Slide phương trình toán lý bài 3 bài toán elip hai chiều

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNELIP HAI CHIỀU Bài giảng điện tử TS.. Nghiệm u của bài toán vi phân CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt... Nghiệm của bài toán

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN

ELIP HAI CHIỀU

Bài giảng điện tử

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Cho Ω là một miền khác rỗng, mở, hữu hạn củamặt phẳng Oxy có biên là đường cong kín Γ trơn

thỏa mãn (1) Nghiệm u của bài toán vi phân

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Giả sử bài toán (1), (2) có nghiệm duy nhất

Ngược lại, nếu u ∈ W02(Ω) thỏa mãn (3) thì

Xét các hàm thử v ∈ W0(1)(Ω) Lấy tích phân từngphần ta được

Vì v ∈ W0(1)(Ω) thỏa mãn điều kiện biên (2) do

Trong (4) không có đạo hàm cấp 2 của u mà chỉ

có đạo hàm cấp 1 Do đó bài toán ban đầu trở

Đặt α(u, v ) =RR

Nghiệm của bài toán yếu (5) được gọi là nghiệm

(1), (2) thì nó cũng là nghiệm suy rộng của bàitoán yếu (5)

Ngược lại, nếu u vừa là nghiệm suy rộng của bài

Z Z

Ω

fvdxdy

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Xét trường hợp Ω là miền hình chữ nhật

Ω = {(x , y ) : a < x < b, c < y < d }Biên Γ của miền Ω là những đoạn thẳng song songvới trục tọa độ Để đơn giản ta giả sử

Kẻ các đường chéo song song của các hình chữnhật con Như vậy, miền Ω được chia thành nhữngtam giác trong đó không có hiện tượng định củatam giác này nằm trên và ở giữa cạnh của 1 tamgiác khác Tập hợp các tam giác thu được tạo nên

1 phân hoạch của miền Ω, mỗi tam giác được gọi

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Trước hết, ta đánh số các nút: mỗi nút Pij có tọa

độ (xi, yj) viết là(i , j ), i = 0, 1, , N + 1; j = 0, 1, , M + 1.Sau đó ứng với mỗi nút

(i , j ), i = 1, 2, , N; j = 1, 2, , M ta xây dựng

mỗi tam giác là 1 hàm bậc nhất đối với x , y , lấy

các nút khác

Các hàm ϕij(x , y ) ∈ W01(Ω) độc lập tuyến tính.

Nó sinh ra không gian N × M chiều

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Sau khi đã có không gian HN,M ta tìm nghiệm

Giải hệ này ta được crs và nghiệm gần đúng wN,Mcần tìm.

Z Z

Ω

f (x, y )ϕrs(x , y )dxdy

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Do đó hệ phương trình thu được là 1 hệ thưa.

Giả sử u ∈ W0(2)(Ω) là nghiệm của bài toán (5) và

Ví dụ

Cho Ω = {(x , y ) : 0 < x < 1, 0 < y < 1} với biên

ký hiệu là Γ Áp dụng phương pháp phần tử hữu

Ta chia miền Ω thành các tam giác sao cho không

có đỉnh của tam giác nọ nằm trên cạnh của tamgiác kia, đồng thời các góc hình học của mọi tam

tích của mỗi tam giác tiến tới 0 khi và chỉ khi các

N : P1, P2, , PN Đỉnh Pi có tọa độ là (xi, yi).Giả sử các tam giác cũng được đánh số từ 1 đến

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Các hàm tọa độ ký hiệu là ϕi(x , y ) xác định nhưsau: Nó là 1 hàm bậc nhất đối với x , y trong mỗi

mái nhà như ở trường hợp miền chữ nhật

Hàm ϕi trong phần tử hữu hạn tam giác T` cóđỉnh là Pi(xi, yi), Pj(xj, yj), Pk(xk, yk) có dạng

ϕi(xi, yi) = 1, ϕi(xj, yj) = 0, ϕi(xk, yk) = 0

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Trường hợp miền đa giác không là hình chữ nhật Không gian con hữu hạn chiều của W (Ω)

⇔ Ac = F ,trong đó c = (c1, c2, , cN)T,

Z Z

Ω

f (x , y )ϕi(x , y )dxdy

Theo công thức cộng miền của tích phân ta có

Để tính tích phân trên 1 miền tam giác bất kỳ T`

có đỉnh Pi(xi, yi), Pj(xj, yj), Pk(xk, yk) về việc tính

(0, 0), (1, 0), (0, 1) ta đổi biến từ biến (x , y ) sang(ξ, η)

Trường hợp miền đa giác không là hình chữ nhật Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến

Định thức Jacobi

|J| =

=

xj − xi xk − xi

yj − yi yk − yi

... class="text_page_counter">Trang 38

Z Z

T0

 yj − ykJ

Z Z

T0

 yj − ykJ