Caractérisation de cas atypiques de la maladie de parkinson

17 3.7 Illustration des contours différences de la liste de candidats avec les deux pre-miers contraintes sur une image noise de cercle R = 61.. 204.2 Les résultats d’expérimentation d’u

INSTITUT DE LA FRANCOPHONIE LABORATOIRE LORRAIN DE RECHERCHEPOUR L’INFORMATIQUE EN INFORMATIQUE ET SES APPLICATIONS

— UMR 7503 —

Caractérisation de cas atypiques de la

maladie de Parkinson Mémoire de fin d’études Master d’Informatique

Encadrants : M Bertrand Kerautret

Maỵtre de conférencesUniversité Henri Poincaré, IUT St Dié

Mme Isabelle Debled-Rennesson

Habilitation à Diriger des RecherchesUniversité Henri Poincaré

Aỏt 2008

54506 Vandoeuvre-lès-Nancy Cedex - France

Table des matières

1.1 Problématique 1

1.2 Motivation 2

1.3 Objectifs initiaux du sujet 3

1.4 Contexte médical et contribution 3

1.5 Environnement de stage 4

2 Estimateurs de courbure 5 2.1 Couverture tangentielle et espace de tangente 5

2.2 Couverture tangentielle et segments flous 6

2.3 Calcul de la courbure par optimisation 7

2.4 Analyse et Comparaison 8

3 Extraction du contour à partir de la forme de référence 10 3.1 Construction de la liste des candidats potentiels 10

3.1.1 Extraction du chemin passant entre deux points 10

3.1.2 Méthode de la construction des candidats potentiels 15

3.2 Sélection du meilleur contour 16

3.2.1 Contrainte du minimum local d’énergie 16

3.2.2 Contraintes sur la longueur du contour 17

3.2.3 Contraintes sur la courbure 18

Table des figures

1.1 L’image exemple du cerveau humain 2

1.2 Illustration du résultat de la segmentation de la zone associée au tronc cérébral 3 2.1 Illustration de couverture tangentielle(a) et des pentes (b) 5

2.2 Illustration du vecteur des points d’appui de l’enveloppe convexe 6

2.3 Illustration des différentes configurations 7

2.4 Illustration de la tangente estimée 8

2.5 Les résultats et comparaison de l’estimateur GMC avec l’estimateur de courbure discrète basé sur le cercle circonscrit 9

2.6 La comparaison des estimateurs GMC et NDC 9

3.1 Illustration de l’algorithme de recherche de frontières 11

3.2 Illustration des images gradients 12

3.3 Un cas exemple du besoin de la construction de la liste de candidats 15

3.4 Illustration de la liste des candidats potentialités 15

3.5 Illustration d’une courbe de l’énergie de tous les candidats de ζπ4 (a) et des contours des candidats (b) 16

3.6 Illustration des plusieurs contours avec la même courbure 17

3.7 Illustration des contours différences de la liste de candidats avec les deux pre-miers contraintes sur une image noise de cercle (R = 61) 18

4.1 La construction du cercle R = 61 dans une image bruite 19

4.2 Le résultat a obtenu sur une autre image bruitée qui contient deux cercles bruitées avec un rayon R1 = 88 et R2 = 65 20

4.3 Un exemple de re positionnement automatique des points références.(R=88) 21

4.4 L’image de cas référence pour le but de obtenir la courbure référence Cref 22

4.5 L’extraction de la zone associée au tronc cérébral du patient1 23

4.6 L’extraction de la zone associée au tronc cérébral du patient2 23

4.7 Un exemple complete des extractions du tronc cérébral du patient2 24

Liste des tableaux

4.1 Les résultats d’expérimentation d’un cercle R = 61 dans la Fig 4.1(b) 204.2 Les résultats d’expérimentation d’un cercle R = 61 avec la mauvais initialisationdes points références dans la Fig 4.1(c) 204.3 Les résultats d’expérimentation du plus grand cercle R = 88 dans la Fig 4.2(b) 214.4 Les résultats d’expérimentation du petit cercle R = 65 dans la Fig 4.2(c) 214.5 Les résultats d’expérimentation avec MRI du patient1 et du patient2 234.6 Les résultats d’un exemple complete des extractions avec MRI du patient2 24

