BÀI tập đạo hàm PHẦN 1

c Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0.d Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi các trục tọa độ.. a Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm A2; –7.. b Viết phương trì

CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM

VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bài 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:

a) y f(x) 2x = = 2 − + x 2 tại x 0 = 1 b) y f(x) = = 3 2x − tại x0 = –3

c) y f(x) 2x 1

x 1

+

− tại x0 = 2 d) y f(x) sinx = = tại x0 =

6

π

e) y f(x) = = 3 x tại x0 = 1 f) y f(x) x2 x 1

x 1

+ +

− tại x0 = 0

Bài 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:

a)y= x2 +3x− x tại x0=4 b)y = x+3−x tại x0=1 c) y= x−x tại x0=2

d)y=sinx+cosx tại x0=0 e)y=sin2 2x tại x0=

2

π f)y=tanx+1 tại x0=

4

π

Bài 3: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) f(x) x = 2 − 3x 1 + b) f(x) x = 3 − 2x c) f(x) = x 1, (x + > − 1)

d) f(x) 1

2x 3

=

− e) f(x) sinx = f) f(x) 1

cosx

=

VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức

Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số

y= x + x − −x x + x−

0,5

4 3

c)y 2x4 1x3 2 x 5

3

d)

3

y = − + − + x a (a là hằng số)

e)y 32 x 2x x.

3 x

= − + f)y 2x4 1x3 2 x 5

3

g)y x = −5 4 x3 + 2 x − 3 x

Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y (x = 2 + 3x)(2 x) −

b)y=(2x−3)(x5−2x)

c)y = ( x2 + 1)(5 3 ) − x2

d) y x x = (2 − 1)(3 x + 2)

e)y=(x2−2x+3).(2x2+3)

f)y x= 2 x

x

y

x

−

=

−

h)

3

4

10

2

−

+

=

x

x

y

i)

6 3

4 5

2

−

− +

−

=

x

x x

y

x

k) y 3

2x 1

=

+

l) y 2x 1

1 3x

+

=

−

m) y 1 x x22

1 x x

+ −

=

− +

n) y x2 3x 3

x 1

− +

=

−

o) y 2x2 4x 1

x 3

− +

=

−

p) y 2 2x2

x 2x 3

=

− −

1

x y x

−

=

−

r) 22

1

x y

x

=

−

1

x y

−

= + +

t)

1

y

x

+ −

=

−

1

1

y x

x

= + −

−

v)

1

y

x

=

+

w)

2

y

x

=

+

x)

2 2

1 1

y

+ +

=

− +

x y

+

=

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = ( x7 + x )2

b) y = (2 x3 − 3 x2 − 6 x + 1)2

c) y = − (1 2 ) x2 3

d) y = − ( x x2 32)

e) y = ( x2 − + x 1) (3 x2 + + x 1)2

f) y (x = 2 + + x 1) 4

g) y (1 2x ) = − 2 5

h)

3 2x 1 y

x 1

 + 

=  − ÷

i) y (x 1)23 (x 1)

+

=

−

j) y 2 1 2 (x 2x 5)

=

− +

k) ( 2)4

y = − 3 2x

y

=

− +

l)

x

x y

+

−

= 2 1

m)

8 3 2

9 4 5 2

2

− +

−

−

−

=

x x

x x y

n)y =(1+2x)(2+3x2)(3−4x3)

1

) 3 )(

2 (

x x

x x

y

+

−

−

−

=

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y x = 2+ x x + 1

b) y = 1 2 + x x − 2

c) y = x2 + − 1 1 − x2

d)

2 1

x

y

x

+

=

e)

2

1

1

x y

x

1

1

x

−

g)

2

1

x

1

x y

x

+

=

−

i) y = x + x + x

j)y = 2x2 −5x+1 k)

x

x y

2 3

1 +

−

= l)y = 1+ x+ x

m) y = 2x 2 − 5x 2 +

n) y = 3 3 x − + x 2 o) y = x + x p) y (x 2) x = − 2 + 3 q) y 4x 12

x 2

+

= +

r) y 4 x2

x

+

=

s) y x3

x 1

=

−

t) y = (x 2) − 3

y = + 1 1 2x −

Bài 5: Cho hàm số f x ( ) 3 = x − 2 x Tính f '(4); f a '( )2 trong đó a là hằng số khác 0

Bài 6: Cho n là số nguyên dương Chứng minh rằng:

a) (sin x.cosnx)' nsin n = n 1− x.cos(n 1)x + b)(sin x.sinnx)' n.sin n = n 1− x.sin(n 1)x +

c) (cos x.sinnx)' n.cos n = n 1− x.cos(n 1)x + d)(cos x.cosnx)' n = − n.cos n 1− x.sin(n 1)x +

