ĐỀ CƯƠNG ÔN THI H.S.G - PHẦN ĐẠI SỐ
Bài1: a) Cho a,b,c∈[0 ; 2]và a + b + c = 3 C/m BĐT: a2 + b2 + c2
≤ 5.
b) Cho x,y,z ∈[ ; 1
3
1
−
] và x + y + z = 1 Tìm GTLN biểu thức:
P = x2 + y2 + z2.
Bài 2: Cho A = 2 1 + 2 3 + 2 5 + + 2 2007 ;
B = 2 2 + 2 4 + 2 6 + + 2 2006 + 2008 (mỗi tổng có 1004 số hạng).
So sánh A và B ?
Bài 3: a) C/minh BĐT: 3 3 3 13
4
1 3
1 2
1
n
+ + +
4
1
(với n ∈ N ; n ≥ 2).
b) C/minh BĐT: 10099 101
6
5 4
3 2
1 < (vế trái là tích 50 phân số )
c) C/minh BĐT: 275
6
6 6 3
6
6 6 3 6
+ + +
−
+ + +
−
<
(tử nhiều hơn mẫu một dấu căn bậc hai).
Bài 4: C/minh BĐT: 9991 10001 52
5
1 4
1 3
1 2
Bài 5: a) Cho a,b,c ∈[0 ; 1] C/minh BĐT: 2
1 1
+
+ +
+
c ca
b bc
a
b) Cho a,b,c ∈[0 ; 2] Tìm GTLN biểu thức: E = 4 4+ +4
+
+
c ca
b bc
a
Bài 6: Cho hai phương trình bậc hai (ẩn x): ax2 + bx + c = 0 ( 1 ) và
cx2 + bx + a = 0 ( 2 ) ( với a.c < 0 ) Gọi α ; β lần lượt là hai nghiệm lớn nhất của
( 1 ) và ( 2 ) CMR: α + β ≥ 2
Bài 7: Cho a ; b ; c là các số thực thõa điều kiện (a + c)(a + b + c) <0.
C/minh BĐT: ( b - c )2 > 4a( a + b + c ).
Bài 8: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh một tam giác ; p là nửa chu vi ; r là bán kính
đường tròn nội tiếp C/minh BĐT:
2 2 2 2
1 ) (
1 )
(
1 )
(
1
r c p b p a
−
+
−
+
Bài 9: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh một tam giác ; R là bán kính đường tròn ngoại
tiếp ; x , y , z là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc miền trong tam giác đến các cạnh C/minh BĐT:
R
c b a z y x
2
2 2
2 + +
≤ +
Bài 10: Cho a ; b ; c ; d là độ dài các cạnh một tứ giác và S là diện tích của nó
C/minh BĐT: a + b + c + d ≥ 4 S
Bài 11: Tìm GTNN biểu thức: T = x− 1 +x− 2 +x− 3 + +x− 2008
Bài 12: a) Cho x ; y ; z ≥ 0 và x2 + y2 + z2 = 27 Tìm GTNN biểu thức:
A = x3 + y3 + z3
b) Cho x ; y ; z ≥ -1 và x2 + y2 + z2 = 12 Tìm GTNN biểu thức:
B = x3 + y3 + z3
Bài 13: Giải các phương trình vô tỷ sau:
a) x2 +x− 1 + x−x2 + 1 =x2 −x+ 2 b) x3 + 1 = 23 2x− 1
Trang 2c) 32 54 22
1
13
−
−
x x
x
x
d) 5x2 + 14x+ 9 − x2 −x− 20 = 5 x+ 1
e) x+ 9 − x+ 4 = x+ 1 − x f) x− 2 + 4 −x = 2x2 − 5x− 1.
g) 3x2 − 7x+ 3 − x2 − 2 = 3x2 − 5x− 1 − x2 − 3x+ 4
h) 3 2016 −x− x− 2007 =x2 − 2007x− 2007 i) x2 + 2 −x = 2x2 2 −x.
