Một số dạng toán liên quan đến xác suất rời rạc và ứng dụng

Một số dạng toán liên quan đến xác suất rời rạc 2 1.1 Phép thử và biến cố.. Một số dạng toán liênquan đến xác suất rời rạc Trong chương này trình bày cơ sở lý thuyết cùng các bài toán áp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ DUY ĐẠT

MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC SUẤT RỜI RẠC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ DUY ĐẠT

MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC SUẤT RỜI RẠC

VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

THÁI NGUYÊN - 2019

Mục lục

Chương 1 Một số dạng toán liên quan đến xác suất rời rạc 2

1.1 Phép thử và biến cố 2

1.2 Xác suất của biến cố 3

1.2.1 Định nghĩa cổ điển của xác suất 3

1.2.2 Định nghĩa thống kê về xác suất 6

1.3 Định lý cộng xác suất 6

1.4 Định lý nhân xác suất 9

1.5 Một số mở rộng của định lý cộng và định lý nhân xác suất 13

1.6 Biến ngẫu nhiên và kì vọng 20

1.6.1 Định nghĩa 20

1.6.2 Tính tuyến tính của kì vọng 22

Chương 2 Ứng dụng phương pháp xác suất trong giải toán trung học phổ thông 24 2.1 Áp dụng xác suất và kì vọng vào một số bài toán thi học sinh giỏi 24 2.2 Một số dạng toán thi Olympic liên quan 34

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKHNguyễn Văn Mậu - Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Tự đáylòng mình, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy đối với sự quan tâm, chỉ bảotận tình của Thầy Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Trường Đạị họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên, đã giúp đỡ em trong suốt quá trình theo học.Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các đồng nghiệp Trường THPTĐông Thành - Quảng Ninh và gia đình đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành kếhoạch học tập

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót vàhạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và cácbạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2019

Tác giả

Vũ Duy Đạt

MỞ ĐẦU

Luận văn nhằm cung cấp các dạng toán xác suất rời rạc và các bài toán ứngdụng phương pháp xác suất trong giải toán trung học phổ thông Chuyên đề nằmtrong chương trình phục vụ cải cách giáo dục và bồi dưỡng học sinh giỏi ở các lớpchuyên toán phục vụ kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic khu vực và quốc tế.Trong chương trình cải cách giáo dục hiện nay, các vấn đề liên quan đến xácsuất và thống kê đã được phê duyệt để giảng dạy chính thức trong các trườngtrung học phổ thông Ở nhiều nước trên thế giới, trong các kì thi học sinh giỏitoán các cấp, Olympic Toán khu vực và quốc tế có nhiều đề toán liên quan tới

lý thuyết và phương pháp xác suất, thống kê Những dạng toán này thường đượcxem là thuộc loại khó vì phần kiến thức nâng cao về chuyên đề này hiện nay khôngnằm trong chương trình chính thống của sách giáo khoa hiện hành bậc trung họcphổ thông

Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên

đề xác suất và phương pháp xác suất, tôi chọn đề tài luận văn ”Một số dạng toánliên quan đến xác suất rời rạc và ứng dụng” Trong đó, khảo sát một số lớp bàitoán từ các đề thi học sinh giỏi Quốc gia và Olympic các nước những năm gầnđây về chuyên đề này

Cấu trúc luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 Một số dạng toán liên quan đến xác suất rời rạc

Chương 2 Ứng dụng phương pháp xác suất trong giải toán trung học phổ thông

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2019

Tác giả

Chương 1 Một số dạng toán liên

quan đến xác suất rời rạc

Trong chương này trình bày cơ sở lý thuyết cùng các bài toán áp dụng nângcao về phép tính xác suất trong đại số, áp dụng những quy tắc tổng quát như quytắc cộng, quy tắc nhân, công thức Bernoulli cho phép thử lặp, công thức xác suấtđầy đủ, công thức Bayes vào các ví dụ thực tế Nghiên cứu tính toán đại lượngđặc trưng biến ngẫu nhiên rời rạc như kỳ vọng, phương sai trong thống kê Tàiliệu tham khảo chính trong phần này là các cuốn [4], [5], [6], [7]

