ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ.. Kiểm tra bài cũ: Kiểm tra lí thuyết kết hợp với quá trình hướng dẫn học sinh Không nhất thiết yêu cầu học sinh phả

Chương I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ.

( 24 tiết )

PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH:

§3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Tiết 7; 8.

§4 Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ Tiết 9.

§5 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Tiết 10; 11.

§6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

của một số hàm đa thức Tiết 12; 13; 14.

§7 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

của một số hàm phân thức hữu tỉ Tiết 15; 16; 17.

§8 Một số bài toán thường gặp về đồ thị Tiết 18; 19; 20.

Hướng dẫn chung về phương pháp học tập bộ môn

toán; sử dụng sách giáo khoa; dụng cụ học tập; máy

tính cầm tay (MTCT); …

Hướng dẫn học sinh xem SGK trang 4 (nhắc lại

định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến)

Yêu cầu một học sinh lên bảng ghi lại kiến thức

nắm được Giáo viên sửa, điều chỉnh dấu < thành dấu

>; điều chỉnh giả thiết (hoặc kết luận) và yêu cầu học

sinh sửa lại kết luận (hoặc giả thiết) cho phù hợp

Giáo viên minh họa tính đồng biến (tăng ); nghịch

Học sinh trả lời :Hàm f gọi là đồng biến trên K  xK,

x1<x2  f(x1)<f(x2)

Hàm f gọi là nghịch biến trên K  xK,

x1 … x2  f(x1) … f(x2)

Hàm f gọi là … trên K  xK, x1>x2 f(x1) …f(x2)

biến (giảm ) với đồ thị hàm số.

-3 -2 -1

1

x y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x y

Chú ý kí hiệu: K(khoảng, đoạn , nửa khoảng …)

kí hiệu: I (khoảng)  SGK trang 4

Định lí về điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một

khoảng.

SGK trang 5

Định lí trên cho phép ta xét dấu của đạo hàm để từ

đó suy ra chiều biến thiên của một hàm số (có đạo

hàm)

Hướng dẫn học sinh xem thí dụ 1 SGK trang 5

f(x) xác định trên [1; 1]

f(x) > 0, x(0; 1)

Theo định lí về điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên

một khoảng  f nghịch biến trên khoảng (0;1)

f(x) liên tục trên [0; 1]

Theo chú ý  f nghịch biến trên đoạn [0; 1]

Hướng dẫn học sinh xem ví dụ 2, 3

Hoạt động 2 không nhất thiết vẽ bảng biến thiên, tuy

nhiên có thể hướng dẫn, củng cố lại việc xét dấu tam

thức bậc hai

Nhận xét, so sánh giữa các hình vẽ Trả lờichiều biến thiên của hàm số

Hình 1: Hàm số nghịch biến trên khoảng(1; 1)

Hình 2: Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2)

Hình 3: Hàm số đồng biến trên các khoảng(; 1); (1; 1) và nghịch biến trênkhoảng (1; +)

Học sinh xem SGK: định lí về điều kiện

đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng;chú ý và ví dụ 1

Học sinh xem ví dụ 2, 3

Hàm số trong thí dụ 3 đồng biến trên R.Học sinh giải và trình bày như các thí dụtrong SGK (Tìm TXĐ, tính đạo hàm, tínhgiá trị của hàm số, xét dấu đạo hàm, lậpbảng biến thiên, tính đồng biến, nghịchbiến của hàm số)

+

-7/3

1 x

y y'

-

0

2 0 -13/6

V / CỦNG CỐ, DẶN DÒ, BÀI TẬP VỀ NHÀ:

 Liên hệ giữa chiều biến thiên của hàm số với đồ thị (và ngược lại)

 Liên hệ giữa chiều biến thiên của hàm số dấu của đạo hàm (Học sinh xem các ví dụ 2, 3 SGK trang 6, 7)

 Chuẩn bị bài tập về nhà (SGK trang 7, 8).

TIẾT 02: LUYỆN TẬP.

