10 vấn đề thường gặp trong mạng

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ... Tạ Minh Đức.[r]

PHÂN LOẠI ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2012 Phần 1 CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ

1 Khối A

(KA-2002) Cho hàm số y= − +x3 3mx2+3 1–( m x m2) + 3−m2 1 ( ) (m là tham số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

2 Tìm k để phương trình −x3+3x2+k3 – 3k2 = có ba nghiệm phân biệt 0

3 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

(KA-2003) Cho hàm số

1

2

−

+ +

=

x

m x mx

y (1) ( m là tham số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m= −1

2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

(KA-2004). Cho hàm số

) 1 ( 2

3 3

2

−

− +

−

=

x

x x

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1)

2 Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị tại hai điểm A, B sao cho AB = 1

(KA-2005). Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y mx 1

x

= + (*) ( m là tham số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi 1

4

2 Tìm m để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực4 tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng

2

1

(KA-2006)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=2 – 9x3 x2+12x− 4

2 Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2x3−9x2 +12x =m

(KA-2007). Cho hàm số y =

2 2( 1) 2 4

2

x

+ (1) m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m= −1

2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O

(KA-2008) Cho hàm số y =

2 (3 2 2) 2

3

+ (1) với m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

2 Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 450

(KA-2009) Cho hàm số y = 2

x x

+ + (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần

(KA-2010). Cho hàm số y x= 3−2x2+ −(1 m x m) + ( m là tham số thực)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m=1

2 Tìm m để đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x x x thoả mãn 1, 2, 3 điều kiện x12+x22+x32 <4

(KA-2011). Cho hàm số 1

x y x

− +

=

− (m là tham số thực)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng y x m= + luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Gọi

1, 2

k k là hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại A và B Tìm m để tổng k1+ đạt giá trị lớn nhất k2

(KA-2012). Cho hàm số y x= 4−2(m+1)x2+m2 ( )1 , với m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=0

2 Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông

2 Khối B

(KB-2002) Cho hàm số y mx= 4+(m2 – 9)x2+10 1( ) (m là tham số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=1

2 Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị

(KB-2003) Cho hàm số y x= 3– 3x2+m 1 ( ) (m là tham số)

1 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ

2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=2

(KB-2004) Cho hàm số y x 2x 3x

3

+

−

= (1) có đồ thị (C)

1 Khảo sát hàm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng Δ là tiếp tuyến của (C)

có hệ số góc nhỏ nhất

(KB-2005) Gọi (C) là đồ thị của hàm số y =

1

1 )

1 (

2

+

+ + + +

x

m x m x

(*) ( m là tham số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 1

2 Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (Cm) luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20

(KB-2006) Cho hàm số y =

2

1

2

+

− +

x

x x

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên của (C)

− + + − − − (1) m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ

(KB-2008) Cho hàm số y = 4x3−6x2+ (1) 1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(− −1; 9)

(KB-2009) Cho hàm số 4 2

y= x − x (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Với giá trị nào của m, phương trình x x2 2− = có đúng 6 nghiệm thực phân biệt ? 2 m

(KB-2009 NC). Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y= − +x m cắt đồ thị hàm số

2

1

x y x

−

= tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 4

(KB-2010) Cho hàm số 2x 1

1

y x

+

= +

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Tìm m để đường thẳng y = − + cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác 2x m OAB có diện tích bằng 3 (O là gốc toạ độ)

(KB-2011) Cho hàm số y x= 4−2(m+1)x2+m ( )1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1

2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cự trị A, B, C sao cho OA BC= ; trong đó O là gốc toạ độ,

A là điểm cực trị thuocj trung tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại

(KB-2012) Cho hàm số y x= 3−3mx2+3m3 ( )1 , với m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1

2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho ΔOAB có diện tích bằng 48