Je voudrais tout d’abord exprimer ma profonde reconnaissance à M.Bertrand Kerautret

et Mme.Isabelle Debled-Rennesson, mes responsables de stage, qui ont dirigé mon travail Sesconseils et ses commentaires précieux m’ont permis de surmonter mes difficultés et de pro-gresser dans mes études

Je tiens à remercier tous les membres de l’équipe ADAGIo, LORIA à Nancy pour leuraccueil, leur sympathie ainsi que leurs idées constructives

Je remercie aussi à tous les professeurs pour les connaissances qu’ils m’ont transmises dans

Un estimateur robuste de la courbure discrète a été proposé récemment par Kerautret et al.[1] Dans ce document, nous exploitons la précision et la stabilité de cet estimateur afin dedéfinir une méthode d’extraction des contours pour analyser les caractéristiques géométriques.Nous proposons d’utiliser une fonction courbure de référence pour l’extraction de la frontièred’une forme dans une image en niveaux de gris La frontière d’extraction se fait en utilisant desinformations géométriques représentées par la courbure de référence et en utilisant aussi desinformations gradients de l’image source L’application de ce travail est accomplie dans uneapplication médicale, qui concerne la contribution à la caractérisation des formes atypiques

de la maladie de Parkinson Nous proposons une technique de mesure sur l’atrophie du tronccérébral en mesurant la courbure dans le domaine discret

La première partie de ce travail a été consacrée à analyser le problème principal et la tivation du sujet de stage La deuxième partie concerne les notions principales de "Estimateurrobuste de courbures par optimisation globale" (GMC) dans un travail précédent travail Dans

mo-la troisième partie de ce document, nous proposons une stratégie pour définir une liste descontours pour l’analyse les caractéristiques géométriques et pour extraire ces contours Lesrésultats de cette approche est une application de comparer les courbes des cas pathologiques

et des cas normales de la maladie de Parkinson sur les IRMs du cerveau de patients de larégion Guadeloupe et quelques expériences sur les autres types d’images sont présentées dans

la dernière partie

of atypical forms of Parkinson’s disease We introduce a technical measure on the atrophy ofthe brain stem measuring in the domain of discreet curvature.

The first part of this work has been devoted to analyse the problem pricipal and themotivation of the sujet de stage.The second part concerns to some main notions of the robustestimator of curvature along digital contours with global optimization algorithm (GMC) ofprevious work In the third part of this document, we propose a strategy to define a list

of contours for analysing geometric feature and to extract these contours The results is aapplication to compare the curves of pathological cases and normals cases of the Parkinson’sdisease on the MRIs(Magnetic resonance imaging) brains of patients in the region Guadeloupeand some experiments on several others types of images are presented in the last part

Il existe des différentes approches robustes qu’ont été proposées dans le domaine de lasegmentation d’image En général, les composantes de l’image comme le contour ou la régionsont extraites à partir d’informations a priori Cette information peut être définie, par exemple,comme un modèle géométrique de référence, les contraints ou l’interaction avec l’utilisateur.

Un exemple bien connu est l’approche de minimisation d’énergie telles que les "snake" oucontours actifs [2, 3, 4]

