SA = SB = SD = 2 aTính hình chóp từ S đến mặt phẳng ABCD bChứng minh rằng hai mặt phẳng SAC và ABCD vuông góc nhau cChứng minh rằng hai mặt phẳng SBD và SAC vuông góc nhau và tính khoảng[r]
Trang 1Hình học
Quan hệ vuông góc - Góc và khoảng cách
1 Chứng minh a b.
+ khai thác các tính ! "# quan % vuông góc () * + trong -. /01
+ 2 minh góc 3 hai (45 0 a và b *7 900
+ a b u v 0 (u v , ; ;4< là "= > ? /4> @ a và b).
( )
a
a b b
2 Chứng minh a ( ) .
( ), ( )
( ) ,
a b a c
( ) ( )
a b
a
+ ( ) ( ), ( ) ( )
( ) ( ),
b a
3 Chứng minh ( ) ( ) .
( )
( ) ( ) ( )
a
a
4 Tính góc giữa hai đường thẳng a và b.
Tìm hai (45 0 E nhau a’ và b’ ; ;4< song song "H a và b góc 3 hai (45 0 a và b *7 góc
3 hai (45 0 a’ và b’.
5 Tính góc giữa đường thẳng a và ( ) .
Tìm (45 0 a’ là hình + vuông góc @ a trên ( ) góc 3 (45 0 a và ( ) *7 góc 3 hai
(45 0 a và a’.
6 Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ) .
Tìm (45 0 a ( ) , (45 0 b ( ) góc 3 hai -. /0 ( ) và ( ) *7 góc 3 hai (45
0 a và b.
7 Tính d M a ( , ).
:"H H là hình + vuông góc @ M trên a)
( , )
d M a MH
8 Tính d M ( ,( )) .
:"H H là hình + vuông góc @ M trên ) ( ,( ))
9 Tính d a b ( , ) (a và b là hai đường thẳng chéo nhau).
- B1 Xác (M (45 vuông góc chung a và b
- B2: :+ không O % (4< B1)
+ Xác (M ( ) b và ( )//a
+ Xác (M a’ (), a’ // a, a’ b = N
+ Tìm ( Q- M trên a sao cho MN a
a
a’
b
M
N
Trang 2 d a b ( , ) d M ( ,( ))
1/ Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) Tam giác ABC vuông T B
A2 minh các -. bên @ hình chóp là các tam giác vuông
giác vuông
Bài giải: a) Vì SA (ABC) nên SA AB , SA AC
và tam giác ABC vuông T B nên CB AB
mà AB là hình + @ SB trên (ABC) CB SB
Y các tam giác SAB, SAC vuông T A và tam giác SBC vuông
T B
b) Vì CB AB và CB SB CB AH (1)
Và AH SB AH SC (2)
Mà ta có SC AK (3)
vuông T H
2/ Cho 2 [ % SABC có ( là tam giác ABC vuông T B , AB = 2a , SA (ABC) ,SA = 2a.
I là trung ( Q- @ AB
A2 minh 7 các -. bên @ hình chóp là các tam giác vuông
b)Tính góc 3 hai -. /0 (SBC) và (ABC)
c)Tính ,] cách U ( Q- A (+ -. /0 (SBC)
Tóm tắt lời giải: a) Xem ;5 ] câu a) @ bài 1.