16.Định nghĩa 1.2 (xem [4]) Không gian mẫu Ω của phép thử T là tập hợp tất cảcác kết quả của một phép thử T sao cho các kết quả có khả năng xảy ra như nhau.Tập A ⊂ Ω thì A được gọi là biến cố ngẫu nhiên Khi A = Ω thì A được gọi làbiến cố chắc chắn (chắc chắn xảy ra) Khi A = ∅ thì A được gọi là biến cố không(không xảy ra)

1.2 Xác suất của biến cố

Trở lại với ví dụ ở trên ta xét biến cố A là "kết quả bốn lần tung có ít nhất

ba lần xuất hiện mặt ngửa" Kết quả của Ω làm A xuất hiện là: NNNN, NSNN,NNSN, NNNS, SNNN Khi đó năm kết quả này được gọi là kết quả có lợi cho biến

cố A, khả năng xảy ra biến cố A là 5

16.Định nghĩa 1.3 (xem [4]) Xác suất của một biến cố là một số đặc trưng chokhả năng xảy ra biến cố đó khi thực hiện một phép thử

1.2.1 Định nghĩa cổ điển của xác suất

Định nghĩa 1.4 Xét phép thử T với không gian mẫu Ω là hữu hạn Biến cố

A ⊂ Ω, khi đó tỉ số

P (A) = |A|

|Ω|

được gọi là xác suất của biến cố A

Nói một cách khác P là một hàm số xác định trên tập tất cả các tập con của

Ω, mà tập giá trị của P là [0,1] vì|A| ≤ |Ω| với mọi A ⊂ Ω Ta có một số tính chấtcủa xác suất như sau:

Phép thử T là tung hai đồng xu cân đối đồng chất

Không gian mẫu: Ω = {SS, N N, N S, N N }, |Ω| = 4

A = {SS}, |A| = 1

B = {SN, N S}, |B| = 2

Số cách lấy quả bóng đầu tiên là trắng, quả thứ hai là tùy ý là a.(a + b − 1) nên

|A| = a(a + b − 1). Vậy

P (A) = a(a + b − 1)

(a + b)(a + b − 1) =

a

a + b.b) Sau khi lần đầu lấy quả trắng, số cách để lần thứ hai lấy được quả trắng là(a − 1) nên |B| = a − 1. Số cách để lấy được một quả từ a + b − 1 quả là a + b − 1,tức |Ω| = a + b − 1 nên

P (B) = a − 1

a + b − 1Bài toán 1.4 Lấy ngẫu nhiên ra 8 con bài từ bộ tú lơ khơ 52 con Tìm xác suấtcủa biến cố sau

A : "Lấy được 5 con màu đỏ"

B : "Lấy được một con cơ, hai con rô, ba con bích"

C : "Lấy được một con át, hai con J, ba con 9, hai con 2".

D : "Lấy được ba con cùng một chất đã chọn trước"

a) Cả n người không nhận đúng mũ của mình

Khi đó:|A| = Dn, nên P (A) = Dn

n!

b) Gọi biến cố B : "Cả n người được trả đúng mũ"

Khi đó:|B| = 1, nên P (B) = 1

n!.c) Gọi biến cố C : "Có k người được trả đúng mũ"

Để có k người được trả đúng mũ thì có đúng n − k người không được trả đúng

1.2.2 Định nghĩa thống kê về xác suất

Định nghĩa 1.5 Tần suất xuất hiện biến cố trong n phép thử là tỷ số giữa sốphép thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện

Ta ký hiệu số phép thử là n, số lần xuất hiện biến cốA làk Tần suất xuất hiệnbiến cố A là f (A) thì:

f (A) = k

nĐịnh nghĩa 1.6 Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là một số pkhông đổi mà tần suất f xuất hiện biến cố đó trong n phép thử sẽ dao động xungquanh p, khi số phép thử của n tăng lên vô hạn thì P (A) ≈ f (A).

Bài toán 1.6 Có thể xem xác suất sinh con trai là bao nhiêu khi theo dõi 88200trẻ sơ sinh ở một vùng có 45000 con trai

một số công thức tính xác suất khác.