Une autre approche appelée Active Shape Model (ASM) [5, 6, 7] a utilisé un modèle métrique pour l’extraction des formes Ils ont utilisé les informations statistiques pour définirdes paramètres Une autre technique bien connue pour la segmentation discrète interactiveest l’algorithme intelligent scissors [8] Cette technique permet à l’utilisateur de définir lescontours par l’image gradient et de calculer le cỏt minimal entre 2 points définis par l’utili-sateur Il a été utilisé souvent dans les applications médicales pour mesurer les formes [9, 10].D’autres techniques exploitent cette idée (lazy snaping [11],enhanced lane [12] or grabcut [13]).L’exploitation directe de la courbure quantitative évolution n’a pas été encore appliquéepour donner des contraintes a priori sur le contour à extraire Même si Schoenemann etCremers ont présenté un estimateur de courbure pour déterminer une solution optimale [14],mais leur approche n’utilise pas la courbure comme un modèle de référence Un autre travail deFšarber et al.[9] proposent une technique utilisant l’algorithme du livewire et qui se basent surl’association des structures de chaque images Dans ce cas, la courbure est seulement utiliséecomme un paramètre pour le contour d’association

para-Notre principal objectif dans ce mémoire est l’utilisation des descriptions quantitatives de

la forme de la courbure afin d’extraire précisément les informations géométriques des contours

de façon semi-automatiques Notre approche est basée sur le Global Min-Curvature(GMC)estimateur introduit dans [1] et sur l’algorithme du plus court chemin défini sur la méthodeLive-Wire L’avantage principal de l’estimateur GMC est la robustesse au bruit et la stabilitéqui permet d’extraire directement l’information géométrique

La motivation de ce sujet est le développement d’une application médicale qui utilise lestechniques efficaces de la segmentation des objets discrets pour le but de la caractérisation deformes atypiques de la maladie de Parkinson

Fig.1.1 – L’image exemple du cerveau humain

Le tronc cérébral est la partie du système nerveux central située à l’intérieur du crâne(encéphale), entre le cerveau proprement dit et la moelle épinière au-dessous Il sert de passageaux nerfs qui vont vers le cerveau et à ceux qui en partent : ce sont les voies de la sensibilité

et de la motricité (faisceau pyramidal et extra-pyramidal)

L’anatomie : Le tronc cérébral est situé entre la moelle épinière et le cerveau Il comprend

de bas en haut :

– Le bulbe rachidien (jonction avec la moelle épinière cervicale)

– La protubérance annulaire

– Les pédoncules cérébraux (connectés aux hémisphères cérébraux)

Le tronc cérébral Fig 1.1 est accolé en arrière au cervelet par les pédoncules cérébelleux Ilest divisé en trois parties et contient des fragments de substance grise (les noyaux), consti-

tuant l’origine des nerfs crâniens Une cavité remplie de liquide céphalorachidien, le quatrièmeventricule cérébral, est contenue dans le tronc cérébral et dans le cervelet qui délimite lescavités.

L’idée de ce sujet est de proposer une technique de mesure sur l’atrophie du tronc cérébral

en mesurant dans le domaine discret la courbure de celui-ci sur une vue sagittale et sur sasurface supérieure Cette technique est composé des trois étapes principales suivantes :– Segmenter la zone associée au tronc cérébral

Cette étude pourra s’appuyer sur des techniques de segmentation en régions associées autronc cérébral par le mode d’interaction avec l’utilisateur et pourra proposer une stratégiepour sélectionner la meilleure solution parmi l’ensemble des résultats de segmentations

Fig 1.2 – Illustration du résultat de la segmentation de la zone associée au tronc cérébral.– Extraire la courbure du tronc cérébral

Cette étude pourra s’appuyer sur des estimateurs connus comme l’estimateur discret introduitdans [18] Il sera aussi important de mesurer l’influence du traitement des images sources parrapport à la technique de la mesure de la courbure utilisée En particulier, la prise en compte dubruit dans les techniques d’estimation de la courbure [19], [20] pourrait permettre d’améliorercertains résultats

– Détecter les cas pathologiques

Cette étude pourra proposer une stratégie pour la comparaison les courbures des cas giques et des cas normaux

Ce sujet contribue à la caractérisation de formes atypiques de la maladie de Parkinsonspécifiques à la Guadeloupe qui induisent en quelques années un handicap moteur sévère etpour lesquelles aucun traitement réellement efficace n’est connu Ces formes de la maladiepourraient toucher approximativement 1% de la population de plus de soixante-cinq ans, soit

1000 personnes pour la région Guadeloupe

En Guadeloupe, selon une étude clinique prospective au sein des parkinsoniens atypiques,

4 formes ont été identifiées, parmi lesquelles deux formes sont majoritaires : le Complexe

Parkinson-Démence (CPD) et la paralysie Supra-Nucléaire-Progressive (PSP) L’étude de lamotricité oculaire, anormale dans la forme PSP et normale chez les CPD permet de différen-cier les deux formes cliniques.

