Để kết thúc bài viết này, tôi muốn chúc các em học thật giỏi môn toán ngay từ đầu bậc THCS và cho tôi được nói riêng với các quý thầy cô : nguyên tắc chung để chứng minh một số tự nhiên [r]
Trang 1Chuyên đề bồi dưỡng HSG lớp 6 phần số học
Bài 1 : TèM
Tỡm
trong
cú : : và 17 thu #(,
Qua bài
bài toỏn “tỡm
Chỳng ta < = phỏt + tớnh = sau :
Tớnh 1 :
a) Cỏc số cú chữ số tận cựng là 0, 1, 5, 6 khi nõng lờn lũy thừa bậc bất kỡ thỡ chữ số tận cựng vẫn khụng thay đổi
b) Cỏc số cú chữ số tận cựng là 4, 9 khi nõng lờn lũy thừa bậc lẻ thỡ chữ số tận cựng vẫn khụng thay đổi
c) Cỏc số cú chữ số tận cựng là 3, 7, 9 khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thỡ chữ số tận cựng là 1
d) Cỏc số cú chữ số tận cựng là 2, 4, 8 khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thỡ chữ số tận cựng là 6
m,
-
- m = a4n + r = a4n.ar!6 r = 0, 1, 2, 3 nờn +
-
r
Bài toỏn 1 : Tỡm
a) 799 b) 141414 c) 4567
:
a)
99 - 1 = (9 - 1)(98 + 97 + … + 9 + 1) chia 1 cho 4
=> 99 = 4k + 1 (k N) => 799 = 74k + 1 = 74k.7
b) \^ = 1414 = 4k (k N) => theo tớnh = 1d thỡ 141414 = 144k cú
cựng là 6
c) Ta cú 567 - 1 chia 1 cho 4 => 567 = 4k + 1 (k N)
=> 4567 = 44k + 1 = 44k.4, theo tớnh = 1d, 44k cú 567 cú
Tớnh = sau #(, => + tớnh = 1
Tớnh 2 : Một số tự nhiờn bất kỡ, khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc
N) thỡ chữ số tận cựng vẫn khụng thay đổi
Trang 2Bài toán 2 : Tìm 1 + 35 + 49 + … + 20048009
:
4(n - 2) + 1, n {2, 3, …, 2004})
Theo tính
(2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + … + 9) +
9 = 9009
+ tính = 1 17 % => tính = 3
Tính 3 :
a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3
b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2
c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n +
3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng
:
4(n - 2) + 3, n {2, 3, …, 2004})
6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 +
7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019
* Trong
19952000
: 19952000
#" là n2 + n + 1 có chia 1 cho 5 không ?
+ n A có : là 0 ; 2 ; 6 => n2 + n + 1 2 + n + 1 không chia 1 cho 5
2 + n + 1 chia 1 cho 19952000
5 ; 6 ; 9”, ta có : > #(, bài toán sau :
Bài toán 5 :
Trang 3a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k
b) N = 20042004k + 2003
3 ; 7 ; 9”, ta 17 % > j 1 #(, bài toán :
chia 1 cho 5
* Các
Bài 1 : Tìm
a) 21 + 35 + 49 + … + 20038005 cho 5
b) 23 + 37 + 411 + … + 20038007 cho 5
Bài 2 : Tìm
X = 22 + 36 + 410 + … + 20048010
Y = 28 + 312 + 416 + … + 20048016
Bài 3 :
U = 21 + 35 + 49 + … + 20058013
V = 23 + 37 + 411 + … + 20058015
Bài 4 :
19x + 5y + 1980z = 1975430 + 2004
* Các
cùng
* Tìm hai ) *+ , cùng
cùng
nhiên x thì thay vào
Rõ ràng
am
25
x = am = aq(apn - 1) + aq
Vì an - 1∶ 25 => apn - 1 ∶ 25 a4 khác, do (4, 25) = 1 nên aq(apn - 1) ∶ 100 theo, ta tìm hai
n - 1∶ 100
01 m = un + v (u ; v r N, 0 s v < n) ta có :
x = am = av(aun - 1) + av
Vì an - 1 ∶ 100 => aun - 1 ∶ 100
Trang 4Trong
tìm
q và av
Bài toán 7 :
Tìm hai
a) a2003 b) 799
: a) Do 22003 là
n - 1 ∶ 25
Ta có 210 = 1024 => 210 + 1 = 1025 ∶ 25 => 220 - 1 = (210 + 1)(210 - 1) ∶ 25 =>
23(220 - 1) ∶ 100 a4 khác :
22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + 8 (k r N)
