Hãy viết p.trình mpP đi qua các hình chiếu của A trên các trục tọa độ, và p.trình mpQ đi qua các hình chiếu của A trên các mặt phẳng tọa độ.. B/ Vị trí tương đối của hai mặt phẳng..[r]
Trang 1PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I/ PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: Cho ΔABC có trong tâm G và M là điểm tùy ý trong ko gian
a/ CMR: MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2
b/ Tìm quỹ tích các điểm M sao cho MA2 + MB2 + MC2 = k2
Bài 2: Cho tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm ΔBCD và O là trung điểm của AG; M là điểm tùy ý
a/ CMR: 3OA OB OCuuur uuur uuur uuur r+ + +OD=0
b/ CMR: 3MA2 +MB2+MC2+MD2 =6MG2 +3OA2 +OB2 +OC2+OD2
c/ Tìm quỹ tích các điểm M thỏa: 3MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = k2
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Hai điểm M, N nằm trên hai cạnh B’C’ và CD sao cho MB’
= CN CMR: AM ⊥ BN
Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh rằng :
a/ uuuur uuuurAC'+A C' =2uuurAC b/ uuuur uuuurAC'−A C' =2CCuuuur'
II/ VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: Trong không gian Oxyz Hãy viết tọa độ của các vectơ:
2
2
e
= − e f/ f 4, 5e1
=
Bài 2: Hãy viết dưới dạng: x e1 y e2 z e các vectơ sau đây :
+ + →3 a/ u ( 2;1; 3)
→
= − b/ ( 1 ; 0;6
5 3
v
→
2
m→= π d/ p (0; 2;5 e/
→
= − ) q (0; 0; 2)
→
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho 3õ vectơ: a (2; 5;3); b (0; 2; 1); c (1; 7; 2)
a/ Tính tọa độ của vectơ : x a b
→ b/ Cho biết M(–1;2;3); hãy tìm tọa độ các điểm A, B, C sao cho:
MA a MB b MC c
uuur uuur uuuur →
=
2;
khi b
+ = = − 2x a b khi a (5; 4; 1);b (2; 5;3)
Bài 4: Tìm tọa độ của vectơ x biết:
a/ x b 0 (1; 1) b/
c/ 2x a x b khi a (5; 6; 0); b ( 3; 4; 1)
Bài 5: Cho điểm M có tọa độ (x; y; z) Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các trục Ox, Oy, Oz Gọi '
1
M , '
1
M , M3’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng Oxy, Oyz, Ozx Tìm tọa độ của các điểm M1’, M2’, M3’ Áp dụng cho M(–1,2,3)
Bài 6: Cho điểm M có tọa độ (x; y; z) Tìm tọa độ của điểm:
a/ N đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy b/ P đối xứng với M qua trục Ox
c/ Q đối xứng với M qua gốc tọa độ O Áp dụng với M(–2; 5; 1)
Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm: A(0; 2; –1); B(1; 1; 3) và C(–1; 2; –2)
a/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ΔABC
b/ Tính diện tích ΔABC
Bài 8: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết: A(1; 0; 1); B(2; 1; 2); D(1; –1; 1); C’(4; 5; –5)
a/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp
b/ Tìm tọa độ tâm của các mặt ABCD và ABB’A’ của hình hộp đó
Bài 9: Cho hai bộ 3 điểm: A(1; 3; 1); B(0; 1; 2); C(0; 0; 1) và A’(1;1;1); B’(–4; 3; 1); C’(–9; 5; 1)
Hỏi bộ nào có 3 điểm thẳng hàng ?