b) Ta có BC AB và BC SB ((SBC), (ABC))SBAA
Mà tam giác SAB vuông cân T A ((SBC), (ABC))450
c) Ta có BC AB và BC SA BC (SAB) (SBC) (SAB) theo giao + SB
WT AN SB T N là trung ( Q- @ SB ta có ,] cách U ( Q- A (+ -. /0 (SBC) *7 AN = a 2
3/ Cho hình chóp (# S.ABC có T bên và T ( *7 a
a)Tính ,] cách U (? A (+ -. /0 (ABC)
b)Tính góc 3 T bên và (
c)Tính góc 3 -. bên và (
Tóm tắt lời giải:
a) WT AH (ABC) T H là tâm @ tam giác ABC
Ta có ,] cách U (? A (+ -. /0 (ABC) *7
SH SA AH a
b) Góc 3 T bên SA và ( ABC *7 góc SAH
Tam giác vuông SHA có SH = 6 và AH =
3
a a
tanSAHA SH 2 ASAH arctan 2
AH
c) I là trung ( Q- @ AC ta có góc 3 -. bên (SAC) và -. ( (ABC) *7 góc SIH
S
H
K A
B
C
S
N
A
C B
S
A
H I
Trang 3Tam giác vuông SHI có SH = 6 và IH =
3
3 2 6
tanSIHA SH 2 2 ASIH arctan2 2
IH
4/ Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ( ABC là tam giác (# T a R. bên (SBC) </ "H
( -b góc c = 30o
a) Tính góc 3 SC và -. /0 (ABC)
b) Tính [ % tích tam giác SBC theo a
Tóm tắt lời giải:
a) I, J ; ;4< là trung ( Q- @ AC và BC.Ta có
SA = AJ.tan 300 = 3 3
2 3 2
Góc 3 SC và mp(ABC) *7 góc SCA
a SA
b) Ta có
2
2 0
3 4
2
ABC SBC
a
S
c
A
5/ Cho hình chóp tam giác (# S.ABC có T ( *7 a T bên </ "H ( 1 góc c = 60o
a) Tính ,] cách U (? S (+ -. /0 ( (ABC)
b) Tính góc 3 -. bên và (
6/ Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác (# T a SA = SB = SC = 2a 3
2 a)Tính ,] cách U S (+ -. /0 (ABC)
b)Tính góc 3 hai -. /0 (SBC) và (ABC)
c)Tính [ % tích tam giác SBC
7/ Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân T A , BC = a SA = SB = SC = 3
2
a
a)Tính ,] cách U S (+ -. /0 (ABC)
*A2 minh 7 hai -. /0 (SBC) và (ABC) vuông góc nhau
c)Tính góc 3 hai -. /0 (SAC) và (ABC)
d)Tính [ % tích tam giác SAC
8/ Cho hình chóp S.ABCD có ( ABCD là hình thoi T a, góc A = 60o SA = SB = SD = a 3
2 a)Tính hình chóp U S (+ -. /0 (ABCD)
*A2 minh 7 hai -. /0 (SAC) và (ABCD) vuông góc nhau
A2 minh 7 hai -. /0 (SBD) và (SAC) vuông góc nhau và tính ,] cách U A (+ -. /0 (SBD)
d)Tính góc 3 hai -. /0 (SBD) và (ABCD) suy ra [ % tích tam giác SBD
9/ Cho ;f g tam giác (# ABC.A’B’C’ có T ( và T bên (# *7 a I,J ; ;4< là trung
( Q- @ BC và BB’
A2 minh 7 BC’ (AIJ)
b)Tính góc 3 hai -. /0 (AIJ) và (ABC)
c)Tính [ % tích tam giác AIJ
S
A
J’’’
I
C B
Trang 410/Cho hình b/ ABCD.A’B’C’D’có ( là hình thoi ABCD T a,góc A = 60o,A’A=A’B =A’D = 3
2
a
a)Tính (b dài T bên @ ;f g
*A2 minh 7 hai -. /0 (ABC’D’) và (A’B’CD) vuông góc nhau
c)Tính góc 3 hai -. /0 (A’BD) và (ABCD)
d)Tính [ % tích tam giác A’BD
11.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi T a, góc A = 60o SA = SB = SD = a 3