Kiểm tra bài cũ: Kiểm tra lí thuyết kết

hợp với quá trình hướng dẫn học sinh

Không nhất thiết yêu cầu học sinh

phải tính các giá trị tương ứng của hàm

Lưu ý học sinh hàm số đồng biến

(nghịch biến) trên mỗi khoảng thuộc

TXĐ nhưng không đồng biến (nghịch

-

y' y

y y'

1e)

1 x

y y'

2

2

0 y'

y x

và (2; +)

2b)

2 2

và (1; +)

V / CỦNG CỐ, DẶN DÒ, BÀI TẬP VỀ NHÀ:

 Tóm tắt các bước xét chiều biến thiên của hàm số

 Hướng dẫn phương pháp giải bài tập 4, 5 (Học sinh làm thêm ở nhà)

 Học sinh chuẩn bị các bài tập 6, 8 SGK trang 8

y y'

-

y' y

x

0

x

y y'

TIẾT 03 LUYỆN TẬP.

Kiểm tra bài cũ: Kiểm tra lí thuyết

kết hợp với quá trình hướng dẫn học

sinh giải bài tập

Hướng dẫn học sinh giải và sửa bài tập

biến trên (0;1) và nghịch biến trên

(1;2) Giáo viên giảng thêm: Hàm số

đồng biến trên [0;1] và nghịch biến

trên [1;2]

6f) Tương tự 6c)

Bài tập 7.

Cả hai cách giải trong sách giáo

viên đều sử dụng kiến thức hợp của vô

hạn tập hợp (kiến thức nầy vượt quá

chương trình toán phổ thông) Không

cần thiết đưa bài tập nầy vào sách giáo

khoa

Bài tập 8.

Hướng dẫn học sinh giải bài tập

câu a), các câu b), c) tương tự học sinh

0

1 0 y'

y x

Hàm số đồng biến trên [0;1] và nghịch biến trên [1;2]

 Học sinh làm thêm các bài tập 8b), 8c), 9, 10 SGK (trang 9)

 Xem trước bài §2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Kiểm tra bài cũ: Yêu cầu học sinh giải 1 hoặc 2 câu

trong bài tập 1, bài tập 6

1 Khái niệm cực trị của hàm số.

Định nghĩa  Hướng dẫn học sinh xem SGK trang

10, 11 Lưu ý học sinh cần phân biệt các khái niệm:

Điểm cực đại, điểm cực tiểu (gọi chung là điểm cực

Chú ý: Nếu hàm f đạt cực trị tại x0 thì f’(x0) = 0 hoặc

không tồn tại đạo hàm tai x0

3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị.

Định lí 2  QUY TẮC 1 (SGK trang 13, 14)

Quy tắc 1 tương tự việc áp dụng đạo hàm để xét

chiều biến thiên của hàm số; tính cực trị (giá trị tương

ứng của hàm số)

Hướng dẫn học sinh xem ví dụ 1, 2 trang 14, 15

Hoạt động 1 : Tương tự ví dụ 1

Định lí 3  QUY TẮC 2 (SGK trang 15, 16)

Hướng dẫn học sinh so sánh quy tắc 1 với quy tắc 2

(những điểm giống nhau và khác nhau) Những dạng

bài tập thường sử dụng quy tắc 2

Hướng dẫn học sinh xem ví dụ 3 trang 16

Hoạt động 2 :

Nhắc lại công thức nghiệm của phương trình lượng

giác cơ bản: cosx = cosa  x = a + k2, kZ

Học sinh xem SGK và nhận xét:

Hàm f có TXĐ: D

x0  Df(x0)(x0; f(x0) )

Học sinh xem SGK, áp dụng quy tắc 1 đểtìm cực trị

-2 x

y y'

0

2 0

TIẾT 05 LUYỆN TẬP.

Kiểm tra bài cũ: Kiểm tra việc vận

dụng quy tắc 1, quy tắc 2 qua yêu cầu

học sinh giải bài tập (kết hợp yêu cầu

học sinh xét sự biến thiên của hàm số)

Nhắc lại công thức goác nhân đôi,

công thức nghiệm của phương trình

lượng giác cơ bản:

cosx = cosa  x = a + k2, kZ

chu kì của hàm số lượng giác

Học sinh lên bảng giải bài tập, các học sinh khác nhậnxét, bổ sung bài làm của bạn

11a)

-7/3 -1

-1

0

-3 0

+

-

y' y x

11b) Hàm số đồng biến trên R (không có cực trị)

11c) xCĐ = 1, yCĐ = f(1) = 2

xCT = 1, yCT = f(1) = 2

11e) f’(x) = x4  x2 = x2(x2  1) f’(x) = 0  x = 0 hoặc x = 1

15 28

1 x

y y'

11f) xCĐ = 0, yCĐ = f(0) = 3 xCT = 2, yCT = f(2) = 1 12a)

2 2

2 -2

0

- 2

0

-2 y' y

x 0

0

12b) xCĐ = 0, yCĐ = f(0) = 2 2 12c) y’ = 1 2cosx; y’ = 0  x k , k Z

Bài tập 14.

