Kiến thức cơ bản và một số dạng toán... Kiến thức cơ bản và một số dạng toán.[r]
Trang 1Kiến thức cơ bản và một số dạng toán Chương IV: Đạo hàm-Giải tích 11 cơ bản
ÔN TẬP CHƯƠNG IV:
ĐẠO HÀM A.KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1 Các công thức tính đạo hàm:
Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của hàm số hợp
(x)′ =1 ; (kx)’=k (k lµ h»ng sè )
(x n)′ =n.xn-1 (n N, n 2) (U n)′ =n.Un-1 U '
2
(x 0,k lµ
U U
(U 0, k lµ h»ng sè)
√x¿′
1
2√x
2 U
(U 0)
/
/
2
2
sin cos
1
cos 1
sin
x
x
/ /
/
2
/
2
'(1 tan ) cos
sin
U
U U
U
2/ Các qui tắc tính đạo hàm:
(u+ v )❑=u❑
+v❑
(u − v )❑=u❑− v❑
(u v )❑=u❑v +uv❑
(u v w )❑=u❑vw+uv❑w+uvw❑
/ /
k u k u ,
k ∈ R (u k)❑=u❑
k , k ∈ R
*
(u v)❑=u❑v − uv❑
v2 (1v)❑=− v❑
v2
3/ Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)] , g ' x = f ' u U ' x
4/ Đạo hàm của một số hàm phân thức:
2
ax b ad bc
cx d cx d
;
2
2
ax bx c adx aex be cd
2
2
B.MỘT SỐ DẠNG TOÁN:
Dạng 1: Tìm đạo hàm của hàm số
Bài tập 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1 y=x3− 2 x +1 2
y=2 x5− x
2+3 3. y=10 x
4 + 2
x2
4 y=(x3+2)(x +1)
5 y=5 x2(3 x −1) 6
x2+5¿3
y=¿ 7
y=(x2+1)(5 −3 x2)
8 y=x (2 x −1)(3 x +2)
9
x +3¿3
x +2¿2¿
y=(x+1)¿
Tổ Toán-Tin trường THPT Quang Trung Gv: Đổng Thị Phương Mai 1
Trang 2Kiến thức cơ bản và một số dạng toán Chương IV: Đạo hàm-Giải tích 11 cơ bản
10
2
3 1
x
y
x
11
5 6
2 4
x
y
x
12 y= 5 x −3
x2
+x +1
2
13
y
x
14) y = 2
3 2 2
x
+
15 y x x x
16 y=√x − 1+√x +2
17 y=√x2
+6 x+7
18 y=(x+1)√x2+x+1
19) y x x2 2x3
20)
1 y
x x
21/ y=
2 3 (2 4) 10
x
10
x 3x 2
y
Bài tập 2: Tìm đạo hàm các
hàm số sau:
1)y3sinxcos 2x
2) y = cos ( x3 )
3) y = cos3 x
4)ysin4 x
5) y= sin(sinx)
6)y(tanxcot )x 2
7)
x 1
y tan
2
8) y = x.cotx
9) y= sin x +cos x
sin x −cos x 10)
1 sin
2 sin
x y
x
11)
sin x x y
x sin x
12)
xsin x y
1 tan x
13) y=cos x sin2x 14)
3
y cot (2x )
4
15) y 1 2tan x 16) y 2 tan x 2
3sin x 3
18)
1+sin22 x¿2
¿
y=1¿
19) y = sin4 p- 3x
20) y sin (cos3x) 2
Dạng 2: Tìm đạo hàm của hàm số tại một điểm
Bài tập: Tìm đạo hàm các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
a) y = x2 + x ; x0 = 2
b) y = 1x ; x0 = 2
c) y = x −1
x+1 ; x0 = 0
d) y = √x - x; x0 = 2
e) y = x3 - x + 2; x0 = -1
f) y = 2 x − 1
x −1 ; x0 = 3
g) y = x.sinx; x0 =
π 3
h) y = 4cos2x + 5 sin3x; x0 =
π 3
i) Cho f (x)=√3 x+1 , tính f ’(1)
k) Cho y = x cos2x Tính f ”(0)
m) Cho f x x 10 6.TÝnh f '' 2
l)f x sin 3x Tính ; 0
Tổ Toán-Tin trường THPT Quang Trung Gv: Đổng Thị Phương Mai 2
Trang 3Dạng 3: CM đẳng thức chứa đạo hàm; giải pt, bpt chứa đạo hàm
Bài tập 1
a)
2
x 3
CM : y thỏa 2y' (y 1)y''
b) CM : y 2x x thỏa y y' x 2 3 3 4x 1 (x 1)2 2 (0<x<2)
c) CM: y =
3 1
thỏa 4cotx(y’ +cot2x)+y’’=0
Bài tập 2: Cho y x 3 4x22 Tìm x để: a) y’> 11 b) y’< 0
Bài tập 3: Giải bất phương trình f(x) < 0 với f(x) =
1
4x4 -2x2+
Bài tập 4: Cho hàm số f(x) 1 x Giải bpt : f(3) (x 3)f '(3) x 2
Bài tập 5:Cho hs y = 4
x 4 giải bpt: (x+4)y’ >1
Bài tập 6: Cho hàm số f(x) x x 1 Giải pt : f '(x) 0
Bài tập 7:Cho hs f(x) x 2 x 2 2x Giải pt : f '(x) 0
Bài tập 8:Cho hs f(x) 2sin x 2 x Giải cac pt : a / f '(x) 0; b / f '(x) 2sin x
Bài tập 9:Cho hs f(x) sin x sin x Giải cac pt : a / f '(x) 0 ; b/ f(x)+f '(x)=sin2x+sinx-1 2