3 Khối D

(KD-2002) Cho hàm số

1

1

−

−

−

=

x

m x m

(1) ( m là tham số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m= −1

2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ

3 Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x

(KD-2003)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2

4 2

2

−

+

−

=

x

x x

2 Tìm m để đường thẳng : d m y mx= + −2 2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt

(KD-2004) Cho hàm số y x= 3– 3mx2+9x+1 1( ) với m là tham số

1 Khảo sát hàm số (1) khi m = 2

2 Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số(1) thuộc đường thẳng y = x + 1

(KD-2005). Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y =

3

1 2

3

1x3 −m x2 + (*) ( m là tham số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 2

2 Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng –1 Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song

(KD-2006). Cho hàm số y = x3 – 3x + 2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc là m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt

(KD-2007). Cho hàm số y = 2

1

x

x+ .

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 1

4

(KD-2008). Cho hàm số y = x3−3x2+ (1) 4

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Chứng minh rằng với mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k >- 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn AB

(KD-2009) Cho hàm số y = x4−(3m+2)x2+3m có đồ thị là (Cm), m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0

2 Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2

(KD-2009 NC). Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng 2y= − + cắt đồ thị hàm số x m

2 1

y

x

+ −

= tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung

(KD-2010) Cho hàm số y= − −x4 x2+ 6

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đt 1 1

6

(KD-2011) Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

= +

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Tìm k để đường thẳng 2y kx= + k+ cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng 1 cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=1

2 Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x và 1 x sao cho: 2 x x1 2+2(x1+x2)=1

Phần 2 CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PT, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1 Khối A

(KA-2003) Giải hệ phương trình

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

+

=

−

=

−

1 2

1 1

3

x y

y

y x

x

(KA-2004). Giải bất phương trình

3

7 3 3

) 16 (

−

−

>

− +

−

−

x

x x

x

x

(KA-2005) Giải bất phương trình 5x−1− x−1> 2x−4

(KA-2006). Giải hệ phương trình

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

= + + +

=

− +

4 1 1

3

y x

xy y

(KA-2007). Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 3 x− +1 m x+ =1 24 x2−1

(KA-2008). Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:

4 2x+ 2x+2 64 − +x 2 6− =x m (m R∈ )

KA-2008) Giải hệ phương trình

4 2

5

5 (1 2 )

4

x y R

⎧ + + + + = −

⎨

⎪⎩

(KA-2009). Giải phương trình 2 33 x− +2 3 6 5− x− =8 0 (x R∈ )

(KA-2010). Giải bất phương trình

2

2 2

2

x y

⎨

2 2

1 2

x y

⎨

2 Khối B

(KB-2002) Giải hệ phương trình

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

+ +

= +

−

=

−

2

3

y x y x

y x y x

(KB-2003) Giải hệ phương trình

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+

=

+

=

2 2 2 2

2 3

2 3

y

x x x

y y

(KB-2004). Xác định m để phương trình sau có nghiệm:

( 1 2 1 2 2) 2 1 4 1 2 1 2

(KB-2006). Tìm m để phương trình x2 +mx+2 =2x+1có hai nghiệm thực phân biệt

(KB-2007). Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:

2 2 8 ( 2)

x + x− = m x−

(KB-2008). Giải hệ phương trình

4 3 2 2 2

x y R

∈

⎩

(KB-2009). Giải hệ phương trình 2 2 1 7 2 ( , )

1 13

x y R

+ + =

⎧

∈

⎩

(KB-2010). Giải phương trình 3x 1+ − 6− +x 3x2−14x 8 0− = (x∈ \ )

(KB-2011). Giải phương trình 3 2+ −x 6 2− +x 4 4−x2 =10 3− x x( ∈ \)

(KB-2012). Giải bất phương trình x+ +1 x2−4x+ ≥1 3 x

3 Khối D

(KD-2002) Giải bất phương trình ( x2 −3x ). 2x2 −3x−2 ≥0

(KD-2004). Chứng minh rằng phương trình x5 – x2 – 2x – 1 = 0 có đúng một nghiệm

(KD-2004) Tìm m để hệ phương trình

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

= +

= +

m y

y x x

y x

3 1

1

có nghiệm

(KD-2005) Giải phương trình 2 x+2+2 x+1− x+1=4

(KD-2006). Giải phương trình 2x− +1 x2−3x+ =1 0 (x R∈ )