k) (x+3 x+2)(x+9 x+18)= 120x l)
4 2 1
1
2
x x
m) x2 + x + 12 x+ 1 = 36 n) x− 1 + x3 +x2 +x+ 1 = 1 + x4 − 1
p) 3 ( 2 −x) 2 + 3 ( 7 +x) 2 = 3 + 3 ( 2 −x)( 7 +x) q) x3 + 1 =x2 − 3x− 1
r) 3 x2 − 7x+ 8 + 3 x2 − 6x+ 7 − 3 2x2 − 13x− 12 = 3
Bài 14: Cho m ; n là các số nguyên dương thõa điều kiện 7 − > 0
n
m
C/minh BĐT:
m m
n 7 − > 1 Bài 15: Cho 25 số tự nhiên khác 0 là a1 ; a2 ; a3 ; ; a25 thõa điều kiện:
9 1
1 1
1
25 3
2
1
= +
+ +
+
a a
a
a CMR: Trong 25 số đó , tồn tại hai số bằng nhau
Bài 16: Cho x > 0 Tìm GTNN các biểu thức sau:
a) A = x +
x
x2 +1 ; b) B = 27x +
x
x 1
729 2 + Bài 17: Tìm GTNN các biểu thức :
A = 12 + 4x−x2 − 3 + 2x−x2 ; B = 8024 + 2002x−x2 − 2006 + 1001x−x2
Bài 18: a) Cho x ≤ 4 Tìm GTNN của biểu thức: T = x2( 2 - x )
b)Biết phương trình ẩn x: x2 + ax + b + 142 = 0 có ngh/kép x0≥-6 Tìm GTNN của
biểu thức: K= a2 - a3 + 4b
Bài 19: Tìm số tự nhiên n (với n ∈ N*) sao cho tích các chữ số của số tự nhiên n này bằng n2 - 10n - 22
Bài 20: Cho a + b + c = 6 CMR tồn tại một trong ba phương trình sau có nghiệm:
x2+ ax + 1 = 0 (1) ; x2+ bx + 1 = 0 (2) ; x2+ cx +1= 0 (3)
Bài 21: Cho a ; b ; c là các số thực dương thõa: a + 2b + 3c = 1 CMR
Ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:
4x2 - 4(2a + 1)x + 4a2 + 192abc + 1 = 0 (1)
4x2 - 4(2b + 1)x + 4b2 + 96abc + 1 = 0 (2)
Bài 22: Cho x2 + y2 + xy = 1 Tìm GTLN & GTNN của biểu thức:
A = 2x2 - xy + 3y2.
Bài 23: Tìm m để hệ sau có nghiệm:
= + + +
+ +
≥ +
+
0 16 32 16
16 8
5 ) 2 ( 4
2 2
4
2
2 2
m m
mx x
x
x
x x
Bài 24: Giải các phương trình vô tỷ sau:
a) 23 ( 1 +x) 2 + 3 3 1 −x2 + 3 ( 1 −x) 2 = 0 ; b) x2 + 3x + 1 = (x + 3) x2 + 1
c) 3 7x+ 1 − 3 x2 −x− 8 + 3 x2 − 8x− 1 = 2 ; d) x2 - 3x + 1 = 1
3
3 4 + 2 +
3
4 2 8
3 x− =x − x + x− ; f) 1 −x2 + 2 3 1 −x2 = 3
Trang 3g) 3 x2 − 1 + 3 x2 + 18 = 5 ; h)
x
x x
x x
x
2 1
2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
−
+ + +
−
= + +
−
i) 3 x− 9 = (x− 3 ) 3 + 6 ; k) 2x2 − 1 + x2 − 3x− 2 = 2x2 + 2x+ 3 + x2 −x+ 2.
