Ebook Fermat và định lý cuối cùng

Khi quay phim, Andrew nói với chúng tôi những cảm xúc sâu kín nhất của ông về những gì ông đã làm mà trước đó ông chưa hề nói với ai; rằng trong suốt ba mươi năm ông đã đeo đẳng giấc [r]

FERMAT’S ENIGMA

Copyright © 1998 by Simon Singh All rights reserved

Bản tiếng Việt © Nhà xuất bản Trẻ, 2010

Tái bản lần thứ 2

Phạm Văn Thiều - Phạm Việt Hưng dịch

Mục lục

i “Có lẽ tôi xin phép đượC dừng ở đây ” 17

5

phần đầu

cuối cùng với các môn đệ trước khi Chúa bị hành hình Đây là một thuật ngữ ví von thường hay được dùng trong nền văn hóa Tây phương để nhấn mạnh vai trò quan trọng và cốt yếu của cái được ví Trong trường hợp này đó là chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat (ND).

lời giới thiệu

Cuối cùng chúng tôi cũng đã cùng có mặt trong căn phòng, không đông người, nhưng đủ rộng để chứa toàn bộ Khoa Toán của trường Đại học Princeton trong những dịp lễ lạt lớn Vào buổi chiều đặc biệt đó, xung quanh không nhiều người lắm, nhưng đủ để tôi khó xác định được người nào là Andrew Wiles Sau một lát, tôi nhận ra một người trông

có vẻ rụt rè, đang lắng nghe xung quanh chuyện trò, nhấm nháp ly trà,

và thả mình trong những tư tưởng mà các nhà toán học trên khắp thế giới đang chú ý theo dõi sẽ diễn ra vào khoảng bốn giờ chiều nay Ông

ta dễ dàng đoán được tôi là ai.

Đó là thời điểm kết thúc một tuần lễ phi thường Tôi đã gặp gỡ một

số nhà toán học tuyệt vời nhất đang còn sống, và bắt đầu cố gắng xâm nhập vào bên trong thế giới của họ Nhưng bất chấp mọi ý đồ tiếp cận với Andrew Wiles, để nói chuyện với ông, và để thuyết phục ông tham gia vào một cuốn phim tài liệu trong chương trình Horizon của đài BBC về thành tựu của ông, đây là cuộc gặp mặt đầu tiên của chúng tôi Đó là người mới đây đã thông báo rằng ông ta đã tìm thấy Chiếc Chén Thánh 1

của toán học; người tuyên bố đã chứng minh được Định lý cuối cùng của Fermat Như tôi đã nói, Wiles có một vẻ lơ đãng rụt rè, và mặc dù rất lịch sự và thân ái, nhưng rõ ràng là ông muốn tôi càng tránh xa ông càng tốt Ông giải thích rất đơn giản rằng ông không thể tập trung vào bất cứ việc gì lúc này ngoài công việc đang vào chặng quyết định, nhưng có thể sau này, khi áp lực hiện thời được giải tỏa, ông sẽ vui lòng tham gia Tôi biết, và ông cũng biết tôi biết, rằng ông đang phải đối

mặt với sự sụp đổ hoài bão của đời ông, và rằng Chiếc Cốc Thánh mà ông đang cầm trong tay bây giờ đang bị phát giác ra rằng chẳng phải là đẹp đẽ, giá trị gì lắm, mà chỉ là một chiếc cốc uống nước thông thường

mà thôi Bởi vì ông đã thấy một sai lầm trong chứng minh đã công bố Câu chuyện về Định lý cuối cùng của Fermat là một câu chuyện độc nhất vô nhị Cho tới lúc gặp Andrew Wiles, tôi đã biết rằng đó thật sự là một trong những trang sử vĩ đại nhất của những nỗ lực khoa học và học thuật Mùa hè năm 1993, tôi đã nhìn thấy những tiêu đề lớn đưa toán học lên trang nhất của những tờ báo tầm cỡ quốc gia trên khắp thế giới, loan báo việc chứng minh định lý này Vào thời điểm ấy, tôi chỉ có một hồi ức lờ mờ về Định lý cuối cùng của Fermat, nhưng đã thấy ngay rằng

đó là một cái gì rất đặc biệt, rất hợp với một cuốn phim trong chương trình Horizon Tôi đã dành thì giờ trong những tuần lễ tiếp theo để nói chuyện với nhiều nhà toán học: những người có liên hệ gần gũi với câu chuyện này, hoặc gần gũi Andrew, hoặc những người chỉ đơn giản là