(KD-2007) Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

5

⎧ + + + =

⎪⎪

⎨

⎪⎩

(KD-2008) Giải hệ phương trình

2 2 2

( , )

x y R

⎨

⎪⎩

(KD-2009). Giải hệ phương trình 2

2

( , )

5

x x y

x y R

x y

x

+ + − =

⎧

⎨

⎪⎩

(KD-2011). Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 3 ( ) 2

2

1 2

⎪

⎨ + − = −

xy x

x y

+ − =

⎧

∈

⎨

Phần 3 CÁC BÀI TOÁN VỀ MŨ VÀ LÔGARIT

1 Khối A

(KA-2002). Cho phương trình: log32 x+ log32 x+1−2m−1=0 (1) ( m là tham số)

1 Giải phương trình (1) khi m = 2

2 Tìm m để phương trình (2) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3 ] 3

(KA-2004). Giải hệ phương trình 14 4

2 2

1

25

y x

y

⎪

⎨

⎩

(KA-2006) Giải phương trình 3.8x + 4.12x – 18x – 2.27x = 0

(KA-2007). Giải bất phương trình 3 1

3

2log (4x− +3) log (2x+ ≤ 3) 2

log x− 2x + − +x 1 log (2x+ x−1) = 4

(KA-2009) Giải hệ phương trình 2 2

2 2

log ( ) 1 log ( )

( , )

3x xy y 81

x y R

− +

⎨

=

⎪⎩

2 Khối B

(KB-2002). Giải bất phương trình log log 9 – 72( 3( x ) ) 1

(KB-2005) Giải hệ phương trình

⎩

⎨

⎧

=

−

=

− +

−

3 log

) 9 ( log 3

1 2

1

3 3

2

y x

log 4x+144 – 4log 2 1 log 2< + x +1

(KB-2007). Giải phương trình ( 2 1− ) (x+ 2 1+ )x−2 2 0.=

(KB-2008). Giải bất phương trình

2 0,7 6

4

x

2

log 3 1

4x 2x 3

x y y

⎨

3 Khối D

(KD-2002) Giải hệ phương trình

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

= + +

−

=

+

y

y y

x

x x x

2 2

2 4

4 5 2

1

2 3

(KD-2003). Giải phương trình 2x2−x −22 +x−x2 =3

(KD-2006) Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

x y

y x a

⎨

− =

(KD-2006-D). Giải phương trình 2x2+x−4.2x2−x−22x+ = 4 0

1

4.2 3

x

−

(KD-2008). Giải bất phương trình 1 2

2

x

(KD-2010). Giải phương trình 42x+ x+ 2 +2x3 =42 + x+ 2 +2x3 + 4x 4 − (x∈ \ )

log 8−x +log 1+ +x 1−x − =2 0 x∈ \

Phần 4 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1 Khối A

(KA-2002). Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình 5 sin cos3 sin 3 cos 2 3

1 2sin 2

x

+

x

x

+

(KA-2004). Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện cos 2A+2 2 cosB+2 2 cosC=3 Tính

ba góc của tam giác

(KA-2005). Giải phương trình cos 3 cos 2 – cos2 x x 2 x= 0

(KA-2006) Giải phương trình 2 cos( 6 sin6 ) sin cos

0

2 2sin

x

=

(KA-2007). Giải phương trình (1 sin ) cos+ 2 x x+ +(1 cos )sin2 x x= +1 sin 2x

3

2

x

π

(KA-2009). Giải phương trình (1 2sin ) cos 3

(1 2sin )(1 sin )

(KA-2010). Giải phương trình

(1 sin cos 2 sin)

