Đề cương ôn thi học sinh giỏi toán 9 phần số học

Gi¸o viªn : NguyÔn M¹nh Hïng Trường THCS Thanh Thuỷ- Phú Thọ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HSG TOÁN 9 PHẦN SỐ HỌC A.. Gọi m là tổng các hệ số ứng với lũy thừa bậc chẵn của x và n là tổng các hệ số ứng[r]

Giáo viên : Nguyễn Mạnh Hùng Trường THCS Thanh Thuỷ- Phú Thọ

ĐỀ CƯƠNG ễN THI HSG TOÁN 9

PHẦN SỐ HỌC

A PHẫP CHIA HẾT TRấN Z

Bài 2: Cho P = (a + b)(b + c)(c + a) + abc %& a,b,c Z

  minh  )* (a + b + c) 4 thỡ P 4 

Bài 3:

3 3 3

x  y  z     x y z 2005

n  2003n  2005  1

k  2k  15  k 3 

Bài 6: Tỡm

Bài 7: Cho =   f(x) =  22006

1 x   x

cỏc

Bài 8:

-N f(2) = 1945, f(9) = 2009

Bài 9: Cho n Z CMR: 4 3 2

n  14n  71n  154n 120 24  

Bài 10: CMR: S = 2 khụng chia ) cho 49 %&

Bài 11: CMR: A = n n  n n n %&

5 5   1 6 3  2  91   n N

n

N, n 1.CMR : T 1 2 n

Bài 13: Cho   * và   món

1 2 n

a , a , , a   1; 1 , n  N a a1 2 a a2 3 a a3 4  a an 1 0

CMR: n 4 

Bài 14: CMR %&   n Z, n  1 ta cú: n 2  2

(n  5n  11n 5) n 1   

Bài 15: Cho x,y,z là cỏc

thỡ M

x  yz  a, y  xz  b, z  xy  c ax  by cz    a   b c

Bài 17: CMR: 321224  68 1 1930

Bài 18: Tỡm 3 8   3 6 3 2004 cho 91

B SỐ NGUYấN TỐ, SỐ CHÍNH PHƯƠNG

n  N

CMR: A + B + 1 là m

Bài 3: CMR %& * thỡ 3m khụng

 

m = 1.3 +2.4 + 3.5 +…+ n(n + 2)

Bài 4: Tỡm n  N => 3 2 là

n  4n  4n 1 

Bài 5: Tìm n  N => n 4  6n 3  11n 2  6n là

Bài 6:

CMR: b = c + 1 và a < c

2 2 2

a  b  c

Bài 7: Cho a, b  N   mãn : 2 2 =B* là các

2a   a 3b  b CMR : a  b và 2a  2b 1 

Bài 8: Tìm n  Z => 4 3 2 là

n  2n  2n   n 7

1 p p    p  p

Bài 10: Cho *, 2n + 1 và 3n + 1 là các

Bài 11: Tìm n  N => 6 4 3 2 là

A  n  n  2n  2n

Bài 12: Cho *, n + 1 và 2n + 1 là các

Bài 13: Tìm các

4 3 2

x  2x  2x   x 3

Bài 14: Tìm 2 + 1 và 6p2 + 1 là các

Bài 15: Tìm n * sao cho x = 2003 + 2n và y = 2005 + 3n

N



chính  

2  2  2

Bài 2: Tìm  N( nguyên G phng trình: y 2   2 x 6  x y 32 3  

Bài 3: Xác =b giá b G a => phng trình 12 a 12 có  N( nguyên

1

x  xy  y 

dng

Bài 4: Tìm  N( nguyên G phng trình: 2 2

2x  2y  2xy    x y 10  0

x  y  z  4p  1

Luôn có  N( nguyên @ x , y , z 0 0 0

Bài 6: Tìm : ; các  N( nguyên (x,y) G   trình:

 2  2  3

x  y x  y  x  y

Bài 7: Tìm  N( nguyên @ G phng trình:

