1. Trang chủ
  2. » Khoa Học Tự Nhiên

Các số Fibonacci và định lý lớn của Fermat (Luận văn thạc sĩ)

38 249 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 38
Dung lượng 0,93 MB

Các công cụ chuyển đổi và chỉnh sửa cho tài liệu này

Nội dung

Các số Fibonacci và định lý lớn của Fermat (Luận văn thạc sĩ)Các số Fibonacci và định lý lớn của Fermat (Luận văn thạc sĩ)Các số Fibonacci và định lý lớn của Fermat (Luận văn thạc sĩ)Các số Fibonacci và định lý lớn của Fermat (Luận văn thạc sĩ)Các số Fibonacci và định lý lớn của Fermat (Luận văn thạc sĩ)Các số Fibonacci và định lý lớn của Fermat (Luận văn thạc sĩ)Các số Fibonacci và định lý lớn của Fermat (Luận văn thạc sĩ)Các số Fibonacci và định lý lớn của Fermat (Luận văn thạc sĩ)Các số Fibonacci và định lý lớn của Fermat (Luận văn thạc sĩ)Các số Fibonacci và định lý lớn của Fermat (Luận văn thạc sĩ)Các số Fibonacci và định lý lớn của Fermat (Luận văn thạc sĩ)Các số Fibonacci và định lý lớn của Fermat (Luận văn thạc sĩ)

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hồng Phúc

CÁC SỐ FIBONACCI

VÀ ĐỊNH LÝ LỚN CỦA FERMAT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2017

Trang 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

_

Nguyễn Hồng Phúc

CÁC SỐ FIBONACCI

VÀ ĐỊNH LÝ LỚN CỦA FERMAT

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2017

Trang 3

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy hường dẫn PGS TS Mỵ Vinh Quang, giảng viên trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh – người đã tận tình giúp

đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Trường, Phòng Sau đại học, các thầy cô trong Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này

Qua đây, tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn đến gia đình, người thân và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong thời gian thực hiện báo cáo này

Trang 4

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bài luận văn này do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS,

TS Mỵ Vinh Quang Nội dung có tham khảo, sử dụng một số kết quả từ các sách, báo được liệt kê trong tài liệu tham khảo Tôi xin chịu trách nhiệm về luận văn của mình

TP Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2017

Trang 5

MỤC LỤC

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 ĐỒNG DƯ THỨC 3

1.2 KÝ HIỆU LEGENDRE 4

1.3 KÝ HIỆU JACOBI 5

Chương 2: CÁC SỐ FIBONACCI VÀ ĐỊNH LÝ LỚN CỦA FERMAT 7

2.1 Giới thiệu số Fibonacci và số Lucas 7

2.2 Tổng  mod 10  k r n k         11

2.3 Đồng dư thức đối với số Fibonacci 14

2.4 Một điều kiện để p Fp1 /4 23

2.5 Sự liên hệ với định lý lớn Fermat 26

Kết luận 31

TÀI LIỆU THAM KHẢO 32

Trang 6

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Dãy số Fibonacci  F xác định bởi n F0 0,F11,F n1F nF n1 Dãy số Fibonacci là một trong những dãy số nổi tiếng nhất trong toán học do có nhiều ứng dụng trong giải tích và trong lý thuyết số hiện đại Chẳng hạn, dựa vào tính chất của dãy số Fibonacci, người ta có thể chứng minh được Định lý lớn Fermat đúng cho các

số nguyên tố Fibonacci

Chính bởi vậy, Tôi quyết định chọn đề tài “Các số Fibonacci và định lý lớn Fermat” làm đề tại luận văn thạc sĩ Toán của mình, để tìm hiểu, nghiên cứu thêm về các số Fibonacci và các đồng dư thức liên quan đến chúng, cũng như các ứng dụng liên quan đến định lý lớn của Fermat

* Tìm hiểu ứng dụng của các đồng dư thức trên liên quan đến lời giải cho định lý lớn của Fermat