2003 là 08
1 ∶ 100
Ta có 74 = 2401 => 74 - 1 ∶ 100
a4 khác : 99 - 1 ∶ 4 => 99 = 4k + 1 (k r N)
0 799 = 74k + 1 = 7(74k - 1) + 7 = 100q + 7 (q
Bài toán 8 :
517 Do
n - 1 ∶ 100
Ta có 310 = 95 = 59049 => 310 + 1 ∶ 50 => 320 - 1 = (310 + 1) (310 - 1) ∶ 100
a4 khác : 516 - 1 ∶ 4 => 5(516 - 1) ∶ 20
=> 517 = 5(516 - 1) + 5 = 20k + 5 =>3517 = 320k + 5 = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) +
243, có hai
517 cho 25 là 18
Trong
Các thí
Tính 4 : H1 a r N và (a, 5) = 1 thì a20 - 1 ∶ 25
Bài toán 9 : Tìm hai
a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + + 20042002
b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + + 20042003
:
chia 1 cho 5 thì a2 chia 1 cho 25
a4 khác, + tính = 4 ta suy ra !6 3 a r N và (a, 5) = 1 ta có a100 - 1 ∶ 25
0 !6 3 a r N ta có a2(a100 - 1) ∶ 100
Do # S1 = 12002 + 22(22000 - 1) + + 20042(20042000 - 1) + 22 + 32 + + 20042
Trang 5Vì 1 2
+ 22 + 32 + + 20042 áp
12 + 22 + 32 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6
=>12 + 22 + + 20042 = 2005 x 4009 x 334 = 2684707030,
1 là 30
b) Hoàn toàn 2 = 12003 + 23(22000 - 1) + + 20043(20042000 - 1) +
cùng 13 + 23 + 33 + + 20043
áp
=> 13 + 23 + + 20043 = (2005 x 1002)2 = 4036121180100,
2 là 00
cùng
Ta có tính
Tính
+ A có
+ A có
+ A có
+ A có
+ A có hai
2 không
: Do n - 1 không chia 1 cho 4 nên n = 4k + r (r r {0, 2, 3}) Ta có 74
- 1 = 2400 ∶ 100 Ta !1 7n + 2 = 74k + r + 2 = 7r(74k - 1) + 7r + 2
0, 2, 3) nên A có : là 03, 51, 45 Theo tính = 5 thì rõ ràng 7n + 2 không
chính
* Tìm ba ) *+ , cùng
Do 1000 = 8 x 125 mà (8, 125) = 1 nên ta
m chia 1 cho 2m cho an - 1 chia 1 cho 125
x = am = aq(apn - 1) + aq
Vì an - 1 chia 1 cho 125 => apn - 1 chia 1 cho 125 a4 khác, do (8, 125) = 1 nên
aq(apn - 1) chia 1 cho 1000
Trang 6m q 17 theo, ta
n - 1 chia 1 cho 1000 01 m = un + v (u ; v r N, 0 s v < n) ta có :
x = am = av(aun - 1) + av
Vì an - 1 chia 1 cho 1000 => aun - 1 chia 1 cho 1000
Tính = sau #(, suy ra + tính = 4
Tính 6 :
H1 a r N và (a, 5) = 1 thì a100 - 1 chia 1 cho 125
5 minh : Do a20 - 1 chia 1 cho 25 nên a20, a40, a60, a80 khi chia cho 25 có cùng
=> a20 + a40 + a60 + a80 + 1 chia 1 cho 5 0 a100 - 1 = (a20 - 1)( a80 + a60 + a40
+ a20 + 1) chia 1 cho 125
Bài toán 11 :
: Theo tính chất 6, do (123, 5) = 1 => 123100 - 1 chia 1 cho 125 (1) a4 khác :
123100 - 1 = (12325 - 1)(12325 + 1)(12350 + 1) => 123100 - 1 chia 1 cho 8 (2)
Vì (8, 125) = 1, + (1) và (2) suy ra : 123100 - 1 chi 1 cho 1000
=> 123101 = 123(123100 - 1) + 123 = 1000k + 123 (k | N)
0 123101 có ba
Bài toán 12 :
: Theo tính chất 6, do (9, 5) = 1 => 9100 - 1 chi 1 cho 125 (1)
100 - 1 chia 1 cho 8 (2)
Vì (8, 125) = 1, + (1) và (2) suy ra : 9100 - 1 chia 1 cho 1000 => 3399 98 = 9199 9 =
9100p + 99 = 999(9100p - 1) + 999 = 1000q + 999 (p, q r N)
399 98 là 889
Bài toán 13 :
: do (2004, 5) = 1 (tính chất 6)
=> 2004100 chia cho 125 ( 1
=> 2004200 = (2004100)2 chia cho 125 ( 1
Trang 7=> 2004200 200
chia
Sau
Bài 1 : n + 2n + 3n + 4n chia 1 cho 5 khi và A khi n không chia
1 cho 4
Bài 2 : 20002003, 720002003 có
Bài 3 : Tìm hai
a) 3999 b) 111213
Bài 4 : Tìm hai
S = 23 + 223 + + 240023
Bài 5 : Tìm ba
S = 12004 + 22004 + + 20032004
Bài 7 : Cho A là
cùng A200