Par ailleurs, l’observation du cerveau des patients atypiques par IRM semble montrer queles types PSP présentent une atrophie du tronc cérébral Les patients de type CPD présententrarement cet aspect, mais on observe un ou plusieurs signes parmi les suivants :

– une atrophie du cortex dans les lobes frontaux et/ou pariétaux

– une atrophie et/ou hypersignaux (points lumineux) du stratum

– des hyposignaux de la substance noire

A l’heure actuelle, ces observations sont faites au cas par cas à l’issue d’une discussionentre neurologues et radiologues Ces discussions prennent énormément de temps à du person-nel très qualifié, ce qui représente un montant financier important pour le CHU De plus, elles

ne sont pas quantifiées et ne peuvent donc servir de base à l’élaboration d’une classificationclaire

Le LORIA, Laboratoire Lorrain de Recherche en Informatique et ses Applications, est uneUnité Mixte de Recherche - UMR 7503 La création de cette unité a été officialisée le 19 dé-cembre 1997 Le LORIA est un Laboratoire de plus de 450 personnes Les missions principalessont :

– Recherche fondamentale et appliquée au niveau international dans le domaine des Sciences

et Technologies de l’Information et de la Communication

– Formation par la recherche en partenariat avec les Universités lorraines

– Transfert technologique par le biais de partenariats industriels et par l’aide à la créationd’entreprises

Chapitre 2

Estimateurs de courbure

L’estimateur robuste de courbures par optimisation globale (GMC) est un précédent travail

de Bertrand Kerautret et Jacques-Olivier Lachaud [1] L’objectif initial de cet estimateur estd’obtenir des résultats précis à faible résolution d’être adapté aux données pas parfaitementdiscrétisées/bruités Dans ce chapitre, on va revoir les notions principales de cet estimateur etanalyser ses avantages pour être appliqué à notre travail

maximum slope

slope a/b minimum slope

upper leaning pts lower leaning pts

Fig 2.1 – Illustration de couverture tangentielle(a) et des pentes (b)

La donnée d’entrée de cet estimateur est le contour discret associé à l’objet contenu dansl’objet Ce contour est défini par une séquence 4-connexe des points C Prédicat S(i, j) est unsegment discret droit est une séquence de 4-connexion points de Ci à Cj qui est formulé par :

La couverture tangentielle est un ensemble des segments maximaux le long du contourdiscret Elle est utilisée pour estimer les tangentes d’un contour [21, 22] La Fig 2.1(a) est unexemple de couverture tangentielle de contour de la forme discrète Dans cette figure chaquesegment maximal est représenté par une boite.

Estimation de la tangente : Chaque segment maximal nous donne des informations métriques locales Dans cette approche, l’auteur a proposé une estimation de la pente de latangente avec une incertitude définie selon les points d’appuis supérieurs et inférieurs Onnote M et M′ les points d’appuis supérieurs et inférieurs Une pente minimale (rés pentemaximale) est choisie par une pente de segment de M + (0, 1) à M′ (rés de M à M′

géo-+ (0, 1))

La Fig 2.1(b) illustre les pentes minimales et maximales

Pour un segment maximal de caractéristiques (a, b) on a :

Il est possible de définir la couverture tangentielle à partir des segments flous pour gérer lescontours bruités On a appliqué l’algorithme de reconnaissance des segments flous inextensibles

du bord discret a été proposé par Debled et al [23] On peut aussi noter qu’il existe une autreapproche équivalente proposé par une autre approche de Buzer [24] On a utilisé l’algorithme

de Debled en utilisant une version permettant l’ajout des points n’ayant pas obligatoirementdes coordonnées (x ou y) croissantes