2 3 3 2  

x  y z  y z  xy 1 2z 

Bài 8: Tìm  N( nguyên G phng trình: 3 3

x  y  xy 8 

Bài 9: Tìm  N( nguyên G phng trình: x  x  y

Bài 10: Tìm  N( nguyên @ G phng trình:

   3  3 2

x x  y  y  2xy z  y z  0

Bài 11: Tìm  N( nguyên G phng trình:

   x 2 

2x 5y 1 2     y x  x  105

Bài 12: Tìm

Bài 13: Tìm  N( nguyên @ G phng trình: x + y + z = xyz

Bài 14: Tìm  N( nguyên G phng trình: 2  2 4  4

x  x 1   y  y 1 

Bài 15: Tìm  N( nguyên G phng trình: x 3  3y 3  9z 3  0.

Bài 16: Tìm  N( nguyên G phng trình: 2 2 2

2xy     x y 1 x  2y  xy

Bài 17: Tìm  N( nguyên G phng trình: 2 2 2 2

x  xy  y  x y

Bài 18: Tìm  N( nguyên G phng trình: 2 2 2 2

8x y  x  y  10xy

Bài 19: Tìm  N( nguyên G phng trình: 2 3 3

1 x   x  x  y

Bài 20: Tìm  N( nguyên @ G phng trình: 2(y + z) = x( yz – 1) Bài 21: Tìm  N( nguyên @ G phng trình:  2   

x x    x 1 4y y 1 

Bài 22: K;   trình  N( nguyên: 4 3 2 2

x  x  x   x y  y

Bài 23: Tìm  N( nguyên G phng trình: 4 2

x  2y  1

Bài 24: Tìm  N( nguyên G phng trình:    2 2

7 x  y  3 x  xy  y

D PHẦN NGUYÊN CỦA MỘT SỐ

Bài 1: Cho a,b,c,d là các

A 2a b c 2b c d 2c d a 2d a b

Bài 2: Tính  d nguyên G >*   A  n n 1 n    2 n 3 vói n    N

Bài 3: CMR 1    

2

Áp @f tính M x 1 x 2 x 100121000 %& x = 2008

       

44  1975

Bài 5: Cho n N, CMR: a)  4n 1    4n2 

b) 3 72n 1    3 9n 3 9n 1    3 72n7 

5 3 3

HƯỚNG DẪN

A PHÉP CHIA HẾT TRÊN Z

Bài 1: M

nguyên lý

khi chia cho 3, do

cho 3  P 3 

9 < ta D có P 4 

Mà (3;4) = 1 và 3.4 = 12 nên P 12 

Bài 2: Ta có 3P =  3  3 3 3 

a   b c  a  b   c 3abc

  3   2 2 2 

Vì a,b,c Z và a   b c 4 nên 3P 4   P 4  (vì (3;4) = 1)

Bài 3: Ta có x 3  y 3  z 3     x y z 2005

x x y y z z 2005

x x 1 x 1 y y 1 y 1 z z 1 z 1 2005

Mà x x 1 x 1     y y 1 y 1     z z 1 z 1     3, 2005 không chia ) cho 3

=(



Bài 4:

n  2003n  n   n 2004n  n 1 n n 1    2004n  n  2003n 3 2 

T[ khác 2005  2005 chia cho 3 @ 2 (3)

2005   1 2004 1   1

Bài 5: k 0;3

Bài 6: K; _ n + 600 = a4 và n – 9 = b4 (a,b nguyên @"