Bài 25: Giải bất phương trình: 3 12 −x+ 3 14 +x ≥ 2
Bài 26: Giải các phương trình:
a) 2x2 - 11x +21 = 3 3 4x− 4 b) 4 − 3 10 − 3x =x− 2
4
1 ( ) 4
1 ( ) 4
1 ( ) 4
1 (x− +y y− +z z− +t t− ≤
+ y + z + t ≤ 2
Bài 28: Cho a ; b ∈ R C/m BĐT: a6 + b6 ≥ 6a2b2 - 8
Bài 29: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi bằng 3.
Tìm GTNN của biểu thức: T = 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc
Bài 30: Cho 0 < x < y ≤ z ≤ 1 và 3x + 2y + z ≤ 4 Tìm GTLN của biểu thức: A = 3x2 + 2y2 + z2
Bài 31: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh một tam giác và S là diên tích của nó C/m
BĐT: 3a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 16.S
Bài 32: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh một tam giác; ha , hb , hc là độ dài ba đường cao C/m BĐT: ( a + b + c )2 ≥ 4( 2 2 2
c b
Bài 33: Cho x.y > 0 và x3 + y3 + 3(x2 + y2) + 4(x + y) + 4 = 0 Tìm GTLN của biểu thức: M = (x + y):xy (trích thi HSG Tỉnh Bình Định)
Bài 34: Cho x , y , z , t là các số thực dương Tìm GTNN biểu thức:
A = x y y z z y z z t t z t t x x+ t x−+x y+y
+
+
− + +
+
− + +
+
2
Bài 35: Cho a , b , c là các số thực dương C/m BĐT:
a
c c
b b
a a
c c
b
b
a
+ +
≥ +
3
3
Bài 36: Cho x , y , z > 0 và xyz = 1 Tìm GTLN biểu thức:
2 2 7
7 2 2
2 2 7
7
2
2
2
2
x z x z
x z z
y z y
z y y
x
y
x
y
x
+ +
+ + +
+ + +
Bài 37: Cho x , y , z ∈ R thõa xy + yz + xz = 0 còn a , b , c là các số dương được xác
định:
+ +
=
+ +
=
+ +
=
2 2
2 2
2 2
x zx z
c
z yz y
b
y xy x
a
; hỏi a , b , c có thể là độ dài ba cạnh một tam giác không ?
Bài 38: Cho x , y thõa hệ:
≥ +
≤
−
≥ +
y x
y x
y x
2 4
2 2
2 2
; tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = x2 +
y2
Bài 39: Giải hệ phương trình:
= +
= +
= +
x x z
z z y
y y x
2 ) 1 (
2 ) 1 (
2 ) 1 (
Trang 4Bài 40: Cho A = 3 3 3 3 2161
6
1 5
1 4
1
+ + + + ; chứng minh rằng A không là số tự nhiên
Bài 41: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh một tam giác vuông (c là độ dài cạnh huyền) Tìm GTNN biểu thức: P =
abc
c a b c b
a2 ( + ) + 2 ( + ) Bài 42: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh một tam giác C/m BĐT:
3
3 3 3
3 3 3
+
+ +
+
c a
c
b c
b
a
Bài 43: a) Cho a ; b ; c > 0 và abc = 1 Tìm GTLN biểu thức:
T =
3 2
1 3
2
1 3
2
1
2 2 2
2 2
2+ b + +b + c + +c + a +
b) Cho x ; y ; z ; t > 0 và xyzt = 1 Tìm GTLN biểu thức:K =
6 2
3 6 2
3 6 2
3 6 2
3 3 + 3 + 3 + + 3 + 3 + 3 + + 3 + 3 + 3 + + t3 + x3 +y3 +
t x
t z
z t
z y
y z
y
x
x
Bài 44: Cho a , b , c > 0 C/m BĐT:
1
3 )
1 (
1 )
1 (
1 )
1
(
1
+
≥ +
+ +
+
b
Bài 45: Cho △ABC có ·BAC ≥ 900; BC = a ; CA = b ; AB = c Tìm LTNN của biểu thức: P = (a+b)(b abc+c)(c+a)