Đề thi học sinh giỏi Môn Toán lớp 7 Năm học 2010 2011 Thòi gian làm bài : 120 phút I : Phần trắc nghiệm : Ghi vào bài làm đáp án em cho là đúng nhất . Câu 1 . Nếu 2 ; 3 x y = 4 ; 9 t y = 5 8 z t = thì x z bằng A : 5 27 B : 12 5 C : 64 135 D : 2 3 Câu 2 . Trong 45 phút ngời thợ chính tiện đợc 9 dụng cụ còn ngời thợ phụ tiện đợc 5 dụng cụ . Trong cùng một thời gian cả hai ngời cùng làm việc thì tiện đợc 98 dụng cụ . Trong số 98 dụng cụ đó thì số dụng cụ ngời thợ chính tiện đợc là : A : 63 B : 61 C : 59 D : 60 Câu 3 . Cho tam giác ABC có góc A = 50 0 . Tia phân giác của góc B và tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh C cắt nhau tại I . Số đo góc BIC bằng A : 20 0 B : 40 0 C : 130 0 D : 25 o II : Phần tự luận Bài 1 : Thực hiện phép tính 3 1 1 3 1 1 : ( ) : ( 1 ) 5 15 6 5 3 15 A = + 5 5 9 11 4 12 4 .9 6 .30 6 8 .3 B + = Bài 2 : Tìm 3 số a ; b ; c biết rằng 2 1 2 a b b c b c a b b c a b a b c + = = = + + + + Bài 3 : Tìm các số nguyên x , y sao cho : 2x + 3y + xy =5 Bài 4 : Một đơn vị công nhân sửa đờng dự định phân chia số mét đờng cho 3 tổ : Tổ I , tổ II , tổ III theo tỷ lệ 1 : 3 : 5 . Nhng sau đó vì số ngời thay đổi nên đã chia lại theo tỷ lệ 3 : 4 : 5 . Do đó có một tổ làm ít hơn dự định 20 mét . Tính số mét đờng dự định chia cho mỗi tổ . Bài 5 : Cho tam giác ABC có góc A nhỏ hơn 90 0 . Vẽ tia Ax vuông góc với AB ( 2 tia Ax và AC cùng nằm trong nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng AB ) , trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD = AB và dựng tia Ay vuông góc với AC ( 2 tia Ay và AB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng AC ) , trên tia Ay lấy điểm E sao cho AE = AC . Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh rằng a ) BE = DC b ) 1 2 AM DE= c ) AM vuông góc với DE Đáp án và biểu điểm chấm toán 7 I : Phần trắc nghiệm : ( 3 điểm : Mỗi câu trả lời đúng : 1 điểm ) Câu 1 : B Câu 2 : A Câu 3 : D II : Phần tự luận : Bài 1 : (4 điểm : Mỗi phần 2 điểm ) 3 1 1 3 1 1 : ( ) : ( 1 ) 5 15 6 5 3 15 A = + 5 5 9 11 4 12 4 .9 6 .30 6 8 .3 B + = 3 7 3 7 : : 5 30 5 5 = + 0,5 đ 5 9 11 12 12 36 6 .30 6 2 .3 + = 0,5 đ 3 30 3 5 . . 5 7 5 7 = + 0,5 đ 10 9 11 12 6 6 .30 6 6 + = 0,5 đ 3 30 5 .( ) 5 7 7 = + 0,5 đ 9 11 6 (6 30) 6 (1 6) + = 0,5 đ = 3 .( 5) 3 5 = 0,5 đ 9 11 6 .36 1 6 .( 5) 5 = = 0,5 đ Bài 2 : ( 2 điểm ) Điêu kiện : 2a + b 0 ; b + c 0 ; - a - b 0 ; a + b + c 0 áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau : 1 2 1 2 a b b c b c a b c a b c a b b c a b a b c + + + = = = = = + + + + + + ( Vì a + b + c 0 ) 1 đ 1 1 1 2 1 2 1 a b c a b a b b c b c b c a b = ++ = + = + + = Tìm đợc a = 2 ; b = -1 ; c = 0 1 đ Bài 3 : ( 2 điểm ) Từ 2x + 3y + xy = 5 Biến đổi đợc ( x + 3 )( y + 2 ) = 11 0,5đ Vì x; y là các số nguyên nên ( x + 3 ) và ( y + 2) là các số nguyên 11 = 1.11 = 11.1 = (-1).