[r]
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12
( Thời gian 180 phút)
Bài 1:(4 điểm) Cho hàm số y = x3 -(3+2m)x2 +5mx +2m
a) khảo sát hàm số khi m=-1
b) Tìm m để phương trình x3 -(3+2m)x2 +5mx +2m = 0
có 3 nghiệm phân biệt
Bài 2:(5 điểm) Cho phương trình x√x+√x +12=m(√5 − x+√4 − x)
a) Giải phương trình khi m = 12
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 3: (4 điểm) Tính Lim
x− 0
2005
√1+10 x 2006
√1+100 x − 1
x
Bài 4: (3 điểm) Giải phương trình
log3(x2+x+1) - log3x = 2x-x2
Bài 5 : (4 điểm) Cho tứ diện ABCD, gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện
G1, G2, G3, G4 lần lượt là trọng tâm các mặt BCD, ACD, ABD, ABC
Đặt AG1 = m1, BG2 = m2, CG3 = m3, DG4 = m4
CMR: ABCD là tứ diện đều khi và chỉ khi
m1+m2+m3+m4 = 16 R3
Trang 2HƯỚNG DẪN SƠ LƯỢC TOÁN HSG12
1b) Phương trình x3 -(3+2m)x2 +5mx +2m = 0
⇔ (x-2m)(x2-3x-m)=0
⇔
x=2 m
¿
x2−3 x −m=0 (2)
¿
¿
¿
¿ Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trinh(2) có 2
nghiệm phân biệt 2m
⇔
(2 m)2−3 2m −m ≠0 Δ=9+4 m>0
⇔
¿m≠ 0 , m≠7
4
m>−9
4
¿ {
Bài 2:( 5 đ)
a)(2 đ) Từ điều kiện 0 x ≤ 4 ⇒ VP 12(√5− 4 +√4 − 4)=12
VT 4√4 + √4+12=12
⇒ phương trình có nghiệm x=4 b) (3 đ )
Phương trình đã cho ⇔ f(x) = (x√x +√x +12) (√5− x −√4 − x)=m (2)
Xét hàm số f(x) trên [0;4]
f(x)=f1(x)f2(x) với
f1(x) = x√x+√x +12 có f’1(x) = √x+ x
2√x+
1
2√x+12 >0
Trang 3⇒ f1(x) ↑ trên [0;4] và f1(x) 0 ∀ x [0;4]
f2(x) = √5− x −√4 − x có f’2(x) =
− 1
2√5 − x+
1
2√4 − x=
−4√4 − x +√5 − x
2√5 − x√4 − x >0
⇒ f2(x) ↑ trên [0;4] và f2(x) 0 ∀ x [0;4]
⇒ f(x) ↑ trên [0;4]
⇒ Min[o;4] f(x) = f(0) = √12(√5 −√4) và Max[o;4] f(x) =12
Từ đó (2) có nghiệm ⇔ Min[o;4] f(x) m Max[o;4] f(x)
⇔ √12(√5 −√4) m 12 là điều kiện để (1) có nghiệm
Bài 3:( 5 đ)
Trước hết ta chứng minh: a 0, n N, n 2 thì Lim
x− 0
n
√1+ax −1
a n
Đặt y = n
√1+ax khi đó x → 0 thì y → 1 và
y
( y −1)(¿¿n+ + y +1)= a
n
Lim
x− 0
n
√1+ax −1
y −1
y n − 1=a Lim y −1
y −1
¿ (2 đ)
Ta có: Lim
x− 0
2005
√1+10 x 2006√1+100 x − 1
x
= Lim
x− 0
2005
√1+10 x 2006√1+100 x −2006√1+10 x +2006√1+100 x −1
x
= Lim
x− 0
2006
√1+100 x(2005√1+10 x − 1
x − 0
2006
√1+100 x −1
x
= 102005+ 100
2006=
220560
2005 2006 (3 đ)
Trang 4Câu 4: Phương trình đã cho ⇔
¿
x>0
Log3x
2 +x +1
x =2 x − x
2
¿ {
¿
⇔
¿
x >0
x2+x+1
2 x − x2
¿ {
¿
xét hàm số y= x2+x+1
x với x>0, Minf(x) = 3 với x=1
y= g(x)= 32 x − x2 với x>0, Maxf(x) =3 với x=1
⇒ Phương trình đã cho có nghiệm x=1
Bài 5:( 4 đ) Gọi O và G lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm tứ
diện
Ta có:
¿
OA2+OB2+OC2+OD2=R2
⃗ GA+⃗ GB+⃗ GC+⃗ GD=⃗O
¿ {
¿ Mặt khác: 4R2 = (⃗ OG+⃗ GA)2+(⃗ OG+⃗ GB)2+(⃗ OG+⃗ GC)2+(⃗ OG +⃗ GD)2 (1 đ)
⇔ 4R2 = 40G2 +GA2+GB2+GC2+GD2 (1 đ)
mà GA2 = 169 m12 , GB2 = 169 m22 ,GC2 = 169 m32 ,GD2 = 169 m42
⇒ 4R2 = 40G2 + 169 (m12+m22+m32+m24)
⇒ 4R2 9
16 (m12+m22+m32+m24) (1 đ) Theo BĐT “ Bunhiacopxki” ta có (m1+m2+m3+m4)2≤ 4 (m1+m2+m3+m4)
Trang 5⇒ R2 9
64(m1 +m2+m3+m4)≥ 9
256(m1 +m2+m3+m4)2 ( 1 đ) ⇔ m1+m2+m3+m4≤ 16 R
3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
¿
O≡ G
m1=m2=m3=m4
⇔
¿ {
¿
Tứ diện ABCD đều
(1đ)