bài tập chương 1

Tính các giới hạn một phía và kết luận về giới hạn hàm số tại điểm cho trước... HÀM NHIỀU BIẾN Bài 1..[r]

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

A Tính giới hạn dãy số

2 1

2

3

1 10.2 2.5

cos

3

n

n

n

n









3 2

n n

n

n

n









B Giới hạn hàm số

Bài 1 Tính các giới hạn sau đây

 

2 2

6

4

2 3

2 2

6

x x x

x

x

x







 

1 2

3

0



Bài 2 Tính các giới hạn một phía và kết luận về giới hạn hàm số tại điểm cho trước

  2

2

sin

x x

x

x khi x



Bài 3 Sử dụng các vô cùng bé tương đương để tìm giới hạn sau

3

12

2

tan 2 ln(1 3 ) sin

ln(1 4 )

x

xarc x e

cos x

x



  







3

) lim

x

g

Bài 4 Sử dụng quy tắc L’ Hospital để tìm các giới hạn sau

ln 2

0

cos

0 2

ln cos

ln cos 3

x x

x

x

x

x

x







C Hàm số liên tục

Bài 1 Xét tính liên tục của hàm số sau tại x0 0

2 2

( 3) ln(4 1)

x

khi x





Bài 2 Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định

2

2

2

ln(2 1)

x

khi x











Bài 3 Tìm a để hàm số sau đây liên tục trên tập xác định:

3 2

64

x

khi x





  



BÀI TẬP CHƯƠNG II

A ĐẠO HÀM

Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau đây

a) y(x23x1)e x; b) yln(sinx2cos )x c)

3

2 cos x x

ye  ; d) ysin(3lnx2 )x e) ytg x( 43 )x ; f) yarctg e( 2x1)

g) y(sin )x x h) y(cos )x sinx i)

1 (1 )x

y x

Bài 2 Tính đạo hàm phải, đạo hàm trái của các hàm số sau đây tại x0 0

a)

3 4

( )

x khi x

f x

x x khi x





 



( )

f x

x khi x









Bài 3 Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau đây

a) y(x2 x 3)e x b) yln(cosx2sin )x

Bài 4 Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau đây

a) ye ax b) ysinx c) ycosx

d) 1

y

x

 e) yln(ax b ) f) ysin(ax b )

B VI PHÂN

Bài 1 Tính vi phân của các hàm số sau đây

a) yln(x2 x 1) b) y e xx3 c) ysin(lnx2 )x

Bài 2 Tính vi phân cấp hai của các hàm số sau đây

a) yln(sinxcos )x b) ye cos x c) yarctan(e x)

Bài 3 Áp dụng vi phân tính gần đúng : a) arctan1, 01 b) sin 29 0

Bài 4 Viết khai triển của hàm số ysinx tại lân cận điểm x0 0

Bài 5 Viết khai triển của hàm số ye x tại lân cận của điểm x0 0

Bài 6 Tính đạo hàm và vi phân cấp một, cấp hai của các hàm số sau đây

a) y 1x2 b) yln(1x2) c) ye2x(cosxsin )x

d) yln(x x21) e) ysin2x f) yln(cos 2xx)

BÀI TẬP CHƯƠNG III HÀM NHIỀU BIẾN Bài 1 Tìm tập xác định của hàm số:

1

y x

y

x

Bài 2 Tính các đạo hàm riêng của hàm số sau đây

a) x y

z

x y





 b) z xe xy c) z y e 2 2x y d) 2 3

xyz u



Bài 3 Tính các đạo hàm riêng và vi phân cấp một, cấp hai của hàm số sau đây

a) z3x22xy3y2 b) xy

z

x y



 c) zln(3x2 )y

Bài 4 Tính đạo hàm cấp một, cấp hai của hàm ẩn y = y(x) cho bởi phương trình sau đây

a) x y e x y b) x y arctgy0 c) x22xyy2 0

Bài 5 Tìm cực trị của hàm số sau đây

a) z 4 x2y2 b) 1 1

z xy

x y

   c) z2x3y33x23y12x4

Bài 6 Tìm cực trị với điều kiện của các hàm số sau đây

a) f x y( , )xy, x y 100 b) f x y( , )x2y2 , x y 10

BÀI TẬP CHƯƠNG IV

A TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

Bài 1 Tính các tích phân sau đây

a)  3 2 

x x  x dx

2x 4e x dx

x



c)

sin cos

dx

Bài 2 Tính các tích phân sau đây

a) tan xdx b)

2

1

x dx x





2

4

x dx x





1

x

dx

e 



Bài 3 Tính các tích phân sau đây bằng phương pháp đổi biến số

a)

2

ln

dx

2

sin

1 cos

x dx x



1



e) lnx 1x2dx

2 sin

xdx x

2 6 1

x dx x



i)

2

arcsin

1

x

dx x



B TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Bài 1 Tính các tích phân xác định sau đây

2 2

2

2

2

2 1

1

x

x x

x dx

x















Bài 2 Tính các tích phân xác định sau đây bằng phương pháp tích phân từng phần

1

e





Bài 3 Tính các tích phân xác định sau đây bằng phương pháp đổi biến số

2

2

1 sin

e

x x





Bài 4 Tính các tích phân xác định sau đây

a)

1

sin(ln )

e

x dx x

6

dx x

1

0

(2x3)e dx x



d)

1

0

arctgxdx

 e)

1

0

sin xdx

 f)

2

15 1

(2 )

x x dx



C TÍCH PHÂN SUY RỘNG

Ví dụ 1

1

b

b



2

a

a





Ví dụ 3

0

0

b

a





lim ( arctan ) lim arctan

2 2

2

1

x





2

1















Ví dụ 7

1

1





 





Bài tập Tính các tích phân suy rộng sau

đây:

(2 1)

x x