Các bài toán và bài tập chuyên đề đạo hàm

Gọi là giao điểm của với Ta có, Tại hệ số góc là Phương trình tiếp tuyến tại là.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị , biết vuông góc với... Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

_ DẠNG 2 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM VÀ BẢNG ĐẠO HÀM _ 3

_ DẠNG 3 BÀI TOÁN CHỨNG MINH, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH _ 16

_ DẠNG 4 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 20

_ DẠNG 5 CHÚNG MINH ĐẲNG THỨC, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ĐẠO HÀM _ 26

C BÀI TẬP RÈN LUYỆN _ 27

D LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN 32

BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN _ 41

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT _ 41

B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 41

_ DẠNG 1 VIẾT PTTT KHI BIẾT TIẾP ĐIỂM (TẠI ĐIỂM ) HOẶC BIẾT HOÀNH ĐỘ, TUNG ĐỘ _ 41

_ DẠNG 2 VIẾT PTTT KHI BIẾT HỆ SỐ GÓC HOẶC SONG SONG, VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG

THẲNG 48

_DẠNG 3 BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH HỆ SỐ GÓC NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA TIẾP TUYẾN 54

_ DẠNG 4 VIẾT PTTT KHI BIẾT ĐIỂM MÀ TIẾP TUYẾN ĐI QUA _ 57

_ DẠNG 5 TÌM THAM SỐ ĐỂ TỪ 1 ĐIỂM TA KẺ ĐƯỢC ĐÚNG MỘT TIẾP TUYẾN ĐẾN ĐỒ THỊ

HÀM SỐ 62 TỔNG HỢP KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ TIẾP TUYẾN 64

C BÀI TẬP RÈN LUYỆN _ 65

D LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN 71

BÀI 3 ĐẠO HÀM CẤP CAO VÀ VI PHÂN 92

BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA – QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa đạo hàm: Cho hàm số y= f x( ) các định trên khoảng ( )a b; và x0( )a b;

Giới hạn hữu hạn nếu có của tỉ số ( ) ( )0

2 Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lí 1. Nếu hàm số y= f x( ) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó

3 Ý nghĩa của đạo hàm

a) Ý nghĩa hình học: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x( ) tại điểm M x( 0;f x( )0 ) có dạng: y=k x( −x0)+ f x( )0 với k = f '( )x0 là hệ số góc của tiếp tuyến

b) Ý nghĩa vật lý:

– Vận tóc tức thời: v t( )=s t'( ) – Gia tốc tức thời: a t( )=v t'( ) – Cường độ dòng điện tức thời: I t( )=Q t'( )

4 Đạo hàm trên khoảng: Hàm số y= f x( ) được gọi là có đạo hàm trên khoảng ( )a b; nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó

=+ Tính y' 3( )?

22

=+ .

1

2 2

1

.1

x x y

x y

.2

+

x y

x y

x y

x x

x

x y

2 Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac 0

3 Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi

00

0

b S a c P a

0

b S a c P a

Một số bài toán về bất phương trình bậc hai thường gặp

Cho tam thức bậc hai ( ) 2

x y

x x

x x

Nếu m = −2 thì f( )x = −    Do đó, 4 0, x m = −2 thỏa mãn bài toán

Nếu m =3 thì f( )x = −10x−  là nhị thức bậc nhất nên 4 0 f( )x không lớn hơn 0 với mọi

x  Do đó, m =3 không thỏa mãn bài toán

y= mx − x + −m x Tìm tham số m để phương trình y 0 có hai nghiệm

y= − mx + m− x +mx+ Tìm tham số m để phương trình y =0 có

1 hai nghiệm phân biệt cùng âm, ĐS: không có giá trị m

2 hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn x12+x22 =3 ĐS: 2, 2

y x

+

 =+ Điều kiện x  −1 *( ) Khi đó, 0 2 2 0 2

x  − Khi đó, y =  =0 x 0 Đối chiếu với điều kiện (*), phương trình y =0

Ví dụ 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1 y=5sinx−3cosx ĐS: y =5cosx+3sinx

91

Ví dụ 2 Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1 y=sin4 x+cos4x ĐS: y = −sin 4x

2 y= 1 sin 2+ x ĐS: cos 2

1 sin 2

x y

Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1' 6cos 2 sin 2

x y

2 2

4' 12 2

sin 2'

1

cos

x y

x

2

cos sin'

10 (4 3sin ) 3cos (5 1)'

1 cos

x y

x

2 3

3sin'