đã chia sẻ sự xúc động khi chứng kiến một thời điểm vĩ đại trong lĩnh vực hoạt động của họ Tất cả đã rộng lượng chia sẻ những hiểu biết sâu sắc của họ về lịch sử toán học, và kiên nhẫn nói chuyện với tôi mặc dù kiến thức về toán học của tôi quá kém cỏi so với những khái niệm về những vấn đề có liên quan Vấn đề nhanh chóng trở nên rõ ràng rằng đây có lẽ là một đề tài mà trên thế giới chỉ có khoảng 5, 6 người có thể hiểu được một cách thấu đáo và đầy đủ Trong một thời gian, tôi đã băn khoăn không biết mình có điên rồ khi định làm một cuốn phim về

đề tài này Nhưng từ những nhà toán học mà tôi trò chuyện, tôi đã hiểu được lịch sử phong phú và ý nghĩa sâu sắc hơn của định lý Fermat đối với toán học cũng như đối với những người làm toán, và cuối cùng tôi cũng nhận được ra câu chuyện thật sự nằm ở đâu.

Tôi đã nắm được nguồn gốc cổ Hy Lạp của bài toán, và hiểu rằng Định lý cuối cùng của Fermat là đỉnh Himalaya của lý thuyết số Tôi được dẫn dắt vào cái đẹp đầy quyến rũ của toán học, và bắt đầu đánh giá được vì sao toán học được mô tả như là ngôn ngữ của tự nhiên

7

phần đầu

Thông qua những người cùng thời với Wiles, tôi đã biết rõ rằng bản chất công việc của ông đòi hỏi một tư duy mạnh mẽ kinh khủng đến chừng nào trong việc tập hợp tất cả những kỹ thuật tân tiến nhất của lý thuyết

số với nhau nhằm áp dụng cho chứng minh của ông Từ những người bạn của ông ở Đại học Princeton, tôi đã nghe nói về sự tiến triển rất phức tạp của những năm nghiên cứu biệt lập của Andrew Tôi dựng nên một hình ảnh phi thường xung quanh Andrew Wiles và bài toán thách đố ngự trị cuộc đời ông, nhưng dường như tôi chưa bao giờ có ý định tìm gặp chính bản thân ông.

Mặc dù nội dung toán học liên quan đến chứng minh của Wiles nằm trong số những vấn đề khó nhất của toán học, nhưng tôi nhận thấy vẻ đẹp của Định lý cuối cùng của Fermat nằm ngay trong sự cực kỳ đơn giản và dễ hiểu của bản thân bài toán đó Đúng là một câu đố vì nó được phát biểu bằng những ngôn từ quen thuộc với mọi học sinh phổ thông Pierre de Fermat là một con người thuộc truyền thống Phục hưng, sống giữa trào lưu tái khám phá kho trí tuệ cổ Hy Lạp, nhưng ông đã đặt ra một câu hỏi mà người Hy Lạp không hề nghĩ ra để hỏi; và khi làm như vậy, ông đã đặt ra một bài toán khó nhất trên thế gian để cho những người khác phải giải Và như muốn trêu ngươi, ông để lại cho hậu thế mấy dòng ghi chú trong đó thông báo rằng ông đã tìm ra một lời giải, nhưng không cho biết lời giải đó ra sao Đó là phút khởi đầu cho một cuộc săn đuổi kéo dài tới ba thế kỷ.

Độ dài thời gian đó đã nói lên ý nghĩa đặc biệt của câu đố này Thật khó mà hình dung được một bài toán nào, trong bất kỳ một lĩnh vực khoa học nào, được phát biểu đơn giản và rõ ràng đến như thế mà lại có thể chống chọi được với sự công phá của trí tuệ lâu dài đến thế Chúng

ta nhớ lại những bước nhảy vọt trong nhận thức vật lý, hóa học, sinh học, y học và công nghệ đã xảy ra từ thế kỷ 17 Từ “các thể dịch” 1 trong

y học, chúng ta đã tiến tới ghép nối được các gene, đã nhận dạng được

khỏe và tâm trạng của sinh vật (ND)

các hạt cơ bản trong nguyên tử, và đã đưa được con người lên Mặt trăng; nhưng trong lý thuyết số Định lý cuối cùng của Fermat vẫn không thể nào vượt qua được.

