Dàn khái niệm và áp dụng

Hoàng Tuấn Anh, ĐHKHTN Đề tài nghiên cứu khoa học này nhầm tiếp cận việc nghiên cứu dàn khái niệm hiện đang là một đề tài thời sự.. Tính toán nhanh những phần tử tức những khái niệm của

ĐẠI HỌC QUÓC GIA HÀ NỘITrường Đại học Khoa học Tự nhiên

1 Hoàng Tuấn Anh

H à N Ộ I - 2 0 0 8

2

M Ụ C L Ụ C

BÁO CÁO TÓM TẮT 4

MỞ ĐẦU 9

CHƯƠNG 1 10

CHƯƠNG 2 13

KẾT LUẬN 15

TÀI LIỆU THAM K H Ả O 16

PHỤ LỤC 18

3

BÁO CÁO TÓM TẮT

Đề tài: Dàn khái niệm và áp dụng

Mã số: QT - 07 - 04

Chủ trì đề tài: PGS TS Nguyễn Đức Đạt

Các thành viên tham gia:

1 Hoàng Tuấn Anh, ĐHKHTN

Đề tài nghiên cứu khoa học này nhầm tiếp cận việc nghiên cứu dàn khái niệm hiện đang là một đề tài thời sự Từ lâu, dàn khái niệm đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều tác giả thuộc các lĩnh vực khoa học khác nhau Gần đây, những công trình của R Wille và B Ganter đã mở ra viễn cảnh cho những áp dụng mới Đề tài này cập nhật hai xu hướng đang được quan tâm hiện nay:

1 Tính toán nhanh những phần tử (tức những khái niệm) của dàn khái niệm hướng tới việc giảm bớt khối lượng tính toán để số bước này chỉ còn là một hàm đa thức

2 Qui việc tính toán dàn khái niệm về các dàn con cỡ bé hơn hoặc chỉ xây dựng một bộ phận (dàn con) của dàn khái niệm chứa đựng những nội dung cần thiết

4

1.2 Các kết quả đã đạt được

Trong đề tài này, dàn khái niệm tức ngữ cảnh (0,P,R) được mã hoá bởi ma trận thuộc tính và đưa ra khái niệm giá của véctơ hàng, từ đó tính toán được các phần tử trong dàn khái niệm Công việc này cũng góp phần tính được các dàn con đặc biệt trong dàn khái niệm như dãy cực đại, lọc chính và ìdeal chính sinh bởi 1 khái niệm v.v

Ngoài ra đề tài còn lập 1 số chương trình tính toán dàn khái niệm

Các kết quả đã đạt được:

01 Báo cáo Khoa học (HNKH thường niên khoa Toán - Cơ - Tin học)

01 Bài báo Khoa học (gửi đăng tại TCKH ĐHQG Hà Nội)

02 Khoá luận tốt nghiệp Đại học

1.3.Kết luận

Đe tài nghiên cứu khoa học này có tính thời sự cao, đem lại những áp dụng hữu hiệu trong các bài toán phân tích dữ liệu, do đó hướng tới sự áp dụng cho nhiều ngành khoa học khác nhau Đề tài thực hiện đúng mục tiêu đã đề ra, thực hiện đúng lịch trình triển khai đề tài, đạt được những kết quả như dự kiến

5

1.4 Tình hình kỉnh phí của đề tài

- Kinh phí trường cấp 20.000.000đ (hai mươi triệu đồng chẵn)

- Đã chi theo đúng dự toán được phê duyệt

Hà Nội, ngày 10 thảng 04 năm 2008

cJL

GS TS Nguyễn Hữu Dư PGS TS Nguyễn Đức Đạt

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

H/ri

6

1 Hoang Tuan Anh

2 VuDucM inh

3 PhamXuanTich

4 Hoang Le Truong

5 Tran Quang Hung

6 Tran Thi Hai Ly

Aims and contents

The aim of the project is to inverstigate some concept lattices which are topical problems at present Since longtime, the concept lattice has attracted the great interest of mathematicians in different fields of study Recently, sereval R Wille and B Ganter’s works ha ve opened up a new areas of applications

Nowadays, concept lattices are well - studied as a classiíĩcation tool are used in several areas related to Artiíìcal Intelligence and Data Mining, such as Data Base Management, Machme Learning, and Frequent Set Generation

The main dravvback of concept lattices is that they may be of exponential size Therefore this project concentrates in two mam topics:

1 Find the concepts of concept lattices by a polynomial sized

2 Reduce the study of concept lattices to the study of lattics which ha ve smaller size

7

Main results of the project

The content of this prọịect is topical, it brings out effective applications when we study the problem of data analysis

We have obtained the following results:

1 A scientiíic report on “On the concept ỉattice” (Annual conference of

Mathematics, Faculty of Math, Mech & Inf.)