Les intervalles des directions de la tangente R = [θmin, θmax] sont définis à partir de lafonction de l’épaisseur ν du segment flou Si V (vx, vy) est un vecteur des points d’appui del’enveloppe convexe( un exemple dans la Fig 2.2), alors l’intervalle des directions de la tangente

R sont définis par

Fig.2.2 – Illustration du vecteur des points d’appui de l’enveloppe convexe

Pour le but du calcul la courbure optimale, la pente minimale et maximale de chaque pointsont évalués On note Ik = [θk

max] est l’intervalles des directions de la tangente k On a

utilisé 6 conditions suivantes pour la gestion par fusions successives d’intervalles définies selondifférentes configurations(dans la Fig 2.3).

+

θ 2 min

θ 2max

θ1minθ1max

θ 1 max

d2

d1

+

θ 2 max

θ 2min

θ1min

θ 1 max

– (6) I = [0, 2π] : pour les autres conditions (i.e : Fig 2.3(d))

On note la tangente θC = ∠(0x, C′

) qui est la reconstruction linéaire par morceaux (xi, yi).Chaque segment (xi, yi) − (xi+1, yi+1) est un arc de cercle s dans le plan euclidien de courbureégale à sa pente La distance entre les xiet xi+1est estimée à partir de λ - MST On reconstruitune courbe C1 , C∞ par morceaux La minimisation de la courbure est définie par :

κ2(s)ds =

Z L 0

 dθC

ds

2

Fig 2.4 – Illustration de la tangente estimée.

Dans la Fig 2.4, la contrainte direction impose par ∀i, ci ≤ yi ≤ di Où yi est la tangenteestimée en xi qui est l’ascisse curviligne par morceaux (xi, yi) La minimisation J[(yi)] avec

∀i, ci ≤ yi≤ di :

J[(yi)] =

Z L 0

et taille de grille ν = 0.1 Dans la Fig 2.5(a) et (b), le résultat de l’application de l’estimateurGMC montre par des points clairs(bleu) qui ont des valeurs proches 0.05(=1

20) Ce sontdes valeurs plus stable et plus précis que le résultat de l’application de l’estimateur CC quiest présenté en vert dans la Fig 2.5(b)

La colonne (c) illustre l’extraction des minima / maxima sur une génération vectorielle

à 300 dpi Des points foncés(gris) sont les points locaux maximaux Des points clairs (bleu)sont les points locaux minimaux L’extraction des minima / maxima avec l’estimateur GMCest présentée en haut de la Fig 2.5(c) Et des points de l’extraction des minima / maximasont présentés en bas de la Fig 2.5(c) Nous pouvons voir que l’estimateur GMC donne desbons local minima / maxima par rapport à l’estimateur CC Les mauvais résultats de l’es-timateur CC sont le manque de stabilité avec l’apparition de plusieurs oscillations dans lesimages grandes résolution Ici, les valeurs locales minima / maxima sont extraites du graphe

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

GMC estimator: grid step=0.1

CC estimator: grid step=0.1

Fig 2.5 – Les résultats et comparaison de l’estimateur GMC avec l’estimateur de courburediscrète basé sur le cercle circonscrit

de courbure par des valeurs de la quantification pour la précision

L’expérimentation au dessus démontre l’un des avantages d’estimateur GCM C’est précis

et stable En fait, dans le document de ce travail [1], l’auteur a présenté d’autres tions et différentes comparaisons avec d’autres estimateurs L’estimateur GMC a été comparéavec la version flou de l’estimateur CC, qui a été proposé par Nguyen et Debled [26] C’est laméthode de l’estimation de la courbure discrète basée sur le cercle circonscrit et des segmentsflous maximaux (appelé par NDC estimateur) Dans des cas lisses du contour, l’estimateurGMC nous donne des résultats plus précis et plus stable que l’estimateur GMC (la Fig 2.6).Des résultats en détail ont été présentés dans le document de GMC [1]

expérimenta-Pour la suite, dans la cadre de ce travail, nous allons exploiter les avantages de l’estimateurGCM comme la stabilité et la précision pour définir une nouvelle approche robuste pour lasegmentation d’objets dans des images bruitées Une fonction de courbure de référence associéeavec la valeur de longueur sont considérées pour l’analyse des caractéristiques géométriquesd’une forme dans une image en niveaux de gris

