LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP SỐ PHỨC

SỐ PHỨC

1) Tập hợp số phức : £

2) Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b ∈ R, I là đơn vị ảo, i2 = -1); a là phần thực, b là phần ảo

• zlà số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0

• z là số ảo ⇔ phần thực của z bằng 0

3) Hai số phức bằng nhau :

a + bi = c + di ⇔ a c

b d

=



 =



4) Biểu diễn hình học của số phức : Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) hay bởi vecto

ur=(a ; b) trong mp(Oxy) (hay mặt phẳng phức)

5) Cộng trừ số phức :

• (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

• (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

6) Số đối : Số đối của z = a + bi là – z = - a – bi

z biểu diễn bởi vecto ur, z’ biểu diễn bởi vecto 'uur thì :

• z + z’ biểu diễn bởi ur + 'uur

• z – z’ biểu diễn bởi ur - 'uur

7) Nhân hai số phức :

(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

8) Số phức liên hợp : Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi= −

; ' ' ; ' '

z=z z z+ = +z z zz =z z

z là số thực ⇔ z = z ; z là số ảo ⇔ z = - z

9) Môđun của số phức :

• Cho số phức z = a + bi, môđun của số phức z là z = a2+b2 = zz = OMuuuur

• z ≥0 với mọi z∈C, z = ⇔ =0 z 0

• zz' = z z ' , z z+ ≤ +' z z' với mọi z, z’ thuộc C.

10) Chia hai số phức :

• Số phức nghịch đảo cuae z (z ≠ 0) : 1 2

z z

z

− =

• Thương của z’ chia cho z (z ≠ 0) : 1 2

'

z z z z z

z z

−

• Với z ≠ 0, z' w z' w z

• z' z' , z' z'

z z z z

 ÷

 

BÀI TẬP :

1) Tìm các số thực x và y biết :

a) (2x + 3y + 1) + (- x + 2y)i = (3x – 2y + 2) + (4x – y – 3)i

b) 2x + 1 + (1 – 2y)i = 2 – x + (3y – 2)i

c) x + 2y + (2x – y)i = 2x + y + (x + 2y)i

d) 4x + 3 + (3y – 2)i = y +1 + (x – 3)i

2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm taaph hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa điều kiện : a) Phần thực của z bằng phần ảo của nó

b) Phần thực của z là số đối của phần ảo của nó

c) Phần ảo của z bằng 2 lần phần thực của cộng với 1

d) Tổng bình phương của phần thực và phần ảo của z bằng 1, phần thực của z không âm e) z ≤1 và phần ảo của z thuộc đoạn 1 1;

2 2

− 

f) Phần thực của z thuộc khoảng (-1 ; 2)

g) Phần ảo của z thuộc đoạn [1 ; 3]

h) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [-2 ; 2]

i) z =1

j) 1< ≤z 2

k) z =1 và phần ảo của z bằng 1

3) Tính z với :

a) z = 1 – 3i b) z = -2 + i 3 c) z = -5 d) z = i 3

4) Tính :

a) (1 + i)10 b) (3 – 4i)2 c) (2 + 3i)3 d) [(4+5i) – (4 +3i)]5

e) (1 + i)2006 f) (1 – i)2006 g)

3

2 i 2

− +

3

2 i 2

+

5) Phân tích thành nhân tử trên tập số phức :

a) u2 + v2 b) u4 – v4

6) Tính :

a) (3 2 )(1 3 ) (2 )

1 3

i i

i i

(2 ) (1 )(4 3 )

3 2

i

(3 4 )(1 2 )

4 3

1 2

i i

i i

−