Toán rời rạc discrete mathematics

1.1 LÔGIC sự chi phối giữa logic khách quan vàlogic chủ quan…bao gồm: logic hìnhthức; logic biện chứng trong Triết học; logic toán, logic mờ trong Toán học Toán học và có nhiều ứng dụng

ƒ Điểm quá trình: 30% (Chuyên cần, Bài

tập và Kiểm tra giữa kỳ)

ƒ Điểm Thi kết thúc: 70%

(Thi cuối kỳ; Thi viết)

¾Nội dung tóm tắt môn học:

tính

nhiều lĩnh vực: thiết kế hình thức cho NNLT

và các bộ Biên dịch; Xác thực các Hệ thống

và các CT máy tính; Thiết kế và phân tích

định lượng các Thuật toán…

¾ Đối tượng nghiên cứu:

ƒ Các Cấu trúc rời rạc bao gồm: Tập

hợp, Hoán vị, Quan hệ, Đồ thị, Cây

và Máy hữu hạn trạng thái…

¾Các chủ đề:

ƒ Suy luận Toán học: cơ sở của các

PP chứng minh; Phân tích Tổ hợp: bài toán Đếm , Liệt kê; Tư duy về các Thuật toán; Các ứng dụng…

1.1 LÔGIC

sự chi phối giữa logic khách quan vàlogic chủ quan…bao gồm: logic hìnhthức; logic biện chứng ( trong Triết học);

logic toán, logic mờ (trong Toán học)

Toán học và có nhiều ứng dụng: thiết kếmáy tính, trí tuệ nhân tạo, lập trình máytính…

• Mệnh đề phức hợp: được tạo ra từ các

MĐ sơ cấp hiện có bằng các Toán tử

Logic ( Phép toán logic, Liên từ logic)

6

luận

giá trị chân lý của MĐ : bit 1 biểu diễn giá trị

– Xâu bit ( xâu nhị phân) là 1 dãy các bit; độ dài

của xâu là số các bit trong xâu đó ( xâu có độ dài

bằng 0 được gọi là xâu rỗng)

– Với 2 xâu bit có độ dài bằng nhau, ta có các phép

toán OR bit, AND bit và XOR bit tương ứng với

các phép toán OR, AND và XOR đối với các cặp

bit tương ứng của 2 xâu

1.2 SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA CÁC MỆNH ĐỀ

đúng (Mâu thuẫn)

– Ví dụ: MĐ là hằng đúng

MĐ là mâu thuẫn

– Còn được gọi là đồng nhất bằng nhau: chúng có

cùng giá trị đúng, sai như nhau đối với mọi giá trị

CÁC TƯƠNG ĐƯƠNG LÔGIC

F p

p T

p

p

p )

q p

( p p

) q p

(

p

q p

) q p ( q

p )

q

p

(

) r p ( ) q p ( ) r q ( p )

r p ( ) q p ( ) r q

(

p

) r q ( p r

) q p ( )

r q ( p r

q p p

q q

p

p )

p (

p p

p p

p

p

F F

p T

T

p

p T

p p

De Morgan Hút thu Phủ định

Một số tương đương lôgic khác xem Bảng 6 và Bảng 7

(trang 23)

là ký hiệu vị từ lớn hơn 3 , x là biến

tại x; mỗi khi biến x được gán 1 giá trị thìcâu P(x) sẽ trở thành 1 mệnh đề và cógiá trị True hoặc False

ký hiệu câu “ x+y=z” là R(x,y,z), khi đó

R(1,2,3) có giá trị là True còn R(0,1,2) có giátrị là False

ƒ Tổng quát: Câu có dạng P(x1,x2,…,xn) là giá

trị chân lý của hàm mệnh đề P tại

(x1,x2,…,xn) và P cũng được gọi là vị từ

ƒ Xét câu: “ if x>0 then x:=x+1” Ở đây P(x) làx>0; nếu tại thời điểm đó P(x) là True thì

