Các phương pháp tính khoảng cách trong không gian hay

Đặc biệt: + Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy + Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc hạ từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của

Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.9

1

A CƠ SỞ LÍ THUYẾT

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm O và đường thẳng  Gọi H là hình chiếu của O trên  Khi đó

khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường

thẳng  Kí hiệu ( , )d O 

* Nhận xét

-  M ,OM d O( , )

- Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  ta có thể

+ Xác định hình chiếu H của O trên  và tính OH

+ Áp dụng công thức

2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm O và mặt phẳng () Gọi H là hình chiếu của O trên () Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt

phẳng () Kí hiệu ( ,( ))d O 

* Nhận xét

-  M ( ), OM d O( ,( ))

- Để tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng () ta có thể sử dụng một trong

các cách sau:

Cách 1 Tính trực tiếp Xác định hình chiếu H của O trên () và tính OH

* Phương pháp chung

- Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với ()

- Tìm giao tuyến  của (P) và ()

- Kẻ OH   ( H) Khi đó ( ,( ))d O  OH Đặc biệt:

+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy

+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc hạ

từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy

+ Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt bên này

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy

Cách 2 Sử dụng công thức thể tích

Thể tích của khối chóp 1 3

3

V

V S h h

S

   Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S

Cách 3 Sử dụng phép trượt đỉnh

Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt đỉnh O trên một đường

thẳng đến một vị trí thuận lợi 'O , ta quy việc tính ( ,( )) d O  về việc tính ( ',( ))d O 

Ta thường sử dụng những kết quả sau:

2

Kết quả 1 Nếu đường thẳng  song song với mặt phẳng () và M, N   thì

( ;( )) ( ;( ))

d M  d N 

Kết quả 2 Nếu đường thẳng  cắt mặt phẳng () tại điểm I và M, N   (M, N

không trùng với I) thì

( ;( )) ( ;( ))



 

Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì ( ;( )) 1 ( ;( ))

2

d M   d N 

nếu I là trung điểm của MN thì ( d M;( )) d N( ;( ))

Cách 4 Sử dụng tính chất của tứ diện vuông

Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O

(OAOB OB, OC OC, OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC) Khi

đó đường cao OH được tính bằng công thức

Cách 5 Sử dụng phương pháp tọa độ

Cơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng các công thức sau:

d M

  với M x y z( ;0 0; )0 , ( ) : AxByCz D 0 ( , ) MA u

d M

u



  với  là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương u

' ' ( , ')

'

u u AA

d

u u



  

 với ' là đường thẳng đi qua A' và có vtcp 'u

Cách 6 Sử dụng phương pháp vectơ

3 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó

Cho điểm đường thẳng  song song với mặt phẳng () Khoảng cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng () là khoảng cách từ một điểm bất kì của  đến mặt phẳng () Kí hiệu ( ,( ))d  

* Nhận xét

-  M ,N( ), MN  d( ,( ))

- Việc tính khoảng cách từ đường thẳng  đến mặt phẳng () được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia Kí hiệu (( );( ))d  

Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.9

3

* Nhận xét

-  M ( ), N( ), MNd(( );( )) 

- Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Đường thẳng  cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b Đường

vuông góc chung  cắt a tại H và cắt b tại K thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng

cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b Kí hiệu ( , ) d a b

* Nhận xét

-  M a N, b MN, d a b( , )

- Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như sau:

+ Tìm H và K từ đó suy ra ( , ) d a b HK

+ Tìm một mặt phẳng (P) chứa a và song song với b Khi đó ( , )d a b d b P( ,( ))

+ Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) lần lượt chứa a và b Khi đó

( , ) (( ),( ))

d a b d P Q

+ Sử dụng phương pháp tọa độ

* Đặc biệt

- Nếu ab thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b, tiếp theo ta tìm giao điểm I của (P) với b Trong mp(P), hạ đường cao IH Khi đó ( , ) d a b IH

- Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung điểm của AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD

4

B CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ

I) Phương pháp tính trực tiếp

Ví dụ 1

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc 0

60

BAD , có

SO vuông góc mặt phẳng (ABCD) và SO = a

a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC)

b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC)

Lời giải

a) Hạ OK BCBCSOK

Trong (SOK) kẻ OH SKOH SBC

d O SBC OH

Ta có ABD đều

2

a

BD a BO

Trong tam giác vuông OBC có:

a OK

OK OB OC  a  

Trong tam giác vuông SOK có:

a OH

OH OS OK  a  

,

4

a

d O SBC OH 

b) Ta có AD/ /BCAD/ /SBC

d AD SBC d E SBC

Kẻ EF / /OH F SK DoOH SBCEF SBC

2

a

Ví dụ 2 (Đề thi Đại học khối A năm 2010)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao

điểm của CN với DM Biết SH vuông góc với

mặt phẳng (ABCD) và SH a 3 Tính khoảng

cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a

Lời giải

Ta có: MAD  NCDADM DCN

MD NC

Do SH ABCDMDSH

M

N

H

K D A

S

K

F

E

D

C B

A

S

H

O

D

B

Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.9

5

MD SHC

Kẻ HKSC K SC

Suy ra HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC nên d DM SC , HK

Ta có:

2

2 5

CD a

HC

CN

2 3 19

HK

SH HC



,

19

a

II) Phương pháp sử dụng công thức tính thể tích

Ví dụ 3

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN)

Phân tích Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC hay

AMNP là dễ dàng Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN) về việc tính thể tích của

các khối chóp nói trên, khoảng cách từ P đến

(AMN) có thể thay bằng khoảng cách từ C

đến (SAB)

Lời giải

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó

SO  (ABCD)

M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB

nên

2

AMN ANS ABS

a

S  S  S 

/ /( )

PC AMN

d P AMN d C AMN

Vậy:

.

V  S d P AMN  S d C AMN

4V C ABS 4V S ABC 4 3S ABC SO

,

ABC

a

S  a SO SA AO  Vậy

3 2

AMNP

( ,( ))

7

PAMN AMN

V

S

P

N M

O B

D

C

A

S

6

Ví dụ 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc

với đáy hình chóp Cho AB = a, SA = a 2 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (AHK)

Phân tích Khối chóp AOHK và ASBD có chung đỉnh, đáy cùng nằm trên một mặt

phẳng nên ta có thể tính được thể tích khối chóp OAHK, hơn nữa tam giác AHK cân

nên ta tính được diện tích của nó

Lời giải

3

OAHK AHK

V  S d O AHK

Trong đó:

a AH

AH AB AS a

6 3

a SAD SAB AK AH

Ta có HK và BD đồng phẳng và cùng vuông góc

với SC nên HK // BD

AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác SAC, G

thuộc HK nên

HK BD

BD  SO     Tam giác AHK cân tai A, G là trung điểm của HK nên AG  HK và 2 2 1 1.2 2

a

AG AI  SC  a

2

AHK

V V d A OHK S d A SBD S h S

Tứ diện ASBD vuông tại A nên:

a h

h  AS  AB  AD  a   Tam giác OHK cân tại O nên có diện tích S bằng

3

2

2 3

;

2

2 2 9

OAHK AHK

a

d O AHK



Cách 2: Ta chứng minh 2

9

OAHK SABD

V  V

O

C A

D

B

S

H

K

J G

I

Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.9

7

HK  BD OG SO

3

AOHK SABD

a

Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ như sau:

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O  A, B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; 0 ; a 2)

Tính SH, SK suy ra tọa độ của H 0;2 ; 2

a a

;0;

a a

 , O 2 2; ;0

a a

Áp dụng công thức 1 ,

6

V  AH AK AO

Cách 4: SC  (AHK) nên chân đường vuông góc hạ từ O xuông (AHK) có thể xác

định được theo phương SC

* AH  SB, AH  BC (do BC  (SAB))  AH  SC

Tương tự AK  SC Vậy SC  (AHK)

* Giả sử (AHK) cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ // SC

 OJ  (AHK)

