v p n to n KSTN 1999 2007

tai lieu hay day moi nguoi

Trang 1

(*)ðề thi ñược soạn lại bởi Vũ Hữu Tiệp K52-ðTVT-KSTN-ðHBKHN

Phần thứ Nhất TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

TRUNG TÂM ðÀO TẠO TÀI NĂNG

ðề thi tuyển sinh chương trình ñào tạo K.s tài năng và K.s chất lượng cao

Năm 1999 Môn thi: Toán học

Trang 2

TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

( Gợi ý: Có thể xét sự biến thiên của hàm số ( ) ( )

0

x kx

F x = e− ∫ f t dt trên khoảng (0, +∞ )).

Trang 3

Thời gian: 120 phút(*)

Bài 1:

Cho hàm số ( )

( )2 1

∈     với mọi n nguyên dương

3./ Chứng minh rằng f ' ( ) x tăng trên ñoạn 1 ,1

Trang 4

x

+

1./ Giải bất phương trình ( ) 1 khi m = 2.

2./ Tìm m ∈ ℝ lớn nhất sao cho bất phương trình ( ) 1 nghiệm ñúng với mọi

1, 1.

2

n n

Cho hàm số y = f x ( ) có ñạo hàm cấp hai f " ( ) x ≥ trên toàn bộ ℝ và a ∈ ℝ 0

cố ñịnh Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g x ( ) = f x ( ) ( + a − x f ) ( ) ' x trên ℝ

4

Trang 5

Thời gian: 120 phút(*)

Bài 1:

Tìm ña thức P x có bậc bé nhất, ñạt cực ñại tại ( ) x = với 1 P ( ) 1 = và ñạt 6

cực tiểu tại x = với 3 P ( ) 3 = 2.

Trang 6

2./ Chứng minh rằng nếu hàm số f x có ñạo hàm liên tục trên ñoạn ( ) [ ] a b ,

và thỏa mãn ñiều kiện f a ( ) = f b ( ) = thì: 0

2 4

Trang 7

Trang 8

A B

x và y là 2 ñường thẳng chéo nhau A và B là 2 ñiểm cố ñịnh trên x CD là ñoạn

thẳng có chiều dài l cho trước trượt trên y Tìm vị trí của CD sao cho diện tích toàn phần của tứ diện ABCD là nhỏ nhất

8

Trang 9

Cho mặt phẳng ( ) P và 2 ñiểm C D ở về 2 phía ñối với , ( ) P sao cho CD

không vuông góc với ( ) P Hãy xác ñịnh vị trí 2 ñiểm A B thuộc , ( ) P sao cho

AB = ( a a > cho trước ) và tổng ñộ dài CA 0 + AB + BD ñạt giá trị nhỏ nhất

Bài 5:

Cho k k1, 2, , k là các số thực dương khác nhau từng ñôi một n

Chứng minh rằng: λ1cos ( ) k x1 + λ2cos ( ) k x2 + + λncos ( ) k xn = 0, ∀ ∈ ℝ khi x

và chỉ khi λ1 = λ2 = = λn = 0.

9

Trang 10

Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà Nội, tháng 8/2008

t x

e x e

e t e x

x f x

e e

Trang 11

Bài 3:

Xét

2cos 2 sin 3( ) sin

Theo ñịnh lý Roll, tồn tạix0∈(− , )π π mà f x'( 0)= 0

Vậy phương trình ñã cho có nghiệm x0∈(− , )π π (dpcm)

Trang 12

Trang 13

Bài 3:

Xét hàm số: ( ) ( )

0

x kx

Trang 14

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n

Với n =1, hiển nhiên ae kx = ∀ ∈ ⇔ =0, x ℝ a 0

Theo giả thiết quy nạp ⇒(k n−k a1) 1=(k n−k a2) 2 = = (k n−k n−1)a n−1=0

Do các k khác nhau ñôi một nên i a1=a2 = = a n−1 = 0

Từ ñó hiển nhiên a = n 0

Theo nguyên lý quy nạp, bài toán ñược chứng minh

14

Trang 15

( ) ( ) ( )

2 4

( )3

1

1 0, .1

x

e x

x x

0,

12

Trang 16

e x x e x

x x

Theo ñịnh lý Lagrange, ∃ nằm giữa βn u n+1, α mà:

Trang 17

Trang 18

1 0, 0 0 31

x

mx x x x

Trang 19

'7

8

n n

Ta có f x( )liên tục trên [ ]0,1 và f ( )0 = f ( )1 =0, theo ñịnh lý Roll, ∃ ∈x0 [ ]0,1

sao cho f '( )x0 = ⇒0 phương trình a0+a x1 +a x2 2+ + a2002x2002 = có nghiệm trên 0