 2 2 2 2

a b a b 1.609 3.203 7.87 21.29

pq  :2 a>b nên ta có 4 s t 4u2 ra 9E =Z tìm =t n = 25. 1

Bài 7: Ta có f(x) = 4012 4011

a x  a x   a x  a ; a  Z, i  0,1, 2, , 4012

Khi =Z f(1) = m + n = 32006; f(-1) = m – n = 1 32006 1 32006 1 m CP n

 O

Bài 8: K; _ f(x) = n n 1

a x  a x    a x  a

Suy ra f(9) – f(2) 7  W  2006 – 1945 = 61 không chia ) cho 7 không / 

0 =   f(x)   mãn =B* -N =B bài

Bài 9: Ta có A = n  2 n 3 n    4 n 5 24  

Bài 10: K; _   n N / S 49   S 7 

c0 có S =  2     2  

n  4n   4 7 n 6   n  2  7 n 6 7     n 2 7    n 7t  2

Thay vào S ta có: S =  2  không chia ) cho 49 mâu  *n =(

Bài 11:   minh A 7 và A 13  

Bài 12: Ta có 2Sn = n(n + 1)

T[ khác a n  b n a  b  n N * và n CP ta có:

         

5

n

5

n





Mà (n, n+1) = 1  2T n n 1 n     2T 2S n  n  T S n  n

Bài 13: k[ x 1  a a , x 1 2 2  a a , , x 2 3 n  a a n 1  x x , , x 1, 2 n   1; 1

Q ^ x1 x2  xn  0nên trong các x x , , x1, 2 n thì

m  N

 O

n 2m và x x x 1 a a a 1 m

=(

 *

Bài 14: Ta có n 2 n  2

n  5n  11n 5   n   n 5 n 1 

Mà

2

n 2 n 3

 2

n 2

Bài 16: Ta có

2m 2n 1 mn 2m 2n 1 k.mn k N k, m, n

c0 có: m 1; n    1 m 1 n 1        0 m n mn 1 

 2m  2n 1 2mn 3     5mn 2 

9E (1) và (2)     k 5 k 1;3;5

Bài 17: k[ A = 21 24 8    7 3 8 3 8 8

3 2   6 1 3  2 3 2 1 =    3 3  3       

 7 8 

Bài 18: Ta có

     

6

3 1 729 1 728 91



2 6   6   6 334  chia cho 91 @ 11

B SỐ NGUYÊN TỐ, SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài 1: 9< làm

Bài 2: 9< làm

Bài 3: Ta có  2   2   2    2 

m  2   1 3   1 4    1 n 1   1

2 2 2   2 (1)

Mà 2 2 2 2 n n 1 2n 1  (2)

6

Thay (2) vào (1) ta =t

3

 3

3 9 2 7

  trình này không có  N( nguyên @ nên ta có =(

Bài 4: Ta có A =    3 , E =Z tìm =t n = 3

n 1 n   3n 1 

Bài 5: Ta có A = 4 3 2 =

n  6n  11n  6n  2  2 2 

W)* n > 0 ta có :  2 2  2 2 không

mF2 n = 0 là giá b d tìm

Bài 6: Ta có 2   

a  b c b c         0 0 b c b c

a  1.a    b c 1và b c   a

+ 9E b – c = 1   b c 1 2 CP

hay

a  2a 1 4    a  2a  3

mF2 2a 1 2a     3 a 2  2c 1     a c =(

Bài 7: Theo bài ra 2 2

a b 2a 2b 1 b

Q ^ a  b; 2a  2b 1     1 a b và 2a  2b 1 

Bài 8: K; _ A = 2  2  2 2 

Ta có  2 2 2  2 2 2  2 2

9E =Z tìm =t n = 2 và n = -3

Bài 9: K; _ 2 3 4

1 p p    p  p 2 *

T[ khác: 2  2 4 2 3 2  2 2

 2  2  2  2  2

vì p là

Bài 10: k[ 2  Vì 2n + 1 CP nên k CP

2n 1   k k  Z

 O CP

n

9E (2)   n 8(3)