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

* Dãy số Fibonacci, dãy số Lucas L và các tính chất của chúng n

* Tổng các hệ nhị thức

(mod 10)

k r

n k

Trang 7

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho chương sau như các kiến thức về số học, các định lý về đồng dư và ký hiệu số học như ký hiệu Legendre và Jacobi

Chương 2: CÁC SỐ FIBONACCI VÀ ĐỊNH LÝ LỚN CỦA FERMAT

Trong chương này, chúng tôi trình bày cách biểu diễn tổng các hệ số nhị thức

 qua các hạng tử liên quan đến số Fibonacci Như là hệ quả, chúng tôi thu

được công thức cho thương Fibonacci 5

Trang 8

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Đồng dư thức

Định nghĩa 1.1.1

Cho số nguyên dương n, hai số nguyên a,b được gọi là đồng dư theo mô-đun

n nếu chúng có cùng số dư khi chia cho n Điều này tương đương với hiệu a-b chia hết cho n

Ký hiệu:

(mod )

ab n

Tính chất 1.1.2

phép đồng dư còn có thêm các tính chất sau: Có thể cộng, trừ, nhân và nâng lên lũy thừa các đồng dư thức có cùng một mô-đun Cụ thể nếu ta có:

Luật giản ước 1.1.3

Nếu a b1   a b2  modn và  b n, 1 (b,n nguyên tố cùng nhau) thì

 

Nghịch đảo mô –đun 1.1.4

Nếu số nguyên dương n và số nguyên a nguyên tố cùng nhau thì tồn tại duy nhất

một số x0,1, 2, ,n1 sao cho ax1 modn , số x này được gọi là nghịch đảo của a theo mô-đun n

Trang 9

  1 nếu a là thặng dư bậc hai môđun p (nghĩa là tồn tại

số nguyên k sao cho k2

Trang 10

Tính chất sau cùng được gọi là luật thuận nghịch bình phương

Ký hiệu Legendre được sử dụng trong tiêu chuẩn Euler do Euler chứng minh

  sử dụng dạng phân tích tiêu chuẩn của số đứng dưới Nó

được định nghĩa như sau:

 

 

số tự nhiên lẻ n bất kỳ.

Trang 12

Chương 2: CÁC SỐ FIBONACCI VÀ ĐỊNH LÝ LỚN CỦA FERMAT

2.1 Giới thiệu số Fibonacci và số Lucas

Để thuận tiện về sau, chúng ta sẽ giới thiệu trong phần này các tính chất căn bản của dãy số Fibonacci  F và dãy số đồng hành với nó-dãy số Lucas n  L n

Dãy số Fibonacci  F và dãy số Lucas n  L được cho bởi công thức: n

Trang 13

 

     

 

2 2

Bây giờ, gọi n1, ,n và k n1, ,n là ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội k

chung nhỏ nhất (BCNN) của những số nguyên dương n1, ,n Với những số k.Fibonacci, chúng ta có

Định lý 2.1.2 Cho m, n là những số nguyên dương Khi đó

Trang 14

ii Ta tiếp tục qui nạp theo n

Với n1 là hiển nhiên

Giả sử mệnh đề đúng với n1 Ta chứng minh mệnh đề đúng với n1

 

 

Trang 15

ii Lấy , ,m n là những số nguyên dương Giả sử p ||F m ( nghĩa là p |F m và

5 n , n chẵn thì kết thúc là

1 1 2

Do đó chỉ có một trong hai chia hết cho p

Bây giờ, ta lấy n p 1 , khi đó :

 

1 1 2 1

1

1

35

p p

p

p p

Trang 16

Trong trường hợp ngược lại thì F p10 mod p

ii Bởi phần ii của định lý 2.1.2, ta có:

Hệ quả 2.1.4 Theo Định lý 2.1.3 thì bất kỳ luỹ thừa của số nguyên tố nào cũng là ước

của các số Fibonacci nào đó

n n

r m

k

n T

Mệnh đề 2.2.1 Cho m, n là những số nguyên dương và r, s, t là những số nguyên

thỏa r s 0 modm và r t 2 modm. Nếu n lẻ thì khi đó

 , 2  , 2  ,  ,

Chứng minh

Trang 18

mod

Trang 19

Điều này chứng tỏ rằng định lý 2.2.2 đúng với p+2

Vậy định lý 2.2.2 đã được chứng minh bằng qui nạp

2.3 Đồng dư thức đối với số Fibonacci

Bổ đề 2.3.1 Cho p là số nguyên tố, giả sử m>0 và r là những số nguyên Khi đó:

1 1

2 1

mod

1

mod

k p

Trang 20

5 /2

p p

5 / 2

p p

p p

Trang 21

p

p p

p

p

p p

/2 5

m p

m p

do vậy:

Trang 22

5 /10 1 /4

5 /2

/2 5

5 /2

p p

m p

p p

5 /2

/2 5

p p

m p

p p

Trang 24

5 /2

21

p p

Trang 25

5 /10

5 /2

p

p p

p p

Trang 26

1 mod 4 ,

25

/2

mod

3 mod 4

p p

Trang 27

p p

p p

Suy ra điều mà ta cần phải chứng minh

Định lý 2.3.5 Cho p2;5 là một số nguyên tố Khi đó:

Trang 28

Nhận xét 2.3.6 Đối với các giá trị Fibonacci 5 /

p p

Trang 31

2.5 Sự liên hệ với định lý lớn Fermat

nghiệm nguyên nào thỏa mãn phương trình

Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng để đưa ra định lý sau đây:

Định lý 2.5.2 Giả sử rằng FLT1 không đúng với một số nguyên tố lẻ p Khi đó:

2 5

4 5

Trang 32

Do vậy phần  i của định lý 2.5.2 có thể dễ dàng suy ra từ định lý 2.3.5

Liên quan đến phần  iii , chúng ta có:

Trang 33

Lấy d  Bởi hệ quả 2.1.4, d là ước số của một vài số Fibonacci dương nào

đó Lấy n d  là số nguyên dương bé nhất n sao cho d là ước của F n Ta có:

F  

 

 

( theo phần  i của định lý

2.1.3 ) và áp dụng chứng minh phần đầu của chú ý 2.5.4

Định lý 2.5.5 Cho m và n là hai số nguyên lớn hơn một Khi đó: 2 2

Trang 35

Vậy là ta đã hoàn thành chứng minh (*)

p F  

 

 

định lý 2.5.2 thì FLT1 sẽ đúng với mọi số mũ p có dạng như đã nêu

Ví dụ: Vì 7  21 / 3 F8 /F4 , 61  610 / 2.5 F15 /F F3 , 5. Theo định lý 2.5.7 FLT1 đúng với số mũ 7 và 61

Hệ quả 2.5.8 FLT1 đúng cho tất cả các số (lẻ) nguyên tố Fibonacci và các số nguyên

tố Lucas

Chứng minh

Để ý rằng F nF n.1/F1 và L nF2n /F n. Áp dụng định lý 2.5.7 chúng ta đạt được kết

quả cần chứng minh

Trang 36

KẾT LUẬN

Luận văn trên đây đã nghiên cứu, khảo sát các tính chất của các số Fibonacci và

các số liên quan Lucas; việc biểu diễn các hệ số nhị thức

 mod 10 

k r

n k

biểu diễn tổng các hệ số nhị thức

 mod 10 

k r

n k

Trang 37

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 L E Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol I, Chelsea, New York 1952,