Bài 8 : Tìm ba
199319941995 2000
Bµi 2 :
LÀ
Trong
nhiên
các em
các em
1 Nhìn ) *+ , cùng
Vì
chính BCD B có ) *+ , cùng là 'G trong các ) *+ 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9
+ # các em có : > #(, bài toán &: sau #z :
Bài toán 1 : 2 + 20032 + 20022 - 20012 không 7> là
Trang 820012
Chú ý :
; 6 ; 9
chút
2 Bài toán 2 :
không
Chú ý : Có
Bài toán 3 :
không
không chia
chia
2 Dùng tính Q( *+ RC
Bài toán 4 :
chính
chia cho 3
nói
>
: Vì *+ chính BCD khi chia cho 3 T có *+ RC là 0 U 1 mà
thôi (coi
2006 nên
Bài toán 5 :
chính
Bây
Bài toán 7 :
n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 không là
Trang 9*+ chính BCD khi chia cho 4 *V cho *+ RC C L nào T ? Các em có :
> xong bài toán 7
3 X9YBZ *+ )( hai *+ chính BCD “liên LBZ
< (n + 1)2 thì k không là
sau :
Bài toán 8 :
: Ta có 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nên 20032 < 4014025 <
20042
Bài toán 9 :
ra A + 1 là
7
: Ta có :
A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) +1 = (n2 + 3n +1)2
a4 khác :
(n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A
2 + 3n)2 < A < A + 1 = (n2 + 3n +1)2
=> A không là
Các em có
2 - n + 1)2
Bài toán 12 : Có 1000
chính
Bài toán 13 :
liên
v, ý : H 6 phép chia cho 4
Bài toán 15 : Lúc
Trang 10nào
minh
thêm
Bµi 3 :
Các
toán
;CD pháp 1 : P[( vào ]^ _(A
Ta
3) + 1 là
: Ta có :
an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1
= (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + 1
= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1
= (n2 + 3n + 1)2
:
Ta có :
Trang 110 : là
;CD pháp 2 : P[( vào tính ]U 4`A
Ta có
nguyên
= 4n2 + n thì m - n và 4m + 4n + 1
:
Ta có : 3m2 + m = 4n2 + n
2 - n2) + (m - n) = m2
hay là (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 (*)
chia 1 cho d => 8m + 1 chí 1 cho d
a4 khác, + (*) ta có : m2 chia 1 cho d2 => m chia 1 cho d
+ 8m + 1 chia 1 cho d và m chia 1 cho d ta có 1 chia 1 cho d => d = 1
chúng
1)
Trang 122) Cho các
1/b = 1/c Hãy cho
Bµi 4 :
Trong
;CD pháp chung ]f :
1/
cho
2/ Trong
và tích
D}H và [a, b] là BCNN a và b 0 5 minh B này không khó :
1 (*)
+ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd
=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab
=> ab = (a, b).[a, b] (**)
Chúng ta hãy xét một số ví dụ minh họa
Bài toán 1 : Tìm hai
+ (*), do (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m s n do a s b) !6 m, n Z+ ; (m, n) = 1
Theo
[a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15
=> m = 1 , n = 15 4 m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 4 a = 48, b = 80
Chú ý : Ta có
b] => mn.162 = 240.16 suyy ra mn = 15
Bài toán 2 : Tìm hai
Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n !6 m, n Z+ ; (m, n) = 1 ; m s n
Vì
= 6
Bài toán 3 : Tìm hai
:
+ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = 3
Tìm
Trang 131 j > : a = 3, b = 60 4 a = 12, b = 15
Chú ý : Ta có
Theo (*) ta có ab = mnd2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3
Bài toán 4 : Tìm hai
: Theo (*), (a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n !6 m, n Z+ ; (m, n) = 1
Vì
và b = 25
Chú ý : phân
Bài toán 5 : Tìm a, b 51 a/b = 4/5 và [a, b] = 140
: 4 (a, b) = d Vì , a/b = 4/5 , 4 khác (4, 5) = 1 nên a = 4d, b = 5d
}( ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35
Bài toán 6 : Tìm hai
Ta có : a = 16m ; b = 16n !6 m, n Z+ ; (m, n) = 1 ; m s n
Vì
80
Bài toán 7 : Tìm a, b 51 a + b = 42 và [a, b] = 72
: v3 d = (a, b) => a = md ; b = nd !6 m, n Z+ ; (m, n) = 1 Không
Do # : a + b = d(m + n) = 42 (1)
[a, b] = mnd = 72 (2)
=> d là (6 chung 42 và 72 => d {1 ; 2 ; 3 ; 6}
,7 d = 6 => m + n = 7 và mn = 12 => m = 3 và n = 4 Z p mãn các #"
Bài toán 8 : Tìm a, b 51 a - b = 7, [a, b] = 140
}W > : v3 d = (a, b) => a = md ; b = nd !6 m, n Z+ ; (m, n) = 1
Do # : a - b = d(m - n) = 7 (1’)
[a, b] = mnd = 140 (2’)
=> d là (6 chung 7 và 140 => d {1 ; 7}
Thay
d = 7 => m - n = 1 và mn = 20 => m = 5, n = 4
0 d = 7 và a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28
Bài ,B [ :
1/ Tìm hai
2/ Tìm hai
các
3/ Cho hai
Bµi 5 : NGUYÊN LÍ p7 - RÍCH - LÊ
Trang 14Nguyên lí
> n thì có ít
là
sau #z
Bài toán 1 :
ít
:
chia cho 10 có 10
Vì có 11
Bài toán 2 :
1 cho 1995
:
Xét 1995
1994
Vì có 1995
2
Khi # : = 1994 199400 0 chia 1 cho 1995 Z#7X
Bài toán 3 :
1 cho104
19991 ; 19992 ; ; 1999104 + 1
(1999m - 1999n) chia 1 cho 104 (m > n)
hay 1999n (1999m-n - 1) chia 1 cho 104
Vì 1999n và 104 nguyên
4 m - n = k => 1999^k - 1 chia 1 cho 104 Z#7X
Bài toán 4 :
cho 2003
hay 11 100 0 chia 1 cho 2003 Z#7X
Một số bài toán tự giải :
Trang 15Bài toán 5 :
Bài toán 6 :
thì
Bài toán 7 :
cùng là 0001
Bài toán 8 :
thì tìm
Các
thú !J
Bµi 6 : NGUYÊN LÍ p7qr>q o
&
Nguyên lí có
> k.n thì có ít
Bài toán 1 : Trong tam giác
#: # luôn không !(, quá 1 Z#7X
Bài toán 2 : Trong
có 3
Trang 16Vì 51
rích-lê, có ít
B hình vuông ta #k A ra g trên
Bài toán 3 : Trong
hình tròn bán kính
1
tâm A bán kính
+
+
2 tâm B bán kính Khi
> 1 nên theo > 1 ta có AC s 1 4 BC s 1 Nói cách khác, #: C 7> C1
rích-lê ta có
thì hình tròn này chính là hình tròn bán kính
2003 #: #k cho
Bài toán 4 : Cho hình bình hành ABCD,
minh
Trang 17(hình 3)
Vì ABCD là hình bình hành => MN // AD // BC ; PQ // AB // CD
thì LP, LQ
S(AEFD) / S(EBCF) = 1/3 4 S(EBCF) / S(EBFC) = 1/3 => LP / LQ = 1/3 4 là
LQ / LP = 1/3
Trên PQ = hai #: L1, L2 1P / L1Q = L2Q / L2P = 1/3 khi # L
L2
1, K2 1M / K1N = K2N / K2M
Tóm
#: L1 ; L2 ; K1 ; K2
Vì 17 > 4.4 nên theo nguyên lí
1 ; L2 ; K1 ; K2 (5
Sau đây là một số bài tập tương tự
Bài 1 : Trong hình
minh
Bài 2 : Trong
nguyên (có hoành
trong
Bài 3 :
5 hình tròn có bán kính
Bài 4 : Trên
101 ô
Bµi 7 : BÀN }nH 0 BÀI TOÁN "BA 0 CH
Chúng ta
Ngày
luôn nói
xác
- Ai
-
Trang 18Ông
- Ngài là ai ?
- Ta là
Sau cùng ông
- Ai
-
Nhà
- Tôi
“thông minh”
nhà
sau 3 câu
1
- Ngài là ai ?
Có 3
- Ta là
- Ta là
- Ta là
2
- Ai
-
-
-
Trong
có
Bài toán
án “khôn ngoan”
p #(, không ?
Rõ ràng là không
Bây
Trang 19nào,
- Ngài là
-
- Ngài là
-
Sau
không ?
Xin
là
... b).[a, b] (**)Chúng ta xét số ví dụ minh họa
Bài tốn : Tìm hai
+ (*), (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m s n a s b) !6 m, n Z+ ; (m,... = mn. 16 = 240 => mn = 15
=> m = , n = 15 4 m = 3, n = => a = 16, b = 240 4 a = 48, b = 80
Chú ý : Ta có
b] => mn. 16< small>2 = 240. 16 suyy... = 6m ; b = 6n !6 m, n Z+ ; (m, n) = ; m s n
Vì
=
Bài tốn : Tìm hai
:
+ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180 /60