Định nghĩa 1.7 Biến cố C là tổng của hai biễn cố A và B, kí hiệu là A + B, nếu

C chỉ xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố xảy ra

Nói cách khác, ta viết C = A + B ⇔ C = A ∪ B.

Mở rộng

C = A1+ A2+ + An ⇔ C = ∪n

i=1 AiĐịnh nghĩa 1.8 Hai biến cố A và B gọi là xung khắc với nhau nếu chúng khôngthể đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử

Về mặt tập hợp A và B xung khắc tương đương A ∩ B = ∅

Định nghĩa 1.9 Nhóm n biến cố A1, A2, , An được gọi là xung khắc từng đôimột nếu bất kì hai biến cố này cùng xung khắc nhau Tức là

P (A ∪ B) = (m1+ m2)/n;

P (A) + P (B) = m1/n + m2/n = (m1+ m2)/n.

Vậy ta có P(A + B) = P(A) + P(B)

Hệ quả 1.1 Cho A1, A2, , An là nhóm các biến cố đôi một xung khắc, ta có:

P (A1+ A2+ + An) = P (A1) + P (A2) + + P (An).

Bài toán 1.7 Xác suất để một xạ thủ bắn trúng bia điểm 10 là 0,1; trúng biađiểm 9 là 0,2; trúng bia điểm 8 là 0,25 và ít hơn điểm 8 là 0,45 Xạ thủ ấy bắn

một viên đạn Tìm xác suất để xạ thủ được ít nhất 9 điểm.

Lời giải

Gọi A1 là biến cố "Xạ thủ bắn trúng điểm 10"

Gọi A2 là biến cố "Xạ thủ bắn trúng điểm 9"

Gọi A là biến cố "Xạ thủ bắn được ít nhất 9 điểm"

Hệ quả 1.3 Nếu A và A là hai biến cố đối lập, thì ta có P (A) = 1 − P (A).Bài toán 1.8 Trong hòm có n sản phẩm trong đó có m chính phẩm m ≤ n Lấyngẫu nhiên k sản phẩm, tìm xác suất để trong k sản phẩm có ít nhất một chínhphẩm (k ≤ n)

CnkBài toán 1.9 Trong hòm có 10 chi tiết trong đó có 2 chi tiết hỏng Tìm xác suấtkhi lấy ra ngẫu nhiên 6 chi tiết thì không có quá một chi tiết hỏng

Lời giải

Gọi A là biến cố "Trong 6 chi tiết lấy ra không có chi tiết hỏng"

Gọi A 1 là biến cố "Trong 6 chi tiết lấy ra có một chi tiết hỏng".

Gọi A 0 là biến cố "Trong 6 chi tiết lấy ra không có quá một chi tiết hỏng".Khi đó A = A0+ A1, A0, A1 là hai biễn cố xung khắc

P (A) = P (A0+ A1) = P (A0) + P (A1).

Mà P (A0) = C

6 8

Bây giờ ta xét trường hợp một biến cố C là giao của hai biến cố A, B.

Định nghĩa 1.12 Biến cố C được gọi là tích của hai biến cố A và B, nếu C xảy

ra khi và chỉ khi A và B cùng xảy ra

Ví dụ 1.2 Trong bình có 3 quả cầu trắng, 2 quả cầu đen Lấy ngẫu nhiên mộtquả cầu Gọi A là biến cố "Lấy được quả cầu trắng" thì P (A) = 3/5 Quả cầuđược bỏ lại vào bình và tiếp tục lấy ra một quả cầu Gọi B là biến cố "Lần thứhai lấy được quả cầu trắng" thìP (B) = 3/5, P (B) không phụ thuộc vàoA nênA, Bđộc lập Tuy nhiên nếu ta lấy quả cầu trắng và không bỏ lại vào bình thì ta có

P (B) = 1/2. Khi đó A, B là phụ thuộc nhau

Chú ý: Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì A và B, A và B , A và B cũng độclập với nhau

Định nghĩa 1.15 Các biến cố A1, A2, , An gọi là độc lập từng đôi nếuAi, Aj độclập, i 6= j, i, j = 1, n.