SA = AC = a 2  SAC cân tại A  I là trung điểm của SC

a

OJ  IC  SC a

III) Phương pháp trượt

Ví dụ 5 (Đề thi Đại học khối B năm 2011)

Cho lăng trụ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 có đáy ABCD là hình chữ nhật ABa AD, a 3

Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của

AC và BD, góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600 Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ

điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a

Phân tích Do B1C // (A1BD) nên ta

trượt đỉnh B1 về vị trí thuận lợi C và

quy việc tính d B 1;A BD1   thành tính

d C A BD

Bài giải

* Gọi O là giao điểm của AC và BD

1

AO ABCD

K

H O

D

C B

A

D1

C1 B1

A1

8

Gọi E là trung điểm AD

1

&

0

A EO

3 tan

2

a

AOOE A EO

2

3

ABCD

3 1

3

2

lt ABCD

a

V  AO S 

* Tính d B 1;A BD : 1  

Cách 1:

Do B1C // (A1BD)

d B A BD d C A BD

Hạ CH BDCH A BD1    1   2 2

;

2

CB CD a

d C A BD CH

CB CD



Cách 2:

1

3

A BD

V

S

Trong đó:

1

3

1

A ABD lt

a

1

2 1

A BD

S  AO BD   a

3

4

;

2 3 2

a a

d B A BD

a



Ví dụ 6

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh bằng a,

3

SAa và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC)

b)Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC)

Phân tích: Do OASBCC, nên thay vì việc tính d O SBC ,  ta đi tính

d A SBC , tương tự như vậy ta có thể quy việc tính d G SAC ,  thông qua việc tính d E SAC ,   hay d B SAC ,  

Lời giải

a) Ta có: OASBCC nên:

Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.9

9

1

2

Gọi H là hình chiếu của A trên SB ta

có: AH SB AH SBC

AH BC







Trong tam giác vuông SAB có:

a AH

AH  SA  AB  a  

a

b) Gọi E là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB

Do EGSABS nên    

d G SAC GS

d G SAC d E SAC

d E SAC  ES   

Ta có: BO AC BO SAC BE; SAC A

BO SA







a

d E SAC d B SAC BO

,

d G SAC

IV) Phương pháp sử dụng tính chất của tứ diện vuông

1 Định nghĩa Tứ diện vuông là tứ diện có một đỉnh mà ba góc phẳng ở đỉnh đó

đều là góc vuông

2 Tính chất Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (OAOB OB, OC OC, OA) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC) Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức

OH  OA OB OC

Chứng minh

Giả sử AHBCD, OH (ABC)OH BC (1)

,

OAOB OAOCOABC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC OD Trong các tam giác

vuông OAD và OBC ta có

,

OH OA OD OD OB OC

Vì vậy

OH OA OB OC

A

B

D H

O

F E

D

C B

A S

10

Mục tiêu của phương pháp này là sử dụng các phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng về việc tính khoảng cách từ đỉnh của tam diện vuông đến mặt huyền của nó và vì vậy áp dụng được tính chất trên

Ví dụ 7 Cho lăng trụ đều ABC A B C có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M, N lần ' ' ' lượt là trung điểm của AA' và BB' Tính khoảng cách giữa B M' và CN

Phân tích Để tính khoảng cách giữa B M' và CN

ta tìm một mặt phẳng chứa CN và song song với

'

B M, tiếp theo ta dùng các phép trượt để quy việc

tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

về việc tính khoảng cách trong tứ diện vuông

Lời giải

Gọi O, D lần lượt là trung điểm của BC và CN thì

OACD là tứ diện vuông tại O AMB N là hình '

bình hành NA/ / 'B M Mặt phẳng (ACN) chứa

CN và song song với B M' nên

d B M CN d B M ACN d B ACN d B ACN  d O ACD  h

Áp dụng tính chất của tứ diện vuông ta được

8 3

a h

h OA OC OD  a   Vậy ( ' , ) 3

4

a

d B M CN 

Ví dụ 8 Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh bằng a Gọi M là trung ' ' ' ' điểm của DD' Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và A D'