Bài 7: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)

2 sinx

y

1 cosx

=  + ÷

b) y x.cosx=

c) y sin (2x 1) = 3 +

e) y sin 2 x = + 2

f) y = sinx 2x +

h) y 2sin 4x 3cos 5x = 2 − 3

i) y (2 sin 2x) = + 2 3

j) y sin cos xtan x = ( 2 2 )

k) y cos2 x 1

x 1

 + 

=  ÷÷

−

l)

x x

x x

y

2 cos 2

sin

2

2 cos 2

sin

−

+

=

m)

x x

sin cos

1

−

= n) y=sinxcos2x

sin

p)y=sin (cos(tan 3 )))2 4 x

q)y =sin32xcos32x

r)y=(sinx+cosx)3;

s) y = 5sin x − 3cos x

t) y = sin( x2 − 3 x + 2)

u) y = sin x

v) y = cos2x

x) y = 2sin 3 cos5 x x

y) sin cos

y

+

=

−

z) y = cos2 x

a1) sin

sin

y

b1)y=sin(cos ) cos(sin )x + x

sin

y

+

=

−

d1) y = (sin x + cos ) x 2

e1) y = 3cos 22 x − 2cos 32 x

f1)

2

1 cos 2

1 cos 2

x y

x

+

=   − ÷ 

g1) y = cos4x + sin4x

h1) 1 1

y

4

y

−

=

−

Bài 8: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

tan

2

x

b) y = tan3x + cot 2 x

c) y = cot x2 + 1

d) y = tan 3 x − cot 3 x

e) y x = cot x

f)

2 2

1 tan 3

1 tan 3

x y

x

+

=

−

g) y = tan(sin ) x

h) y = x tan x

i) y = tan x + cot x

(1 tan ) 2

k) y = cot2x

l) cot (23 )

4

;

m)y=tan (sin(cos 2 ))2 3 x

Bài 9: Tính đạo hàm của hàm số đa thức y = f x ( ) = ax3+ bx2 + + cx d

Bài 10: Cho hàm số y f x ( ) ax b

cx d

+

+ (a, b, c, d là hằng số) Tính f x '( )

Bài 11: Cho hàm số

2

mx n

+ (a, b, c, m, n là hằng số) Tính f x '( )

VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x)

Phương pháp: phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f x ( ) tại điểm M x f x ( ; ( ))0 0 là

'( )( ) ( )

y= f x x x− + f x

Chú ý: +) Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ tiếp điểm x0, ta vẫn là dạng toán này

+) Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ tiếp điểm y0, ta giải phương trình f x ( ) = y0 để tìm hoành độ tiếp điểm

số góc là k

Phương pháp:

B1: Tính đạo hàm của hàm số y = f x ( )

B2: Gọi M x f x ( ; ( ))0 0 là hoành độ tiếp điểm Giải phương trình f x ( )0 = k để tìm hoành

độ tiếp điểm x0

B3: Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 3.1)

điểm M(a;b)

Phương pháp:

B1: Tính f x '( )

B2: Gọi M x f x0( ; ( ))0 0 là tiếp điểm Khi đó phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm này là

Theo bài ra tiếp tuyến này đi qua điểm M nên ta có b = f x a x '( )(0 − 0) + f x ( )0 (1) B3: Giải phương trình (1) tìm hoành độ tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1)

Bài tập

Bài 1: Cho hàm số (C): y f(x) x = = 2 − 2x 3 + Viết phương trình tiếp với (C):

a) Tại điểm có hoành độ x0 = 1

b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0

c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0.

d) Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi các trục tọa độ

Bài 2: Cho hàm số y f(x) 2 x x2

x 1

− +

− (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4)

b) Viết phương trình ttiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1

Bài 3: Cho hàm số y f(x) 3x 1

1 x

+

− (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với d: y 1x 100

2

e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với ∆: 2x + 2y – 5 = 0

Bài 4: Cho hàm số (C): y x = − 3 3x 2

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1, –2)

b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị (C) không đi qua I

Bài 5: Cho hàm số (C): y = 1 x x − − 2 Tìm phương trình tiếp tuyến với (C):

a) Tại điểm có hoành độ x0 =1.

2 b) Song song với đường thẳng x + 2y = 0

Bài 6: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y x = −3 5 x2 + 2

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó

a) song song với đường thẳng y = − + 3 x 1

b) vuông góc với đường thẳng 1

4 7

c) đi qua điểm A(0;2)

Bài 7 Cho đường cong (C): 2

2

x y x

+

=

−

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)

a) tại điểm có hoành độ bằng 1 b) tại điểm có tung độ bằng 1

3

c) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là − 4

Bài 8: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y x = −3 3 x + 2

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó

a) nhận điểm A (2;4) làm tiếp điểm

b) song song với đường thẳng y = 9 x + 2

c) đi qua điểm B(0;2)

VẤN ĐỀ 4: Tính đạo hàm cấp cao

2 Để tính đạo hàm cấp n:

• Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n.

• Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng.

Bài 1: Cho hàm số f(x) 3(x 1)cosx = +

a) Tính f '(x),f ''(x) b) Tính f ''( ), f '' ,f ''(1)

2

  π

π  ÷

 

Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số đến cấp được chỉ ra:

a) y cosx, y''' = b) y 5x = 4 − 2x 3 + 5x 2 − 4x 7, y'' + c) y x 3, y''

x 4

−

= +

d) y = 2x x , y'' − 2 e) y xsinx, y'' = f) y xtanx, y'' =

g) y (x = 2 + 1) ,y'' 3 h) y x = 6 − 4x 3 + 4, y (4) i) y 1 , y(5)

1 x

=

−

Bài 3: Cho n là số nguyên dương Chứng minh rằng:

a)

(n) n

n 1

1 ( 1) n!

1 x (1 x) +

 + ÷

+

  b) (sinx)(n) sin x n.

2

 π 

  c) (cosx)(n) cos x n.

2

 π 

Bài 4: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

a) y 1

x 2

=

x 3x 2

=

x 1

=

−

d) y 1 x

1 x

−

=

+ e) y sin x = 2 f) y sin x cos x = 4 + 4

Bài 5: Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra:

a)  =y xsinxxy'' 2(y' sinx) xy 0− − + =

y y'' 1 0

 = −

 + =



y xtanx

x y'' 2(x y )(1 y) 0

 =

2

x 3 y

x 4 2y (y 1)y''

 = −



 ′ = −



VẤN ĐỀ 5: Các bài toán khác

Bài 1: Giải phương trình f '(x) 0 = với:

a) f(x) 3cosx 4sinx 5x = − + b) f(x) cosx = + 3són 2x 1 + −

c) f(x) sin x 2cosx = 2 + d) f(x) sinx cos4x cos6x

e) f(x) 1 sin( x) 2cos3 x

2

π +

= − π + + f) f(x) sin3x = − 3cos3x 3(cosx + − 3sinx)

Bài 2: Giải phương trình f '(x) g(x) = với:

a) g(x) sin6xf(x) sin 3x== 4

 b) g(x) 4cos2x 5sin4xf(x) sin 2x== 3 −



2

x f(x) 2x cos

2 g(x) x x sinx







d)

2 x f(x) 4xcos

2 x g(x) 8cos 3 2xsinx

2







Bài 3: Giải bất phương trình f '(x) g'(x) > với:

a) f(x) x = 3 + − x 2, g(x) 3x = 2 + + x 2

b) f(x) 2x3 x2 3, g(x) x3 x2 3

2

c) f(x) 2, g(x) x x3

x

Bài 4: Chứng minh hàn số y = sin6x + cos6x + 3sin2x cos2x có đạo hàm bằng 0

Bài 5: Chứng minh

a) y = tan x thỏa mãn hệ thức y ' − y2 − = 1 0

b) y = cot 2 x thỏa mãn hệ thức y ' 2 + y2+ = 2 0

Bài 6: Giải phương trình y ' 0 = trong các trường hợp sau:

d) y = tan x + cot x

Bài 7: Tính '

6

f   π

 ÷

  biết

cos ( )

cos2

x

f x

x

=

Bài 8: Xác định m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R:

a) f '(x) 0 với f(x) mx3 3x2 mx 5

3

b) f '(x) 0 vớ i f(x) mx3 mx2 (m 1)x 15

VẤN ĐỀ 6*: Tính tổng nhờ đạo hàm và tính giới hạn nhờ đạo hàm

Bài 1: Tính tổng sau:

a) P x ( ) 1 2 = + x + 3 x2 + + nxn−1

b) Q x ( ) 1 = +2 22x + 32x2 + + n x2 n−1

Bài 2: Tìm giới hạn sau:

1

8 3 lim

x

x

→

+ −

3 1

lim

1

x

x

→

−

c)

2 3 1

lim

1

n x

x

→

−

Bài 3: Chứng minh rằng

C + C + + − n C − + nC = n −

b) 0 2 1 3 2 n 1 ( 1) n 2n 2n 1

Bài 4: Tính các tổng sau:

a) S C = 120− 2 C202 + 3 C203 − + 19 C2019− 20

b) S C = 301 − 2 C302 + 3 C303 − + 29 C3029− 30