Bài 10: Tính tọa độ của vectơ tích có hướng của hai vectơ a b trong mỗi trường hợp sau:
→ →
,
1 a/ a (3; 0; 6); b (2; 4;5) b/
= − = − a (1; 5; 2);b (4;3; 5)
Trang 2c/ a (0; 2; 3);b (1; 3; 2)
= = − d/ a (1; 1;1);b (0;1; 2)
e/ a (4;3; 4);b (2; 1; 2)
Bài 11: Tính khoảng cách giữa hai điểm A, B trong mỗi trường hợp:
a/ A(4;–1; 1); B(2; 1; 0) b/ A(2; 3; 4); B(6; 0; 4) c/ A( 2 ; 1; 0); B(1; 2 ; 1)
Bài 12: Tính góc giữa hai vectơ a b trong mỗi trường hợp sau :
→ →
,
a/ a (4;3;1); b ( 1; 2;3) b/
= = − a (2; 4;5), b (6; 0; 3)
Bài 13: Cho ΔABC với A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1)
a/ Tính các góc của ΔABC
b/ Tìm tọa độ trong tâm G của ΔABC
c/ Tính chu vi và diện tích tam giác đó
Bài 14: Tìm điểm M trên trục Oy, biết M cách đều 2 điểm A(3; 1; 0) và B(–2; 4; 1)
Bài 15: Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm M cách đều 3 điểm A(1; 1; 1), B(–1; 1; 0) và C(3; 1; –1)
Bài 16: Tính diện tích của hình bình hành ABCD có uuurAB=(6;3; 2)− và uuurAD=(3; 2; 6)−
Bài 17: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a b cur ur ur, , trong mỗi tr.hợp sau:
a/ a (4; 2;5); b (3;1;3); c (2; 0;1) b/
= = = a (1; 1;1);b (0;1; 2); c (4; 2;3)
c/ a (4;3; 4); b (2; 1; 2); c (1; 2;1) d/
= = − = a ( 3;1; 2); b (1;1;1);c ( 2; 2;1)
Bài 18: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(1; 0; 1) và B(2; 1; 2); ODuuur r ur ur= − +i j k , Tìm tọa độ các đỉnh còn lại
OCuuuur= ir− urj − kur
Bài 19: Cho A(2;–1; 1), B(4; 5; –2) Đường thẳng Ab cắt mp Oxyz tại điểm M Điểm M chia đoạn thẳng
AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ điểm M
Bài 20: Cho A(1; 1; 1), B(5; 1; –2) và C(7; 9; 1)
a/ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng
b/ Phân giác trong góc A của ΔABC cắt BC tại D Tìm tọa độ của D
c/ Tính cosin của góc BAC và diện tích ΔABC
Bài 21: Cho A(1; 2; 1), B(5; 3; 4) và C(8; 3; –2)
a/ CMR: ABC là tam giác vuông
b/ Tìm tọa độ chân đường phân giác trong của tam giác kẻ từ B
c/ Tính diện tích của ΔABC
Bài 22: Cho A(1; 0; 1), B(–1; 1; 2), C(–1; 1; 0) và D(2; –1; –2)
a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của hình chữ nhật
b/ Tính đường cao của ABCD kẻ từ đỉnh D
Bài 23: Cho A(1; 0; 0), B(0; 0; 1) và OCuuur=2ir ur ur+ +j k
a/ CMR: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác
b/ Tính chu vi và diện tích của ΔABC
c/ Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành
d/ Tính độ dài đường cao của ΔABC hạ từ đỉnh A
e/ Tính các góc của ΔABC
Bài 24: Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(–2; 1; –1)
a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện
b/ Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD
c/ Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A
Bài 25: Cho A(1; –2; 2), B(1; 4; 0), C(–4; 1; 1) và D(–5; –5; 3)
a/ CMR: tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc
b/ Tính diện tích tứ giác ABCD
Bài 26: Cho tứ diện PABC, biết P(1; –2; 1), A(2; 4; 1), B(–1; 0; 1) và C(–1; 4; 2) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của P trên (ABC)
Trang 3Bài 27: Cho A(4; 2; 6), B(10; –2; 4), C(4; –4; 0) và ODuuur=2(kur r−i)
a/ CMR: ABCD là hình thoi b/ Tính diện tích của hình thoi
Bài 28: Cho 2; ;15
2
⎝ ⎠, 5 3; ; 0
2 2
2
2 2
a/ CMR: bốn điểm trên là bốn đỉnh của hình bình hành
b/ Tính diện tích hình bình hành đó
Bài 29: Cho A(1; 0; 1), B(–2; 1; 3) và C(1; 4; 0)
a/ Tìm hệ thức giữa x, y, z để điểm M(x; y; z) thuộc mp(ABC)
b/ Tìm trực tâm H của ΔABC
c/ Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ΔABC
III/ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A/ Phương trình của mặt phẳng
Bài 1: Lập phương trình tham số và tổng quát của mp(α) đi qua 3 đ A(2; –5; 1), B(3; 4; –2) C(0; 0; –1) Bài 2: Cho điểm M(2; –1; 3) và mp(α) có p.trình 2x –y + 3z –1 = 0
a/ Lập pt tổng quát của mp(β) đi qua M và song song với mp(α)
b/ Hãy lập phương trình tham số của mp(β) nói trên
Bài 3: Hãy lập pt mp(α) đi qua 2 điểm M(7; 2; –3), N(5; 6; –4) và song song vơi trục Oz
Bài 4: Lập pt mp(α) đi qua điểm M(2; –1; 2) và vuông góc với các mp: 2x – z + 1 = 0 và y = 0
Bài 5: Lập pt mp(α) đi qua gốc tọa độ và vuông góc với các mp: 2x – y + 3z – 1 = 0 và x + 2y + z = 0 Bài 6: Lập pt mp(α) đi qua hai điểm A(1; –1; –2) B(3; 1; 1) và vuông góc với mp x – 2y + 3z – 5 = 0
Bài 7: Cho mpα có phương trình tham số :
= +
= − +
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
1 2
1 2