Trong khi tìm hiểu, đôi khi tôi muốn biết lý do tại sao Định lý cuối cùng không gây được sự chú ý đối với mọi người mà chỉ đặc biệt đối với các nhà toán học, và tại sao nó quan trọng đến nỗi tạo ra cả một chương trình nghiên cứu về nó như thế Toán học có hằng hà sa số ứng dụng thực tiễn, nhưng trong trường hợp lý thuyết số, những ứng dụng hấp dẫn nhất mà tôi được biết là trong khoa học mật mã, trong việc thiết kế các bộ tiêu âm, và trong việc liên lạc từ những con tàu vũ trụ

xa xôi Nhưng chẳng có cái nào trong những ứng dụng đó có sự hấp dẫn đặc biệt đối với công chúng Điều hấp dẫn chúng ta nhiều hơn chính

là bản thân các nhà toán học, và cái cảm xúc say sưa mà tất cả bọn họ đều biểu lộ ra khi nói về bài toán Fermat.

Toán học là một trong các dạng thuần khiết nhất của tư duy, và đối với người ngoài ngành toán, các nhà toán học hầu hết đều có vẻ như những người ở thế giới khác Điều gây ấn tượng mạnh đối với tôi trong mọi cuộc thảo luận giữa tôi với họ là tính chính xác khác thường trong câu chuyện trao đổi của họ Một câu hỏi hiếm khi được trả lời ngay tức khắc, tôi thường phải chờ đợi trong khi cấu trúc chính xác của câu trả lời được định hình trong đầu họ; nhưng khi nó được nói ra, thì đúng là một lời phát biểu rành mạch rõ ràng và thận trọng mà bản thân tôi rất muốn có được Khi tôi nói với Peter Sarnak, một người bạn của Andrew Wiles, về điều này, ông đã giải thích rằng đơn giản vì các nhà toán học không thích tạo ra một mệnh đề sai Tất nhiên, họ cũng vận dụng trực giác và ngẫu hứng, nhưng những lập luận hình thức phải là tuyệt đối Chứng minh là cái nằm trong trái tim của toán học, và là cái đánh dấu phân biệt nó với các khoa học khác Các khoa học khác có những giả thuyết được kiểm chứng bằng thực nghiệm cho tới khi chúng bị bác

bỏ và được thay thế bởi những giả thuyết mới Trong toán học, chứng minh tuyệt đối là mục tiêu, và khi một cái gì đó được chứng minh, nó

9

phần đầu

sẽ được khẳng định mãi mãi, không có chỗ để cho nó thay đổi Trong Định lý cuối cùng, các nhà toán học phải đối mặt với một sự thách thức lớn nhất về chứng minh, và người tìm ra câu trả lời sẽ nhận được sự ngưỡng mộ của toàn bộ giới toán học.

Những giải thưởng đã được đặt ra, và sự đua tài bùng phát Định

lý cuối cùng có một lịch sử hết sức phong phú dính dáng tới cả cái chết

và sự lường gạt, nhưng nó cũng đã thúc đẩy sự phát triển của toán học Như nhà toán học Barry Mazur đã nói, Fermat đã thổi “hồn” vào các lĩnh vực toán học đã từng gắn liền với những ý đồ đầu tiên chứng minh định lý đó Do sự trớ trêu của số phận, hóa ra một trong những lĩnh vực toán học như thế lại chiếm vị trí trung tâm trong chứng minh cuối cùng của Wiles.

Nhặt nhạnh dần dần những hiểu biết về một lĩnh vực không quen thuộc, tôi đã đi tới chỗ đánh giá Định lý cuối cùng của Fermat như là trung tâm, và thậm chí có lịch sử song song với lịch sử phát triển của chính toán học Fermat là cha đẻ của lý thuyết số hiện đại, và từ thời ông các nhà toán học đã phát triển, thúc đẩy và đa dạng hóa nó thành nhiều lĩnh vực chuyên sâu, ở đó các kỹ thuật mới lại đẻ ra những lĩnh vực mới của toán học, rồi trở thành những ngành toán học độc lập Nhiều thế

kỷ trôi qua, Định lý cuối cùng dường như ngày càng ít có liên quan với những nghiên cứu toán học thuộc thế hệ trước, và càng ngày càng trở thành một thứ của lạ Nhưng bây giờ rõ ràng là vai trò trung tâm của

nó đối với toán học thực ra chưa bao giờ thuyên giảm.