lệnh gán sẽ được thực hiện…

ƒKhông gian là một miền mà một tính chất

nào đó đúng với mọi giá trị của biến nằmtrong nó

) x ( xP

∀

∀

) x ( xP

∀

ƒ Ví dụ1: P(x) là câu “ x+1>x ” Khi đó P(x) đúng với mọi số thực x nên lượng từ

ƒ Ví dụ2: Q(x) là câu “ x<2 ”; xét giá trị chân

gian là tập các số thực

) x ( xP

∀

) x ( xQ

∀

) x ( xQ

∀

) x ( xP

∃

∃

Ví dụ 3: P(x) là câu ” x>3” Vì P(4) là đúng lên

) x ( xP

∃

) x ( xP

∃

) x ( xP

∃

) y , x ( xP

∃

) x ( P x )

x ( xP và

) x ( P x )

x (

¬∀

1.2 TẬP HỢP

1.2.1 Tập hợp

∈

• Định nghĩa 3: Hai tập hợp bằng nhau nếu và

™Lưu ý: 3 tập hợp {1,3,5 }, { 3,5,1} và

{1,3,3,5,5,5,5} đều bằng nhau

Ax

• Định nghĩa 5: Nếu có chính xác n phần tử phân

|ø| = 0;

hạn

các tập hợp khác Nếu S={ø} thì |S|=1

1.2.2 Tập hợp lũy thừa

Hai dãy sắp TT (a1,a2,…,an) = (b1,b2,…,bn) nếu

và chỉ nếu ai = bi với i=1,2,…,n

a A, b B

A x B= { (a,b) | a A b B }

• Định nghĩa 10: Tích Đề các của A1, A2,… An là

A1x A2x…xAn ={(a1,a2,…,an) | ai Ai ,với i=1, ,n}

– Nếu Ai = A ,với i=1, ,n, ta có thể viết An ;

chẳng hạn R2, R3

∈

• Định nghĩa 4: Hiệu của hai tập hợp A và B, ký

i n

GIẢN ĐỒ VENN

A

1.3.2 Các hằng đẳng thức tập hợp:

( )

Ø A

A U

A

A

A )

B A

( A A

) B A

(

A

B A

B A

B A

B

A

C)

(A B)

(A C)

B ( A C)

(A B)

(A C)

B

(

A

C B)

(A C)

B ( A

C B)

(A C)

B

(

A

A B

B A

A B

B

A

A A

A A

A

A A

A

Ø Ø

A

A U

A

A U

A

A Ø

1.3.3 Biểu diễn các tập hợp trên máy tính:

1.4 HÀM

nghịch ảnh của y

• Cho f1,f2 là hai hàm từ X đến Y, khi đó f1+f2 và

(f1+f2 )(x)= f1(x)+f2 (x); f1f2 (x)= f1(x)f2 (x);

1.4.2 Hàm đơn ánh và toàn ánh:

một-một) nếu và chỉ nếu f(x1)=f(x2) kéo theo

x1=x2 với mọi x1, x2 trong miền xác định của f

với f(x)=y

Đơn ánh, không toàn ánh

2

a

c b

3 1

Toàn ánh, không đơn ánh

d

3

a

c b

4 2

Đơn ánh và toàn ánh

d

1

x ( f y

, X x

| ) y , x

1.5 DÃY VÀ PHÉP TÍNH TỔNG

công bội r là các số thực

™Cấp số nhân là các giá trị tương tự của hàm

mũ f(x)= arx với các giá trị rời rạc của đối số

được gọi là xâu và ký hiệu a1a2…an ; độ dài

của xâu S là số các số hạng trong xâu đó, xâu

rỗng (được KH là λ hoặc ε ) có độ dài là 0

k a

MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH TỔNG

1 x

khi

, x)

(1

1 kx

1 x

khi

, x 1

1 x

4

1) (n

n k

6

1) 1)(2n

n(n k

2

1)

n(n k

1 r

khi ,

1)r (n

ar

1 r

khi

, 1 r

a

ar ar

2 1

k

1 k

0 k

k

2 2

2 n

60 6.10

4) 3

2 6(1 i

6 6i

3i) 2i

(i ij

20 4

2 0

x

2

1) i

)(j a

(a a

4

1 i

4

1 i

2 2

2 {0,2,4}

x

2

j

i k

j i

k

=

= +

+ +

=

=

= +

+

=

= +

• Hai tập A và B có cùng bản số ↔có hàm song

1.6 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH

1.6.1 Một vài thuật ngữ

• CM trực tiếp: CM nếu p đúng thì q phải đúng

đúng nên nếu có thể chỉ ra p sai thì MĐ đượcchứng minh; CM này được gọi là CM rỗng