n

k

n k

(I), J Nanjing Univ Biquarterly, in press

7 -,Combinatorial sum

0 mod

n

k

n k

8 Zhi-Wei Sun, A congruence for primes, preprint, 1991

9 -, On the combinatorial sum

0 mod

n

k

n k

n

k

n k

Trang 38

13 -, Reduction of unknows in Diophan representations, Science in China

(Ser A) 35 (1992), 1-13

14 H S Vandiver, Extension of the criteria of Wieferich and Mirimanoff in

connec-tion with Fermat’s last theorem, J Reine Angew Math 144 (1914),

314-318

15 D D Wall, Fibonacci series modulo m, Amer Math Monthly 67 (1960), 525-532

(1982), 366-370

Ngày đăng: 03/04/2018, 12:11

Nguồn tham khảo

Tài liệu tham khảo Loại Chi tiết
1. L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol. I, Chelsea, New York 1952, 105, 393-396 Sách, tạp chí
Tiêu đề: History of the Theory of Numbers
2. G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 5 th ed., Oxford Univ. Press, Oxford 1981, 148-150 Sách, tạp chí
Tiêu đề: An Introduction to the Theory of Numbers
3. E. Lehmer, On the quartic character of quadratic units, J. Reine Angew. Math Sách, tạp chí
Tiêu đề: On the quartic character of quadratic units
4. L. J. Mordell, Diophantine Equations, Academic Press, London and New York 1969, 60-61 Sách, tạp chí
Tiêu đề: Diophantine Equations
5. P. Ribenboim, 13 Lectures on Fermat’s Last Theorem, Springer, New York 1979, 139-159 Sách, tạp chí
Tiêu đề: Lectures on Fermat’s Last Theorem
6. Zhi-Hong Sun, Combinatorial sum  0 mod nkk r mn k      and its applications in number theory (I), J. Nanjing Univ. Biquarterly, in press Sách, tạp chí
Tiêu đề: Combinatorial sum"  0mod"n"k"k r m"n" "k"    "and its applications in number theory (I)
7. -,Combinatorial sum  0 mod n kk r mn k      and its applications in number theory (II) , ibid., in press Sách, tạp chí
Tiêu đề: Combinatorial sum " 0mod"n"k"k r m"n" "k"    " and its applications in number theory (II)
8. Zhi-Wei Sun, A congruence for primes, preprint, 1991 Sách, tạp chí
Tiêu đề: A congruence for primes
9. -, On the combinatorial sum  0 mod n kk r mn k      , submitted Sách, tạp chí
Tiêu đề: On the combinatorial sum " 0mod"n"k"k r m"n" "k
10. Zhi-Hong Sun and Zhi-Wei Sun (Nanjing), Fibonacci numbers and Fermat’s last theorem, Acta Arithmetica, lx.4 (1992) Sách, tạp chí
Tiêu đề: Fibonacci numbers and Fermat’s last theorem
11. Zhi-Wei Sun, On the sum (mod 10) k rn k      and related congruences, Israel J. Math Sách, tạp chí
Tiêu đề: On the sum "(mod 10)"k r"n" "k"    " and related congruences
12. -, Combinatorial sum  0 mod nkk r mn k      and its number-theoretical applications, to appear Sách, tạp chí
Tiêu đề: Combinatorial sum " 0mod"n"k"k r m"n" "k"    " and its number-theoretical applications
13. -, Reduction of unknows in Diophan representations, Science in China (Ser. A) 35 (1992), 1-13 Sách, tạp chí
Tiêu đề: Reduction of unknows in Diophan representations
Tác giả: -, Reduction of unknows in Diophan representations, Science in China (Ser. A) 35
Năm: 1992
14. H. S. Vandiver, Extension of the criteria of Wieferich and Mirimanoff in connec-tion with Fermat’s last theorem, J. Reine Angew. Math. 144 (1914), 314-318 Sách, tạp chí
Tiêu đề: Extension of the criteria of Wieferich and Mirimanoff in connec-tion with Fermat’s last theorem
Tác giả: H. S. Vandiver, Extension of the criteria of Wieferich and Mirimanoff in connec-tion with Fermat’s last theorem, J. Reine Angew. Math. 144
Năm: 1914
15. D. D. Wall, Fibonacci series modulo m, Amer. Math. Monthly 67 (1960), 525-532 Sách, tạp chí
Tiêu đề: Fibonacci series modulo m
Tác giả: D. D. Wall, Fibonacci series modulo m, Amer. Math. Monthly 67
Năm: 1960
16. H. C. Williams, A note on the Fibonacci quotient F p   / p , Canad. Math. Bull. 25 (1982), 366-370 Sách, tạp chí
Tiêu đề: A note on the Fibonacci quotient F"p" / "p
Tác giả: H. C. Williams, A note on the Fibonacci quotient F p   / p , Canad. Math. Bull. 25
Năm: 1982

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

🧩 Sản phẩm bạn có thể quan tâm

w