Những bài toán về số, như bài toán mà Fermat đã đặt ra chẳng hạn, rất giống với những trò chơi thách đố, mà các nhà toán học vốn lại thích giải các câu đố Đối với Andrew Wiles, đây là một thách đố rất đặc biệt, và chẳng có gì khác hơn, đó chính là hoài bão của đời ông

Ba mươi năm trước, sau khi bất ngờ gặp Định lý cuối cùng của Fermat trong một thư viện công cộng, cậu bé Wiles đã say mê nó Giấc mơ tuổi thơ và tuổi trưởng thành của Wiles là giải được bài toán đó, và khi ông công bố chứng minh đầu tiên của mình vào mùa hè năm 1993, thì đó

là thời điểm kết thúc của một chặng đường bảy năm làm việc hết mình cho bài toán, với một mức độ tập trung và quyết tâm khó có thể tưởng tượng được Khi mới bắt tay vào công việc, nhiều kỹ thuật mà ông sử dụng sau đó còn chưa được sáng tạo Ông cũng kết hợp các công trình của nhiều nhà toán học xuất sắc với nhau, kết nối các ý tưởng và sáng tạo ra những khái niệm mà những người khác đã sợ không dám làm Theo một nghĩa nào đó, như Barry Mazur nhớ lại, hóa ra là mọi người đều đã làm việc cho bài toán Fermat, nhưng biệt lập với nhau và không coi nó là mục tiêu, vì chứng minh này đòi hỏi phải huy động toàn bộ sức mạnh của toán học hiện đại mới tìm ta lời giải cho nó Cái mà Wiles

đã làm được là một lần nữa kết nối các lĩnh vực toán học tưởng như xa rời nhau lại với nhau Do đó công trình của ông dường như là một sự biện hộ cho quá trình đa dạng hóa đã diễn ra trong toán học kể từ khi bài toán Fermat được nêu ra.

Tại điểm mấu chốt trong chứng minh bài toán Fermat, Andrew đã chứng minh một ý tưởng được gọi là giả thuyết Taniyama - Shimura, giả thuyết tạo nên chiếc cầu mới bắc giữa các thế giới toán học vốn khác xa nhau Đối với nhiều người, việc tiến tới một toán học thống nhất là mục tiêu tối cao, và giả thuyết Taniyama - Shimura chính là sự thoáng hiện của một lý thuyết thống nhất như thế Vì vậy khi chứng minh bài toán Fermat, Andrew Wiles đã củng cố một số phần quan trọng nhất của lý thuyết số thời hậu chiến, và đã xây dựng nên nền móng vững chắc cho tòa tháp của những giả thuyết xây trên nền móng đó Do đó, chứng minh của Wiles không đơn thuần chỉ là giải một bài toán thách đố tồn đọng lâu dài nhất nữa, mà nó còn mở rộng biên giới của bản thân toán học Điều đó cũng có nghĩa là nếu bài toán đơn giản của Fermat đã ra đời vào lúc toán học còn ấu trĩ thì nó cần phải chờ đợi đến thời điểm này Câu chuyện về Fermat đã kết thúc theo một kiểu cách hết sức ngoạn mục Đối với Andrew Wiles, đó là sự kết thúc của kiểu làm việc cô lập vốn xa lạ với toán học, một hoạt động thường đòi hỏi sự hợp tác Giờ uống trà buổi chiều theo thông lệ tại các Viện hoặc các Khoa toán của

11

phần đầu

các trường đại học trên khắp thế giới là thời gian để các ý tưởng gặp nhau, và chia sẻ những hiểu biết thấu đáo trước khi việc công bố trở thành chính thức Ken Ribet, một nhà toán học mà bản thân ông cũng

có những đóng góp quan trọng trong chứng minh Định lý Fermat, đã gợi

ý nửa đùa nửa thật với tôi rằng chính sự không chắc chắn và an toàn của các nhà toán học đã đòi hỏi một cấu trúc hỗ trợ từ phía các đồng nghiệp của mình Tuy nhiên, Andrew Wiles đã tránh tất cả những cái

đó, và giữ kín công việc của mình chỉ cho riêng bản thân mình trong toàn bộ tiến trình, trừ những bước cuối cùng Đó cũng là một thước đo tầm quan trọng của bài toán Fermat Wiles có niềm đam mê thực sự mạnh mẽ được là người duy nhất giải trọn vẹn bài toán này, một niềm đam mê đủ mạnh để dâng hiến bảy năm trời của cuộc đời cho nó và để giữ được mục tiêu đó cho chính mình Ông biết rằng dù bài toán có vẻ không liên quan mấy đến những nghiên cứu hiện đại, nhưng cuộc chạy đua đối với bài toán Fermat không bao giờ lơi lỏng, vì thế ông chẳng bao giờ dám đánh liều để lộ những gì mà mình đang làm

