Tài liệu bồi dưỡng MTBT tự biên soạn

TRƯỜNG THCS NHƠN TÂN GV: Huỳnh Văn RỗDạng 2: Tìm ước, bội của một số Cơ sở: Muốn tìm ước ta chia a cho các số không vượt quá a... Thương A B cho ra kết quả là số thập phân mà không thể

Dạng 1 TÝnh to¸n trªn m¸y kÕt hîp trªn giÊy

Bµi 1: a) Nªu mét ph¬ng ph¸p (kÕt hîp trªn m¸y vµ trªn giÊy) tÝnh chÝnh x¸c kÕt qu¶ cña phÐp tÝnh sau:

10 2 3

Gi¶i: - Dïng m¸y tÝnh, tÝnh mét sè kÕt qu¶:

10 2

1156 3

10 2

111556 3

10 2

11115556 3

10 2

3 lµ sè nguyªn gåm k ch÷ sè 1, (k - 1) ch÷ sè 5, ch÷ sè cuèi cïng lµ 6

TRƯỜNG THCS NHƠN TÂN GV: Huỳnh Văn Rỗ

Dạng 2: Tìm ước, bội của một số

Cơ sở: Muốn tìm ước ta chia a cho các số không vượt quá a

Quy trình: -1 → A

A + 1 → A: a ÷ AMuốn tìm bội ta nhân số đó lần lượt với 0, 1, 2, …

Ví dụ 3: Tìm bội của 206 nhỏ hơn 2006

Ta thực hiện quy trình như trên và chỉ chọn các bội là 0; 206; 412; 618; 824, 1030; 1236; 1442; 1648; 1854

Ví dụ 4: Tìm các bội của 45 nhỏ hơn 2000 và chia hết cho 35

Vì số cần tìm bội của 45 nên có dạng 45A nên ta lập quy trình sau:

màn hình xuất hiện 0 = 0 = 0 nghĩa là 45.0:35 = 0

Ta nhấn tiếp nếu màn hình xuất hiện 45A÷ 35 là số nguyên thì thì trong lần kế tiếp chính là số thỏa mãn điều kiện Vậy ta tìm được 315; 630; 945; 1260; 1575; 1890 khi kết quả lớn hơn 2000 thì dừng lại

Ví dụ 5: Tìm BCNN của 45 mà khi chia cho 41 thì dư 10

Vì số này chia cho 41 dư 10 nên lấy số đó trừ 10 thì chia hết, ta sẽ đưa về dạng bài toán trên:

23 và 25 và 1035 Vậy số đó là 1035

Dạng 3: Xác định một số là số nguyên tố:

* Với nguyên tắc mọi số nguyên tố đều là số lẻ

Và một số không chia hết cho thừa số nguyên tố nào là số nguyên tố

Cách 1: (-1)  A

A + 2  A:(Số cần xđ) ÷ A bấm = cho đến số cần dừng, nếu kết quả không là số nguyên thì

số đó không phải là nguyên tố

Ví dụ 2: Xét xem 10007 nguyên tố hay hợp số?

10007  B

B ÷ 3 =

B ÷ (B ÷ Ans + 2) = … đến điểm dừng

Ví dụ: Xét xem 8191 là số nguyên tố hay hợp số?

Quan sát các kết quả ta thấy đều không nguyên, cho nên khẳng định 8191 là số nguyên tố.

Ví dụ: Xét xem 99 873 là số nguyên tố hay hợp số?

5 Quan sát màn hình thấy có kết quả nguyên là 441, cho nên khẳng định 99 873 là hợp số.

Bài tập: Số nào sau đây là số nguyên tố: 403; 569; 1361; 1363 (ĐS: 569 và 1361)

Dạng 4: Tìm UCLN, BCNN

A Phươ ng pháp gi ả i toán

Bài toán 1: Tìm UCLN và BCNN của hai số nguyên dương A và B (A < B).