+ Nếu q luôn đúng thìì MĐ kéo theo p → q luôn

đúng nên nếu có thể chứng tỏ q luôn đúng thì

MĐ được CM; CM này gọi là CM tầm thường

• Chứng minh từng trường hợp:

2

Để CM MĐ dạng: ta đưa

Khi đó ta sẽ CM n MĐ (pi → q) với i=1,2…,n

max (x,y) + min (x,y) = x+y

(

)qp

()qp

(

q)

p

pp

(

n 2

1

n 2

) 1

p n

(p

) 3

p 2

(p )

2

p 1

(p

p) (q

q) (p

x là hữu tỉ; x/2 là hữu tỉ; (3x-1) là hữu tỉ

• CM tồn tại: MĐ có dạng

• CM tồn tại duy nhất :

• Phản ví dụ: đưa ra để CM MĐ sai

) x ( xP

∃

))) y ( P x

y ( y )

x ( P ( x )

x ( xP

∃

) x ( xP

∀

CHƯƠNG 2

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

2.1 THUẬT TOÁN

• Định nghĩa: Thuật toán là tập hợp hữu hạn

• Mô tả: bằng ngôn ngữ thông thường hoặc bằng

Ví dụ: thuật toán tìm phần tử lớn nhất

trong một dãy hữu hạn các số nguyên

Thuật toán 1 Tìm PT lớn nhất trong dãy HH

Procedure max( a1,a2,…, an : số nguyên)

max := a1

for i := 2 to n

if max < ai then max := ai

{ max là phần tử lớn nhất }

• Tính chất của Thuật toán: xác định; đúng đắn;

• Các thuật toán tìm kiếm:

liệt kê các PT phân biệt a 1 ,a 2 ,…, a n

Thuật toán 2 Tìm kiếm tuyến tính (TK tuần tự)

Procedure LSearch(x:nguyên; a1,a2,…,an :SN phân biệt) i:= 1

While ( i ≤ n và x ≠ ai )

i:= i+1

if i ≤ n then location :=i {location là chỉ số SH bằng x}

else location :=0 {hoặc là 0 nếu không tìm thấy}

a 1 < a 2 <…< a n

Thuật toán 3 Tìm kiếm nhị phân

Procedure BSearch(x:nguyên; a1,a2,…,an :SN tăng dần) i:= 1 { i là mút trái của khoảng tìm kiếm }

j:= n { j là mút phải của khoảng tìm kiếm }

if x = ai then location :=i {location là chỉ số SH bằng x}

else location :=0 {hoặc là 0 nếu không tìm thấy}

⎣ ( i + j ) 2 ⎦

• Các thuật toán sắp xếp:

Thuật toán 4 Sắp xếp kiểu nổi bọt

Procedure Bubble sort (a1,a2,…,an )

for i := 1 to n - 1

for j := 1 to n - i

if aj > aj+1 then đổi chỗ aj và aj+1{a1,a2,…,an được sắp xếp theo thứ tự tăng dần}

Thuật toán 5 Sắp xếp kiểu chèn

Procedure insertion sort (a1,a2,…,an: các số thực,n≥2 )

Hàm f(x) là O(g(x))

– Định lý 1: Cho f(x)= anxn + an-1xn-1+… +a1x+ a0

với a0, a1,…,an là các số thực thì f(x) = O(xn)

– Các hàm thường dùng: ( theo thứ tự độ tăng)

1; logn; n; nlogn; n2, 2n ; n! (Hình 3 trang 136)

và k sao cho |f(x)| ≥ C|g(x)| với mọi x > k;

thì có (2i+1) phép so sánh; TH xấu nhất khi x

phần tử; vậy cần phải có nhiều nhất

O(n b ) với b≥1 Độ phức tạp đa thức

O(a n ) với a>1 Độ phức tạp hàm mũ

O(n!) Độ phức tạp giai thừa

Giả sử mỗi phép toán bit mất 10 -9 giây ; với kích thước bài toán

n=10, thời gian để thực hiện các phép toán 2 n và n! tương ứng

là 10 -6 và 3.10 -3 giây nhưng với n=100 nó sẽ la 4.10 13 năm và

hơn 100 100 năm ( Bảng 2 trang 150)

