Chuyên đề phương tích

Phương tích và trục đẳng phương là một vấn đề rất quen thuộc của toán hình học phẳng. Kiến thức dể hiểu, dể sử dụng. Nó giải quyết các bài hình học phẳng là rất phong phú. Nhiều bài toán tưởng như phức tạp lại có thể được giải quyết gọn gàng nhờ sử dụng các tính chất có liên quan đến phương tích. Lời giải các bài rất đệp. Bài viết này là một số tích lũy của tôi trong quá trình dạy học và có được nhờ tham khảo tài liệu của các thầy giáo, các đồng nghiệp thông qua các hội thảo và các đợt tập huấn cho giáo viên chuyên toán.

Chuyên đề phương tích

Phương tích và trục đẳng phương là một vấn đề rất quen thuộc của toán hình học phẳng Kiến thức dể hiểu, dể sử dụng Nó giải quyết các bài hình học phẳng là rất phong phú Nhiều bài toán tưởng như phức tạp lại có thể được giải quyết gọn gàng nhờ sử dụng các tính chất có liên quan đến phương tích Lời giải các bài rất đệp Bài viết này là một số tích lũy của tôi trong quá trình dạy học và

có được nhờ tham khảo tài liệu của các thầy giáo, các đồng nghiệp thông qua các hội thảo và các đợt tập huấn cho giáo viên chuyên toán.

Tóm tắt lý thuyết:

thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B Khi đó

2 2 2 2

MA MB MO= −R =d −R

2 2

MA MB d= −R

trong định lý 1.1 được gọi là

P

Ta có:

M O =MA MB d= −R

P

khi và chỉ khi 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

điểm M có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau là một đường thẳng, đường thẳng này được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn (O1) và (O2) 1) Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường thẳng nối tâm

2) Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng phương của chúng

3) Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (O) và (I) thì đường thẳng qua M vuông góc với OI là trục đẳng phương của hai đường tròn

4) Nếu hai điểm M, N có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì đường thẳng MN chính là trục đẳng phương của hai đường tròn

5) Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì 3 điểm đó thẳng hàng

cặp đường tròn trùng nhau hoặc song song hoặc cùng đi qua một điểm, điểm đó

được gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn

Ứng dụng của phương tích- trục đẳng phương

Ứng dụng : Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường thẳng nối

tâm được sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Bài 1: Cho hình thang ABCD và điểm E nằm trên đáy nhỏ AB sao cho EC = ED

Gọi I là tâm đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác AED và J là tâm đường tròn (J) ngoại tiếp tam giác BEC Gọi F là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng EF

⊥

IJ

Lời giải :

Gọi M là giao điểm của AC và (I) và N là giao điểm của BD và (J)

EC = ED =>

EDC ECD=

mà

EDC=AED AMD=

và

ECD BEC BNC= =

=>

DMC CND=

=> tứ giác CDNM nội tiếp đường tròn

=>FC FM. =FD FN. mà

FA FB

FC = FD

=> FA FM. =FB FN. => F I/( ) F J/( )

P =P

mà

/( ) /( )

P =P

Do đó đường thẳng EF là trục đẳng phương của (I) và (J) suy ra EF⊥IJ

) có các đường cao AD, BE, CF, trực tâm

H Gọi M là trung điểm của AB , Giả sử đường thẳng DE cắt đường thẳng AB tại I Chứng minh rằng IH ⊥CM

.

Lời giải :

AD, BE, CF đồng quy nên I F B A, , , là hàng điểm điều hòa (

(IFBA)= −1

)

Do đó ta có IM IF. =IA IB.