Trang 20

3 2

34

⇒ ña thức (P x'( )−P"( )x ) ñổi dấu trên ℝ (mâu thuẫn với ii))

ðiều vô lý suy ra không tồn tại ña thức thỏa mãn ñiều kiện bài toán

Trang 21

Tương tự ñối với trường hợp f x( )0 <x0

n n n

Trang 22

Nhận xét, ñể tồn tại giới hạn trên, cả tử và mẫu phải có cũng bậc và hệ số cao nhất

của tử và mẫu phải bằng nhau, ñiều này tương ñương với:

2109

Cho x1→x2⇒ f x( )1 → f x( )2 ⇒ f x( )liên tục trên [ ]0,1

Trước hết ta chứng minh tồn tại x0∈[ ]0,1 : f x( )0 =x0 (1)

Theo giả thiết: f ( )0 ≥0,f ( )1 ≤1

22

Trang 23

Nếu 1 trong 2 BðT trên xảy ra dấu bằng⇒( )1 ñúng

Theo giả thiết: a b− = f a( )− f b( ) < −a b Vô lý ⇒ Gải sử sai

Vậy tồn tại duy nhất số x thỏa mãn 0 f x( )0 =x0

Chia [ ]a b, thành các ñoạn nhỏ mà trên mỗi ñoạn ñó f x( ) không ñổi dấu

Giả sử a=x0< x1<x2 < < x n =b là các ñiểm chia

Trang 24

⇒ hội tụ Mâu thuẫn với câu 1./

Vậy giả sử sai lim n

Vậy BðT ở ñề bài tương ñương với: (b a f c a− ) ( ) ≥a f d ( )(b a− )

Do f x( ) là hàm số ñơn ñiệu giảm⇒ f c( )≥ f d( ) Mà (b a a− ) ≥0 nên BðT ñã

cho ñúng

24

Trang 25

→ = = nên f x( ) liên tục trên ℝ

Rõ ràng với ∀ ,α f x( ) có ñạo hàm tạo ∀ ≠ Ta phải tìm x 0 α ñể tồn tại f ' 0 ,( ) tức

Tương tự như trên, giới hạn trên tồn tại nếu α > 1

Với α ≤ 1, ta sẽ chứng minh không tồn tại giới hạn trên

Trang 26

Cho t=kπ ⇒M = nhưng ñiều này là không thể vì với 0 2 , 0

Trang 27

Nếu a < : Phương trình có 1 nghiệm thực 3

Nếua = : Phương trình có 2 nghiệm(1 nghiệm kép 3 x = ) 2

Nếu a > : Phương trình có 3 nghiệm phân biệt 3

Bài 2:

1 1

1

1.2

Trang 28

0

1

c n

n n

n c

1

n n n

c c

+ +

− do 0< < c 1.

Theo nguyên lý giới hạn kẹp lim n 0

n n

A B

Trang 29

Gọi I,J lần lượt là chân ñường vuông góc hạ từ C,D xuống x

Ta phải tìm vị trí của C,D ñể CI +DJ ñạt giá trị nhỏ nhất

Ta có CI+DJ = CH2−HI2 + DH2 −HJ2

29

Trang 30

Trang 31

t

t − − =m

(1) Khi m = 1

=



⇔  =

Vậy nghiệm của phương trình là x=0,x= 1

2./ ðặt ( ) 3 2 1

, t 1, 2 2

Trang 32

2 1 0

0

.32

Trang 33

2./ Theo câu 1./, f x( ) ñơn ánh, kết hợp với f x( )liên tục trên ℝ ⇒ f x( ) ñơn ñiệu

trên ℝ

Nếu f x( ) ñơn ñiệu giảm trên ℝ

Từ giả thiết ta cóf (f x( ) )> + > ⇒x 1 x f(f f x( ( ) ) )> f x( )

Và f (f f x( ( ) ) )< f x( )(Do f x( ) ñơn ñiệu giảm trên ℝ.)

Mâu thuẫn suy ra f x( ) ñơn ñiệu tăng trên ℝ

Gọi H K lần lượt là hình chiếu của C, D xuống ,

(P) I là giao ñiểm của CD HK Ta có: ,

KP

I

33

Trang 34

Dấu bằng xảy ra khivà chỉ khi:

a CH IA

CH DK

=+

Tiêu đề	Đề Thi Tuyển Sinh Chương Trình Đào Tạo K.s Tài Năng Và K.s Chất Lượng Cao
Người hướng dẫn	Vũ Hữu Tiệp
Trường học	Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Đề thi
Năm xuất bản	1999
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	34
Dung lượng	563,14 KB