(1 cos )

x y

2

2 2

24

2 2

4 Ta có: y=((cos2 x−sin2x)(cos2x+sin2x))5 =cos 25 x Suy ra:

3 Điều kiện xác định của hàm số là xk,k

Ta có cos 2 sin sin 2 cos cos sin2 1 cot

2 (sin 2 cos 2 ) (sin 2 cos 2 ) 2 1 2 sin 2 cos 2 1 2 sin 2 cos 2

= −

7 Điều kiện xác định của hàm số là x 0

Ta có ' (1 cos )( sin ) ( 2sin )(1 cos )

 Tính đạo hàm của hàm số đã cho

 Thay ,y y vào biểu thức để biến đổi chứng minh hoặc giải phương trình liên quan

Ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2 Cho hàm số f x( )=sin 2x−2 cosx Giải phương trình f '( )x = 0

x=  +k  k Z

_ LỜI GIẢI

Bài 1 Ta có 'y =sinx+x.cosx

1 xy+x(2 cosx−y) (=2 y' sin− x) xy+2 cosx x−xy=2 sin( x+x.cosx−sinx)

2

x

x −x

2 3.1

2 12 11

.3

2

12

3

x x

−+

1 2'

1

x y

x

=

100'

x y

x y

x

=

16'

x y

x y

+

4'

2 1

x x y

x y

x

+

2 2

1'

x y

= − + Giải phương trình y =0 ĐS: x =2

Bài 14 Cho hàm số y=x4 −2mx2+2m2 Tìm m để phương trình y =0 có ba nghiệm phân biệt

y= x −mx − + + Tìm tham số m để phương trình x m y =0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn 2 2

tan 4

x y

1 2 tan

x y

2sin 3cos 2 5

x y

=

cot 2

x y

x

Bài 19. Tính đạo hàm của các hàm số sau

1 y=x.cosx ĐS: y'=cosx−x.sinx

2 y=x.sinx ĐS: y'=sinx−x.cosx

3 y=(2x+1 sin) x ĐS: y'=2sinx+(2x+1 cos) x

4 y= −(5 x).cos 5x ĐS: y'= −5 5( −x)sin 5x y'=2sinx+(2x+1 cos) x

1 sin 1 sin

x y

x y

sin

1 cos

x y

1 cos

x y

x

=+

4

2 2

1 tan 3

1 tan 3

x y

cos 6

x y

'cos sin

x y

=

1'

1'

x y

cos

1 sin

x y

x

=

2sin 2'

1 sin

x y

Bài 23 Cho hàm số y=3sin 2x+4cos 2x+10x Giải phương trình 'y = 0

22 2 3

3

1'

3

x x

−+

Ta có

' 2

2 2

1

1'

x y

cos 2 2

x

x y

x y

Ta có điều phải chứng minh

Bài 23 Ta có y'=6 cos 2x−8sin 2x+10

Khi đó y'= 0 6 cos 2x−8sin 2x+10=0 *( )

Với t =2 thì tanx=  =2 x arctan 2+k;k Z

Vậy phương trình 'y = có nghiệm 0 x=arctan 2+k;kZ

BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Cho đồ thị , Phương trình tiếp tuyến  với tại là

Trong đó là tọa độ tiếp điểm

là hệ số góc của tiếp tuyến

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

Ví dụ 2 Viết phương trình tiếp tuyến  tại điểm thuộc

Lời giải

- Tập xác định

- Ta có, hệ số góc là

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

Ví dụ 3 Viết phương trình tiếp tuyến  tại điểm thuộc

Lời giải

- Tập xác định

-Ta có, hệ số góc là

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

Ví dụ 4 Viết phương trình tiếp tuyến  tại điểm thuộc

Lời giải

- Tập xác định

- Ta có, hệ số góc là

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

Ví dụ 5 Viết phương trình tiếp tuyến  tại điểm thuộc

y x

Lời giải

- Ta có, hệ số góc là

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

Ví dụ 6 Viết phương trình tiếp tuyến  tại điểm thuộc

2 11

y x

x y x

x y x

x y x

31

x y x

x y x

5 Cho Viết phương trình tiếp tuyến của tại giao điểm của

6 Cho Viết phương trình tiếp tuyến của tại giao điểm của và đường

( )C :y=2x− 2x2+1

1:

y x

14

y x

−

14

y x

−

582

y x

y x

−

42

y x

Gọi là giao điểm của với

Phương trình hoành độ giao điểm

Ta có,

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

2

Gọi là giao điểm của với

Ta có,

Tại hệ số góc là

Phương trình tiếp tuyến tại là

Tại hệ số góc là

Phương trình tiếp tuyến tại là

3 Gọi là giao điểm của với Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

03

1

M 1:y=0(x+ − = −3) 1 12

Phương trình tiếp tuyến tại là

4 - Gọi là giao điểm của với Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