2 a)Tính hình chóp U S (+ -. /0 (ABCD)
*A2 minh 7 hai -. /0 (SAC) và (ABCD) vuông góc nhau
A2 minh 7 hai -. /0 (SBD) và (SAC) vuông góc nhau và tính ,] cách U A (+
-. /0 (SBD)
12 Cho 2 [ % SABC có ( là tam giác ABC vuông T B , AB = 2a , BC = a , SA (ABC) ,SA = 2a 3
I là trung ( Q- AB
A2 minh 7 các -. bên @ hình chóp là các tam giác vuông
b)Tính góc 3 hai -. /0 (SIC) và (ABC)
A N là trung ( Q- AC ,tính ,] cách U ( Q- N (+ -. /0 (SBC)
13 Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác (# T a SA = SB = SC = 2a 3
2 a)Tính ,] cách U S (+ -. /0 (ABC)
b)Tính góc 3 hai -. /0 (SBC) và (ABC)
c)Tính [ % tích tam giác SBC
14 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân T A , BC = a SA = SB = SC = a 3
2 a)Tính ,] cách U S (+ -. /0 (ABC)
*A2 minh 7 hai -. /0 (SBC) và (ABC) vuông góc nhau
c)Tính góc 3 hai -. /0 (SAC) và (ABC)
d)Tính [ % tích tam giác (SAC)
Bài tập:
1) Cho hình chóp S.ABCD có ( là hình 3 Y B tâm O và AB = SA = a, BC = a 3, SA (ABCD)
a 2 minh các -. bên @ hình chóp là 3 tam giác vuông
b I là trung ( Q- @ SC 2 minh IO (ABCD)
c Tính góc 3 SC và (ABCD)
2) Cho hình chóp S.ABCD có ( là hình vuông tâm O T *7 1 và các T bên *7 nhau và *7 2
a 2 minh (SBD) (SAC)
b Tính (b dài (45 cao @ hình chóp
c Tính góc 3 T bên và -. ( 1
3) Cho hình chóp S.ABC có ( ABC là tam giác vuông tâm T A, SA = AB = AC = a SA (
a I là trung ( Q- BC 2 minh BC (SAI)
b Tính SI
c Tính góc 3 (SBC) và -. ( 1
4) Cho hình chóp S.ABCD có ( là hình vuông, tâm O và SA (ABCD) H, K ; ;4< là hình + vuông góc
@ A lên SB, SD
a 2 minh BC (SAB), BD (SAC)
b 2 minh SC (AHK)
c 2 minh HK (SAC)
Trang 55) Cho hình chóp S.ABCD có ( là hình thoi, tâm O và SA = SC, SB = SD
a 2 minh SO (ABCD)
b I, K ; ;4< là trung ( Q- @ AB và BC 2 minh IK SD
6) Cho hình chóp S.ABCD có ( là hình vuông T a, tâm O, SA = a và SA (ABCD)
a Tính ,] cách U A (+ (SBD)
b 2 minh (SBC) (SAB)
c Tính ,] cách U C (+ (SBD)
7) Cho hình chóp tam giác (# S.ABC có T bên *7 a, SA = a, SA vuông góc "H T BC, ,] cách U
S (+ T BC là 1 M trung ( Q- BC
a) CMR: BC vuông góc "H (SAM)
b) Tính # cao @ hình chóp
c) eO và tính (,T vuông góc chung @ SA và BC
@ AB
a)Tính góc 3 (SBC) và (ABC)
b)Tính (45 cao AK @ tam giác AMC
c)Tính góc 3 (SMC) và (ABC)
d)Tính ,] cách U A (+ (SMC)
Bài toán 1 Tìm (T, hàm @ hàm Gk
Bài tập 1: Tìm (T, hàm các hàm Gk sau:
1.yx3 2x1 2 3 3 4
2
2 5
x x
x x
y y(x3 2)(x1)
5.y5x2(3x1) 6.y x( 2 5)3 7.y(x2 1)(53x2) 8.yx(2x1)(3x2)
9.y(x1)(x2)2(x3)3
1
2
2
x
x y
4 2
5 6
2 2
x
x x
y
12
1
3 5
2
x
x
x
y
13.y x2 6x7 14.y x1 x2 15 y(x1) x2 x1 16
1 2
3 2 2
x
x x y
2
17
y
x
2
2
x
x x
+
3
3 2
y
x x x
y a bx
21)
y(a b )
22) yx 3 x2