2 Scientific paper “Concept lattice and adjacency matrix”, in print m

Journal of Science, VNU

3 A programming of computation for concept lattice

4 Many undergraduate students have ímished their study under the support

of this project

8

M Ở Đ Ầ U

Dàn khái niệm còn được hiểu là dàn Galois đã được nghiên cứu từ nhiều thập kỷ, cho tới nay vẫn đang là một đề tài có tính thời sự cao Trên mạng Internet thường xuyên cập nhật được những kết quả mới, ngoài các ngành Toán học, Tin học còn liên quan tới cả những ngành Khoa học khác [1] Gần đây, những công trình của R.Wille và B.Ganter đã mở ra một viễn cảnh về áp dụng của dàn khái niệm trong các lĩnh vực thuộc về Artiíìcal Intelligence, Data Mining, Data Base Management, Machine Learning [3,8,9]

Nghiên cứu dàn khái niệm, người ta để ý tới hai xu hướng Một là, cấu trúc toán học của dàn khái niệm, chẳng hạn đã có các công trình về phân tích tích trực tiếp con [5] và phân tích ten-xơ [6 ] của dàn khái niệm Hai là phân tích dàn khái niệm, đồng nghĩa với việc phân tích khái niệm (concept analysis) và phân tích dữ liệu (data analysis) [2,4,7]

Vật cản chính trong việc thiết lập các dàn khái niệm là chúng có cỡ bằng một hàm mũ Điều này gây khó khăn trong việc tính toán và cấu kết trong toàn

bộ cấu trục dàn của mỗi ngữ cảnh (context) Vì vậy, vấn đề nguyên thuỷ được đặt ra là:

1 Qui số bước tính toán dàn khái niệm về cỡ bằng một hàm đa thức

2 Qui việc nghiên cứu một dàn khái niệm về việc nghiên cứu các dàn khái

n i ệ m b é h ơ n , v i ệ c n à y đ ồ n g n g h ĩ a VỚI v i ệ c q u i một n g ữ c ả n h v ề m ộ t h ệ t h ố n g các ngừ cảnh cờ bé hơn

Báo cáo gồm 2 chương

Chương 1: Chúng tôi đưa ra khái niệm giá của véctơ dòng trong ma trận liên hợp với dàn khái niệm, từ đó đã nêu đặc trưng cua các nguyên tử bằng tập giá

9

của véctơ sinh ra nguyên tử đó Kết quả này giúp ta lập các thuật toán đê tính các khái niệm [1 1.]

Chương 2: Trong các nghiên cứu trước đây [10] chúng tôi đã áp dụng khái

n i ệ m dàn con co được đ ể p h â n t í c h m ộ t n g ữ c ả n h t h e o c á c n g ữ c ả n h c o n đ ô i m ộ t rời nhau và ngữ cảnh thương sinh bởi các ngữ cảnh con đó Trong chương này chúng tôi bổ sung thuật toán tìm các dàn con co được của dàn khái niệm

C H Ư Ơ N G 1

THUẬT TOÁN TÍNH CÁC NGUYÊN TỬ VÀ CÁC KHÁI NIỆM

Cho ngữ cảnh c = (O, p, R), dàn khái niệm ứng với c được ký hiệu bởi B(0,

p, R) hoặc B(R) Các phần tử của dàn B(R) được gọi là các khái niệm và được hiểu là các cặp (A, B) với A c o, B c P sao cho A = B* := {X£ 0\(x,y) <=R, \/y e B}

Chúng tôi đã chứng minh được [11]

Mệnh đề 1.1 Với mọi véc-tơ r , tồn tại duy nhất khái niệm (A, B) sao cho

B = sup prt Nếu khái niệm (A, B) có B = sup pr, thì ta nói (A, B) là khái niệm sinh

bời véctơ r Như vậy nếu (A, B) sinh bời r , (C, D) sinh bơi r va

1 0

supprt => sup prl thì r õ rang (A, B) < (C, D) Vậy, khái niệm (A, B) * 0 VỚI B lớn nhất hay số rt2 lớn nhất thì là nguyên tử trong dàn B(R) Mệnh đề dưới đây cho cách tìm các nguyên tử khác.

