Đề thi môn Lý thuyết số k59

Chứng minh rằng phương trình (∗) có đúng 2011 nghiệm phân biệt.. Tính tổng của tất cả các nghiệm của phương trình (∗) ..[r]

Trường ĐHSP Hà Nội

Khoa Toán - Tin

ĐỀ THI MÔN LÝ THUYẾT SỐ Dành cho sinh viên K59 Thời gian làm bài: 120 phút

———————

Câu 1 Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, tồn tại duy nhất số nguyên

dương mn sao cho

(mn

3 n )2 ≤ 3 < (mn+ 1

3 n )2. Câu 2 Chứng minh rằng trường Q[√3] = {a + b √

3 | a, b ∈ Q} là một trường sắp thứ tự Archimede và không đầy đủ

Câu 3 Giải phương trình sau trên trường các số phức C

3x3− 9x2− 4 = 0.

Câu 4 Giải phương trình nghiệm nguyên sau bằng cách sử dụng liên phân số:

13x − 34y = 6.

Câu 5 Tìm số thực α, biết α có biểu diễn liên phân số là [4; 1, (2, 3)]

Câu 6 Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n thì phương trình

x2+ y2+ 2z2= 2011n luôn có nghiệm nguyên dương x, y, z

Câu 7 Cho phương trình

trong đó X là ma trận thực có dạng a b

−b a

!

và I2 là ma trận đơn vị cấp 2 Chứng minh rằng phương trình(∗) có đúng 2011 nghiệm phân biệt Tính tổng của tất cả các nghiệm của phương trình (∗)