Hãy cho ví dụ về những sai lầm có thể mắc phải khi giải bài toán tiếp tuyến của đường cong bằng phương pháp nghiệm bội của phương trình.. Câu 5..[r]
Trang 1Trường ĐHSP Hà Nội
Khoa Toán - Tin
— *** —
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
——****——
ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ SƠ CẤP Khóa 61 - Thời gian: 90 phút
Đề số 1
Câu 1 Cho hàm số
f (x) = cosx −sinx + 2
cosx + asinx + a + 1 với a là tham số
(i) (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f (x) khi a = 2. (ii) (1 điểm) Với những giá trị nào của a thì f (x) có giá trị nhỏ nhất
(iii) (1 điểm) Chứng minh rằng khi f (x) có giá trị lớn nhất thì nó cũng có giá trị nhỏ nhất
Câu 2 (2 điểm) Chứng minh rằng hàm số y = tanx là một hàm số siêu việt trên
trường các số thực R.
Câu 3 Cho m và n là các số nguyên dương và M =Pnk=0(−1)k(n − k)mCnk.
(i) (1, 5 điểm) Tính số tất cả các toàn ánh từ một tập m phần tử lên một tập n phần tử
(ii) (1 điểm) Chứng minh rằng M = n! nếum = n và M = 0 nếu m < n. Câu 4 (1, 5 điểm) Cho biết phép biến đổi tương đương của phương trình có bảo
toàn số bội của mỗi nghiệm hay không? Hãy cho ví dụ về những sai lầm có thể mắc phải khi giải bài toán tiếp tuyến của đường cong bằng phương pháp nghiệm bội của phương trình
Câu 5 (1 điểm) Cho G(n) là một hàm số của biến số nguyên không âm n. Giả sử
rằng G(0) = 1 và
G(n) − G(n − 1) = 1
n!
với mọi n ≥ 1. Chứng minh rằng G(n) là một hàm số siêu việt trên trường các
số hữu tỉ Q.
Trang 2Trường ĐHSP Hà Nội
Khoa Toán - Tin
— *** —
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
——****——
ĐỀ THI MÔN LÝ THUYẾT GALOIS Khóa 62 - Thời gian: 120 phút
Đề số 1
Câu 1 Chứng minh rằng:
(i) Mọi mở rộng bậc hữu hạn đều là mở rộng đại số
(ii) Mọi mở rộng bậc hữu hạn của một trường có đặc số 0 đều là mở rộng tách được, và là mở rộng đơn
Câu 2 Cho trường
E =Q(215 , 317 ) với Q là trường các số hữu tỉ
(i) Định nghĩa mở rộng Galois và cho ví dụ về mở rộng Galois có bậc mở rộng
là 4
(ii) Chứng minh rằng E không phải là mở rộng Galois của Q.
(iii) Tìm trường con nhỏ nhất F chứa E của trường các số phức C sao cho F là
mở rộng Galois của Q.
(iv) Chứng minh rằng nhóm tất cả các tự đẳng cấu của F là một nhóm giải được
Câu 3 Cho số phức
U =cosπ
7 + isinπ
7 với i là đơn vị ảo
(i) Tìm một đa thức bất khả quy trên Q nhận U làm nghiệm
(ii) Cho biết U có dựng được bằng thước kẻ và compa không, tại sao?
Câu 4 Biết rằng nếu p 1 , , p n (với n nguyên dương) là các số nguyên tố đôi một
khác nhau thì [Q( √
p 1 , , √
p n ) :Q] = 2n. Chứng minh rằng khi đó
Q(√
p1, , √
pn) = Q( √
p1+ · · · + √
pn).