Mệnh đề 1.2(11] Giả sử X là tập hợp các nguyên tử của dàn B(R), giả sử r

là véctơ thoả mãn r 2 = max{r; 2 1 s u pprJ cr sup p X ) Khi đó, khái niệm (A, B) sinh bởi véctơ r, là một nguyên tử của dàn B(R)

Mệnh đề này cho phép ta tính toán được tất cả các nguyên tử của dàn B(R)

Ta thấy véctơ rt có r, 2 =4 (cực đại) nguyên tử ứng VỚI nó được viết là

(ơ,,2345) Đặt X = {>ì}, áp dụng mệnh đề 1.2 ta tính được các nguyên tử (o,,123)

Bằng đối ngẫu (chẳng hạn xét ma trận chuyển vị của M) ta có các khái niệm là

các đổi nguyên tử và do đó tính được các ideal chỉnh dạng [0 , (A,B)]- Dàn con [0, (A,B)] u [(A,B), 1] như hình vẽ dưới đây giúp ta nghiên cứu các thông tin liên quan tới khái niệm (A,B)-

1

0

12

C H Ư Ơ N G 2

THUẬT TOÁN TÌM CÁC DÀN CON c o Đ ư ợ c

Ta xét ví dụ sau: Cho ngữ cảnh (O, p, R) VỚI o = { x , a , b , c , d , e , f } ,

ngừ cảnh thương ở trên Như vậy việc tìm các dàn con co được và việc xác định các dàn thương (các cặp siêu thay thế) là cần thiết.

Thuật toán tìm các dàn con co được (xem phần phụ lục)

14

- Lập thuật toán tính dàn con co được giúp phân giải các bài toán phân tích dữ liệu.

Các kết quả nghiên cứu là mới,có ý nghĩa thực tiễr^các nội dung của đề tài

đã được báo cáo trong hội nghị khoa học thường niên của Khoa Toán - Cơ - Tin học và được đăng trong tạp chí khoa học Đại học Quốc gia Hà NỘI Đề tài đã góp phần thúc đẩy nghiên cứu khoa học trong sinh viên và thực hiện nhiệm vụ đào tạo trong khoa Toán - Cơ - Tin học

15

T À I L I Ệ U T H A M K H Ả O

[1] B Ganter and R Wille Conceptual Scalmg Applications o f combinatorics

and Graph Theory to the Biological and Social Sciences Springer - verlag

New York - Berlin - Heidelberg

[2] p Luksch and R Wille Formal concept analysis o f paưed compansons,

Classification and Related methods o f Data analysis In H.H Bock, editor,

North - Holand, 1988, 167 - 176

[3] J.I Pfaltz and c M Taylor Scientiíĩc Knowledge Discovery througle

Iỉeráve Transformation o f concept lattices Workshop on Discrete

Mathematics fo r Data Mining Proc 2nd SIAM workshop on Data Mining

Arlington (VA), April 11 - 13, 2002

[ 4 ] D J N V a n E i j c k a n d N g u y e n Q u o c T o a n Understanding the world: from facts to concepts, from concepts to proposition, Centrum voor wiskund en Ịnformatica rapport, Computer Science. D e p a r t e m e n t o f S o f t w a r e

[7] R Wille Lattices in Data Analysis: how to draw them with a Computer,

Aỉgorithms and order In I Rival, editor, Reidel 1989, 33 - 58.