- Ta có,

- Phương trình tiếp tuyến tại là

5 Gọi là giao điểm của với Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

Ta có,

6 Gọi là giao điểm của với Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

0

0 0

0

3 2

3

21

x x

x

x x

y x

−

 =

−1

1

M 1:y= −1(x− −  = − −0) 3 y x 32

72

4 4

32

x x

x

x x

=

+

−  M1( )2;5 ,M2(−2;1)

( )2

31

y x

123

Phương trình tiếp tuyến tại là :

Phương trình tiếp tuyến tại là :

Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị , biết tiếp tuyến song song với

Lời giải

Gọi là tọa độ tiếp điểm của với

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là

Ví dụ 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị , biết vuông góc với

8 Cho hàm số có đồ thị Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết

hệ số góc của tiếp tuyến là ĐS:

Bài 2 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị , biết tiếp tuyến song

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị , biết song song với đường thẳng

3 Cho hàm số có đồ thị Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị

, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ĐS:

4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị , biết tiếp tuyến song song với

( )

0 '

x y x

x y x

x y x

y x

Bài 3 1 Cho hàm số của đồ thị Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ,

biết vuông góc với đường thẳng

Phương trình tiếp tuyến tại là :

Phương trình tiếp tuyến tại là :

2 Tập xác định

Gọi là tiếp điểm

Ta có:

Phương trình tiếp tuyến tại là :

Phương trình tiếp tuyến tại là :

3 Tập xác định

Gọi là tiếp điểm

Ta có:

Phương trình tiếp tuyến tại là :

Phương trình tiếp tuyến tại là :

4 Tập xác định

Gọi là tiếp điểm

x− y+ = x−7y+37=02

M 2 y=3.(x+ +  =2) 5 y 3x+11

D =

( 0; 0)

M x y y x( )0 =k

Ta có:

Phương trình tiếp tuyến tại là :

Phương trình tiếp tuyến tại là :

M 1 y=1.(x− +  = +1) 2 y x 11

2 11

y x

0

21

x

x x

0

21

x

x x

Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Ta có Hệ số góc của tiếp tuyến là

2 Gọi là tọa độ của tiếp điểm

Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến tại là:

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d nên

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là

3 Gọi là tọa độ của tiếp điểm

Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến tại là:

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d nên

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là

4 Gọi là tọa độ của tiếp điểm

Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến tại là:

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng nên

43

04

;2

y x

x

=+

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là

Cho hàm số của đồ thị

5 Gọi là tọa độ của tiếp điểm

Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến tại là:

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng nên

Thử lại chỉ có thỏa mãn Vậy nghiệm của phương trình là

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là

Bài 3 1 Ta có hệ số góc của là

Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Ta có Hệ số góc của tiếp tuyến là

Vì tiếp tuyến vuông góc với nên

2 Gọi là tọa độ của tiếp điểm

Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến tại là:

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng nên

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là

3 Gọi là tọa độ của tiếp điểm

Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến tại là:

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng nên

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là

3 9

1

; 1

4 Gọi là tọa độ của tiếp điểm

Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến tại M là:

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng nên

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là

_DẠNG 3 BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH HỆ SỐ GÓC NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA TIẾP

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị , biết có hệ số góc

lớn nhất

0 0

0 0

( ), 0( ), 0

Phương trình tiếp tuyến tại :

Nhận xét: Thông thường ta dùng cách 1 Cách 2, cách 3 thường dùng trong trắc nghiệm hoặc

Câu toán chứa tham số m

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết có hệ số góc nhỏ

( ), 0( ), 0

Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết có hệ số góc nhỏ nhất

( ), ( ) 0 ( ), ( ) 0

Phương trình tiếp tuyến:

Ta có:

Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết có hệ số góc

_ DẠNG 4 VIẾT PTTT KHI BIẾT ĐIỂM MÀ TIẾP TUYẾN ĐI QUA

( ), y ( )=0 ( ), y ( ) 0

( ), y ( )=0 ( ), y ( ) 0.

 Bước 1: Gọi là hoành độ tiếp điểm

 Bước 2: Ta có PTTT

 Bước 3: Vì TT đi qua điểm nên ta có:

