Bộ đề thi thử đại học môn thi: Toán (Đề số 11)

Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi d và d’... cộng các BĐT này ta được đpcm...[r]

http://ductam_tp.violet.vn/ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 - NĂM HỌC 2009 - 2010

Môn: TOÁN

Th ời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

PH ẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH

Câu I (2 điểm) Cho hàm số y 2x 3

x 2





 có đồ thị (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)

2 Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất

Câu II (2 điểm)

1 Giải phương trình: 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + 5 = 0

2 Giải phương trình: x2

– 4x - 3 = x 5

Câu III (1 điểm)

Tính tích phân:

1

2 1

dx

   

Câu IV (1 điểm)

Khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SC = a Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất

Câu V ( 1 điểm )

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4

2x y zx 2y zx y 2z

PH ẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn một trong hai phần A hoặc B

A Theo chương trình Chuẩn

C âu VI.a.( 2 điểm )

1 Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0, cạnh bên AB nằm trên đường thẳng : 12x – y – 23 = 0 Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3;1)

2 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) :

x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng :

(d) x 1 3 y z 2

 và (d’)

x 1 2t

y 2 t

z 1 t

 



  



  

 Viết phương trình tham số của đường thẳng (  ) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và (d’) CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng

Câu VIIa ( 1 điểm )

Tính tổng : 0 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 0

S C C C C C C C C C C C C

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b.( 2 điểm )

1 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn :

(C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25

2 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng :

(d)

x t

y 1 2t

z 4 5t





  



  



và (d’)

x t

y 1 2t

z 3t





   



  



a CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau

b Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’)

Câu VIIb.( 1 điểm )

Giải phương trình : log x 3 5 

- Hết -

Cán b ộ coi thi không giải thích gì thêm

http://ductam_tp.violet.vn/ đá p á n đề t h i t h ử đạ i h ọ c l ần 2 nă m h ọ c 2009 - 2010

M ôn thi : t o á n

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

1 1.25đ

Hàm số y = 2x 3

x 2



 có :

- TXĐ : D = R\ { 2}

- Sự biến thiên:

+ ) Giớ i hạ n:

x

Lim y 2

  Do đó ĐTHS nhận đường thẳng y = 2 làm TCN ,

lim y ; lim y

    Do đó ĐTHS nhận đường thẳng x = 2 làm TCĐ

+) Bảng biến thiên:

Ta có : y’ =

 2

1

x 2



 < 0  x D

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ;2 và hàm số không có cực trị

- Đ ồ thị + Giao điểm vớ i trục tung: (0 ; 3

2) + Giao điểm với trục hoành : A(3/2; 0)

- Đ THS nhận điểm (2; 2) làm tâm đối xứng

0,25

0,25

0,25

0,5

I

2.0đ

2 0,75đ

Lấy điểm M m; 2 1

m 2

  C Ta cú :  

 2

1

y ' m

m 2

 

 Tiếp tuyến (d) tại M cú phương trỡnh :

 2 

m 2

m 2



 Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là : A 2; 2 2

m 2

Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là : B(2m – 2 ; 2)

0,25đ

0,25đ

8

6

4

2

-2

-4

y’

y

-





2

-

2

2

Ta cú :  

 

2 2

2

1

m 2



  Dấu “=” xảy ra khi m = 2 Vậy điểm M cần tỡm cú tọa độ là : (2; 2) 0,25đ

1

1,0đ

Phương trỡnh đó cho tương đương với : 2(tanx + 1 – sinx) + 3(cotx + 1 – cosx) = 0

2 sin x cosx cosx.sin x 3 sin x cosx cosx.sin x

0

cosx sin x cosx.sin x 0 cosx sin x



 Xột : sinx + cosx – sinx.cosx = 0 Đặt t = sinx + cosx với t  2; 2 Khi đú phương trỡnh trở thành:

2

2

t 1

2



4



0,25

0,25 0,5

II

2,0đ

2

1,0đ

x2 - 4x + 3 = x 5 (1) TXĐ : D =  5; )

   2

1  x 2  7 x 5

đặt y - 2 = x 5 ,  2

y 2  y 2  x 5

Ta có hệ :

 

 

 

  

2





 

 

2

2

x 2

x y 3 0

y 2

   



     

       

 

 



0,25

0,25

0,5

III

1.0đ 1đ

Ta cú :

1

2 1

dx

   

2x



1

        



1

1 x

2x





 Đặt t 1 x 2   t2 1 x22tdt2xdx

0,5

0,5

Đổi cận : x 1 t 2





 

Vậy I2=

2 2

t dt

0

2 t 1 



 Nên I = 1

IV

2® 1.0®

Gọi  là góc giữa hai mp (SCB) và (ABC)

Ta có :  SCA; BC = AC = a.cos  ; SA = a.sin  Vậy

SABC ABC

V S SA AC.BC.SA a sin cos a sin 1 sin

Xét hàm số : f(x) = x – x3 trên khoảng ( 0; 1)

Ta có : f’(x) = 1 – 3x2   1

f ' x 0 x

3

   