Trang 623)
2
(x 2)
y
(x 1) (x 3)
24)y(x7x)2
y x 3x 2
26) 1 x
y
1 x
y
x x
28/ y= x 1 x 2
29/ y= x(x2- x+1)
30/ y=
x
x
1
1
31/ y= (2x+3)10
32/ y= (x2+3x-2)20
Bài tập 2: Tìm (T, hàm các hàm Gk sau:
) cot 1
x
x y
sin 2
sin 1 J
2 sin4 x
y
x x
x x
y
cos sin
cos sin
y cot (2x )
4
8) y 2 tan x 2
9) y cos x3 4cot x
3sin x 3
2 cos
1
) 2 sin 1 (
1
x
y
12) y = 4
sin p- 3x
13) y = cos ( x3 )
14) y= 5sinx-3cosx
15) y = x.cotx
16) ycot 1 x3 2
17) y= sin(sinx)
18) ysin (cos3x)2
19) y x sin x
1 tan x
20) y sin x x
x sin x
21) y tanx 1
2
22) y 1 2 tan x
Bài tập 3: Tìm (T, hàm các hàm Gk sau:
d cx
b ax
y
e dx
c bx ax y
p nx mx
c bx ax y
22
1 2
4 3
x
x y
1 2
2 2
x
x x y
3 2
4 3 2
2
x x
x x y
Trang 7Dạng toán 2 Tính (T, hàm @ hàm Gk T -b ( Q-
Bài tập: Tìm (T, hàm các hàm Gk sau T ( Q- () ? ra:
a) y = x2 + x ; x0 = 2
b) y = ; x0 = 2
x
1
c) y = ; x0 = 0
1
1
x
x
d) y = x - x; x0 = 2
e) y = x3 - x + 2; x0 = -1
f) y = ; x0 = 3
1
1
2
x
x
g) y = x.sinx; x0 = o
3 h) y = 4cos2x + 5 sin3x; x0 = o
3 i) Cho f(x) 3x1, tính f ’’(1)
k) Cho y = x cos2x Tính f”(x)
m) Cho 6
f x x 10 TÝnh f '' 2
l)f x sin 3x Tính ; 0
f '' f '' f ''
Dạng toán 3: CMR % 2 2 (T, hàm:
Bài tập 1 CM các hàm Gk q mãn các % 2
a) x 3 2 b)
y ; 2y ' (y 1)y"
x 4
y 2x x ; y y" 1 0
c) Cho hàm Gk y = ; y’' = - y d) Cho y = ; 2(y’)2 =(y -1)y’’
x cos x sin 1
x cos x sin3 3
4 x
3 x
e) Cho y = cot g x cot gx x 3 7 ; y’ = cotg4x f) Cho f(x) = ;
3
x sin 1
x cos
2 2
(4)3f'(4)3 g) 2 q hàm y = acosx+bsinx q % 2 y’’ + y = 0
h) Cho hàm Gk 2 minh 7 2y.y’’ – 1 =y’2
2
2 2
y
i) Cho hàm Gk y = cos22x
a) Tính y”, y”’
b) Tính giá M @ * Q 2 A= y’’’ +16y’ + 16y – 8
Bài tập 2 ] /4> trình : f’(x) = 0 * + 7
a) f(x) = cos x +sin x + x b) f(x) = 3sinxcosxx
c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1
Bài tập 3 ] *! /4> trình f(x) < 0 "H f(x) = x3+x2+
3 1
Bài tập 4 Cho 3 2 Tìm x (Q a) y’> 0 b) y’< 0
yx 3x 2
Bài tập 5 Cho hàm Gk f(x) 1 x Tính : f(3) (x 3)f '(3)
Trang 8Dạng toán 4: + PTTT @ (45 cong (C):
+ qua 1 ( Q-* + hoành (b :,. tung (bA @ +/ ( Q-m
+ K + % Gk góc @ +/ + ,. * + +/ + song song :,. vuông góc) "H 1 (45 0
Bài toán 1 : + PTTT "H (w M ( C ) T ( Q- M0(x0;y0) b ( C )
- PTTT có [T (d) : y = f’(x0) (x – x0) + y0
- Tìm x0 , y0 , f’(x0) theo G> (w : x0 y0 f’(x0)
Bài toán 2 : + PTTT "H (w M ( C ) có % Gk góc k
Cách 1: ] pt f’(x) = k tìm x0 y0 (d)
Cách 2:
- Pt [45 0 (d) có % Gk góc k là : (d) : y = kx +b
- (d) +/ xúc "H ( C )
k x f
b kx x f
) ( '
) (
- ] % tìm b (d)
Ví dụ: + PTTT @ (C ): 3 2
y f x x x x
1/
2/ Song song "H (45 y = 5x + 1
Giải: Ta có: = 3x y' 2- 4x + 1 1/ W% Gk góc @ +/ + T A là k = (2) = 5 PTTT " + là: y'