1 t2 a/ Hãy lập phương trình tổng quát của mp(α’) đi qua gốc tọa độ và song song với mpα
b/ Tính góc ϕ tạo bởi mp(α’) và mp(β) có pt: x + y + 2z –10 = 0
Bài 8: Tính khoảng cách từ điểm A(7; 3; 4) đến mp(α) có phương trình: 6x – 3y + 2z –13 = 0
Bài 9: Cho mp(α) : 2x – 2y – z – 3 = 0 Lập phương trình mp(β) song song với mp(α) và cách mp(α) một khoảng d = 5
Bài 10: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a/ Đi qua M(1; 3; –2) và vuông góc với trục Oy
b/ Đi qua M(1; 3; –2) và vuông góc với đ.thẳng AB với A(0; 2; –3) và B(1; –4; 1)
c/ Đi qua M(1; 3; –2) và song song với mp: 2x – y + 3z + 4 = 0
Bài 11: Cho hai điểm A(2; 3; –4) và B(4; –1; 0) Viết pt mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
Bài 12: Cho ΔABC, với A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3) và C(4; 5; 6) Viết phương trình mp(ABC)
Bài 13: Viết ptmp đi qua 2điểm P(3; 1; –1) và Q(2; –1; 4) và vuông góc với mp: 2x – y + 3z + 1 = 0
Bài 14: Cho A(2; 3; 4) Hãy viết p.trình mp(P) đi qua các hình chiếu của A trên các trục tọa độ, và p.trình mp(Q) đi qua các hình chiếu của A trên các mặt phẳng tọa độ
Bài 15: Viết p.trình mp qua điểm M(2; –1; 2), ssong với trục Oy và vuông góc với mp: 2x – y + 3z + 4 = 0 Bài 16: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a/ Qua I(–1;–2;–5) và đồng thời ⊥ với hai mp (P): x + 2y –3z +1 = 0 và (Q): 2x – 3y + z + 1 = 0 b/ Qua M(2; –1; 4) và cắt chiều dương các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại P, Q, R sao cho :
OR = 2OP = 2OQ
c/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y –12z – 3 = 0, (Q): 3x + y – 7z – 2 = 0 và vuông góc với mp(R): x + 2y + 5z – 1 = 0
d/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + 3y + 5z – 4 = 0, mp(Q): x – y – 2z + 7 = 0 và song song với trục Oy
e/ Là mp trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 1; 0), B(–1; 2; 3)
f/ mp(X) nhận M(1; 2; 3) làm hình chiếu vuông góc của N(2; 0; 4) lên trên mp(X)
B/ Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
3 Bài 1: Xác định m để hai mặt phẳng: Song song với nhau? Trùng nhau? Cắt nhau?
Trang 4a/ (P): 2x –my + 3z –6 + m = 0; (Q): (m+3)x –2y + (5m +1)z–10 = 0
b/ (P): (1– m)x + (m + 2)y + mz + 1 = 0;
(Q): 4mx – (7m + 3)y –3(m + 1)z + 2m = 0
Bài 2: Cho 3 mặt phẳng (P): 2x – y + z + 1 = 0; (Q): x + 3y –z + 2 = 0 và (R): –2x + 2y+ 3z + 3 = 0
a/ Chứng minh (P) cắt (Q)
b/ Viết p.trình mp(S) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và qua điểm M(1; 2; 1)
c/ Viết p.trình mp(T) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và song song với mp(R)
d/ Viết p.trình mp(U) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và vuông góc với mp(R)
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a/ Đi qua M(2; 1; –1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình: x – y + z – 4 = 0 ; 3x – y + z – 1 = 0
b/ Qua giao tuyến của hai m.phẳng: y + 2z – 4 = 0; x + y – z – 3 = 0 đồng thời song song với mp: x +
y + z = 0
c/ Qua giao tuyến của hai m.phẳng: 3y – y + z –2 = 0; x + 4y –5 = 0 đồng thời vuông góc với mp: 2x – z + 7 = 0
Bài 4: Tìm điểm chung của ba mặt phẳng:
a/ x + 2y – z – 6 = 0; 2x – y + 3z + 13 = 0; 3x – 2y + 3z + 16 = 0
b/ 4x + y + 3z – 1 = 0; 8x – y + z – 5 = 0; 2x – y – 2z – 5 = 0
Bài 5: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 3), B(3; –2; 1), C(–4; 1; 1) và D(1; 1; –3)
a/ Viết phương trình các mặt phẳng (ABC), (ABD)
b/ Tính góc giữa (ABC) và (ABD)
c/ Tìm pt mp(P) chứa CD và // với vectơ vur
= (m; 1–m; 1+m) Định m để mp(P) vuông góc với mp(ABC)
d/ Định m, n để mp(P) trùng với mp: 4x + ny + 5z + 1 – m = 0
Bài 6: Viết p.trình mặt phẳng qua M(0; 2; 0), N(2; 0; 0) và tạo với mpOyz một góc 600
Bài 7: Tìm điểm M’ đối xứng của M qua mp(P) biết:
a/ M(1; 1; 1) và mp(P): x + y – 2z – 6 = 0
b/ M(2; –1; 3) và mp(P): 2x – y – 2z – 5 = 0
Bài 8: Cho tứ diện ABCD với A(–1; –5; 1), B(2; –4; 1), C(2; 0; –3) và D(0; 2; 2)
a/ Lập phương trình các mặt phẳng (ABC), (ABD)
b/ Tính cosin của góc nhị diện cạnh AB, cạnh BC
c/ Tìm điểm đối xứng của điểm A qua các mp(BCD), (OBC)
Bài 9: Cho đường thẳng MN biết M(–6; 6; –5), N(12; –6; 1)
a/ Tìm giao điểm của đường thẳng MN với các m.phẳng tọa độ
b/ Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp(α) có phương trình: x– 2y + z–9 = 0 và tính sin của góc ϕ giữa đ.thẳng MN và mp(α)
c/ Viết p.trình tổng quát của mp chứa đ.thẳng MN và // với trục Oz
C/ Chùm mặt phẳng.