B Nếu:

b (a b là các số nguyên dương) thì:

ƯCLN(A, B) = A:a = B;b; BCNN(A, B) = A.b = B.a

2 Thương A

B cho ra kết quả là số thập phân mà không thể đổi về dạng phân số tối giản thì ta làm

B Giả sử số dư đó là R (R là số nguyên dương nhỏ hơn A ) thì:

ƯCLN (B, A) = ƯCLN(A, R) ( Chú ý: ƯCLN (B, A) = ƯCLN(A, B))

Đến đây ta quay về giải bài toán tìm ƯCLN của hai số A và R

Tiếp tục xét thương R

Sau khi tìm được ƯCLN(A, B), ta tìm BCNN(A, B) bằng cách áp dụng đẳng thức:

TRƯỜNG THCS NHƠN TÂN GV: Huỳnh Văn Rỗ

Ta không thể đưa số thập phân này về dạng phân số tối giản được Vậy ta phải dùng phương pháp 2

Thuật toán: 1 Nếu số các chữ số của A không vượt quá 10 Ta làm như sau:

Tìm phần nguyên của thương A : B Gọi phần nguyên đó là N Thì số dư của phép chia A: B ( Kí hiệu

là R) là: R = A – N.B

2 Nếu số các chữ số của A lớn hơn 10 Ta làm như sau:

Giả sử A có dạng: A = A A A A A A1 2 3 10 11 n

Đầu tiên ta tìm số dư của phép chia A A A A1 2 3 10 cho B bằng cách 1 Giả sử số dư này là R1 ( R1 ít hơn 10 chữ số)

Tiếp theo ta tìm số dư cảu phép chia R A A 1 11 12 cho B (R A A 1 11 12 có 10 chữ số) Giả sử số dư này

là R2 Cứ làm như thế cho đến khi ta tìm được số dư của phép chia R A A m n 1- n cho B (R A A m n 1- n

không quá 10 chữ số) Giả sử số dư đó là R Thì R cũng là số dư của phép chia A cho B

Bài toán 2: Tìm số dư của phép chia AN cho số nguyên dương B ( Trong đó A và N cũng là số

nguyên dương)

Thuật toán: Để tìm số dư của phép chia AN cho B ta tìm số R < 0 sao cho: AN º R(modB)

Thì R chính là số dư của phép chia trên

Để giải dạng toán này ta cần có một số kiến thức về quan hệ đồng dư

1 Định nghĩa quan hệ đồng dư

Cho 2 số nguyên A và B Ta nói A có quan hệ đồng dư theo modulo M với B, kí hiệu là

ii A º B(modM); B º C(modM) => A º C(modM)

iv A º B(modM); C º D(modM) => A + C º B + D(modM); A.C º B.D(modM)

v A º B(modM); => AN º B (modM)N

vi M là số nguyên tố và ƯCLN(A,M) = 1 thì: AM 1 - º 1(modM)

vii M là số nguyên tố thì: (A + B)M º AM + B (modM)M

B Ví dụ minh ho ạ

Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 123456789 cho 9876

Giải: Ta có: 123456789:9876 = 125082,8663 => R = 123456789 – 125082.9876 = 855

Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 135792468013579 cho 24680

Giải: Ta tìm số dư của phép chia 1357924680 cho 24680 Kết quả là 6400

Tiếp tục tìm số dư của phép chia 640013579 cho 24680 Kết quả là 11819

Ví dụ 3: Tìm số dư của phép chia 52008 cho 2003

Giải: Vì 2003 là số nguyên tố và ƯCLN (5; 2003) = 1 Nên ta có: 52002 º 1(mod2003) Suy ra:

2002 6 6

5 5 5 (mod2003) 1064(mod2003)

Vậy số dư của phép 52008 cho 2003chia là 1064

2 Tìm số dư của các phép chia sau:

d 51991 + 51999 + 52007 cho 467 e 740 + 1140 + 1940 cho 2000

f 5.19917 + 25311 + 2002 cho 1993

3 Tìm thương và dư của phép chia (320+1) cho (215+1)? (thương là 106 404 số dư là 31 726)

5 Tìm số dư của phép chia a/ 2345678901234 cho 4567 (2203)

TRƯỜNG THCS NHƠN TÂN GV: Huỳnh Văn Rỗ

+ Khởi động chế độ TABLE: MODE 4

+ Trên mày sẽ hiệ f(X) ta nhập hàm: 7 x ANPHA ) (x) (do đây là lũy thừa của 7)

+ Ấn tiếp : = (Syrat) 1 = (End) 9 = (Step) 1 =

Theo trên các số cuối cùng lần lượt là 7, 9, 3, 1 chu kỳ là 4

Mặt khác 2005 = 4x501 + 1 => 72005 có số cuối cùng 7

Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của 42008

Ấn tiếp: = (Syrat) 1 = (End) 9 = (Step) 1 =

Ta được bảng các giá trị và thấy các số cuối lần lượt là 4, 6 chu kỳ là 2

Mà 2008 = 2.1004 => số cuối cúng là 6

Bài 2: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 232005

Vậy chữ số hàng chục của số 232005 là 4 (hai chữ số tận cùng của số 232005 là 43)