Xét hai đường tròn ngoại tiếp tam giác CFM và ngoại tiếp tứ giác ABDE, tâm của hai đường tròn này đều nằm trên đường thẳng CM

Nhưng IM IF. = IA IB.

và HD HA HF HC. = .

nên H I, nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn nói trên

Do đó ta có IH ⊥CM

(ĐPCM)

Bài 3 (India, 1995): Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt

AB, AC tại D và E Gọi P là một điểm bên trong tam giác ADE, F và G là giao của

DE với BP và CP Đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác PDG, đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt nhau tại điểm thứ hai là Q Chứng minh rằng

AQ⊥OI

Lời giải :

Gọi M là giao điểm thứ hai của AB và (PDG), N là giao thứ hai của AC và (PFG)

Ta có

·AMP PGD= ·

và

PGD PCB=

(đồng vị), suy ra

AMP PCB=

, suy ra tứ giác BMPC nội tiếp Chứng minh tương tự ta có tứ giác PNCB nội tiếp

Suy ra BMNC nội tiếp, suy ra AM AB. = AN AC. Mà

AD AE

AB = AC

(Định lý Thalet)

Suy ra AM AD AN AE. = .

Do đó A thuộc trục đẳng phương PQ của (PDG) và (PEF) suy ra AQ⊥OI

Ứng dụng : Ba điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì thẳng hàng

với đường thẳng AB tại A, đường tròn (O 2 ) tiếp xúc với đường thẳng AB tại B Đường tròn (c 1 ) tâm O 1 bán kính O 1 B cắt đường tròn (c 2 ) tâm O 2 bán kính O 2 A tại

M và N Chứng minh rằng ba điểm I, M, N thẳng hàng

Lời giải :

1

M O

P =O M −O A =O B −O A = AB

tương tự ta có 2

M O

P =O M −O B =O A −O B = AB

=> M O/( 1) M O/( 2)

P =P

tương tự ta có

/( ) /( )

P =P

Mà I O/( 1) I O/( 2)

P =P

=> ba điểm I, M, N nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn (O1) và (O2) => ba điểm I, M, N thẳng hàng

Bài 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Gọi E, F lần lượt là giao điểm của

các cặp đường thẳng AC và BD, AB và CD tròn Chứng minh rằng : điểm F, trực tâm tam giác AED và trực tâm tam giác BEC nằm trên một đường thẳng

Lời giải :

Gọi A’ là hình chiếu của A lên BD và D’ lần là hình chiếu của D lên AC

Gọi H là trực tâm tam giác AED và K là trực tâm tam giác BEC

Tứ giác ADA’D’ nội tiếp đường tròn suy ra HA HA. '=HD HD. ' (1)

Gọi (c) và (c’) lần lượt là các đường tròn đường kính AB và DC thì

(1) =>

/( ) /( ')

P =P

(2)

Tương tự ta có K c/( ) K c/( ')

P =P

(3)

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn suy ra FA FB FC FD. = . =>

/( ) /( ')

P =P

(4)

Từ (2), (3), (4) suy ra H, K, F nằm trên trục đẳng phương của (c) và (c’)

suy ra H, K, F thẳng hàng

Ứng dụng : Cho ba đường tròn có tâm không thẳng hàng Ba trục đẳng phương

của các cặp đường tròn trong ba đường tròn đồng quy tại tâm đẳng phương của ba đường tròn đó

Bài 6 (IMO 95/1) : Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D (theo thứ tự đó) Các

đường tròn đường kính AC và BD cắt nhau tại X, Y Đường thẳng XY cắt BC tại Z Lấy P là một điểm trên XY khác Z Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ 2 là M, và BP cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ 2 là N Chứng minh rằng AM, DN và XY đồng qui

Lời giải :

Q

Z

N

M

Y

X

P

Gọi Q, Q’ lần lượt là giao điểm của DN và AM với XY Ta cần chứng minh Q Q≡ ′

Tứ giác QMCZ nội tiếp, suy ra PM PC PQ PZ. = .

Tứ giác NQ’ZB nội tiếp, suy ra PQ PZ′. =PN PB.

Mà P thuộc XY là trục đẳng phương của đường tròn đường kính AC và đường tròn đường kính BD nên PN PB PX PY. = . =PM PC.