Ta C0 có 5n  3n  2n  4x x 1   4t t 1   4 x x 1     t t 1  5

         

x x 1 t t 1 5 x x 1 5 và t t 1 5 n 5 4

9E (3) và (4)   n 40

Bài 11: 6 4 3 2

A  n  n  2n  2n 2  2 2 

m& n = 0   A 0 là

m& n = 1   A 4 là

m& n > 1  A là  2 là

W    2 2 2 (vì n > 1) không là

mF2 n = 0; n = 1 là các giá b d tìm

a 1   n ; 2a 1   m m, n  N

2

2a 1   m 2a m 1 m 1 4      a  n   a n 1 n 1    

tích hai a 8 1   

T[ khác 3a   2 n 2  m 2  n và m 2 2 chia cho 3 @ 1, do =Z n 2   1 3 hay a 3 2   

9E (1) và (2) suy ra =(

Bài 13: k[ 4 3 2

x  2x  2x   x 3 2   

Ta  :2 2  4 3 2  2   2  2 2 

Ta x   minh 2 2  2  2 

a  y  a  2 a  x  x

9 F %F2 2 2 2 1 2 11

mF2 2 2  2 nên

x  2x  2x   x 3

 2

Bài 14: Ta  :2 p = 2 và p = 3 không   mãn bài toán

K; _ p  5k  r, k  Z và r 0;1; 2;3; 4

6p   1 150k  60kr  6r  1

+ W)* 2 không chia ) cho 5

r   0 p 5; 4p   1 2

và 6p  1

+ W)* 2 không chia ) cho 5

r   1 4p   1 5 2

và 6p  1

+ W)* 2 không chia ) cho 5

r   2 6p   1 5 2

và 4p  1

+ W)* r   3 6p 2   1 5 và 4p 2  1 không chia ) cho 5

+ W)* r   4 4p 2   1 5 và 6p 2  1 không chia ) cho 5

có

p, 4p  1, 6p  1

Do p > 3 nên 2 2

4p   1 5, 6p   1 5

mF2 => 2 2 nguyên , mà p là

4p   1 101 và 6p   1 151

Bài 15: K; _ 2n  2003  a và 3n 2  2005  b 2 a, b  N *

Khi =Z 2 2   CP

3a  2b  1991 1  a

k[ a  2k 1 k    N  ) vào (1) ta có :

2b  3.4k k 1   1996  3.4k k 1   2.1000 4   b  2 mod 4

kB* này không 4;2 ra dù b  O hay CP mF2 không / 0 * t/m =B bài

n  N

C PH ƯƠNG TRÌNH NGHIỆM MGUYÊN

2  2  2

9E x y z

9 < ta D có y  z

9E (1) ta C0 có x z y z  

z x z y

 

k[ z x z y thì (2) z thành:

1 a, b N

a 1 b 1  1 a 2; b 2

z x

z y





   

c:2  * thì y = m và z = m + 1

x  m m  N

Thay x = m, y = m, z = m + 1 vào (1) ta

(x, y, z) = (m, m, m + 1)

Bài 2: Tìm  N( nguyên G phng trình: 2  6 3 

y   2 x  x y 32 

Ta có 2  6 3 

y   2 x  x y 32  6  6 3 2   2 3 3 2

Vì 2 và 64  h =t phân tích thành: 64 = nên ta có :

4  0  0  8

x 2  4 và x 3     y 0 x 2, y  8 x   2, y   8

 2

mF2   trình có 4  N(

Bài 3: Xác =b giá b G a => phng trình 12 a 12   có  N(

1 1

x  xy  y 

nguyên dng

K; _ (x,y) là  N( nguyên @ G PT (1) k[ d = {cW 42"

%&

x dx ; y dy

   x , y 1 1 1

Ta có (1)  y 2  axy  x 2  x y 2 2  y y ax   x 2y 2  1

Vì x , y 1 1 1 nên 2 2 là & G 1

d y  1 y   y

Mà y nguyên @ nên y1 = 1 1 x  1 x1    1 x y

Thay x = y vào (1) ta =t 2 (1) có  N( nguyên @ khi a + 2 là

a   2 x 

Bài 4: Tìm  N( nguyên G phng trình: 2x 2  2y 2  2xy    x y 10  0 1  k[ s   x y, p  xythì (1) z thành: 2 1 2 