Tương tự bài tập 13

Bài tập 15.

Lưu ý học sinh nên biến đổi y trước

khi tính đạo hàm (nhóm các số hạng của

tử hoặc thực hiện phép chia đa thức)

(thỏa các yêu cầu của bài toán)

y y'

0

m+1 0

CỦNG CỐ, DẶN DÒ, BÀI TẬP VỀ NHÀ:

 Học sinh xem lại các bài tập đã sửa

 Xem trước bài §3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

§ 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.

Kiểm tra bài cũ: Yêu cầu học sinh giải lại một hoặc

hai câu trong các bài tập 11, 12 (đã sửa)

Định nghĩa.

Định nghĩa SGK trang 18

Hướng dẫn học sinh nhận biết những điểm giống

nhau và khác nhau giữa cực đại, cực tiểu với GTLN,

GTNN của một hàm số

Học sinh lên bảng giải bài tập, các học sinhkhác nhận xét, bổ sung bài làm của bạn.Xem ví dụ 2:

Nhận xét: xCT = 1; yCT = f(1) = 1

f(1) = 1 không phải là GTNN của hàm sốtrên đoạn đã cho

Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số trên

Hướng dẫn học sinh xem và các thí dụ trong SGK

trang 18, 19, 20

Khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a; b]

ta có thể giải như bài tập tìm GTLN, GTNN của hàm

số trên khoảng, nửa khoảng (nghĩa là phải vẽ bảng

biến thiên); tuy nhiên: xem nhận xét và quy tắc trong

Kết hợp hướng dẫn và yêu cầu học sinh sử dụng

MTCT để tính giá trị của hàm số tại các điểm tương

y y'

 Xem lại các thí dụ và bài tập đã sửa

 Học sinh chuẩn bị các bài tập 17d), e), f), 18, 19, 20

LUYỆN TẬP.

Kiểm tra bài cũ: Kiểm tra kiến thức cũ kết

hợp trong quá trình sửa bài tập

Bài tập 17.

Bài tập 17d), 17e) không nhất thiết phải

vẽ bảng biến thiên

Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên nửa

khoảng (nửa đoạn) xem như tìm GTLN,

GTNN của hàm số trên một đoạn (yêu cầu

vẽ bảng biến thiên)

Bài tập 18.

a) Hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ, điều

kiện của ẩn phụ Phân tích cách giải: bài

toán tìm GTLN, GTNN của hàm số trên

một khoảng (yêu cầu phải vẽ bảng biến

thiên) được đưa về bài toán tìm GTLN,

GTNN của hàm số trên một đoạn (không

nhất thiết vẽ bảng biến thiên)

b) Tương tự

Bài tập 20.

Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt

hồ có x con cá thì sau một vụ, số cá trên

Học sinh lên bảng giải bài tập, các học sinh khác nhận xét, bổ sung bài làm của bạn

17d) max f(x) = f(2) = 4; min f(x) = f(4) = 1 17e) max f(x) = f(1) = 11/3; min f(x) = f(0) = 2 17f) max f(x) = f(2) = 3/2

2 0

3/2 -

+

-

y' y x

Học sinh nhận xét, bổ sung ý kiến của bạn

mỗi đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân

x

0

Hàm số đạt GTLN khi x = 12

CỦNG CỐ, DẶN DÒ, BÀI TẬP VỀ NHÀ:

 Học sinh xem lại các bài tập đã sửa

 Học sinh làm thêm bài tập 27 (SGK trang 24)

 Xem trước bài §4 ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TỌA ĐỘ

§ 4 ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TỌA ĐỘ.

1.Phép tịnh tiến hệ tọa độ và công thức chuyển

hệ tọa độ.

Hướng dẫn học sinh xem SGK trang 24, 25

(Phép tịnh tiến hệ tọa độ đã được trình bày ở

lớp 10 và một số bài tập lượng giác lớp 11)

2 Phương trình của đường cong đối với hệ tọa

độ mới.

