TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁCI. Nội dung phương pháp: 1.[r]
Trang 1TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP
LƯỢNG GIÁC
I Nội dung phương pháp:
1 Phương pháp:
_ Nội dung của phương pháp này là trong hàm số hay trong biểu thức đại số cần tìm cực trị, bằng cách đặt ẩn phụ là các hàm số lượng giác thích hợp ta đưa về tìm cực trị các hàm số lượng giác cơ bản
_ Các dạng đặt ẩn phụ thường gặp:
Nếu biến x: |x| 1 đặt
x=cos ϕ ϕ ∈[0 ;π ]
¿
x=sin ϕ ϕ ∈[− π
2;
π
2]
¿
¿
¿
¿
Nếu biến x: |x| 1 đặt
x= 1
cos ϕ ϕ ∈¿∪¿
¿
x= 1
sin ϕ ϕ ∈¿∪¿
¿
¿
¿
¿ Nếu x2 + y2 = a2 thì đặt
¿
x=a sin α y=a cos α
¿{
¿
α [0; 2 π ]
Nếu a x2 + b y2 = 1; a, b 0 thì đặt
¿
√a x=cos α
√b y=sin α
¿{
¿
α [0; 2 π ]
Nếu các biến trong hàm số thỏa mãn xy + yz + zx = 1 đặt
¿
x =tg α y=tg β z=tg γ
¿{ {
¿ với
α+ β+γ= π
2
Nếu biến x R đặt x = tg α hoặc x = cot gα
2 Những điểm cần chú ý:
Khi đặt ẩn phụ, chú ý điều kiện giới hạn cung, góc
Trang 2Đối với phương trình dạng asinx + bcosx = c thì điều kiện có nghiệm là a2 + b2
c2
Để tính cosna ngoài việc tính dần cos2a, cos3a, ta có thể dùng đa thức Trêbưsep như sau:
¿
P0(x )=1
P1(x)=x
P n+2(x )=2 xP n +1(x)− P n(x )n ≥ 0
¿{ {
¿ trong đó P n(cos a) = cosnx
(cos(n+2)x = 2x.cos(n+1)x – cosnx)
II Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1 Cho các số a, b, c, d thỏa mãn
¿
a2+b2=25
c2
+d2=16
ac+bd ≥ 20
¿{ {
¿ Tìm GTLN của T = a + d; S = a + c
Giải.
Đặt
¿
a=5 cos α
b=5 sin α
¿{
¿
¿
c=4 cos β d=4 sin β
¿{
¿
Từ ac + bd 20 ⇔ 20 cos α cos β + 20 sin α sin β 20 ⇔ 20
cos(α − β ) 20
Vậy cos(α − β ) = 1 ⇔ α – β = k2 π (k Z) ⇒ α = β + k2 π
⇒
¿
cos α=cos β
sin α=sin β
¿{
¿
T = a + d = 5 cos α + 4 sin β = 5 cos α + 4 sin α √52
+42
√cos2α+sin2α = √41
Dấu “=” xảy ra khi
¿
cos α
sin α
4
5 cos α+4 sin α=√41
¿{
¿
⇔
Vậy maxT = √41 khi a = 5 cos α = 25
√41 .
Trang 3d = 4 sin β = 16
√41 .
S = a + c = 4 cos β + 5 cos α = 9 cosα 9
Vậy maxS = 9 khi a = 5, c = 4
Ví dụ 2 Cho x, y, z (0; 1) thỏa mãn zy + yz + zx = 1 Tìm GTNN của:
T = x
1 − x2 +
y
1 − y2 +
z
1 − z2 .
Giải.
Đặt
¿
x =tg α
y=tg β
z=tg γ
¿{ {
¿
Vì x, y, z (0; 1) nên α , β , γ (0; π
4 )
Từ đó T = tg α
1 − tg2α +
tg β
1 − tg2β +
tg γ
1 − tg2γ =
1
2 ( tg 2 α + tg 2 β +
tg 2 γ ) với α , β , γ (0; π
4 )
Từ giả thiết: xy + yz + zx = 1 ⇔ tg α tg β + tg β tg γ + tg γ tg α
= 1
Kết hợp với α , β , γ (0; π4 ) ⇒ 2 α , 2 β , 2 γ là số đo 3 góc của 1 tam giác
⇒ 2 α + 2 β + 2 γ = π ⇒ tg 2 α + tg 2 β + tg 2 γ =
tg 2 α tg 2 β tg 2 γ
Do 2 α , 2 β , 2 γ (0; π2 ) nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương ta có:
tg 2 α + tg 2 β + tg 2 γ 3 3
√tg 2 α tg 2 β tg2 γ = 3 3
√tg 2 α+tg2 β +tg 2 γ
⇒ tg 2 α + tg 2 β + tg 2 γ 3 √3
Dấu “=” xảy ra khi
¿
tg 2 α=tg 2 β=tg 2 γ=√3
2 α+2 β +2 γ=π
¿{
¿
mà α , β , γ (0; π
4 )
⇒ α = β = γ = π
6 ⇔ x = y = z = √3
3 . Vậy minT = 3√3
2 đạt được khi x = y = z = √
3
3 .
Ví dụ 3 Tìm GTLN, GTNN của y = x6 + 1− x2¿3
¿ + x2 (1 – x2 ) với x [– 1; 1]
Giải.
Trang 4Đặt x = cost, t [0; π ]
y = cos6t + 1− cos2t¿3
¿ + cos2t (1 – cos2t )
= cos2t¿3
¿ + sin2t¿3
¿ + cos2t sin2t
= ( cos2t + sin2t )( cos4t – cos2t sin2t + sin4t ) + cos2t sin2t
y = cos4
t + sin4
t = 3
4 +
1
4 cos4t maxy = 1 ⇔ cos4t = 1 ⇔ t = 0 hoặc t = π
2 ; t = π ⇔ x = 0 hoặc x =
± 1
miny = 1
2 ⇔ cos4t = – 1 ⇔ t = π
4 hoặc t =
3 π
4 ⇔ x = ± √2
2
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số a, b ta đều có:
2
1 ) b 1 )(
a 1 (
) ab 1 )(
b a ( 2
1
2
Giải:
Đặt: a = tg , b = tg với ,
2
;
2 .
) tg tg 1 )(
tg tg
( ) b 1 )(
a 1 (
) ab 1 )(
b a (
2 2
2 2
cos cos
sin sin 1 cos cos
) sin(
= sin ( + ) cos ( + ) = 2
1
sin (2 + 2)
Suy ra: A = 2
1
sin (2 + 2) 2
1
Vậy: -2
1
( 1 a )( 1 b )
) ab 1 )(
b a (
2 2
2
1
(đpcm)
Bài 2 Cho x, y > 0 và x + y = 1 Chứng minh:
2
17 y
1 y x
1
x2 2 2 2
Trang 5Ta có: x + y = 2 2
y
x = 1, theo mệnh đề IV thì có một số a với 0 a
2 để x= cosa và y = sina.
Bất đẳng thức đã cho được viết thành:
a cos
1 a
cos4 4
a sin
1 a
sin4 4
2 17
Ta có: cos4a + cos a
1 4
+ sin4a + sin a
1 4
= (cos4a + sin4a)
a cos a sin
1
= (1 – 2sin2acos2a)
a cos a sin
1 1
4 4
=
a 2 sin
16 1
2
a 2 sin 1
4 2
Vì 0 < sin22a 1 nên 1 - 2
a 2 sin2
2 1
và 1 + sin 2 a
16
4
17 Từ đó suy ra điều cần chứng minh