vậy, với - 4 m 6 phương trình có nghiệm

4 Đặt t = cosx, điều kiện | t |  1

23cosx =

Vậy, với m = 3 , phương trình có bốn họ nghiệm

b Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thuộc [-1, 1] (1) có 1 nghiệm thuộc [-1, 1]

hoặc (1) có 2 nghiệm thuộc [-1, 1]



f(-1).f(1) 0

' 0af(-1) 0af(1) 0S

Vậy, với mọi m phương trình luôn có nghiệm

5 Biến đổi phương trình về dạng:

m(2cos x - 1) – 4(m – 2)cosx + 3(m – 2) = 0 2

-

-

0 +

a Biến đổi phương trình về dạng:

3sinx - 4sin x - 3 cos3x = 1 3

7π 2kπx

Vậy, phương trình có hai họ nghiệm

b Biến đổi phương trình về dạng:

Vậy, phương trình có hai họ nghiệm

c Biến đổi phương trình về dạng:

2sinx.cosx – 2sinx = 3 cos2xsin2x - 3 cos2x = 2sinx

π2x - π - x 2kπ3

Vậy, phương trình có hai họ nghiệm

d Biến đổi phương trình về dạng:

2sin3x = sin2x - 3 cos2xsin3x = 1

2sin2x -

3

2 cos2x

3π3x = π - 2x + 2kπ

Vậy, phương trình có hai họ nghiệm

b Biến đổi phương trình về dạng:

x = - α + 2kπ6

a Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng:

x = - α+ 2kπ 4

Vậy, phương trình có hai họ nghiệm

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:

(sinx + cosx) + 3 (sinx – cosx) = 2 2 sin(x + π

x = + 2kπ 6

Vậy, phương trình có hai họ nghiệm

b Biến đổi phương trình về dạng:

( 3 - 2)cos2x = 1 – sin2x ( 3 - 2)( 2

cos x - sin x) = (cosx - sinx2 ) 2

[( 3 - 2)(cosx + sinx) – (cosx – sinx)](cosx - sinx) = 0

x = kπ4

a Biến đổi phương trình về dạng:

3cosx - 3 sinx = 3 cos2x + sin2x

x = 2kπ6π

x = 2kπ2

12)

Vậy, với m = -1 phương trình có hai họ nghiệm

b Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng y = m với phần đồ thị hàm số y = sin(x + π

6) trên D =

(-π

6, 2 π ]

Từ đó, ta có thể kết luận:

 Với | m | > 2, phương trình vô nghiệm

 Với m = 2, phương trình có 1 nghiệm thuộc D