Vậy chữ số hàng trăm của số 232005 là số 3 (ba chữ số tận cùng của số 232005 là số 343)

Tìm số mũ của một lũy thừa:

Ví dụ: Tìm số mũ tự nhiên n sao cho: 2n = 64

Ấn tiếp: = (Syrat) 1 = (End) 9 = (Step) 1 =

Máy xuất hiện một bảng, tra bảng thấy x = 6 là giá trị cần tìm

Bài tập: 1/ Tìm a/ Chữ số tận cùng của số 29999 b) Chữ số hàng chục của số 29999

Tính số lẻ thập phân thứ n sau dấu phảy.

Ví dụ 1: Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 của phép chia 17 : 13

Giải: + Thực hiện phép chia 17 : 13 = 1.(307692)

Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kỳ gồm 6 chữ số

Vậy chữ số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là chữ số thứ ba của chu kỳ Đó chính là số 7

Ví dụ 2: Tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 250000 cho 19

Ta cã sè 2 3( 2310 + 4) chia 18 d 8 nªn ch÷ sè thø 2 3( 2310 +4) sau dÊu ph¶y cña A lµ ch÷ sè 7.

Bài tập: Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy khi chia:

Dạng 7: Tính toán cơ bản trên dãy các phép tính cồng kềnh.

Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số:

Kiến thức bổ sung cần nhớ: Cách chuyển đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số.

Nhận xét: Cách đổi chung: Đổi số tuần hoàn sang số thập phân: mỗi chữ số tuần hoàn là 1 số 9

dưới mẫu (nếu sau dấu phảy có một con số thì thêm 1 chữ số 0 bên phải số 9), trên tử lấy nguyên

số trừ phần trước tuần hoàn

99

= 433

Kq: A = 10

TRƯỜNG THCS NHƠN TÂN GV: Huỳnh Văn Rỗ

Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A =23% cña

3

2 2

4 cho C

Ta có A: (x:1,3 + B) = C => x = (A:C – B).1,3 = -20,384

 

6/

73

3/ Phương trình bậc ba:

Ấn MODE MODE 1 > 3 nhập các hệ số a, b, c, d vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím = giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính

Ví dụ: Tìm tất cả các nghiệm gần đúng với 5 chữ số thập phân của phương trình x3 – 5x + 1 = 0

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)

1 0= = -( )5 1= =(x1 = 2, 128419064) (x2 = -2, 33005874) (x3 = 0, 201639675)= =

Dạng 9: Tính tốn với đa thức:

TRƯỜNG THCS NHƠN TÂN GV: Huỳnh Văn Rỗ

1/ Tính giá trị của biểu thức đại số.

Ta có 2 cách tính: Sử dụng cách gán giá trị (phím STO) Hoặc tính trực tiếp bằng nút Ans

VD1: Tính giá trị của biểu thức: 20x2 -11x – 2006 tại

Nhập biểu thức đã cho vào máy: (Ghi kết quả là -1 997)

Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X:

2

Ta có thể sử dụng phím Ans: 1 = 20Ans 2 – 11Ans – 2006 =

VD2: Tính giá trị của biểu thức: x3 - 3xy2 – 2x2y -

Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X:

Làm tương tự với trường hợp c) (Ghi kết quả là -2,736023521)

2/ Tìm dư của 2 đa thức f(x) và g(x) và điều kiện chia hết:

a/ f(x) : g(x) thì tồn tại q(x) và r(x) sao cho f(x) = g(x).q(x) + r(x) Nếu r(x) = 0 thì f(x) chia hết cho g(x)

b/Định lí Bezoul: Giả sử đa thức f(x) là đa thức của biến x và a ∈R trong biểu thức của f(x)

Khi thay x = a thì được một số ký hiệu là f(a) gọi là giá trị của f(x) tại a

Nếu f(a) = 0 thì f(x) có nghiệm là x = a

Định lí Bezoul: Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x – a là hằng số bằng f(a)

VD1: Chia f(x) = x3 + 4x2 - 5 cho g(x) = x – 1 Ta có số dư là f(1) = 13 + 4.12 – 5 = 0