Bài 1: Cho hai mặt phẳng cắt nhau (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0 và (Q): 5x – 4y + 3z + 1 = 0
a/ Viết phương trình mp(R) qua M(1; –2; 1) và chứa giao tuyến của hai mp(P) và (Q)
b/ Viết pt mp(T) vuông góc với mp: x + 2y + z = 0 và chứa giao tuyến của hai mp(P) và (Q)
c/ Viết phương trình mp(U) chứa giao tuyến của hai mp(P) và (Q) và tạo với mp: x + y – z = 0 một góc nhọn a mà cosa = 3/125
Bài 2: Định l, m để mp(P):5x + ly + 4z + m = 0 thuộc chùm mp: λ(3x – 7y + z – 3) + μ(x – 9y – 2z + 5) = 0
IV/ ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A/ Phương trình của đường thẳng
Bài 1: Lập phương trình tham số và tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M(2; 0;–3) và nhận
làm vectơ chỉ phương
(2; 3;5)
a
→
= −
Bài 2: Lập p.trình của đường thẳng d đi qua điểm M(–2; 6; –3) và:
Trang 5a/ Song song với đường thẳng a:
= +
= − −
= − −
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
1 5
1
b/ Lần lượt song song với các trục Ox, Oy, Oz
Bài 3: Lập p.trình tham số và p.trình tổng quát của đường thẳng d:
a/ Đi qua hai điểm A(1; 0; –3), B(3, –1; 0)
5
0 0
b/ Đi qua điểm M(2; 3;–5) và // với đ.thẳng: 3 2 7
⎧
⎨
⎩
Bài 4: Trong mpOxyz cho 3 điểm A(–1; –2; 0) B(2; 1; –1) C(0; 0; 1)
a/ Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng AB
b/ Tính đường cao CH của ΔABC và tính diện tích ΔABC
c/ Tính thể tích hình tứ diện OABC
Bài 5: Viết p.trình tam số, chính tắc, tổng quát của đ.thẳng d biết:
a/ d qua M(2; 0; –1) và có vectơ chỉ phương là (–1; 3; 5)
b/ d qua M(–2; 1; 2) và có vectơ chỉ phương là (0; 0; –3)
c/ d qua M(2; 3; –1) và N(1; 2; 4)
Bài 6: Viết phương trình của đường thẳng d biết:
a/ d qua M(4; 3; 1) và // với đ.thẳng:( x = 1 + 2t; y = –3t; z = 3 + 2t)
b/ d qua M(–2; 3; 1) và song song với đ.thẳng: 2 1
x− = y+ = z+2
c/ d qua M(1; 2; –1) và song song với đ.thẳng: 3 0
x y z
x y z
+ − + =
⎧
⎨
0
− + − =
Bài 7: Viết p.trình tổng quát của đ.thẳng d dưới dạng giao của hai m.phẳng song song với các trục Ox, Oy biết p.trình tham số của d là:
a/
2 2
1 3
4 3
y
= +
⎧
⎪ = − +
⎨
⎪ = − +
⎩
1
2 4
3 2
= − +
⎧
⎪ = −
⎨
⎪ = +
⎩ Bài 8: Viết p.trình chính tắc của đ.thẳng d biết pt tổng quát của nó là:
a/ ⎧⎨2 5 0 b/ ⎧⎨
x y z
x z
− + + =
− + =
⎩
3 0
x y z
x y z
+ − + =
− + − =
⎩ Bài 9: Viết ptrình hình chiếu vuông góc của đt d: 1 2
3
x− = y+ = z−
a/ Trên mpOxy b/ Trên mpOxz c/ Trên mpOyz
Bài 10: Viết ptrình hình chiếu vuông góc của đt d: 2
x y z
x z
5 0
− + + =
⎧
⎨ − + =
⎩ trên mp: x + y + z – 7 = 0
Bài 11: Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau:
a/ Đi qua điểm (–2; 1; 0) và vuông góc với mp: x + 2y – 2z = 0
b/ Đi qua điểm (2; –1; 1) và vuông góc với hai đường thằng:
(d1): 1 0; (d
x y
x z
+ + =
⎧
⎨ − =
0
x y z
+ − =
⎧
⎨ =
⎩
0
0
Bài 12: Cho A(2; 3; 1), B(4; 1; –2), C(6; 3; 7) và D(–5; –4; 8) Viết ptts, chính tắc và tổng quát của:
a/ Đường thẳng BM, với M là trọng tâm của ΔACD
b/ Đường cao AH của tứ diện ABCD
Bài 13: Viết ptct của đ.thẳng d đi qua M(1; 4; –2) và ssong với đ.thẳng: 6 2 2 3