Suy ra PQ PZ. =PQ PZ′. ⇒ ≡Q Q′

Vậy XY, AM và DN đồng quy

Bài 7: Hai đường tròn (C a ),( C b ) tiếp xúc trong với đường tròn (C) theo thứ tự tại

A, B và hai đường tròn đó tiếp xúc ngoài tại điểm T Gọi S là giao điểm của đường tròn (C) với tiếp tuyến chung qua T của hai đường tròn (C a ),( C b ) C là giao điểm thứ hai của đường thẳng SA với đường tròn (C a ), D là giao điểm thư hai của đường thẳng SB với đường tròn ( C b ) Đường thẳng AB cắt đườngtròn (C a ) tại điểm E, cắt đường tròn ( C b ) tại điểm F Chứng minh rằng ST, CE, DF đồng quy.

Lời giải : Ta có

ST =SA SC SB SD=

=> Tứ giác ABDC nội tiếp, suy ra

SDC SAB=

,

SCD SBA=

Gọi xx’ là tiếp tuyến của đường tròn (C) tại S

Khi đó:

xSB SAB=

=>

xSB SDC=

=> xx’ // DC

Gọi 1 2

, ,

r r r

lần lượt là bán kính các đường tròn (C), (Ca ),( Cb)

Phép vị tự

1 ( , )r

V A

r

biến đường tròn (C) thành (Ca ) ,biến xx’ thành CD, biến B thành E

Do đó CD là tiếp tuyến của đường tròn (Ca) và CE // SB

Tương tự, ta cũng có: CD là tiếp tuyến của đường tròn ( Cb) và DF // SA

Ta có:

ECD DFB=

( vì cùng bằng ·CAB

)

Vậy tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn (C’)

Ta có : ST là trục đẳng phương của hai đường tròn (Ca ) và ( Cb)

CE là trục đẳng phương của hai đường tròn (Ca ) và ( C’)

DF là trục đẳng phương của hai đường tròn (C’ ) và ( Cb)

Do vậy, các đường thẳng ST, CE, DF đồng quy

Bài 8: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm H thuộc đoạn AB Đường

thẳng qua H cắt đường tròn tại C Đường tròn đường kính CH cắt AC, BC và (O) lần lượt tại D, E và F

a) Chứng minh rằng AB, DE và CF đồng quy.

b) Đường tròn tâm C bán kính CH cắt (O) tại P và Q Chứng minh rằng P, D,

E, Q thẳng hàng

Lời giải :

P

Q

M E

D

C

O

a) Ta có

2

CA CD CH= =CB CE

, suy ra ADEB nội tiếp Xét các đường tròn (ADEB), (O) và đường tròn đường kính CH, thì DE, AB và CF lần lượt là các trục đẳng phương của các cặp đường tròn trên nên chúng đồng quy

b) Ta có PQ là trục đẳng phương của ( C) và (O) nên OC ⊥PQ Ta cũng dễ thấy

OD⊥DE

Hơn nữa H chính là tâm đẳng phương của ba đường tròn (O), ( C) và đường tròn đường kính CH Suy ra PQ đi qua H

Vậy DE, PQ cùng đi qua H và cùng vuông góc với OC nên trùng nhau Hay D, E,

P, Q thẳng hang

Đường tròn điểm

Ta có thể xem một điểm là đường tròn với tâm tại điểm đó và bán kính bằng không

để xét phương tích, trục đẳng phương

Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Qua

A vẽ các đường thẳng song song với BE, CF lần lượt cắt các đường thẳng CF, BE tại P và Q Chứng minh rằng PQ vuông góc với trung tuyến AM của ABC.

Lời giải :

Gọi (M) là đường tròn đường kính BC

Ta thấy rằng tam giác ABQ vuông tại A có AE là đường cao =>

2

QA =QB QE

nên Q thuộc trục đẳng phương của đường tròn điểm A và đường tròn (M)

Tương tự với điểm P.