Định nghĩa 1.16 Các biến cố A1, A2, , An gọi là độc lập toàn phần với nhaunếu mỗi biến cố độc lập với một tổ hợp bất kì của các biến cố còn lại

Định lý 1.2 (Định lý nhân xác suất) Cho A, B là hai biến cố độc lập thì

D: "Cả hai lọt vào chung kết"

E: "Có ít nhất một người lọt vào chung kết"

F: "Chỉ có A lọt vào chung kết"

Lời giải

Gọi A là biến cố "Người A lọt vào chung kết"

Gọi B là biến cố "Người B lọt vào chung kết"

Khi đó, dễ thấy A, B là hai biến cố độc lập, và D = A.B;

E = A.B + A.B + AB;

Định lý 1.3 (Xác suất có điều kiện) Cho A, B là hai biến cố phụ thuộc, khi đó:

P (A.B) = P (A).P (A/B) = P (B).P (B/A).

Chứng minh Giả sử A, B là hai biến cố của cùng không gian mẫu Ω và |Ω| = n,

|A| = m1.|B| = m2, |A.B| = k.

Khi đó P (A.B) = k/n, P (B/A) = k/m 1 , P (A/B) = k/m 2 Vậy:

P (A.B) = k/n = (k/m 1 ).(m 1 /n) = P (A)P (B/A).

P (A.B) = k/n = (k/m2).(m2/n) = P (B)P (A/B).

Hệ quả 1.6 Nếu P (B) > 0 thì P (A/B) = P (AB)/P (B).

Hệ quả 1.7 Nếu A1, A2, , An là n biến cố phụ thuộc nhau thì

P (A1A2 An) = P (A1)P (A2/A1)P (A3/A1A2) P (An/A1A2 An−1)

Hệ quả 1.8 Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi

P (A/B) = P (A), P (B/A) = P (B).

Bài toán 1.11 Một cơ quan có ba xe ô tô, khả năng xảy ra sự cố tương ứng vớimỗi xe là 5%, 20%, 10%.Tìm khả năng xảy ra các tình huống sau:

- Cả ba ô tô bị sự cố

- Có ít nhất một xe hoạt động tốt

- Có đúng một xe hoạt động tốt

- Cả ba xe hoạt động tốt

- Có không quá hai xe hoạt động tốt

Lời giải Gọi Ai là biến cố "Xe thứ i bị sự cố", i = 1, 2, 3.

Ba biến cố này không xung khắc nhưng độc lập

A là biến cố "Cả ba ô tô cùng bị sự cố"

B là biến cố "Có ít nhất một xe hoạt động tốt"

C là biến cố "Có đúng một xe hoạt động tốt"

D là biến cố "Cả ba xe cùng hoạt động không tốt"

E là biến cố "Có không quá hai xe hoạt động không tốt"

Khi đó theo giả thiết:

P (A1) = 0.05, nên P (A1) = 0, 95;

P (A2) = 0, 2, nên P (A2) = 0, 8;

Gọi A là biến cố "Tung được bốn mặt sấp".

Gọi B là biến cố "Có ít nhất hai mặt sấp"

Do A ∩ B = A nên P (A/B) = P (A)/P (B).

11.Bài toán 1.13 Cho P = P1P2 Pn là một hoán vị ngẫu nhiên của n số tự nhiênđầu tiên Gọi A là biến cố "P1 > P2", B là biến cố "P2 > P3" Hỏi A và B có độclập không?

Lời giải

Ta có với hai số P1, P2 chứa hai khả năng xảy ra P1 > P2 hoặc P2 > P1 nên

P (A) = 1/2, tương tự P (B) = 1/2 và A ∩ B là biến cố "P1 > P2 > P3",

P (A ∩ B) = 1/6.

Vì với ba số P 1 , P 2 , P 3 có 6 hoán vị, chỉ có một hoán vị thỏa mãn P 1 > P 2 > P 3 Khi đó:

30 m, nếu trượt anh ta bắn tiếp viên thứ 3 ở khoảng cách 50 m Tìm xác suất đểngười thợ săn bắn được thỏ trong lần đi săn này

1.5 Một số mở rộng của định lý cộng và định lý nhân xác suất

Ở hai phần trước ta đã tìm hiểu định lý cộng xác suất với điều kiện các biến cốxung khắc, định lý nhân xác suất với điều kiện các biến cố độc lập Ở phần nàychúng ta sẽ xét một số công thức mở rộng của hai định lý trên

Trước hết trong định lý cộng xác suất, nếu A, B không xung khắc ta có kếtquả sau:

Định lý 1.4 Cho A, B là hai biến cố của cùng không gian mẫu Ω, khi đó

P (A + B) = P (A) + P (B) − P (A.B).