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

GMC estimator, width=2 NDC estimator, width=2

Fig 2.6 – La comparaison des estimateurs GMC et NDC

Chapitre 3

Extraction du contour à partir de la forme de référence

3.1.1 Extraction du chemin passant entre deux points

Les ciseaux intelligents (Live-wire ou intelligent scissors) [9] est un algorithme de tation interactive proposé par Eric N Mortensen et Wiliam A Barrett dans le but de faire de

segmen-la composition d’images Le principe est de détecter le contour d’un objet potentiel à partir

de points initialisé pas l’utilisateur et la position de la souris

On définit cet algorithme comme le problème de recherche dans un graphe à deux sions, le but étant de trouver le chemin optimal entre un noeud de départ et un ensemble denoeuds d’arrivée Pour l’image, un noeud représente un pixel et les contours sont créés à partirdes pixels et de leurs voisins en 8-connexité Le chemin sera optimal lorsque sa fonction decỏt sera elle minimale Pour cela, on propose deux problèmes à résoudre qui sont le cheminoptimal et le cỏt L’algorithme de Dijkstra est utilisé pour rechercher le chemin optimal Lavaleur du cỏt est déterminée par une fonction de cỏt

dimen-• Algorithme de recherche de frontières (Boundary-Searching Algorithme) :L’algorithme de Dijkstra [27] sert à résoudre le problème du plus court chemin entre deuxsommets d’un graphe connexe dont le poids lié aux arêtes est positif ou nul L’algorithmeporte le nom de son inventeur, l’informaticien néerlandais Edsger Dijkstra, a été publié en

1959 À base de cet algorithme, Mortensen et Barett proposent un algorithme de recherche defrontières

Les notations :

– s : le sommet initial, L est la liste des noeuds actifs

– N(q) : la liste des 8 voisins de q

– E(q) est vrai si le noeud q est marqué/traité

– T(q) : cỏt total entre s et q

– Cost(p,q) : cỏt local de p vers q

– Min(L) : retourne le noeud ayant un cỏt minimal dans L

– B(q) : noeud précédant q dans le chemin du plus court chemin vers s

Algorithme de recherche de frontières :

Fig 3.1 – Illustration de l’algorithme de recherche de frontières

Dans la Fig 3.1(a), on met en fait une valeur max infinie, ou alors supprime le signe

"infinie" dans la figure pour tous les pixels, (b) on calcule les valeurs des voisins du sommetinitial, (c,d,e) on choisit le voisin qui a la valeur minimale, et on re-calcule les valeurs de sesvoisins A partir de la figure (f), on peut déterminer le plus court chemin entre 2 points engris dans l’image

• La fonction de cỏt :

Plusieurs articles [8], [28], [29] décrivent les moyens de calculer les cỏts entre un pixel et son

(a) l’image origine (b) l’image laplacien

(c) l’image Sobel X (d) l’image Sobel YFig 3.2 – Illustration des images gradients

voisin dans l’image Ceux choisis pour être mis en œuvre dans ce document sont les GradientMagnitude (fG), Laplacian Zero-Crossing (fZ), Gradient Direction (fD) et Edge Pixel Value(fP)

Si p et q sont deux pixels voisins dans l’image, la fonction du cỏt local de p vers q cost(p,q)est définie par :

cost(p, q) = ωG∗ fG(p) + ωZ∗ fZ(p) + ωD∗ fD(p, q) + ωP ∗ fP(p) (3.1)