1

x x

π

(KA-2011). Giải phương trình 1 sin 2 2cos 2 2 sin sin 2

1 cot

x

= +

(KA-2012). Giải phương trình 3 sin 2x+cos 2x=2cosx− 1

2 Khối B

(KB-2002). Giải phương trình sin 3 – cos 42 x 2 x=sin 5 – cos 6 2 x 2 x

(KB-2003). Giải phương trình cot tan 4sin 2 2

sin 2

x

(KB-2004). Giải phương trình 5sin – 2 3 1 – sinx = ( x)tan 2 x

(KB-2005). Giải phương trình 1 sin+ x+cosx+sin 2x+cos 2x=0

(KB-2006) Giải phương trình cot sin 1 tan tan 4

2

x

(KB-2007). Giải phương trình 2sin 22 x+sin 7x− =1 sinx

(KB-2008). Giải phương trình sin3x− 3 cos3x=sin cosx 2x− 3 sin2xcosx

(KB-2009). Giải phương trình sinx+cos sin 2x x+ 3 cos3x=2(cos 4x+sin )3x

(KB-2010). Giải phương trình (sin 2x+cos 2 cosx) x+2 cos 2 - sinx x=0

(KB-2011). Giải phương trình sin 2 cosx x+sin cosx x=cos 2x+sinx+cos x

(KB-2012). Giải phương trình 2 cos( x+ 3 sinx)cosx=cosx− 3 sinx+ 1

3 Khối D

(KD-2002). Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình cos 3 – 4cos 3x x+3cos – 4 0.x =

(KD-2003) Giải phương trình sin2 tan2 cos2 0

x

π

(KD-2004). Giải phương trình (2 cos –1 2sinx )( x+cosx)=sin 2 – sin x x

(KD-2006). Giải phương trình cos 3x+cos 2x−cosx− =1 0

(KD-2007) Giải phương trình

2

x

(KD-2008) Giải phương trình 2sin (1 cos 2 ) sin 2x + x + x= +1 2cosx

(KD-2009). Giải phương trình 3 cos5x−2sin 3 cos 2x x−sinx= 0

(KD-2010). Giải phương trình sin 2 - cos 2x x+3sinx−cosx− =1 0

(KD-2011). Giải phương trình sin 2 2cos sin 1 0

x

+

(KD-2012). Giải phương trình sin 3x+cos 3x−sinx+cosx= 2 cos 2 x

Phần 5 CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

1 Khối A

(KA-2002). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x2 −4x+3 và y = x + 3

KA-2003) Tính tích phân =2∫3 +

5 x x2 4

dx

(KA-2004) Tính tích phân =∫2 + −

11 x 1dx

x

(KA-2005) Tính tích phân =∫2 + +

0 1 3cos

sin 2 sin

π

dx x

x x

(KA-2006). Tính tích phân =∫2 +

0 2 4 2

2

π

dx x x

x I

sin cos

sin

(KA-2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y= +(e 1)x và y= +(1 e x x)

(KA-2008) Tính tích phân 6 4

0

tan cos 2

x

x

π

(KA-2009). Tính tích phân 2 3 2

0

(cos 1) cos

π

(KA-2010). Tính tích phân

1 2 2

0

2

1 2

x

e

+ +

=

+

∫

0

sin cos

π

=

+

∫

(KA-2012). Tính tích phân 3 ( )

2 1

x

x

=∫

2 Khối B

(KB-2002). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

4 4

2

x

2 4

2

x

(KB-2003). Tính tích phân = ∫4 −+

0

2

2 sin 1

sin 2 1

π

dx x

x

(KB-2004). Tính tích phân =∫e + dx

x

x x I

1

ln ln 3 1

(KB-2005). Tính tích phân I = ∫2 +

0 1 cos

cos 2 sin

π

dx x

x x

(KB-2006) Tính tích phân = ∫5 + − −

3 2 3

ln

ln e x e x

dx