Phương trình vi phân (bài tập)

Giải phương trình vi phân hoặc bài toán giá trị ban đầu bằng phương pháp hệ số bất định.. a.a[r]

BÀI TẬP CHƯƠNG 6: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

6.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TỔNG QUÁT

y x x là một nghiệm của phương trình vi phân xy  y 2x

2 Chứng tỏ rằng ysin cos - cosx x x là một nghiệm của bài toán giá trị ban đầu

y  x y x y   trên khoảng / 2 x / 2

3 Cho hàm số y t thỏa mãn phương trình vi phân:   dy y4 6y3 5y2

a Hàm hằng nào là nghiệm của phương trình đã cho?

b Với giá trị nào của y thì y tăng?

c Với giá trị nào của y thì y giảm?

6.2 PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BIẾN

4 Giải phương trình vi phân

(a)  2 

1

1 tan y yx 1

(c)

2

1

t

dt  y y

t z

dz e dt



 

5 Tìm nghiệm của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu đã cho

, u 0 5 2



(c) ytanx a y, y / 3a, 0 x / 2

6.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1

6 Giải phương trình vi phân

(c) 1 tdu u 1 t, t 0

dt

dt  

7 Giải bài toán giá trị ban đầu

dv

(b) 2xy  y 6 , x x0, y 4 20

(c)    2   

8 Phương trình vi phân Bernoulli (Bernoulli differential equation) (gọi theo James Bernoulli) là

phương trình có dạng

    n

dy

Ta thấy khi n = 0 hoặc 1, phương trình Bernoulli trở thành phương trình tuyến tính Với

những giá trị khác của n, chứng minh bằng cách thay u = y 1-n

ta có thể chuyển phương trình

Bernoulli về dạng tuyến tính sau

1    1   

du

n P x u n Q x

9 Áp dụng phương pháp nêu trong bài 8 để giải các phương trình vi phân sau

3

2

  

2.4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

1 Giải phương trình vi phân

a y y 6y 0

b 9y12y4y0

c

2

2

2 Giải bài toán giá trị ban đầu

a 2y5y3y0, y 0 1, y 0 4

b y2y5y0, y   0, y   2

c y12y36y0, 1y 0, y 1 1

3 Giải bài toán giá trị biên

a y2y0, y 0 1, 1y 2

b y6y9y0, y 0 1, 1y 0

2

 

 

4 Giải phương trình vi phân hoặc bài toán giá trị ban đầu bằng phương pháp hệ số bất định

y y yx

y  y e

c y2ysin 4x

d y y e x

e y2y y xex

x

g y4y e xcos , x y 0 1, y 0 2

h y y xe x, y 0 2, y 0 1

i y y 2y x sin 2 , x y 0 1, y 0 0