[ 8 ] R W i l l e Restructuring lattice theory: an approach based on hierchies of concepts, O r d e r e d S e t s I n I R i v a l , e d i t o r 1 9 8 2 , 4 4 5 - 4 7 0

16

[ 9 ] A Y a h i e , L L a k h a l a n d J B B o r d a t Designing class Hierachies o f Object Data base Schemas. P r o c e d i n g s 1 3 e j o u r m é c s B a s e s d e D o n n é c s a v a n c é e s ( B D A ’9 7 ) 1 9 9 7

[ 1 0 ] N D D a t Contraclible sublattices in data analysis. J o u r n a l o f S c i e n c e ,

N a t S e i X V n 5 - 1 9 9 9 , 1 - 8

[ 1 1 ] H o à n g L ê T r ư ờ n g Dàn khải niệm và đồ thị. K h o á l u ậ n t ố t n g h i ệ p h ệ Đ ạ i

h ọ c c h í n h q u y , n g à n h T o á n h ọ c , H à N ộ i - 2 0 0 6

PHỤ LỤC

1 B áo cáo khoa học.

2 Bài báo khoa học.

3 K h ó a luận tốt nghiệp.

4 C hư ơ ng trình tính dàn khái niệm và dàn con co được.

18

K ỷ n iộ m 5 0 niim n g à y thành lập Khoa Toán - C ơ - Tin học, D H T H

TRƯỞNG TIỂU BAN: TSKH NGUYÊN đ ì n h đ ứ c

K Ỷ n iệ m 50 n ă m n g à y th ành lộp K hoa Toán - C ơ - Tin học, D H T H 45

TIỂU BAN

K ỵ n iỌ m 5 0 n ă m n g à y thảnh lập K hoa Toán - C ơ - Tin học, D ỈTTH 47

CÁC TIÊU CHUẨN CHO NHÓM CON Q U A N S Á T Được VÀ NHÓM CON

F Grosshans, Suk h a n o v và F Bogomolov Báo cáo trình bày m ộ t sô’ tiêu c h u ẩ n mới

nhận đượ c cho n h ữ n g n h ó m này xác đ ịn h trên trư ờ n g s ố học (nói c h u n g k h ô n g

đ ó n g đ ạ i s ô )

VỂ CÁC DÀN KHÁI NIỆM

N g u y e n Đ ứ c Đ a t

T rư ờ ng Đ ại h ọ c Khoa h ọ c T ự n h iên , Đ H Q G H à N ộ i

N g à y nay, d à n khái niệm đ a n g đư ợ c áp d ụ n g r ộ n g rãi tro n g n h iề u lĩnh vực khoa học, trở th à n h m ộ t vân đề luôn có tình thời s ự và đư ợ c s ự q u a n tâ m n g h iê n

cứu củ a Tất n h iề u tác giả M ộ t trong n h ữ n g h ư ớ n g d a n g đ ư ợ c c h ú ý là tìm cá ch

khắc p h ụ c m ột trở ngại của dàn khái niệm là nó có cỡ lũy thừa C h ú n g tôi đ ã đề xuất m ộ t cách p h â n tích d à n khái niệm theo các đ à n con và d à n th ư ơ n g đ ư ợ c xác định bởi các cặp "superaltcrnative" M ặt khác, b ằ n g việc đ ư a ra khái n iệ m giá của

m ột véc tơ d ò n g trong ma trận liên h ợ p của d à n khái niệm , c h ú n g tói đ ăc t ru n g

con của d à n khái niệm n h ư lọc, i-đé-an, dãy cực dại.

dữ liệu, Quản trị cơ sở dữ liệu, Máy học .

Bài này giới thiệu một số kết quả về dàn khái niệm đã được chúng tôi tập trung nghiên trong mấy năm gần đây

1 Trở ngại chính của dàn khái niệm là nó có cỡ lũy thừa Như thường lệ, người ta nghĩ tới việc qui dàn khái niệm về các dàn bé hơn mà các công trình của Wille là một ví dụ Chúng tôi đề xuất việc phân tích một dàn khái niệm theo các dàn con co được rời nhau và dàn thương của dàn khái niệm theo các dàn con này ứng với mỗi dàn con co được là một ngữ cảnh con lấy từ ngữ cảnh ban đầu bằng cách bỏ đi một số dòng và cột, ứng với dàn thương là “ngữ cảnh thương” xác định bởi những cặp “siêu thay thế”

2 Bằng việc đưa ra ma trận liên hợp của dàn khái niệm và giá của véc tơ dòng, chúng tôi đã đặc trưng được các phần tử là nguyên tử hoặc đổi nauyên tử và nhờ đó đưa ra các thuật toán để tính các dàn con đặc biệt của dàn khái niệm như dãy cực đại, lọc và ideal