2.4 SỐ NGUYÊN VÀ PHÉP CHIA

k nguyên dương nhỏ, n nguyên dương lớn

™Hai SN có ƯCLN bằng 1 gọi là NT cùng nhau

n

2.4.2 Số học đồng dư :

• Các định lý:

– ĐL 2:

2.5 SỐ NGUYÊN VÀ THUẬT TOÁN

n= akbk + ak-1bk-1+…+ a1b+ a0

âm < b và ak ≠ 0 ( Khai triển cơ số b của n)

™Khai triển nhị phân: ( Thuật toán 1- trang 170)

là O(n2), số phép cộng bit là O(n2)

Ví dụ 3: (110)2(101)2 =(1 1110)2

2.5.3 Thuật toán Euclid (tính ƯSCLN của 2 số)

Thuật toán Euclid

Procedure ƯCLN(a,b:nguyên dương)

2.6 MA TRẬN KHÔNG –MỘT

• Định nghĩa 2: Cho A=[aij] và B=[bij] là các ma

Hợp của A và B là A B =[hij] với hij = aij bij

Giao của A và B là A B =[gij] với gij = aij bij

• Định nghĩa 4: Cho A là ma trận không- một

Lũy thừa Boole bậc r của A, kí hiệu A[r] , với

A A

• Dùng 2 bước để định nghĩa một hàm xác định

– Bước cơ sở: Cho giá trị hàm tại n=0

( fn số cặp thỏ có trên đảo sau n tháng)

– Bước cơ sở: ( là xâu rỗng )

– Bước đệ quy: Nếu

x và w

n

a

Thuật toán 1 Thuật toán đệ quy tính

Procedure power (a:thực khác 0; n:nguyên không âm)

if n=0 then power(a,n) :=1

else power (a,n) := a.power(a,n -1)

n

a

hai số a,b nguyên không âm và a < b

Thuật toán 2 Thuật toán đệ quy tính ƯCLN(a,b)

Procedure ƯCLN(a,b:các số nguyên không âm, a<b)

if a=0 then ƯCLN(a,b):=b

else ƯCLN(a,b):= ƯCLN(b mod a,a)

• So sánh Đệ quy và Lặp:

–Ví dụ 3: Dùng thủ tục ĐQ và Lặp tính hàm n!

Thuật toán 3-1 Thủ tục đệ quy tính hàm Giai thừa

Procedure factorial (n:nguyên dương)

if n=0 then factorial (n) :=1

else factorial (n) :=n factorial (n-1)

Thuật toán 3-2 Thủ tục lặp tính hàm Giai thừa

Procedure iterative factorial (n:nguyên dương)

Thuật toán 4-1 Thủ tục ĐQ tính các số Fibonacci

Procedure fibonacci (n:nguyên không âm)

if n=0 then fibonacci (0) :=0 else

if n=1 then fibonacci (1) :=1

else fibonacci (n) := fibonacci (n-1)+fibonacci (n-2)

Thuật toán 3-2 Thủ tục lặp tính các số Fibonacci

Procedure iterative fibonacci (n:nguyên không âm)

CHƯƠNG 4

ĐẾM CÁC PHẦN TỬ

• Toán RR > Lý thuyết tổ hợp > Liệt kê, Đếm các đối

tượng có 1 t/c nào đó (x/đ độ phức tạp;xác suất rời rạc )

• Những sắp xếp( kể đến thứ tự hoặc không) các đối

tượng của một tập hợp gọi là các hoán vị và các tổ hợp

• Ví dụ 1: Ghi nhãn cho những chiếc ghế trong

Quy tắc nhân mở rộng Một thủ tục được thi hành

A1x A2 x…x Am ={(a1, a2 ,…,am ) | ai Ai ; i =1…n }

Khi đó | A1x A2 x…x Am|= |A1|x |A2|x…x |Am|

Quy tắc cộng Giả sử có hai nhiệm vụ; NV thứ1

Quy tắc cộng mở rộng Giả sử các nhiệm vụ

T1,T2 …,Tm có thể làm bằng n1,n2 ,…,nm cách

∈

15 ĐT: Thiết kế Web Site;10 ĐT: PT các ứng

Quy tắc cộng (phát biểu bằng NN tập hợp): nếu

A1,A2 …,Am là các tập rời nhau thì khi đó

là một tính chất nào đó

Do và 2 tập này rời nhau nên

∈

m 2

1 m

A ∪ =

| A

|

| X

|

| A

|

| A

|

| A

|

| X

|

| A A

• Ví dụ 4: mật khẩu dài từ 6 đến 8 ký tự, mỗi ký

2 1

2 1

2

4.2 NGUYÊN LÝ CHUỒNG CHIM BỒ CÂU

câu-Nguyên lý Dirichlet) Nếu có ( k+1) đồ vật hoặc

• Ví dụ 3: CMR trong (n+1) số nguyên dương

>Gọi các số đó là a1, a2,…, an+1 ; ta có thể viết:

và qi là số lẻ Vì

các số qi tồn tại 2 số bằng nhau, giả sử qi = qm ,

từ đó

<

n 2 q

, 0 k

, 1 n , 1 i , q 2

ai = ki i = + i ≥ i ≤

m i m

m i

m

k m

i

k

™Số Ramsey R(m,n), trong đó m, n là các số

nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2, là số

người tối thiểu tới dự bữa tiệc sao cho hoặc có

m người là bạn của nhau hoặc có n người là kẻ

thù của nhau Theo VD 4, ta có: R(3,3)=6

• Định lý 2: Số tổ hợp chập r từ tập có n phần tử,

– Hệ quả 1: Cho n và r là các số nguyên không

đúng r bit 1 ( C(n,r))

j j n n

y x

) j , n ( C )

y x

(

– Hệ quả 1: Nếu n là số nguyên không âm thì

0 k

2 )

k , n (

∑

=

0 )

k , n ( C ) 1 (

n

0 k

0 k

k

3 )

k , n ( C

∑

=

• Tam giác Pascal:

Bài tập:

∈

Giải: Số cách lấy được 3 quả bóng đỏ là 43 ;

xác suất cần tìm là 43/123=(1/3)3=1/27= 3,7%

có ít nhất 2 tờ)

Giải: giả sử két có 3 ngăn chứa 3 loại tiền, các

Vị trí 2 ngôi sao

Lưu ý: nếu thêm điều kiện x1 ≥ 1, x2 ≥ 2, x3 ≥ 3,

− (rn! (+n r−−11)!)!

(với i=1,2,…,k và n 1 + n 2 +…+ n k= n ) sẽ là:

420 3!2!1!1!

7!

1!0!

1!

x 1!1!

2!

x 2!2!

4!

x 3!4!

!

! n n

! n

n!

k 2

1

Giải: Số cách chọn 5 quân bài tương ứng của 4

C(52,5)C(47,5)C(42,5)C(37,5)=

! 5!5!5!5!32

52!

!

! n n

! n

n!

k 2

1

• Bài toán: Liệt kê các hoán vị của tập {1,2,…,n}

– Xác lập thứ tự theo thứ tự từ điển, hoán vị

a1a2…an được gọi là đi trước (nhỏ hơn)

hoán vị b1b2…bn nếu với k nào đó (1≤ k ≤ n),

phải, giả sử ai ‹ ai+1

của tập các số ai+1, ai+2…,an ,giả sử là ak

+ Đặt ak vào vị trí i, sau đó đặt các số còn lại

• Ví dụ 1: Sinh hoán vị kế tiếp của HV 362541

Giải: + Cặp số liền kề là a3= 2 và a4 = 5

liên tiếp thủ tục ở trên (n!-1) lần

Giải: 123, 132, 213, 231, 312, 321

thuộc tập hữu hạn A= {a1,a2, an }, tức là liệt

• Liệt kê các xâu nhị phân độ dài n (b1b2 bn)

– Xác lập thứ tự Xem mỗi xâu là biểu diễn

Nb ↔ b1b2 bn và Nb’ ↔ b’1b’2 b’n ; khi đó:

b1b2 bn ‹ b’1b’2 b’n nếu Nb < Nb’ , xâu nhỏ

– Thuật toán Sinh xâu kế tiếp: từ xâu

b1b2 bn ≠ 11…1 Xâu kế tiếp là biểu diễn

i:= nwhile bi= 1begin

bi= 0 i:= i-1end

bi= 1

10 0010 1000

• Liệt kê các tổ hợp chập r từ n phần tử

xếp theo thứ tự tăng dần (a1,a2, ,ar ) trong

đó 1≤ a1< a2 < < ar ≤ n

– Xác lập thứ tự theo thứ tự từ điển, từ đó

chưa phải là lớn nhất (a1,a2, ,ar )