Dạng 3: Viết PTTT của đường cong (C)
Bài tốn 1 :Viết PTTT với đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x 0 ;y 0 ) thuộc ( C )
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) : y=f(x) tại điểm Mx0;y0 C cĩ dạng :
/
( ) Thế x0; y0;f❑
(x0) đã cho hoặc vừa tìm vào ( ) ta được tiếp tuyến cần tìm
Chú ý: -Nếu biết x0
0 0 '( )
y
f x
-Nếu biết y0 , thế y =y0 vào hs y=f(x) tìm được x = x0 f x'( )0
-Để tìm giao điểm của (C) với trục tung, thế x=0 vào hs y=f(x) tìm được y = y0
giao điểm của (C) với trục tung là điểm M(0;y0)
-Để tìm giao điểm của (C) với trục hồnh, thế y=0 vào hs y=f (x ) tìm được x = x0
giao điểm của (C) với trục hồnh là điểm M(x0;0)
Bài tốn 2 : Viết PTTT với đồ thị ( C ) biết hệ số gĩc k của tiếp tuyến
Gọi M(x0 ; y0 )là tiếp điểm của tiếp tuyến cấn tìm
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y=f(x) cĩ dạng :
/
( )
Trang 4Do tiếp tuyến có hệ số góc k nên f/ x0 k, giải phương trình này tìm được
x0⇒ y0=f(x0) Kết luận phương trình tiếp tuyến: /
Chú ý:
ò Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y=ax +b thì hệ số góc tiếp tuyến là k=a
ò Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y=ax +b thì hệ số góc tiếp tuyến là k thỏa: k.a = -1 k=
1
a
Bài toán 3 : Viết PTTT với đồ thị ( C ) , biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA ; y A )
Gọi M(x0 ; y0 ), với y0=f(x0)là tiếp điểm của tiếp tuyến cấn tìm
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y=f(x) có dạng :
0 0 f x0
Do tiếp tuyến đi qua điểm A(xA ; yA ) nên tọa độ điểm A thỏa pt (*), thay x =xA và y =yA vào pt (*), giải tìm x0 y0 f x( 0) & '(f x0) pttt: /
Bài tập:
Bài 1/ Cho đường cong (C) có phương trình: y=x3 + 4x +1 Viết PTTT với đương cong (C)
a) tai điểm có hoành độ x0 = 1;
b) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 31;
c) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng: y = 7x + 3;
d) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: y =
-1 5
16x
Bài 2/ Cho (C): f(x) = x4+ 2x2 – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong mỗi trường hợp sau:
a) Biết tung độ của tiếp điểm bằng 2 ;
b) Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành ;
c) Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x +8y – 3=0
d) Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A (0;6)
Bài 3/ Viết PTTT của (C ): y=x3-3x+7
1/Tại điểm A(1;5)
2/Song song với đường y=6x+1
Bài 4/ Cho đường cong (C): y = x +1
x −3 Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường
thẳng x+ y +1=0
Bài 5/ Viết PTTT của đồ thị hàm số y=x3− 3 x2
+2 vuông góc với đt x 9y 18 0 .
Bài 6/ Viết PTTT của đồ thị hàm số y=− x3
+3 x Biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng
y 2x 1.
Bài 7/ Cho hàm số y = f(x) = 1
1 2
2 2
x
x x
có đồ thị (C) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = x
Bài 8/Viết pt tiếp tuyến của đường cong (C) y=
3 2
3
x
, biết rằng tiếp tuyến này có hệ số góc
bé nhất trong các tiếp tuyến của (C)
Trang 5Bài 9/ Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hs y x 3 2x22, biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;2)
Bài 10/ Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hs
4 1
y x
, biết tiếp tuyến đi qua điểm M(-1;4)