⎧
⎨ − − − =
Bài 14: Viết ptts của đt nằm trong mp(P): x + 3y – z + 4 = 0 và vuông góc với đt d: tại giao điểm của đường thẳng d và mp(P)
2 3
2 0
x z
y z
− − =
⎧
⎨ − =
⎩
0
Trang 6Bài 15: Lập p.trình đường thẳng đi qua điểm (3; 2; 1), vuông góc và cắt đường thẳng: 1
x= =y z+
Bài 16: Lập p.trình đường thẳng đi qua điểm (–4; –5; 3) và cắt cả hai đường thẳng: 1 3
x+ = y+ = z−
2
1 ;
1 5
x− = y+ = z
−
−
Bài 17: Lập ptts của đt d đi qua điểm (0; 0; 1), v.góc với đt: 1 2
x− = y+ = z và cắt đt: 2 0
1 0
x y z x
+ − + =
⎧
⎨ + =
⎩ Bài 18: Cho đ.thẳng d: 1 1
x+ = y− = z−2
0
0 0 0
0 0
0 0
và mp(P): x – y- z – 1 = 0
a/ Tìm ptct của đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; –2), song song với mp(P) và vuông góc với d b/ Gọi N = d ∩ (P) Tìm điểm K trên d sao cho KM = KN
B/ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG
Bài 1: Viết p.trình mặt phẳng đi qua điểm (3; –2; 1) và vuông góc với đường thẳng: 3 2 2 8 0
x y z
⎧
⎨ − + + =
⎩ Bài 2: Lập p.trình các giao tuyến của mp: 5x – 7y + 2z – 3 = 0 với các mặt phẳng tọa độ Tìm giao điểm của mặt phẳng đã cho với các trục tọa độ
Bài 3: Lập phương trình tham số và tổng quát của đương thẳng d:
a/ Đi qua điểm M(2; –3; –5) và ⊥ với mp(α): 6x – 3y – 5z + 2 = 0
b/ Đi qua điểm N(1; 4; –2) và // với các mp : 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và 3x – 5y – 2z – 1 = 0
Bài 4: Lập phương trình tham số và tổng quát của đường thẳng d:
a/ Đi qua hai điểm A(1; –2; 1), B(3; 1; –1)
b/ Đi qua điểm M(1; –1; –3) và ⊥ với mp(α): 2x – 3y + 4z – 5 = 0
c/ Đi qua điểm C(2; 3; –1) và // với đt có p.trình: x y z
x y z
+ − + =
⎧
⎨
⎩
Bài 5: Cho đường thẳng a có p.trình: x z và mp(α) có phương trình: z + 3y – z + 4 = 0
⎧
⎨
⎩
a/ Tìm giao điểm H của a và mp(α)
b/ Lập ptđt Δ nằm trong mp(α), đi qua điểm H và vuông góc với đường thẳng a
Bài 6: Cho đt a: x y z và mp(α): 3x–2y + 3z + 16 = 0
z y z
⎧
⎨
⎩
a/ Tìm giao điểm M của đường thẳng a và mp(α)
b/ Gọi ϕ là góc giữa a và mp(α) Hãy tính sinϕ
c/ Lập pttq của đường thẳng a’, với a’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng a trên mp(α) Bài 7: Cho mp(α) có p.trình: 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và mp(β) có p.trình: 3x – 5y – 2z – 1 = 0
a/ Hãy viết p.trình tham số của đ.thẳng d đi qua điểm M(1; 4; 0) và song song với (α) và (β) b/ Lập phương trình của mp(γ) chứa đường thẳng d và đi qua giao tuyến của hai mp (α) và (β) c/ Lập p.trình của mp(P) đi qua M và vuông góc với (α) và (β)
Bài 8: Cho mp(α) có phương trình: 2x – 3y + 3z – 17 = 0 và hai điểm A(3; –4; 7), B(–5; –14; 17)
a/ Viết p.trình tham số của đ.thẳng d đi qua A và vuông góc với (α)
b/ Hãy tìm trên α một điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến A và B là bé nhất
Bài 9: Cho đường thẳng d có phương trình: 2 6
x y z
− + − =
⎧
⎨
⎩
a/ Hãy tìm giao điểm của đường thẳng a với các mp tọa độ
b/ Hãy tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d