Giải thích phương pháp vận dụng để chứng

minh đồ thị hàm số có một tâm đối xứng

Nhắc lại định nghĩa hàm số lẻ Tính chất của

hàm số lẻ

Hoạt động : Sử dụng bài tập 29a), b), c), d) phân

cho các nhóm thức hiện

Có thể tìm tọa độ đỉnh theo công thức ở lớp

10, tuy nhiên nên hướng dẫn học sinh sử dụng

đạo hàm

Hướng dẫn tương tự ví dụ

Học sinh xem SGK trang 24, 25

Chú ý ví dụ, chuẩn bị bài tập 29 SGK trang 27.a) y = 2x2  3x + 1 TXĐ: D = R

 Làm thêm các bài tập 30, 31 SGK trang 27.

 Đọc trước bài § 5 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

§ 5 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

Học sinh đã học giới hạn của hàm số ở lớp 11

1 Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang.

Hướng dẫn học sinh xem SGK trang 29, 30, 31

Định nghĩa 1:

Định nghĩa 2:

Hướng dẫn học sinh cách vận dụng để tìm TCN, TCĐ

qua các ví dụ 1, 2 (lưu ý học sinh hàm phân thức, TXĐ,

bậc của tử và mẫu, tìm giới hạn)

Cách dự đoán TCN, TCĐ của đồ thị hàm số

Yêu cầu học sinh vận dụng, trả lời nhanh kết quả của

hoạt động 1

2 Đường tiệm cận xiên.

Hướng dẫn học sinh xem SGK trang 32, 33

Định nghĩa 3:

Hướng dẫn học sinh cách vận dụng để tìm TCX qua các

ví dụ 3 (lưu ý học sinh dạng của hàm số, hàm phân thức,

bậc của tử và mẫu, tìm giới hạn)

Công thức tìm các hệ số a, b của TCX: y = ax + b (Học

sinh xem chú ý trang 34)

Phương pháp chung để tìm các đường tiệm cận (nếu có)

Nhận xét ví dụ 1, 2 là các hàm phânthức

HĐ 1: (Dự đoán)TCN: y = 3

TCĐ: x = 1 và x = 1

Học sinh xem SGK trang 32, 33, 34.Nhận xét dạng của các hàm số trongcác thí dụ 3, 4

Nhận xét đồ thị các hàm số trong cácbài tập 34, 35 sẽ có các tiệm cận gì

HĐ 2: (Dự đoán)TCX: y = 2x + 1

TCĐ: x = 2

Học sinh nhận xét dạng của hàm số, từ

Hướng dẫn học sinh có nhận xét ban đầu về tiệm cận

của các đồ thị hàm số trong các bài tập 34, 35 SGK trang

35

đó dự đoán các tiệm cận (nếu có) của

đồ thị hàm số

V / CỦNG CỐ, DẶN DÒ, BÀI TẬP VỀ NHÀ:

 Nhắc lại phương pháp chia đa thức

 Học sinh chuẩn bị bài tập 34, 35, 36 SGK trang 35, 36

LUYỆN TẬP.

Kiểm tra bài cũ: Yêu cầu học sinh dự

đoán các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

trước khi giải bài tập

3



� �   TCN: y = 1

3b) Tương tự bài tập 34a)

2

2 4

 35a) TCĐ: x = 0; TCX: y = x  3

 Học sinh làm các bài tập 37, 38 SGK trang 36

 Xem trước bài § 6 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC

§ 6 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ

Kiểm tra bài cũ: Yêu cầu học sinh

giải bài tập 38 (SGK trang 36)

1 Các bước khảo sát sự biến thiên

Hướng dẫn học sinh xem ví dụ 1, 2

Lưu ý học sinh mối liên hệ giữa

chiều biến thiên của hàm số và đồ thị

Hoạt động : Phân câu b) và c) của bài

tập 42 (SGK trang 44) cho các nhóm

Yêu cầu mỗi nhóm hướng dẫn và

kiểm tra các bạn trong nhóm làm bài

tập

Đại diện nhóm lên bảng giải

Giáo viên sửa, tổng kết

Khảo sát hàm số không yêu cầu tìm

điểm uốn, nhưng đối với hàm bậc ba

cần xác định điểm uốn vì điểm uốn là

tâm đối xứng (của đồ thị)

-1

-1 x

y y'

- 

0

1 0 3

Điểm uốn I(0; 1)

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1

1 2 3

x y

44c)

x

y y'

- +

Điểm uốn I(1; 1)

-2 -1 1 2 3 4

-5 -4 -3 -2 -1

1 2

x y

V / CỦNG CỐ, DẶN DÒ, BÀI TẬP VỀ NHÀ:

 Làm các bài tập 42a), d) (SGK trang 44)

 Đọc trước § 6  3.Hàm số trùng phương Chuẩn bị bài tập 44 (SGK trang 44)

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

3 Hàm số trùng phương

y = ax 4 + bx 2 + d (a  0).