(-11) = (-11).(-1) Ta có các trờng hợp sau TH 1 : x + 3 = 1 x = - 2 y + 2 = 11 y = 9 TH 3 : x + 3 = - 1 x = - 4 y + 2 = - 11 y = - 13 TH 2 : x + 3 = 11 x = 8 y + 2 = 1 y = - 1 TH 4 : x + 3 = -11 x = - 14 y + 2 = -1 y = - 3 Vậy : Với x = - 2 thì y = 9 ; Với x = - 4 thì y = - 13 ; Với x = - 8 thì y = - 1 ; Với x = - 14 thì y = 3 ; 0,25 Bài 4 : ( 4 điểm ) Gọi số mét đờng cả 3 tổ phải làm là M . Số mét đờng của 3 tổ theo dự định lần lợt là x 1 , y 1 , z 1 và khi chia lại là x 2 , y 2 ,z 2. . Ta có 1 1 1 1 1 1 1 3 5 1 3 5 9 x y z x y z M + + = = = = + + Suy ra : 1 1 1 5 ; ; (1) 9 3 9 M M M x y z = = = 1 đ 2 2 2 2 2 2 3 4 5 3 4 5 12 x y z x y z M + + = = = = + + Suy ra : 2 2 2 5 ; ; (2) 4 3 12 M M M x y z = = = 1 đ So sánh (1) và (2) ta thấy chỉ có z 1 > z 2 . Vậy 1 2 5 5 5 9 12 36 M M M z z = = Vì z 1 z 2 =20 nên 5 20 144 36 M M = = 1đ Vậy 1 1 1 144 144 5.144 16; 48; 80 9 3 9 x y z = = = = = = Vậy số mét đờng 3 tổ đợc chia theo dự định là : 16 m ; 48 m và 80 m 1đ 1đ 0,25đ Bài 5 : ( 5 điểm ) a) 1,5 đ Ax vuông góc với AB ( gt ) xAB = 90 0 . Có xAC + CAB = xAB = 90 0 Ay vuông góc với AC ( gt) yAC = 90 0 . Có yAB + BAC = yAC = 90 0 xAC = yAB 0,5 đ Xét ABEV và ADCV có AB = AD ( gt) yAB = xAC (cmt) ( . . )ABE ADC c g c = V V AE = AC (gt) BE = DC ( Đ/n 2 tam giác bằng mhau ) 1 đ b ) 2 đ Trên tia đối của tia MA lấy điểm F sao cho MA = MF 1 2 MA AF = Xét AMBV và FMCV có AM = MF ( C/v) ( . . )AMB FMC c g c = V V AMB = FMC ( 2 góc đối đỉnh ) MB = MC (M là trung điểm của BC) AB = CF ( Đ/n 2 tam giác bằng nhau ) Mà AB = AD (gt) CF = AD ( = AB ) AMB FMC = V V ( CMT ) ABC = BCF mà hai góc này ở vị trì so le trong AB // CF ( dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song ) BAC + ACF = 180 0 ( hai góc trong cùng phía ) (1) yAB + ABC + CAx = EAD Mà yAB + BAC + xAC +CAB = 90 0 + 90 0 = 180 0 Hay EAD + CAB = 180 0 (2) Từ (1) (2) suy ra EAD = ACF 1 đ Xét AEDV và CAFV có AE = AC ( gt) EAD = ACF (cmt) ( . . )AED CAF c g c = V V AD = FC (cmt) ED = AF ( Đ/n 2 tam giác bằng nhau ) Mà 1 2 MA AF= (cách vẽ ) Vậy 1 2 MA ED= (đ.p.c.m ) 1 đ c) 1,5 đ Gọi H là giao điểm của AC và ED , I là giao điểm của AF và ED AED CAF = V V (cmt) AED = CAF ( Đ/n 2 tam giác bằng nhau ) AEHV vuông tại A ( Do Ay vuông góc với AC ) AED + AHI = 90 0 ( t/ c tam giac vuông ) Vậy CAF + AHI = 90 0 AIHV có CAF + AHI = 90 0 nên AIH = 90 0 AM vuông góc với ED ( đ/n 2 đơng thẳng vuông góc ) . M là trung điểm của BC . Chứng minh rằng a ) BE = DC b ) 1 2 AM DE= c ) AM vuông góc với DE Đáp án và biểu điểm chấm toán 7 I : Phần trắc nghiệm : ( 3. Đề thi học sinh giỏi Môn Toán lớp 7 Năm học 2010 2011 Thòi gian làm bài : 120 phút I :