Sau nhiều tuần lễ tìm hiểu vấn đề này, tôi liền tới Đại học Princeton Đối với các nhà toán học, mức độ hồi hộp lúc này đã lên tới mức căng thẳng Tôi đã khám phá ra ở đó một câu chuyện về sự ganh đua, thành bại, về sự cô lập, tài năng, chiến thắng, ghen tị, áp lực căng thẳng, mất mát và thậm chí cả bi kịch nữa Ngay trong lòng giả thuyết Taniyama

- Shimura, một giả thuyết cực kỳ quan trọng trong tiến trình chứng minh của Wiles, là cuộc sống hậu chiến bi thảm ở Nhật Bản của Yukita Taniyama, câu chuyện mà tôi được đặc ân nghe kể từ Goro Shimura, người bạn thân của ông Từ Shimura tôi cũng học được khái niệm “cái thiện” trong toán học, nơi mà mọi thứ đều được cảm thấy đơn giản là đúng vì chúng đều là “thiện” Không biết làm sao mà cảm giác về cái thiện tỏa khắp bầu không khí toán học vào mùa hè năm đó Tất cả đều say sưa trong một thời khắc vinh quang

Với tất cả những điều vừa nói ở trên, sẽ chẳng có gì phải ngạc nhiên

về gánh nặng của trách nhiệm mà Andrew cảm thấy khi một sai lầm

đã dần dần lộ ra qua mùa thu năm 1993 Với những con mắt của thế giới đổ dồn vào ông, và việc các đồng nghiệp của ông kêu gọi công bố chứng minh một cách công khai, có lẽ chỉ có ông biết tại sao mình đã không bị gục ngã Ông đã phải chuyển từ việc làm toán biệt lập, một mình theo tốc độ riêng của mình đến chỗ bỗng nhiên phải làm việc với công chúng Andrew là một người rất kín đáo, ông đã phải đấu tranh một cách khó khăn để giữ cho gia đình mình tồn tại vượt qua bão tố nổ

ra xung quanh ông Trong suốt tuần lễ ở Princeton, tôi gọi điện thoại, rồi để lại giấy nhắn tin tại nơi làm việc của ông, trên bậc cửa ra vào nhà ông, và thông qua bạn bè ông; thậm chí tôi còn gửi quà tặng cho ông, một hộp trà Anh và một chiếc nồi bằng gốm để nấu súp Nhưng ông tránh mọi lời mời chào thân ái của tôi, mãi cho đến cuộc gặp mặt vào hôm tôi phải lên đường Một cuộc nói chuyện tĩnh lặng, căng thẳng kéo dài vừa đủ mười lăm phút thì kết thúc.

Khi chia tay chiều hôm đó, giữa chúng tôi đã có một sự cảm thông Nếu Andrew tìm được cách sửa chữa chứng minh thì ông sẽ đến gặp tôi

để thảo luận về cuốn phim; còn tôi sẽ chuẩn bị để chờ đợi Nhưng khi bay về nhà ở London đêm đó thì dường như, đối với tôi, chương trình truyền hình dự định coi như đã chết Trong suốt ba thế kỷ, chưa từng

có ai sửa chữa nổi lỗ hổng trong nhiều chứng minh với ý định giải bài toán Fermat Lịch sử đầy rẫy những chứng minh sai lầm, và mặc dù tôi rất mong ông là một ngoại lệ, nhưng thật khó mà tưởng tượng được rằng Andrew tuyệt nhiên không phải là một tấm bia khác trong cái nghĩa địa toán học ấy.

Một năm sau tôi nhận được một cú điện thoại Sau một sự xoay chuyển toán học phi thường, và một chớp sáng của trực giác và cảm hứng, Andrew đã đi tới chứng minh kết thúc bài toán Fermat trong cuộc đời nghề nghiệp của ông Một năm sau nữa, chúng tôi sắp xếp được thời gian cho ông để tập trung làm phim Vào thời gian đó tôi cũng đã mời Simon Singh cùng với tôi làm phim, và cùng dành thì giờ với Andrew,

để lắng nghe từ bản thân con người này toàn bộ câu chuyện về bảy năm