Từ đó ta thấy trên khoảng (0;1) hàm số f(x) liên tục và có một điểm cực trị là điểm cực đại, nên tại đó hàm số đạt GTLN hay

   

x 0;1

Max f x f



  

Vậy MaxVSABC =

3 a

9 3, đạt được khi sin  = 1

3 hay

1 arcsin

3

 

( với 0 <

2



  )

0,25

0,5

V 1.0®

+Ta có :

2x y z 4 2.( xy z)

x y z yx z

x y z zy x

+ Lại có : 1 1 1( 1);

x y4 xy



1 1 1( 1);

y z4 yz



1 1 1( 1);

x z 4 xz

 cộng các BĐT này ta được đpcm

1®

VIa

2®

1

1®

Đường thẳng AC đi qua điểm (3 ; 1) nên có phương trình : a(x – 3) + b( y – 1) = 0 (a2 + b2 0) Góc của nó tạo với BC bằng góc của

AB tạo với BC nên :



5

a b



 9a2 + 100ab – 96b2 = 0

a 12b 8

9

 







 

 Nghiệm a = -12b cho ta đường thẳng song song với AB ( vì điểm ( 3 ; 1) không thuộc AB) nên không phải là cạnh tam giác

Vậy còn lại : 9a = 8b hay a = 8 và b = 9

0,25 0,25

0,25

0,25

C S



Phương trình cần tìm là : 8x + 9y – 33 = 0

2

1®

Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5) Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình :

x 9 t

y 6 8t

z 5 15t

 



  



  

 + Đường thẳng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP u 1;1; 2 

+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP u ' 2;1;1 

Ta có :

 MM '2; 1;3 

1 1 1 2 2 1

MM ' u, u '   2; 1;3 ; ;   8 0

  

Do đó (d) và (d’) chéo nhau (Đpcm) Khi đó :

   

d d , d '

11

u, u '

  

 

0,25

0,25

0,25

0,25

VIIa 1đ

Chọn khai triển :

 5 0 1 2 2 5 5

x 1 C C x C x   C x

 7 0 1 2 2 7 7 0 1 2 2 5 5

Hệ số của x5 trong khai triển của (x + 1)5.(x + 1)7 là :

C C05 57C C15 47C C52 37C C35 27C C45 17C C55 07 Mặt khác : (x + 1)5.(x + 1)7 = (x + 1)12 và hệ số của x5 trong khai triển của (x + 1)12 là : 5

12

C

Từ đó ta có : 0 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 0

C C C C C C C C C C C C = C125 = 792

.0,25

0,25 0,25

0,25

VIb

2đ

1

1đ

Đường tròn (C1) có tâm I1(5 ; -12) bán kính R1 = 15 , Đường tròn (C2) có tâm I2(1 ; 2) bán kính R1 = 5 Nếu đường thẳng Ax + By + C = 0 (A2 + B2  0) là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) thì khoảng cách từ I1 và I2

đến đường thẳng đó lần lượt bằng R1 và R2 , tức là :

 

 

5A 12B C

15 1

A 2B C

5 2









Từ (1) và (2) ta suy ra : | 5A – 12B + C | = 3| A + 2B + C | Hay 5A – 12B + C =  3(A + 2B + C)

TH1 : 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C)  C = A – 9B thay vào (2) : |2A – 7B | = 5 2 2

A B 21A228AB 24B 20

14 10 7

21

 

  Nếu ta chọn B= 21 thì sẽ được A = - 14 10 7, C = 203 10 7

Vậy có hai tiếp tuyến : (- 14 10 7)x + 21y 203 10 7 = 0 TH2 : 5A – 12B + C = -3(A + 2B + C) C 4A 3B

2

  , thay vào (2) ta được : 96A2 + 28AB + 51B2 = 0 Phương trình này vô nghiệm

0,25

0,25

0,25

0,25

2

1®

a) + Đường thẳng (d) đi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP u 1; 2;5 

+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP u ' 1; 2; 3   

Nhận thấy (d) và (d’) có một điểm chung là I 1; 0;3

  hay (d) và (d’) cắt nhau (ĐPCM)

b) Ta lấy v u u ' 15; 2 15; 3 15

u '



Ta đặt : a u v 1 15; 2 2 15;5 3 15

  

b u v 1 15; 2 2 15;5 3 15

  

Khi đó, hai đường phân giác cần tìm là hai đường thẳng đi qua I và lần lượt nhận hai véctơ a, b làm VTCP và chúng có phương trình là :

15

7

   



    



và

15

7

   



    



VIIb 1®

ĐK : x > 0

PT đã cho tương đương với : log5( x + 3) = log2x (1) Đặt t = log2x, suy ra x = 2t

   t  t t

5

     

    (2) Xét hàm số : f(t) =

3

    

   

    f'(t) =

ln 0, 4 3 ln 0, 2 0, t

Suy ra f(t) nghịch biến trên R Lại có : f(1) = 1 nên PT (2) có nghiệm duy nhất t = 1 hay log2x = 1 hay x =2 Vậy nghiệm của PT đã cho là : x = 2

0,25 0,25

0,25

0,25