Ịu chaque valeur de ω est le poid de la fonction correspondante et les coefficients doiventrespecter la condition suivante : ωG+ ωZ+ ωD+ ωP = 1 Cependant, ces poids peuvent êtrefacilement ajustés Dans cette approache, nous proposons d’utilise les poids de ωG= 0,7 , ωZ

=0,1 , ωD =0,1 , ωP =0,1 C’est défini de manière empirique

Le gradient, en un pixel d’une image numérique, est un vecteur caractérisé par son plitude et sa direction L’amplitude est directement liée à la quantité de variation locale desniveaux de gris La direction du gradient est orthogonale à la frontière qui passe au pointconsidéré La méthode la plus simple pour estimer un gradient est donc de faire un calcul devariation monodimensionnelle c’est-à-dire en ayant choisi une direction donnée.

am-L’opérateur de Sobel permet d’estimer localement la norme du gradient spatial sionnel d’une image en niveaux de gris Il amplifie les régions de fortes variations localesd’intensité correspondant aux contours Cet opérateur consiste en une paire de masques deconvolution 3x3 dont une rotation de 90˚permet de passer d’un masque de convolution àl’autre Ce masque est conçu pour répondre maximal aux contours horizontaux et verticaux.L’application séparée de chacun des masques donne une estimation des composantes horizon-tales et verticales du gradient par un simple filtrage linéaire avec un masque 3x3

bidimen-L’opérateur utilise des matrices de convolution avec l’image pour calculer des tions des dérivées horizontales et verticales Soit I l’image source, Gx et Gy deux images qui

approxima-en chaque point contiapproxima-ennapproxima-ent des approximations respectivemapproxima-ent de la dérivée horizontale etverticale de chaque point Ces images sont calculées comme suit :

Laplacien est une dérivation au deuxième ordre :

Les considérations concernant le bruit dans la dérivée première sont encore plus tantes dans les calculs de dérivée seconde On utilise donc couramment une combinaison delissage et laplacien ce qui correspond au laplacien d’une gaussienne.

impor-L’estimation de la dérivée seconde étant très sensible aux bruits, il convient de filtrer trèsfortement l’image avant d’en mesurer le laplacien

La matrice est de convolution :

fZ(p) =

(

0 si IL(p) = 0

1 si IL(p) 6= 0Gradient Direction fD :

Le gradient de direction ou d’orientation ajoute une contrainte “smoothness” à la frontière desimages gradients par association de la relation entre les grands cỏts et leur directions dans lafrontière La direction du gradient est simplement la direction du vecteur unitaire défini par

Gx(p) et Gy(p) Alors, la fonction de cỏt fD de la partie de gradient direction est :

Edge Pixel Value est une value de niveau de gray d’un pixel dans l’image origine Alors, lafonction de cỏt fP de la partie de Edge Pixel Value :

fP = 1

255I(p)

3.1.2 Méthode de la construction des candidats potentiels

On note Pset Pesont les deux points références qui sont initialisés par l’utilisateur A patir

de l’algorithme de l’extraction du chemin passant entre deux points, on propose une méthodepour construire une liste de candidats potentiels ζ associé au segment PsPe

On note le plus court chemin de Ps à Pe par S(Ps, Pe) Le plus court chemin de Ps à Pe

passant un point pk est noté par Sk: Sk= {S(Ps, pk), S(pk, Pe)} Normalement dans l’imagen’est pas visiblement très bruité Fig 3.3, il est difficile à extraire le contour entre 2 points plusloin comme (a) Alors, on a besoin d’un autre point pk à recouvrer des meilleurs candidatspossibles

(a)Le contour passe par 2 points (b)Le contour passe par 3 points

Fig.3.3 – Un cas exemple du besoin de la construction de la liste de candidats

On calcule le point M milieu de la ligne droite PsPe On note P′

e sont les images de

Ps et Pe qui sont obtenu par rotation d’un angle de θ centrée en M de la ligne droite PsPe

La liste des candidats potentiels ζθ associée avec l’angle θ est défini par :

Fig 3.4 – Illustration de la liste des candidats potentialités

candidats associés avec une angle θ