Lời giải

Gọi N là trung điểm của BB' thì

'

A NCM là hình bình hành nên

' / /

A N CM Mặt phẳng ( ' A ND )

chứa A D' và song song với CM nên

( , ' ) ( ,( ' ))

( ,( ' )) ( ,( ' ))

d CM A D d CM A ND

d M A ND d M A DE



'

E ABA N Gọi

OADA D G ADAM thì G

là trọng tâm của tam giác ADD' Do

d M A DE GM

d A A DE  GA 

Tứ diện AA DE' vuông tại A nên

( ,( ' ))

3

a

d A A DE

d A A DE  AA  AD  AE  a  

Vậy ( , ' ) ( ,( ' )) 1 ( ,( ' ))

a

d CM A D d M A DE  d A A DE 

D

O

N

M

A'

B'

B C'

O G

E

N M

B

B' A'

C'

D

C D'

A

Thầy Giáo : Hồ Thức Thuận https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.9

11

V) Sử dụng phương pháp tọa độ

* Phương pháp:

Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình đang xét

Bước 2: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ - véc tơ

Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ, rồi chuyển sang ngôn ngữ hình học

Ví dụ 9

Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh bằng 1 Một mặt phẳng   bất kì đi qua đường chéo B’D

a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’)

b) Xác định vị trí của mặt phẳng   sao cho diện tích của thiết diện cắt bởi mp 

và hình lập phương là bé nhất

Phân tích: Với một hình lập phương ta luôn

chọn được một hệ toạ độ thích hợp, khi đó tạo

độ các đỉnh đã biết nên việc tính khoảng cách

giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’) trở nên

dễ dàng Với phần b, ta quy việc tính diện tích

thiết diện về việc tính khoảng cách từ M đến

đường thẳng DB’

Lời giải

Chọn hệ toạ độ sao cho gốc toạ độ

' 0;0;0

OD

' 0;1;0 , ' 1;1;0 , ' 1;0;0 , 0;1;1 , 1;0;1

Gọi M là điểm bất kì trong đoạn thẳng C’D’, tức M x ;0;0 ; 0  x 1

a) Dễ dàng chứng minh được (ACD’) // (A’BC’)

d ACD A BC d A ACD

Mặt phẳng (ACD’) có phương trình: x  y z 0

3

b) Giả sử   cắt (CDD’C’) theo giao tuyến DM, do hình lập phương có các mặt đối diện song song với nhau nên  cắt (ABB’A’) theo giao tuyến B’N//DM và DN//MB’ Vậy thiết diện là hình bình hành DMB’N

Gọi H là hình chiếu của M trên DB’ Khi đó:

DMB N

S DB MH DB d M DB

Ta có: DB' 3

2

( , ')

3 '

d M DB

DB

z

y

x

N

H

M

B' A'

B A

12

2 2

'

DMB N

S  x  x  x   

  Dấu đẳng thức xảy ra khi

1 2

x

Nên diện tích S DMB N' nhỏ nhất khi 1;0;0

2

M 

 , hay M là trung điểm D’C’

Hoàn toàn tương tự nếu   1

2

M y M 

Vậy diện tích S DMB N' nhỏ nhất khi M là trung điểm D’C’ hoặc M là trung điểm D’A’

Ví dụ 10

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SAABCD SA, a Gọi M là điểm di động trên cạnh CD Xác định vị trí của M để khoảng cách từ điểm

S đến BM lớn nhất, nhỏ nhất

Lời giải

Chọn hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz sao cho

0;0;0 , 1;0;0 , 1;1;0 , 0;1;0 ,

0;0;1

S



M là điểm di động trên CD nên M t ;1;0

với 0 t 1

 1;1;0

BM  t

,

d S BM

BM

   Xét hàm số   22

f t

 



   trên [0;1]

'

t

f t

t t



 

Ta có bảng biến thiên:

t  0 1 

f(t)

2

3 2

Từ bảng biến thiên ta có    

0;1

3 min

2

f t  , đạt được khi t = 0

y

x

D

C

B

A z S