Chứng minh Giả sử |Ω| = n, |A| = m1, |B| = m2, |A ∩ B| = k, k ≥ 0.

Do A, B không có điều kiện xung khắc Khi đó ta có:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = m1+ m2− k.

Nên P (A ∪ B) = P (A + B) = (m1+ m2− k)/n = m1/n + m2/n − k/n

= P (A) + P (B) − P (A.B).

Tương tự, áp dụng công thức tính số phần tử tập hợp ta chứng minh được:

Hệ quả 1.9 Cho A1, A2, , An là các biến cố của không gian mẫu Ω ta có

Bài toán 1.15 Xác suất để động cơ thứ nhất bị trúng đạn là 0,2, động cơ thứ hai

bị trúng đạn là 0,3, xác suất phi công bị trúng đạn là 0,1 Tìm xác suất để máybay rơi, biết rằng máy bay rơi khi cả hai động cơ đều bị trúng đạn hoặc phi công

bị trúng đạn

Lời giải

Gọi A i là biến cố " động cơ thứ i bị trúng đạn", i = 1, 2.

A 3 là biến cố "phi công bị trúng đạn"

A là biến cố "máy bay rơi"

Khi đó A = A1A2+ A3, suy ra P (A) = P (A1A2+ A3). Do A1, A2, A3 không xungkhắc nên

Gọi A là biến cố "có ít nhất một lá thư đúng địa chỉ" Khi đó, A là biến cố "tất

cả các lá thư không đúng địa chỉ"

Số cách để bỏ n lá thư vào n phong bì là n!.

Số cách tất cả lá thư không đúng địa chỉ là:

Bài toán 1.17 Phải tung một con súc sắc bao nhiêu lần để với xác suất khôngnhỏ hơn 0,5 ta có hy vọng rằng có ít nhất một lần được mặt sáu chấm

Lời giải

Giả sử ta tung con súc sắc n lần

Gọi Ai là biến cố "tung lần i được mặt sáu chấm", i = 1, n

Gọi A là biến cố "trong n lần có ít nhất một lần tung được mặt sáu chấm" Vậy

5 6

n

≤ 0, 5 ⇔ n ≥ 3, 7, n ∈ N∗.Vậy phải tung ít nhất bốn lần

Định lý 1.6 (Công thức xác suất đầy đủ) Cho H1, H2, , Hn là nhóm các biến cốđầy đủ A là một biến cố của cùng một không gian mẫu Ω Khi đó ta có

Chứng minh Do H1, H2, , Hn là một nhóm các biến cố đầy đủ, nên

A = A ∩ Ω = A.H1+ A.H2+ + A.Hn.

Vì Hi ∩ Hj = ∅, ∀ i 6= j nên A.Hi ∩A.Hj = ∅, ∀i 6= j, i, j = 1, n Do vậy

Gọi A là biến cố "lấy được chính phẩm"

Hi là biến cố "chính phẩm lấy ra thuộc hộp i"

Khi đó, A xảy ra đồng thời với H1 hoặc H2 hoặc H3

Xác suất để lấy được các hộp H1, H2, H3 là:

P (H1) = P (H2) = P (H3) = 1/3

và P (A/H 1 ) = 6/10, P (A/H 2 ) = 10/15, P (A/H 3 ) = 15/20.

cố A là một biến cố của cùng không gian mẫu Ω Khi đó

Gọi A là biến cố "chi tiết lấy từ dây chuyền đạt chuẩn"

H i là biến cố "chi tiết do máy thứ i sản xuất", i = 1, 2

A xảy ra đồng thời vớiH1, H2 Do đó xác suất cần tìm là:

P (H1/A) = P (H1) P (A/H1)

P (H 1 ) P (A/H 1 ) + P (H 2 ) P (A/H 2 )Theo bài P (H 1 ) = 0, 6; P (H 2 ) = 0, 4; P (A/H 1 ) = 0, 9; P (A/H 2 ) = 0, 85 nên

P (H1/A) = 0, 6.0, 9

0, 6.0, 9 + 0, 4.0, 85 = 0, 614.