6

T[ khác  2  2 2 s

4

Mà p    Z s 2 9E (*) suy ra s    4; 2; 0; 2

Xét E s t ta tìm =t 4  N( nguyên là:   1; 3 ,   3; 1 , 0; 2 , 2; 0    

x  y  z  4p  1

luôn có  N( nguyên @ x , y , z 0 0 0

Vì p là

 W)* p chia cho 3 @ 1  *

p 3k 1 k N

Ta có 2  2   2  2 2

4p   1 4 3k 1    1 2k  4k 1   4k  2

Do =Z x , y , z 0 0 0 là (H hoán %b G 2k, 4k+1, 4k+2

 W)* p chia cho 3 @ 2  *

p 3k 2 k N

Ta có 2  2   2  2 2

4p   1 4 3k  2   1 2k  2  4k  2  4k 3 

Do =Z x , y , z 0 0 0 là (H hoán %b G 2k+2, 4k+2, 4k+3

mF2 trong (L s t PT =6 cho luôn có  N( nguyên @ x , y , z 0 0 0 Bài 6: Tìm : ; các  N( nguyên (x,y) G   trình:

 2  2    3

x  y x  y  x  y 1

Ta có   3 2 2 3 3 3 2 2

1  x  x y  xy  y  x  y  3x y 3xy 

2 2 3 2 2  2  2   2   

 W)* y = 0 thì   2 3 luôn =y

 W)* y  0, khi =Z  *  2  2   2  

2y  x  3x y  x 3x   0 2

Xem (2) là PT F hai u y k> (2) có  N( nguyên thì :

Ta có  2  2 2

x x 8 x 1

là

   x x 8   a 2a  N  x   4 ax   4 a 16.

Vì x   4 a  x   4 a nên ta có 6 s t 4;2 ra 9E =Z tìm =t các

 N( nguyên (x,y) G PT =6 cho là:

%&

9; 6 , 9; 21 , 8; 10 ,           1; 1 , m; 0   m  Z

Bài 7: Tìm  N( nguyên @ G phng trình:

2 3 3 2  

x  y z  y z  xy 1 2z 

Ta có 2 3 3 2  

x  y z  y z  xy 1 2z  2   3   

x y 1 2z x zy z 1 0 1

x 0; x y 1 4z 1 z 1 y  

y  2 và y, z  N    x 0  1

 W)* y = 1 thì   2     PT này có 2  N(

là x1 z; x2   z 1

mF2  N( nguyên @ G PT (1) là (x,y,z) = (z;1;z), (z+1;1;z) %& z *

N



Bài 8: Tìm  N( nguyên G phng trình: 3 3  

x  y  xy 8 1 

pq  :2 x  y vì )* x = y thì (1) z thành 2 , vô  N(

0  x  8

x, y  Z nên x    y 1 x  xy  y  xy 8   2 2  

x  xy  y  xy 8 2 

Xét 2 s t

* xy 8   0 khi =Z   2 2  2 , vô  N(

2  x  xy  y     xy 8 x  y   8

* xy 8   0 khi =Z   2 2 2 2 2 2  

2  x  xy  y  xy 8   x  y   8 x , y  0;1; 4

- W)* x = 0 thì E (1) có 3

y      8 y 2

- W)* y = 0 thì E (1) có 3

x    8 x 2

- W)* x,y =B* khác 0 thì 2 2   Do nên  h có

x  1, y  4

trong 2

x  4, y   1

còn VP G (1)  O nên PT vô  N(

mF2  N( G PT =6 cho là   x, y  0; 2 , 2; 0    

Bài 9: Tìm  N( nguyên G phng trình: x  x  y

kv : x  0

 m& x = 0 thì y = 0 suy ra (0;0) là (H  N( G PT

 m& x > 0 thì y > 0 Bình   2 %) G PT ta =t

x  x  y  x  y   x 0

k[  *   2 W 

k  k k 1   k 1   k  y  k 1 

     

mF2 PT =6 cho có  N( nguyên duy  : (0;0)