c/ Gọi M là giao điểm của đt a với mp(α) có pt: x + y – z + 12 = 0 Hãy tính tọa độ của M
d/ Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng d và mpα nói trên Hãy tính sinϕ
Bài 10: Trong mpOxyz cho hai đường thẳng Δ và Δ’ có p.trình:
Trang 7Δ :
y
= +
= − −
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
3 2 2
t ; Δ’ : x y
x z
− + =
⎧
⎨
⎩
0
a/ Tìm vectơ chi phương của mỗi đường thẳng và tính góc giữa hai đường thẳng đó
b/ Viết phương trình mp(α) chứa Δ và song song với Δ’
c/ Chứng minh Δ và Δ’ chéo nhau Tính khoảng cách giữa chúng
Bài 11: Viết phương trình mp chứa đường thẳng: 4 0
x y z
x y z
+ + − =
⎧
⎨ − + − =
x− = y− = z−5
Bài 12: Viết ptđt d nằm trong mặt phẳng: y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng:
1
4
y t
z t
= −
⎧
⎪ =
⎨
⎪ =
⎩
;
2
4 2 1
z
= −
⎧
⎪ = +
⎨
⎪ =
⎩
Bài 13: Viết p.trình đ.thẳng song song với đường thẳng:
3 1 5
x t
=
⎧
⎪ = −
⎨
⎪ = +
⎩
và cắt hai đường
thẳng:⎧⎨2 1 0 ;
4 3 0
x y z
x y z
− − + =
− + − =
⎩
7
x− = y+ = z−
Bài 14: Viết ptđt d đi qua điểm (1;–1; 1) và cắt hai đường thẳng: 1 0
2 3 0
x y z
y z
+ + − =
⎧
⎨ + − =
x− = =y z−
− Bài 15: Cho hai đường thẳng:
x+ = y− = z−2; d’: 2 2
x− = y+ = z
− a/ CMR: d và d’ chéo nhau
b/ Viết p.trình đường thẳng vuông góc chung của d và d’
Bài 16: Với giá trị nào của k thì đường thẳng: 2 1
1 0
kx y z
x ky z
0 + − + =
⎧
⎨ − + − =
⎩ nằm trong mpOyz
Bài 17: Cho 3 đt d1: 5 2 ; d
14 3
x t
=
⎧
⎪ = −
⎨
⎪ = −
⎩
2:
1 4 2
1 5
y
= −
⎧
⎪ = +
⎨
⎪ = +
⎩
h
0
; d3: 4 7 0
5 4 35
x y
x z
− − =
⎧
⎨ + − =
⎩ a/ CMR: d1 và d2 chéo nhau
b/ CMR: d1 và d3 cắt nhau Tìm tọa độ giao điểm của chúng
c/ Tìm góc nhọn giữa d1 và d2
d/ Tìm p.trình hai mp (P) // (P’) và lần lượt đi qua d1 và d2
Bài 18: Cho đt d: 5 2 3 5 và ba mp (P): x + y – z – 7 = 0; (Q): 2x – 3y – z –10 = 0;
4 5 15
⎧
⎨ + + + =
⎩
0 0 (R): x + y + 2z – 4 = 0
a/ CMR: d ⊥ (P), d ⊂ (Q), d // (R)
b/ Tìm ptđt qua điểm chung của (P), (Q), (R) và đồng thời cắt d và cắt đường thẳng:
x = y = z
Bài 19: Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau; tìm tọa độ giao điểm; lập p.trình mp chứa hai đ.thẳng đó a/ d1: 1 1
x− = y+ = z−2; d2: 4 5 9 0
3 5 7 0
x y
x z
− − =
⎧
⎨ − + =
b/ d1: 7 0; d
3 4 11
x y z
x y
− − − =
⎧
⎨ − − =
0
1 0
x y z
x y
+ − − =
⎧
⎨ + + =
Trang 8c/ d1:
2 3
3 2
4 6
x t
y t
z t
= −
⎧
⎪ = −
⎨
⎪ = +
⎩
; d2:
5
1 4 20
= +
⎧
⎪ = − −
⎨
⎪ = +
⎩
Bài 20: Chứng minh hai đường thẳng d1và d2 chéo nhau Lập ptđt d vuông góc và cắt hai đường thẳng đó a/ d1: 3 5 ; d
x y
y z
+ − =
⎧
⎨ − − =
⎩
0
0 2: 2 0
x y z
x z
− − =
⎧
⎩ b/ d1: 7 3
x− = y− = z−9
1
1
x− = y− = z−
−
c/ d1: 5 0; d
x y z
x y
+ − + =
⎧
⎨ − + =
1 2 3
= +
⎧
⎪ = − +
⎨
⎪ = −
⎩
d/ d1:
1 2
2 2
z t
= +
⎧
⎪ = −
⎨
⎪ = −
⎩
; d2:
2
5 4 4
x t
z
=
⎧
⎪ = −
⎨
⎩
Bài 21: Cho đt d: 2 4 3 0 và mp(P): 2x – y + 4z + 8 = 0
⎧
⎨ + − + =
0
a/ CMR: d cắt (P) Tìm giao điểm A của chúng
b/ Viết p.trình mp(Q) qua d và vuông góc với (P)
c/ Viết p.trình tham số của giao tuyến giữa (P) và (Q)
d/ Viết p.trình đ.thẳng d’ qua A, vuông góc với d và nằm trong (P)