+ Tìm từ bên phải dãy a1,a2, ,ar phần tử

ai ≠ n-r+i, sau đó thay các phần tử kể từ aiđến cuối dãy bằng ai+1, ai+2,…, ai+1+r-i

Procedure Sinh tổ hợp kế tiếp (a1a2 ar)

i:= rwhile ai= n-r+i

i:= i -1for k:= i to r

hạng đứng trước nó a0 , a1 , a2 …,an-1 với mọi

– Các điều kiện đầu định rõ giá trị các SH đi

triệu đồng với lãi suất 11% mỗi năm Sau 30 năm

anh ta có bao nhiêu tiền trong ngân hàng?

Giải: Gọi S n là tổng số tiền mà anh ta có trong ngân

hàng sau n năm Khi đó dãy {S n } thỏa mãn hệ thức

truy hồi sau:

S n = S n-1 + 0,11S n-1 =(1,11)S n-1 ; với S 0 =10 triệu

Dễ dàng tính được công thức trực tiếp

S n =(1,11) n S 0 = (1,11) n 10 (triệu), từ đó

S 30 = (1,11) 30 10 = 228,923 triệu đồng

nhau Ban đầu các

Mỗi lần chỉ dịch chuyển 1 đĩa và không được

GIẢI: giả sử Hn là số lần chuyển n đĩa Với n=1

5.2 GIẢI CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI

an = c1an-1+ c2an-2+ …+ckan-k (1) trong đó c1, c2,…,ck, là các số thực và ck≠ 0

Đây là phương trình đặc trưng (PTĐT) và

• Định lý 1: Giả sử r1 , r2 là 2 nghiệm phân biệt

của PTĐT r2 - c1r – c2 =0 Khi đó dãy {an} là

nghiệm của HTTH an = c1an-1+ c2an-2 nếu và

chỉ nếu an = α1r1n + α2 r2n , với n =0,1,2,…

Fibonacci và fn = fn-1 + fn-2 với n ≥2 và điều

kiện đầu f0 =0; f1 =1

5 1

r 1,2 = ±

2

n

1 n

2

5 1

=

1 2

5 1

2

5

1 f

0 f

2 1

1

2 1

=

= α + α

=

5

1 ,

, 2

5 1

2

5 1

5

1 f

n n

• Định lý 2: Nếu r0 là nghiệm kép của PTĐT

có k nghiệm phân biệt r1, r2 ,…, rk Khi đó

an = c1an-1+ c2an-2+ …+ckan-k nếu và chỉ nếu

an = α1r1n + α2 r2n +…+ αk rkn , với α1, α2,…,αk

B A

B

C B

A C

B C

A B

A C

B A

C B

A ∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩

• Định lý 1:Cho A1, A2,…,Am là các tập hữu hạn

) SH C

( A

A A

N

) SH C

( A

A A

( A A

N

) SH C

( A

N

N )

1 (

N N

A

m m m

2 1

m

k m m

i

i i 1

i 2

i 1

i k

2 m m

j i 1

j i

2

1 m m

i 1

i 1

m

1 m 2

1 m

1 i

i

k 2

• Ví dụ 1: Có bao nhiêu số nguyên dương

1 m

1 i

i m

1 i

Từ đó: số các số không chia hết cho 3,4 và 5 là:1000-783+199-16=400

66

835

.4

10005

.3

10004

.31000

AA

AA

AA

=+

⎥⎦

⎥

⎢⎣

⎢+

∩

=

165

.4.3

1000A

AA

Giải: X={ tập các nghiệm ≥ 0 của (*) }; n=|X|=C(3+11-1,11)=C(13,11)=78

không sắp thứ tự gồm hai phần tử khác nhau

Đơn đồ thị (vô hướng)

G1 =(V1,E1)

V1={a,b,c,d,e,f,g,h,i}

E1={{a,b},{a,c},{b,d}, {c,d},{e,f},{f,g},{g,h}}

• Định nghĩa 3: giả đồ thị G=(V,E) gồm V là tập

khuyên nếu nó có dạng e={u,u}, với u là đỉnh

cặp có sắp thứ tự gồm hai phần tử khác nhau

sắp thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V