y = 5 (x-2) +1 = 5x - 9
2/ Cách 1: +/ ( Q- là M(x0;y0) Theo ] + B ta có: (xy' 0) = 5 3x0 - 4x0 + 1 = 5x0 = 2 ; x0 =
3
2
+ H x0 = 2y0=1 PTTT là: y = 5x - 9
+ H x0 = y0= PTTT là: y=5x
3
2
27
77
27
167
Cách 2:
- Pt [45 0 (d) có % Gk góc k = 6 là : (d) : y = 5x +b
- (d) là +/ + @ ( C )
5 1 4 3
5 1 2
2
2 3
x x
b x x
x x
- ] % pt trên ta (4< x = 2 ; x=
3
2
+ H x = 2 b = -9 PTTT là: y = 5x - 9
3
2
27
167
27 167
Trang 9Bài tập:
1/ Cho (45 cong (C) có /4> trình: y=x3 + 4x +1
a) + PTTT "H (4> cong (C) tai ( Q- có hoành (b x0 = 1;
b)
c) Song song "H (45 0 y = 7x + 3;
d) Vuông góc "H (45 0 y = - 1
5
16x
2/ Cho (C): f(x) = x4+ 2x2 –
a) K + tung (b @ +/ ( Q- *7 2 ;
b) K + 7 +/ + song song "H g hoành ;
c) K + 7 +/ + vuông góc "H (45 0 y = - 1/8 x + 3 ;
d) K + 7 +/ + ( qua ( Q- A (0;6)
3/ + PTTT @ (C ): y=x3-3x+7
2/Song song "H (45 y=6x+1
4/ Cho (C): + pttt @ (C) * + nó song song "H (45 0 3x – y – 1 = 0
x
x
2
5/ Cho (45 cong (C): y = Tìm ,T (b giao ( Q- @ các +/ + @ (C) "H g ox
3
1
x x
K + +/ + (' song song "H (45 0 y =-x+1
6/ + PTTT @ (w M hàm Gk yx3 3x2 2 K + +/ + vuông góc "H ( 2
9
1
x y
7/ + PTTT @ (w M hàm Gk y x3 3x K + 7 +/ + song song "H (45 0 y 9x1
8/ Cho hàm Gk y = f(x) =
1
1 2
2 2
x
x x
có (w M (C) + PTTT @ (C) * + +/ + (' song song "H
(45 0 y = x
Dạng toán 5 Vi phân: df(x) = f ’(x)dx hay dy = y ’ dx
Ví [g 1/ Cho y = f(x) = x2 + 3x – 5 Ta có dy = (2x+3)dx
2/ Cho y = f(x) = sin2x Ta có: dy = 2cos2x dx
Bài tập Tìm vi phân @ các hàm Gk
1.yx3 2x1 2 3 3
2
2 5
x x
y y(x3 2)(x1)
1
2
2
x
x y
4 2
5 6
2 2
x
x x y
6.y x2 6x7 7/ y= (2x+3)10 8)y3sin2 x.sin3x 9) y(1cotx)2 10)
x x
ycos sin2
x
x y
sin 2
sin 1 J
2 sin4 x
y
x x
x x
y
cos sin
cos sin
y cot (2x )
4
Trang 10X\zR TRA W{ X| II
Đề 1
Câu 1 Tính các H T sau :
Câu 2 Tính vi phân
Câu 3 Cho hàm Gk , " + /4> trình +/ + @ (k M hàm Gk vuông góc
"H (45 0 (d) : y + 4x - 1 = 0
Câu 4 2 minh 7 /4> trình : x5 + x3 + 2x + 3= 0 có
Câu 5 Cho hình chóp S.ABCD có ( là hình vuông tâm O , T a , SA = ,
SA vuông góc "H -. ( (ABCD) , M là trung ( Q- @ T SC
12 minh các -. bên là các tam giác vuông
*12 minh OM vuông góc "H mp (ABCD )
c H là hình + vuông góc @ A trên SB Tính ,] cách U A (+ mp (SBC)
-
Đề 2
Câu 1 Tính các H T sau :
Câu 2 Tính (T, hàm @ các hàm Gk
Câu 3 Tìm a (Q hàm Gk sau liên g T x = 2
Câu 4 CMR pt : 4x4 + 2x2 - x - 3 có ít ! hai
Câu 5 Cho hình chóp S.ABCD có ( là hình vuông tâm O , T a , SA = , SA vuông
góc "H -. ( (ABCD) , M là trung ( Q- @ T SC I , M theo 2 O là
trung ( Q- @ T SC , AB
a 12 minh các -. bên là các tam giác vuông
b 2 minh OI vuông góc "H mp (ABCD )
c Tính ,] cách U I (+ CM