Bài 10: Tìm  N( nguyên @ G phng trình:

   3  3 2

x x  y  y  2xy z  y z  0

Ta có    3  3 2

x x  y  y  2xy z  y z  0  2   3 2 3 2 2 2

y 2    2 y2 

k> (x,y,z) là  N( G (1) thì y2 2   

y z z 1 y 1 y 1

2

mF2 PT có  N( nguyên @ là: (x = n, y = 1, z = n) %& *

n  N

và (x = k, y = 1, z = k – 1) %& k  N , k *  1.

Bài 11: Tìm  N( nguyên G phng trình:

   x 2 

2x 5y 1 2     y x  x  105

Vì 105 là 2    O nên CP

2

 

m& x = 0 ta có PT: 5y 1 y 1     5.21 do 5y 1, 5   1nên 5y 1   21và y 1 5  

5y 1    21và y 1    5.Suy ra y  4

9 _ C0 ta  :2 x = 0, y = 4 là  N( G PT

Bài 12: Tìm

HD: K; _ x  y ta có: p(x + y) = xy

Bài 13: Tìm  N( nguyên @ G phng trình: x + y + z = xyz (1)

K; _ 1    x y z 9E (1) suy ra: 2

2

xy yz zx x

m& x = 1 ta có: 1 y z    yz y 1 z 1        2 y 1 1và z 1   2   y 2, z  3

mF2  N( G PT là (1,2,3) và các hoán %b G nó

Bài 14: Tìm  N( nguyên G phng trình: 2  2 4    4

x  x 1   y  y 1  1

1  x   x y  2y  3y  2y  x   x y y 1   2y y 1 

 2  2 2 

 W)* x > 0 thì E 2 2  2 2 không

x    1 x x  x 1   x   x 1

  nên (2) không có  N( nguyên

 W)* x < -1 thì E  2 2 2 D suy ra (2) không có  N(

x 1   x    x 1 x

nguyên

y       y 1 1 y 0 y   1

mF2 PT có 4  N( nguyên   0; 0 , 0; 1 ,    1; 0 ,   1; 1 

Bài 15: Tìm  N( nguyên G phng trình: 3 3 3  

x  3y  9z  0 1

K; _ x , y , z 0 0 0 là  N( G PT, khi =Z ta có: 3 3 3  

x  3y  9z  0 2  x 30

k[ x 0  3x x 1 1  Z thay vào (2) ta =t 3 3 3  

3x  y  3z  0 3   y 3

k[ y 0  3y y 1 1  Z thay vào (3) ta =t 3 3 3  

3x  9y  z  0 4   z 3

k[ z 0  3z z 1 1  Z thay vào (4) ta =t 3 3 3 0 0 0 D là

 N( G PT (1) TH cách M quát ta suy ra 0 0 0 D là  N(

n n n

, ,

G PT (1) %&   n N, hay n do =Z

0 0 0

x , y , z 3    n N x0  y0  z0  0

mF2 (0;0;0) là  N( duy  : G PT =6 cho

Bài 16: Tìm  N( nguyên G phng trình: 2 2 2

2xy     x y 1 x  2y  xy

2xy     x y 1 x  2y  xy

Suy f (9) – f(2)  W  2006 – 194 5 = 61 không chia ) cho không / 

0 =   f(x)   mãn =B* -N =B

Bài 9: Ta có A = n... 6 334  chia cho 91 @ 11

B SỐ NGUYÊN TỐ, SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài 1: 9& lt; làm

Bài 2: 9& lt; làm

Bài 3: Ta có  2 ... (1) ta có :

2b  3.4k k   199 6  3.4k k   2.1000   b  mod 4

kB* không 4;2 dù b  O hay CP mF2 không / 0 * t/m =B

n