Bài toán 1.20 Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường người ta phỏng vấn ngẫunhiên 200 khách hàng về sản phẩm Có 34 người trả lời "sẽ mua", 96 người trả lời

"có thể sẽ mua", 70 người trả lời "không mua" Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ kháchhàng mua hàng tương ứng với cách trả lời trên là 40%, 20%, 10%.

a) Tìm xác suất khách hàng mua sản phẩm

b) Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm có bao nhiêu phần trăm trả lời

sẽ mua

Lời giải

Gọi A là biến cố "khách hàng mua sản phẩm"

H1 là biến cố "người đó trả lời là sẽ mua"

H2 là biến cố "người đó trả lời là có thể sẽ mua"

H 3 là biến cố "người đó trả lời là không mua"

a) Theo công thức xác suất đầy đủ

P (A) = P (H1)P (A/H1) + P (H2)P (A/H2) + P (H3)P (A/H3)

= (34/200).0, 4 + (96/200).0, 2 + (70/200).0, 01 = 0, 1675.

Vậy số người mua sản phẩm là 16,75

b) Theo công thức Bayes

P (H1/A) = P (H1) P (A/H1)

0, 17.0, 4

0, 1675 = 0, 40579.

Vậy trong số khách hàng mua sản phẩm có xấp xỉ 40% trả lời sẽ mua

Trong hoạt động thực tế, có rất nhiều trường hợp một phép thử được lặp đi lặplại Một dãy các phép thử được gọi là độc lập với nhau nếu xác suất xảy ra mộtbiến cố nào đó trong từng phép thử không phụ thuộc vào một biến cố đó có xảy

ra ở các phép thử khác hay không Chẳng hạn trong việc sản xuất sản phẩm haytung nhiều lần các đồng xu, con súc sắc tạo nên một dãy các phép thử độc lập.Một dãy các phép thử độc lập thỏa mãn điều kiện kết quả xảy ra chỉ có haitrường hợp hoặc biến cố A xảy ra với xác suất p; hoặc biến cố A không xảy ra vớixác suất 1 − p = q, được gọi là dãy phép thử Bernoulli.

Định lý 1.8 Trong một dãy n phép thử Bernoulli liên quan đến biến cố A. Xácsuất để biến cố A xuất hiện đúng m lần là P n (m) và

Pn(m) = Cnmpmqn−m = Cnmpm(1 − p)n−m

Chứng minh Gọi Ai là biến cố "xảy ra biến cố A ở lần thứ i", i = 1, n. Khi đó

Ai là biến cố "không xảy ra biến cố A ở lần thứ i"

B là biến cố "trong n phép thử biến cố A xảy ra đúng m lần" Khi đó biến cố Axảy ra m lần , A xảy ra n − m lần

B = A1A2 AmAm+1 An+ + A1 A2 An−mAn−m+1 An.

Số cách chọn m lần trong n lần xảy ra biến cố A là Cnm Với mỗi cách chọn mlần để biến cố A xảy ra có n − m lần A xảy ra Nên

Pn(m) = P (B) = pmqn−m+ + pmqn−m = Cnmpmqn−m = Cnmpm(1 − p)n−mBài toán 1.21 Một bài thi trắc nghiệm có 100 câu hỏi Mỗi câu có bốn phương

án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng Mỗi câu đúng được một điểm còntrả lời sai thì không được điểm Một học sinh lười học đã chọn ngẫu nhiên cácphương án trả lời Tìm xác suất để học sinh này

X là 0,001 Tìm xác suất để khi khám cho 10 người

a) Có hai người bị lao

b) Có ít nhất một người bị lao

Lời giải

Gọi A là biến cố "gặp người bị lao" thì P (A) = 0, 001, P (A) = 0, 999

P10(2) = C102 (0, 0001)2(0, 999)8