Hướng dẫn học sinh xem ví dụ 3, 4

Lưu ý học sinh mối liên hệ giữa

chiều biến thiên của hàm số và đồ thị

Hoạt động : Phân câu a) và b) của bài

tập 44 (SGK trang 44) cho các nhóm

Yêu cầu mỗi nhóm hướng dẫn và

kiểm tra các bạn trong nhóm làm bài

tập

Đại diện nhóm lên bảng giải

Giáo viên sửa, tổng kết

Khảo sát hàm số trùng phương

không yêu cầu tìm điểm uốn (của đồ

thị), nhưng học sinh có thể làm thêm

Các dạng đồ thị của hàm trùng

phương

Tương tự khảo sát hàm bậc ba

Nắm được yêu cầu thực hiện các bước khảo sát sự biếnthiên và vẽ đồ thị của hàm số trùng phương

Học sinh xem các thí dụ, giải bài tập 44

44a) Học sinh giải tương tự ví dụSGK

3 2

-1/4 2 x

y y'

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1 2 3 4 5

x y

44b)

- -

0 1

+ -

y' y

x

0

-3 -2 -1 1 2 3 4

-5 -4 -3 -2 -1

1 2

x y

Kiểm tra bài cũ: Yêu cầu học

sinh lên bảng giải các bài tập

khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ

Học sinh lên bảng giải, các học sinh khác nhận xét, bổ sung

y y'

1 2

x y

b) Điểm uốn I(1; 2)

PTTT tại điểm uốn:

y  y0 = f’(x0)(x  x0)

 y = 3x  5

c) Điểm uốn I(1; 2)

Công thức chuyển hệ tọa độtheo OI : x X 1

-

0

1 -1

-

-1 -2 -1

-4 -3 -2 -1 1 2 3

-6 -5 -4 -3 -2 -1

1

x y

b) * Nếu m < 2 thì phươngtrình có 2 nghiệm

* Nếu m = 2 thì phương trình

có 3 nghiệm

* Nếu 2 < m < 1 thì phươngtrình có 4 nghiệm

 Hướng dẫn phương pháp giải bài tập 46a)

 Làm thêm các bài tập SGK trang 9

 Xem trước bài § 7 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ

§ 7 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ.

I / MỤC TIÊU:

Giúp học sinh nắm được các bước khảo sát các hàm phân thức nêu trong bài và cách vẽ đồ thịcác hàm số đó

II / CHUẨN BỊ:

Máy đèn chiếu và tập tin Flash: KSHS bai 7 Toan 12NC.

Sách GK, sách GV, tài liệu, thước kẻ, máy tính cầm tay …

III / PHƯƠNG PHÁP:

Phương pháp vấn đáp gợi mở, đan xen hoạt động nhóm thông qua các hoạt động điều khiển tưduy

IV / TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:

Kiểm tra bài cũ: Các bước khảo sát

sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm bậc ba,

Lưu ý học sinh mối liên hệ giữa

chiều biến thiên của hàm số, tiệm cận

và đồ thị

Hoạt động : Phân câu a) và b) của bài

tập 50 (SGK trang 49) cho các nhóm

Yêu cầu mỗi nhóm hướng dẫn và

kiểm tra các bạn trong nhóm làm bài

tập

Đại diện nhóm lên bảng giải

Giáo viên sửa, tổng kết

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của

hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

Các dạng đồ thị của hàm y ax+b

cx+d

(c  0 và ad  bc  0)

Trả lời các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàmbậc ba, trùng phương

So sánh các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàmbậc ba, trùng phương với các bước khảo sát sự biến thiên

và vẽ đồ thị của hàm phân thức trong SGK

Học sinh xem các thí dụ, giải bài tập 50 (tương tự ví dụSGK)

50a) TXĐ: D = R\{1}

x

y y'

1 2 3 4 5

x y

TCĐ: x = 1/3;

TCN: y = 2/3

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5

0.5 1 1.5

x y