C/ KHOẢNG CÁCH
Bài 1: Tìm khoảng cách:
a/ Từ điểm A(3; –6; 7) đến mp(β): 4x – 3z –1 = 0
b/ Giữa mp(α): 2x – 2y + z – 1 = 0 và mp(β) :2x – 2y + z + 5 = 0
c/ Từ điểm M(4; 3; 0) đến m.phẳng xác định bởi ba điểm A(1; 3; 0), B(4; –1; 2) và C(3; 0; 1) d/ Từ gốc tọa độ đến mp(β) đi qua P(2; 1; –1) và nhận n (1; 2;3) làm pháp véc tơ
→
= − Bài 2: Tìm khoảng cách từ điểm P(2,3,-1) đến:
a/ Đường thẳng a có phương trình :
y t
= +
=
= − −
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
2
b/ Đường thẳng b có phương trình: 2 2 3 0
⎧
⎨
⎩
Bài 3: Tính khoảng cách từ M(1; –1; 2), N(3; 4; 1); P(–1; 4; 3) đến mp(Q): x + 2y + 2z – 10 = 0
Bài 4: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng:
(P): 2x – y + 4z + 5 = 0 (Q): 3x + 5y – z – 1 = 0
Bài 5: Tính khoảng cách giữa hai mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0; trong đó
A =A’, B = B’, C =C’, D ≠ D’
Bài 6: Trên trục Oz tìm điểm cách đều điểm (2; 3; 4) và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 17 = 0
Bài 7: Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai mp (P): x + y – z + 1 = 0 và (Q): x – y + z – 5 = 0
Bài 8: Tính khoảng cánh từ các điểm M(2; 3; 1) và N(1; –1; 1) đến đường thẳng d: 2 1
1 2
x+ = y− = z+
− Bài 9: Tính k/cách từ điểm M(2; 3; –1) đến đt d: 2 1 0
x y z
+ − − =
⎧
⎨
0
Bài 10: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
x− y+ z−
−
4
1
x+ y+ z
+
Trang 90
4 0
x z
x y
− − =
⎧
⎨− − + =
⎩
x y
y z
+ − =
⎧
⎨ − − =
⎩
c/
1 1 1
z
= +
⎧
⎪ = − −
⎨
⎪ =
⎩
;
2 3
2 3 3
z t
= −
⎧
⎪ = − +
⎨
⎪ =
⎩
Bài 11: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
(P): x + y – z + 5 = 0; (Q): 2x + 2y - 2z + 3 = 0
Bài 12: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:
d1: 2 – x = y – 3 = z; d2:
1 2
2 2
1 2
= −
⎧
⎪ = +
⎨
⎪ = − +
⎩
Bài 13: Tính khoảng cách giữa đường thẳng d song song với mp(P):
d: 2 3 6 10 ; (P): y + 4z + 17 = 0
5 0
x y z
⎧
⎨ + + + =
⎩
0
0
0
Bài 14: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
3 6 0
x y z
x y
− − − =
⎧
⎨ − + =
⎩
y z
+ − =
⎧
⎨ − + − =
⎩ Bài 15: Cho hai đ.thẳng d: 2 3 2 0 và d’:
3 2 0
x y
x z
− − =
⎧
⎨ + + =
⎩
2 1 0
x y
y z
− + =
⎧
⎨ + + =
a/ CMR: d // d’ Tính khoảng cách giữa d và d’
b/ Viết p.trình mặt phẳng (P) chứa d và d’
c/ Tính khoảng cách từ điểm (2; 3; 2) đến (P)
Bài 16: Cho ba điểm A(1; –2; 1), B(–1; 1; 2) và C(2; 1; –2) và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0
a/ Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất
b/ Tìm điểm N thuộc (P) sao cho NA + NC nhỏ nhất
Bài 17: Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) và đường thẳng d có phương trình: 1 2
x+ = y− = z−
−
2
0
a/ CMR: hai đường thẳng AB và d cùng nằm trong một mặt phẳng
b/ Tìm điểm I trên d sao cho IA + IB nhỏ nhất
Bài 18: Cho hai đường thẳng d: 0 ; d’:
4 0
x y
x y z
+ =
⎧
⎨ − + + =
⎩
3 1
2 0
x y
y z
+ − =
⎧
⎨ + − =
a/ CMR: d và d’ chéo nhau
b/ Tính khoảng cách giữa d và d’
c/ Tìm p.trình của đ.thẳng qua I(2;3;1) và cắt cả hai đ.thẳng d và d’