VD2: Chia f(x) = x5 +2x3 – x + 4 cho g(x) = x + 1 Ta có dư f(-1) = (-1)5 +2.(-1)3 – (-1) + 4 = 2

Ví dụ 6: Xác định giá trị k để đa thức f(x) = x4 – 9x3 +21x2 + x + k chia hết cho đa thức

Vậy f(x) chia hết cho g(x) = x2 – x – 2 thì cũng chia hết cho (x – 2)(x + 1)

Áp dụng định lí Bezoul và định nghĩa của phép chia hết ta thay x = -1 hoặc x = 2 vào f(x), ta được f(-1) = 0 ⇔ k = - 30

Ví dụ 7: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) =

b/ Viết lại đa thức P(x) với các hệ số là số nguyên

Giải: Ta có P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25

Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2 Dễ thấy Q(1) = 1, Q(2) = 4, Q(3) = 9, Q(4) = 16, Q(5) = 25

Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x)

Vì hệ số của x5 = 1 nên suy ra Q(x) có dạng: Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x - 5)

TRƯỜNG THCS NHƠN TÂN GV: Huỳnh Văn Rỗ

a) Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003

b) Tính giá trị của m để đa thức P(x) chia hết cho x – 2,5

c) Muốn đa thức P(x) có nghiệm x = 2 thì m có giá trị là bao nhiêu?

9)Cho hai đa thức: P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n

a) Tìm giá trị của m và n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2

b)Xét đa thức R(x) = P(x) – Q(x), với giá trị m, n vừa tìm được Hãy chứng tỏ rằng đa thức R(x) chỉ có một nghiệm duy nhất

KQ: a/ m = -46, n = -40b) Ta có R(x) = P(x) – Q(x) = x3 – x2 + x – 6

Vì P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – 2 nên R(x) = P(x) – Q(x) cũng chia hết cho x – 2

Suy ra R(x) chỉ có duy nhất một nghiệm x = 2

10/ Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m

a)Với điều kiện nào của m thì đa thức P(x) chia hết cho 2x + 3

b)Với m tìm được ở câu a Hãy tìm số dư r khi chia đa thức P(x) cho 3x – 2

c)Với m tìm được ở câu a Hãy p.tích đa thức P(x) ra tích của các thừa số bậc 1

d)Tìm m và n để hai đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m và Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n cùng chia hết cho x - 2

e)Với n tìm được ở câu trên, hãy phân tích của các thừa số bậc nhất

11/ Cho đa thức Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q và cho biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) =

3/ Tìm thương của phép chia đa thức:Trong trường hợp chia một đa thức Pn(x) cho một nhị thức

x – m ta có thể sử dụng thuật toán Hoocne như sau:

Giả sử khi chia đa thức Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 cho nhị thức x – m ta được đa thức Qn(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + … + b1x + b0 thì giữa các hệ số an , an-1 , an-2 , …, a1 , a0 và

bn-1 , bn-2 , b1, b0 có mối quan hệ sau đây:

bn-1 = an

Vậy đa thức thương Q(x) 2x= 3 −4x2 +5x 6− và số dư r = 7

Ví dụ 2: Tìm thương và số dư của đa thức f(x) 3x= 4 +5x3 −4x2 +2x 7− chia cho g(x) 4x 5= −

683

87256

256.Bài tập:

1/ Tìm số dư và đa thức thương của các phép chia f(x) cho g(x) sau:

Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử.

Cơ sở: “Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có 2 nghiệm là x1, x2 thì nó viết được dưới dạng ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)”

“Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+ + a1x + a0 có nghiệm hữu tỷ pq thì p là ước của a0, q là ước của a0”

Đặc biệt: “Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+ + a1x + a0 có a1 = 1 thì nghiệm hữu tỷ là ước của

a0”

Nếu đa thức f(x) có nghiệm là a thì đa thức f(x) chia hết cho (x – a)

Ví dụ 1: Phân tích đa thức f(x) = x2 + x - 6 thành nhân tử?

Dùng chức năng giải phương trình bậc hai cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy

có 2 nghiệm là x1 = 2; x2 = -3

Khi đó ta viết được: x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3)

Ví dụ 2: Phân tích đa thức f(x) = x3 + 3x2 - 13 x - 15 thành nhân tử?

Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có

3 nghiệm là x1 = 3; x2 = -5; x3 = -1

Khi đó ta viết được: x3 + 3x2 - 13 x - 15 = 1.(x - 3)(x + 5)(x + 1)

Ví dụ 3: Phân tích đa thức f(x) = x3 - 5x2 + 11 x - 10 thành nhân tử?

Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có

1 nghiệm thực là x1 = 2

Nên ta biết được đa thức x3 - 5x2 + 11 x - 10 chia hết cho (x - 2).

Sử dụng sơ đồ Hoocner để chia x3 - 5x2 + 11 x - 10 cho (x - 2) ta có:

Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x – 2)

Khi đó ta có f(x) = (x - 2)(x2 - 3x + 5)

TRƯỜNG THCS NHƠN TÂN GV: Huỳnh Văn Rỗ

Tam thức bậc hai x2 - 3x + 5 vụ nghiệm nờn khụng phõn tớch thành nhõn tử được nữa.

Vậy x3 - 5x2 + 11 x - 10 = ( x - 2)(x2 - 3x + 5)

Vớ dụ 4: Phõn tớch đa thức f(x) = x5 + 5x4 – 3x3 – x2 +58x - 60 thành nhõn tử?

Nhận xột: Nghiệm nguyờn của đa thức đó cho là Ư(60).

Ta cú Ư(60) = {±1;±2;±3;±4;±5;±6;±10;±12;±15;±20;±30;±60}

Lập quy trỡnh để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức:

Do vậy ta biết x = -3 là một nghiệm của đa thức đó cho, nờn f(x) chia hết cho (x + 3) Khi đú bài toỏn trớ về tỡm thương của phộp chia đa thức f(x) cho (x - 3)

Khi đú ta cú f(x) = (x + 3)(x4 + 2x3 - 9x2 + 26x - 20)

* Ta lại xột đa thức g(x) = x4 + 2x3 - 9x2 + 26x - 20

Nghiệm nguyờn là ước của 20

Dựng mỏy ta tỡm được Ư(20) = {±1;±2;±4;±5;±10;±20}

Lập quy trỡnh để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức g(x):

Do vậy ta biết x = -5 là một nghiệm của đa thức đó cho, nờn f(x) chia hết cho (x + 5) Khi đú bài toỏn trớ về tỡm thương của phộp chia đa thức f(x) cho (x+5)

Khi đú ta cú g(x) = (x + 5)(x3 - 3x2 + 6x - 4)

Tiếp tục dựng chức năng giải phương trỡnh bậc 3 để tỡm nghiệm nguyờn của h(x) = x3 - 3x2 + 6x - 4

Kết quả, là đa thức h(x) cú nghiệm là x = 1 nờn chia h(x) cho (x-1) ta được: h(x) = (x - 1)(x2 - 2x + 4) Ta thấy đa thức (x2 - 2x + 4) vụ nghiệm nờn khụng thể phõn tớch thành nhõn tử

Bài 2: Tìm các giá trị của m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + 5 + m chia hết cho Q(x) = 3x +2

Bài 3: Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + 5 + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7 + n Tìm m, n để hai đa thức

1x2

a) Tỡm biểu thức thương Q(x) khi chia P(x) cho x – 5

b) Tỡm số dư của phộp chia P(x) cho x – 5 chớnh xỏc đến 3 chữ số thập phõn

Bài 6: Xỏc định cỏc hệ số a, b, c của đa thức:

P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để sao cho P(x) chia cho (x – 13) cú số dư là 1, chia cho (x – 3) cú số

dư là là 2, và chia cho (x – 14) cú số dư là 3

(Kết quả lấy với hai chữ số ở hàng thập phõn)

Dạng 10: Toỏn liờn phõn số

Vớ dụ 1: Biểu diễn A ra dạng phõn số thường và số thập phõn:

+ =+ =

+ =

-1 -1

-1

Ấn 3 = ấn x 5 2ấn tiếp x 4 2

ấn đến x 5 3

233Máy hiện 4 ; Ấn S <=> D kết quả 4,609947644

64

1cứ bấm tiếp tục đến khi máy hiện 7

9thì cho ta kết quả a = 7; b = 9

Bài tập:

1/ Biểu diễn B ra phân số

= +

+++

1

ab

4/ TÝnh C =

15

11

13

114

− +

+++

13

18

1ab

= +

+++++

(a = 2 ; b = 7)

5

A 3

42

52

42

523

= +

+

+++

1

1051 3

15

1ab

=

+

++