 Bước 4: Giải phương trình ta tìm được

_ VÍ DỤ MINH HỌA

Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua

điểm

Lời giải

Gọi hoành độ tiếp điểm là Suy ra

Phương trình tiếp tuyến

hay

Thế vào phương trình tiếp tuyến ta được

Bài 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua

Lời giải

- Gọi hoành độ tiếp điểm là Suy ra

- Phương trình tiếp tuyến

1311

x x x

Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua điểm

Lời giải

Gọi hoành độ tiếp điểm là Suy ra

Phương trình tiếp tuyến

0

111

x y x

1

11

x

x x

+

++

( )2( 0) 0

0 0

1

11

x x x x

+

++

0 0 0

2

1

x x x

Thế vào phương trình tiếp tuyến ta được và

Bài 2 Gọi hoành độ tiếp điểm là Suy ra

Phương trình tiếp tuyến

Bài 3 Gọi hoành độ tiếp điểm là Suy ra

Phương trình tiếp tuyến

Thế vào phương trình tiếp tuyến ta được

Bài 4 Gọi hoành độ tiếp điểm là Suy ra

Phương trình tiếp tuyến

x x

x x

0

111

x y x

0

131

x y x

3

11

x

x x

Thế vào phương trình tiếp tuyến ta được và

Bài 5 Gọi hoành độ tiếp điểm là Suy ra

Phương trình tiếp tuyến

Thế vào phương trình tiếp tuyến ta được

Bài 6 Gọi hoành độ tiếp điểm là Suy ra

Phương trình tiếp tuyến

Bài 7 Gọi hoành độ tiếp điểm là Suy ra

Phương trình tiếp tuyến

( )2 ( 0) 0

0 0

2

0 0

3

11

15

x x x x

x x

0

111

x y x

3

11

x

x x

−

++

( 1; 4)

( )2 ( 0) 0

0 0

0 0

3

11

4

x x x x

x x

−

++

x x

Thế vào phương trình tiếp tuyến ta được

_ DẠNG 5 TÌM THAM SỐ ĐỂ TỪ 1 ĐIỂM TA KẺ ĐƯỢC ĐÚNG MỘT TIẾP TUYẾN ĐẾN

Tiếp tuyến qua là

Để từ kẻ đúng tiếp tuyến đến đồ thị thì phải có nghiệm kép hoặc có nghiệm

phân biệt trong đó có nghiệm bằng

Điều kiện tiếp xúc

1 2

x x

x y

11

1

x

k x a

x k

11

x x

3 2 0

a b a a a

a a

13

1

x

x k

m x x

Để từ kẻ đúng tiếp tuyến đến đồ thị thì phải có nghiệm kép hoặc có nghiệm

phân biệt trong đó có nghiệm bằng hoặc có nghiệm khác

- Nếu có nghiệm Khi đó

Thế vào , ta được (thoả ) nên nhận

- Nếu có nghiệm kép thì

Khi đó nghiệm của phương trình là nên nhận

- Nếu có nghiệm phân biệt thì

Để phương trình có nghiệm bằng và nghiệm khác thì

(vô lý)

Vậy và thoả mãn yêu cầu câu toán

Bài 3 Tìm để từ kẻ đúng tiếp tuyến đến đồ thị hàm số ĐS:

Lời giải

Điều kiện

Tiếp tuyến qua là

Điều kiện tiếp xúc

Để từ kẻ đúng tiếp tuyến đến đồ thị thì phải có nghiệm kép hoặc có nghiệm

phân biệt trong đó có nghiệm bằng

- Nếu có nghiệm kép thì

Với thì nghiệm phương trình là (loại)

Với thì nghiệm phương trình là (nhận )

- Nếu có nghiệm phân biệt thì

Để phương trình có nghiệm bằng và nghiệm khác thì (không thoả )

Vậy thoả mãn yêu cầu Câu toán

Bài 4 Tìm để từ kẻ đúng tiếp tuyến đến đồ thị hàm số ĐS: ,

1

x m

k x

x m k

=



1

2

b a

− = −  m =3

1

m m

+

=

− m =1 m = −2

Tiếp tuyến qua là

Điều kiện tiếp xúc

Để từ kẻ đúng tiếp tuyến đến đồ thị thì phải có nghiệm kép hoặc có nghiệm

phân biệt trong đó có nghiệm bằng hoặc có nghiệm khác

- Nếu thì trở thành nên nhận

Khi đó phương trình có nghiệm kép là nên nhận

- Nếu và thì phương trình có nghiệm phân biệt

Để phương trình có nghiệm bằng và nghiệm khác thì

( vô lý)

Vậy và thoả mãn yêu cầu câu toán

TỔNG HỢP KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ TIẾP TUYẾN

1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm

 Bước 1: Tính đạo hàm Suy ra hệ số góc tiếp tuyến

 Bước 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại có dạng

 Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ thì khi đó ta tìm bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức Tương tự khi đề cho

 Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm đồ thị và đường thẳng Khi đó các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa

và Đặc biệt , trục tung

 Nếu đề bài cho hệ số góc tiếp tuyến là , ta làm theo các bước sau:

- Bước 1: Gọi là tiếp điểm và tính

- Bước 2: Ta có: và giải phương trình này ta sẽ tìm được , suy ra

- Bước 3: Ứng với mỗi tiếp điểm, ta tìm được một tiếp tuyến

 Ngoài ra đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới dạng sau:

- Nếu tiếp tuyến

( )2

2131

x

kx m

x k

b a