Bài 19: Tìm góc tạo bởi đường thẳng: 3 1
x+ = y− = z−2 với các trục tọa độ
Bài 20: Tìm góc tạo bởi các cặp đường thẳng sau:
a/
1 2 1
3 4
= +
⎧
⎪ = − +
⎨
⎪ = +
⎩
;
2
1 3
4 2
= −
⎧
⎪ = − +
⎨
⎪ = +
⎩
0
x y z
x z
+ − − =
⎧
⎨ + − =
⎩
0
x y z
x y z
− + − =
⎧
⎨ + + =
⎩
x y z
x y z
− + − =
⎧
⎨ − + + =
⎩ Bài 21: Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối của tứ diện có các đỉnh:
A(3; –1; 0), B(0; –7; 3), C(–2; 1; –1) và D(3; 2; 6)
Bài 22: Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết:
Trang 10a/ d: 2 1
3 2
x+ = y− = z−
− ; (P): x + y – z + 2 = 0 b/
1 2
1 3 2
= +
⎧
⎪ = − +
⎨
⎪ = −
⎩
; (P): 2x – y + 2z – 1 = 0
c/ 2 3 1 ; (P): 3x – y + z – 1 = 0
2 0
x y z
x y z
− + − =
⎧
⎨ − − + =
⎩
0
Bài 23: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M(1; –1; 2) trên mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 12 = 0
Bài 24: Tìm điểm đối xứng của điểm M(2; –3; 1) qua mặt phẳng (P): x + 3y – z + 2 = 0
Bài 25: Lập ptđt vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxz và cắt hai đt: 4
3
x t
=
⎧
⎪ = − +
⎨
⎪ = −
⎩
và
1 2 3
4 5
= −
⎧
⎪ = − +
⎨
⎪ = −
⎩
Bài 26: Tìm điểm đ.xứng của điểm M(2; –1; 1) qua đt:
1 2 1 2
z t
= +
⎧
⎪ = − −
⎨
⎪ =
⎩
Bài 27: Viết ptđt đi qua điểm M(0; 1; 1), vuông góc với đt: 1 2
x− = y+ = z và cắt đt: 2 0
1 0
x y z x
+ − + =
⎧
⎨ + =
⎩
E/ HÌNH CHIẾU
Bài 1: Cho hai điểm M(1;1;1), N(3;–2; 5) và mp(P): x + y –2z –6 = 0
a/ Tính khoảng cách từ N đến mp(P)
b/ Tìm hình chiếu vuông góc của M trên mp(P)
c/ Tìm p.trình hình chiếu vuông góc của đ.thẳng MN trên mp(P)
Bài 2: Tìm p.trình hình chiếu vuông góc của đ.thẳng trên m.phẳng:
1
x− y+ z−
= = ; (P): x + 2y + 3z + 4 = 0
b/ 2 3 ; (P): x + 2y + z – 5 = 0
x y
x z
− − =
⎧
⎨ − − =
⎩
0 0
0 Bài 3: Cho điểm M(–1; –1; –1) và đ.thẳng d: 2 1
1 0
x y z
x y z
+ − + =
⎧
⎨ − + − =
⎩ Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên d và trên mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0 Tính HK
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(–1; 2;3), B(0; 4;4), C(2; 0; 3) và D(5; 5; –4)
a/ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của D trên mp(ABC)
b/ Tính thể tích của tứ diện
Bài 5: Cho3điểm A(–1; 2; 3), B(–2; 1; 1) và C(5; 0; 0) Tìm tọa độ hchiếu vuông góc C’ của C trên đt: AB
Bài 6: Cho hai đường thẳng d: 4 và d’:
6 2
x t y
=
⎧
⎪ = +
⎨
⎪ = +
⎩
1
x h
=
⎧
⎪ = − +
⎨
⎪ = − +
⎩
a/ Tìm phương trình đường vuông góc chung của d và d’
b/ Gọi K là hình chiếu của điểm I(1; –1; 1) trên d’ Tìm ptts của đt qua K, vgóc với d và cắt d’ Bài 7: Mp(P): x + 2y + 3z – 6 = 0 cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C
a/ Tìm tọa độ trực tâm, trong tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
b/ Tìm p.trình chính tắc của trục đường tròn (ABC)
Bài 8: Cho hai đ.thẳng d1: 8 23 0
4 10 0
x z
y z
⎧
⎨ − + =
⎩ và d2: 2 3 0
2 2
x z
− − =
⎧
⎨ + + =
a/ Viết p.trình các mp(P), (Q) // với nhau và lần lượt qua d1, d2
b/ Tính khoảng cách giữa d1 và d2
c/ Viết p.trình đ.thẳng d song song với trục Oz và cắt cả d , d