B Á O C Á O K H O A H Ọ C

1

2 P h a n t í c h d ã n k h a i n i c m t hGO d à n c o n c o đ i r ơ c

Định nghĩa 2.1 Một ngữ cảnh (context) được hiểu là một bộ ba ( 0 ,p R) trong

đó 0 , p là các tập hợp v à R c O x P Các phần tử thuộc o được gọi là các đối tượng, các phần tử thuộc p được gọi là các tính chất Nếu (o, p) <E R thì ta nói đối tượng o có tính chất p

Nếu 0 ' c 0 , P ' c P và R ' = R n ( 0 'x P ') thì ngữ cảnh ( 0 ',P ',R ') được gọi là con của ngữ cảnh ( O , p, R )

Chú ý rằng, quan hệ R xác lập một tương ứng Galois giữa các tập con của

o và p như sau:

X* = Ịp E p (o ,p )e R ,V o E x j với X c O ,

Y* = Ịo e o (o,p) E R,Vp G y| với Y c P

Định nghĩa 2.2 Một khái niệm (concept) của ngữ cảnh ( 0 ,p , R) được hiểu là cặp

(A, B) với A c o , B c p sao cho A* = B, B* = A , trong đó A, B được gọi lần lượt là phạm vi và nghĩa của khái niệm Trên tập các khái niệm ta định nghĩa quan

hệ < và các phép toán V, A như sau:

Trong bài này, ta chỉ xét các dàn khái niệm L ( 0 ,P ,R ) với 0 , p là tập hữuhạn

Thí dụ 2.3 Xét ngữ cảnh (0 ,P ,R ) với o = {a,b,c,d,e,f,g}, p = { 1,23,4,5,6,7}

và R được cho như hình la, dàn khái niệm L ( 0 ,P R ) được biêu diễn như trona hình lb

2

cdgf X 125 cdeg X 123cdg X 1235

3

Bây giờ ta nhăc lại một sô khái niệm và kết quả về dàn con co được [2 ]

Định nghĩa 2.4 Dàn con thực sự c của dàn L với |c| > 1 được gọi là dàn con co

được của dàn L nếu

(a) c là dàn con lồi,

y = cdefg X1 2 thì khoảng đóng [x, y] là dàn con co được

Áp dụng các tính chất (Pl), (P2), (P3) của dàn con co được ta chứng minh được mệnh đề sau

Mệnh đề 2.7 Nếu Ị c i e lj là một họ các dàn con co được rời nhau của dàn L

thì trong L có quan hệ tương đẳng nhận mỗi C ị,i E I làm một lóp tương đương, còn các lóp khác đều là lớp một phần tử

Hệ quả 2.8 Nếu dàn L hữu hạn, không phân tích tuyến tính được thì trong L có

tương đẳng p sao cho dàn thương L/ p không có dàn con co được.

Trở lại với các dàn khái niệm, trong [3], p Luksch và R Wille đã đưa ra khái niệm “siêu thay thế” (superaltemative) cho ngữ cảnh kiểu ( 0 , 0 , R) (với

0 = P ) Ở đây chúng tôi định nghĩa siêu thay thế cho ngữ cảnh (O ,P ,R ) nói chung

Khi đó, ta nói cặp (O', P') là cặp các siêu thay thế của ngữ cảnh <€.

Chủ ỷ 2.10 Nếu ( 0 \ P') là siêu thay thế của ^ = ( 0 ,P ,R ) thì với

R' = (O rx P ') n R ta được ngữ cảnh con (O', P ',R ') của ngữ cảnh , trong đó

R' được lấy từ R bằng cách bỏ đi các dòng ứng với các đối tượng thuộc Oj u o ,

cdg X 235

ceg X 234

cg X 2345

Mệnh đề 2.12 [1] Nếu c là dàn con co được của dàn L ( 0 ,P ,R ) thì tồn tại cặp

các siêu thay thế (O', P') của ngữ cảnh ( 0 ,P ,R ) sao cho c = L ( 0 ', P ',R ') với R' = ( 0 'x P ') n R

Theo Mệnh đề 2.7, dàn con co được c cho tương đẳng p { C) và do đó ta sẽ

có dàn thương L (0 , P ,Q ) /p ( C ) vấn đề được đặt ra là cần xác định ngữ cảnh để dàn thương này là dàn khái niệm tương ứng

Mệnh đề 2.13 [1] Nếu c là dàn con co được của dàn khái niệm L (0 , p, R) thì tồn tại ngữ cảnh ( 0 #,P #,R #) sao cho L ( 0 ,P ,Q )/p (C ) = L ( 0 ,p , R )

5

Định nghĩa 2.14 Ngữ cảnh ( 0 #,P #,R #) được gọi là ngữ cảnh thương của neữ

cảnh (0 ,P ,R ) theo ngữ cảnh con (0 ',P ',R ') hoặc theo cặp các siêu thay thế( 0 \ P')

Thí dụ 2.15 Xét ngữ cảnh trong Thí dụ 2.3 với (O', P') như trong Thí dụ 2.11 ta

3 Dàn khái niệm và ma trận liên hợp

Ta xét ngữ cảnh 9Ỏ với tập các đối tượng o = {op ,om} và tập các tính

chất p = {pp ,pn} Ta lập ma trận M = (a;j) cỡ m x n với a i = 0 nếu(Oj,pj) Ể R và a ij = 1 nếu ( O p p p e R

Đinh nghĩa 3.1 Ma trận M được gọi là ma trận liên hợp của ngữ cảnh cề , véc

tơ dòng i của M được ký hiệu bởi r , giá của véc tơ r được hiểu là tập hợp

©

Supp r = {p G p = 1} giá của tập X các véc tơ dng của M được hiểu là tập

Supp X = u Supp u Tích vô hướng của r , r được viết là r r và r2 = r r

Mệnh đề 3.3 (a) Với mỗi véc tơ dòng ĩ; của ma trận M tồn tại duy nhất một

khái niệm (A, B) với B = Supp ĩj

(b) Nếu X là tập các nguyên tử của dàn khái niệm và r là véc tơ dòng sao cho r2 = M ax{r2 Supp r q: SuppX} thì khái niệm (A, B) với B = Suppr cũng

là nguyên tử

Chứng minh, (a) Đặt B = S u p p r, lấy A là tập tất cả các véc tơ dòng r sao cho

B CỊ Supp r , suy ra A x B c R Nếu A x B c R thì 3p e B sao cho (x, p) Ể R ,còn nếu ỵ gP \ B th ìy Ể S u p p r; , suy ra (O ị,y )Ể R Vậy (A, B) là khái niệm (hình chữ nhật cực đại)

(b) Nếu (A, B) không là nguyên tử thì tồn tại (A ',B ') < (A ,B ) với B c; B ', lấy ok e A ' thì ỊokỊ x B 'c R ( v ì (A ',B') là khái niệm), suy ra B' c :S u p p rk; mặtkhác S u p p ] - = B c B ' nên if < rk2 Vì S u p p r ^ S u p p X nên ta cũng có Supp rk Ễ Supp X Điều này mâu thuẫn với cách chọn r

Mệnh đề được chứng minh

Chủ ỷ 3.4 Khái niệm (A, B) với B = Suppi" được gọi là khái niệm sinh bởi véc tơ

r Như vậy, mỗi véc tơ dòng của ma trận M sinh ra một khái niệm, nhưngngược lại, không phải khái niệm nào cũng sinh bởi một véc tơ Tuy vậy, các nguyên tử đều sinh bởi một véc tơ

7

Định lỷ 3.5 Khái niệm (A, B) sinh bởi véc tơ I- là nguyên tử khi và chì khi

Điều kiện đủ Giả sử (A, B) không là nguyên tử thế thì tồn tại (A ',B ') sao

cho (A', B') < (A, B) (<=> B c= B ') Lấy o k e A ', suy ra ị okỊ x B ' c R , suy ra tiếp

B' c Supprk Vậy Suppĩị = B c; B' c= Supprk và do đó if < rl Điều này mâu

thuẫn với giả thiết của điều kiện đủ

b) Đặt X là tập tất cả các nguyên tử có độ dài cực đại Áp dụng Mệnh đề 3.3

ta tính được các nguyên tử có độ dài cực đại được sinh bởi các véc r tơ thuộcír„ ,rm) \ K

c) Tiếp tục quá trình này đến hết các nguyên tử

Vấn đề mở Dàn con co được của dàn khái niệm xác định một cặp siêu thay thế,

nhưng ngược lại thì không Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau:

9