Suy ra PQ chính là trục đẳng phương của đường tròn điểm A và (M)

Do đó PQ vuông góc với AM Ta có đpcm

Điểm A di động trên (O 2 ) sao cho A, O 1 , O 2 không thẳng hàng Kẻ các tiếp tuyến AB, AC đến (O 1 ) Các đường thẳng CM, BM cắt lại (O 2 ) ở F, E Giả sử EF cắt tiếp tuyến tại A của (O 2 ) tại D Chứng minh rằng D di chuyển trên đường cố định (Đề thi HSGQG 2003 bảng A)

Lời giải :

Ta thấy rằng hai tam giác cân MO1B, MO2E đồng dạng với nhau nên

MO B MO E=

=>

·ABM =EAM·

=> hai tam giác ABE và MAE đồng dạng với nhau =>

2

.

EA =EM EB

Suy ra E có cùng phương tích đến (O 1 ) và đường tròn điểm A

ương tự với điểm F

Do đó, EF là trục đẳng phương của (O1) và đường tròn điểm A

Ta cũng có tiếp tuyến tại A của (O 2 ) là trục đẳng phương (O 2 ) và đường tròn điểm

A

Suy ra giao điểm D của hai đường trên chính là tâm đẳng phương của đường tròn

điểm A và (O 1 ), (O 2 ) hay D thuộc trục đẳng phương của (O1) và (O2) cố định Ta

có đpcm

Bài 11: Cho điểm M nằm trong tam giác ABC nhọn không cân cân (không nằm

trên trung trực của các cạnh) Tiếp tuyến tại M của tam giác MBC cắt BC ở X Tương tự xác định các điểm Y và Z Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng hàng.

Lời giải :

Theo tính chất phương tích thì

2

.

XM =XB XC

nên X thuộc trục đẳng phương của đường tròn điểm M và đường tròn (ABC)

Tương tự với Y và Z Suy ra X, Y, Z cùng thuộc trục đẳng phương của đường tròn điểm M Và đường tròn (ABC) nên chúng thẳng hàng

Bài 12: Cho điểm A nằm ngoài (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC đến (O) Lấy điểm D

thuộc đoạn BC M là trung điểm của AD Đường tròn đường kính AD cắt (O) ở P,

Q Chứng minh rằng MP, MQ là 2 tiếp tuyến của (O).

Lời giải :

Do M thuộc trục đẳng phương của đường tròn điểm A và (O) nên

MA =OM −R

Hơn nữa MP = MA nên

MP =OM −R =OM −OP

Theo định lí Pythagores thì tam giác OMP vuông tại P nên ta suy ra MP chính là tiếp tuyến kẻ từ M của đường tròn (O) Tương tự với đường thẳng MQ

Ta có đpcm

Một số bài toán đơn giản khác về phương tích

Bài 13: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định Một đường thẳng quay

quanh A, cắt (O) tại M và N Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc một đường thẳng cố định

Lời giải :

C M

N O

I

A

B

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB

Gọi C là giao điểm của AB và (I) Khi đó ta có:

PA I =AC AB AM AN= = PA O

(không đổi vì A, (O) cố định) Suy ra

( )

/

PA O

AC

AB

=

Vì A, B cố định và C thuộc AB nên từ hệ thức trên ta có C cố định

Suy ra I thuộc đường trung trực của BC cố định

Bài 14: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, và điểm H cố định thuộc AB Từ

điểm K thay đổi trên tiếp tuyến tại B của O, vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) tại C và

D Chứng minh rằng CD luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải :

I O

K

H

Gọi I là điểm đối xứng của H qua B, suy ra I cố định và thuộc (K)

Gọi M là giao điểm của CD và AB

Vì CD là trục đẳng phương của (O) và (K) nên ta có:

2

.

MH MI MC MD MA MB

MB BH MB BI MB MB BA

MB BH MB BH MB MB BA

MB BH MB MB BA

BH BM

BA

Vì A, B, H cố định suy ra M cố định

Bài 15: (Chọn đội tuyển PTNK 2008): Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định và

B, C thay đổi trên đường thẳng d cố định sao cho nếu gọi A’ là hính chiếu của A

lên d thì A B A C′ . ′ âm và không đổi Gọi M là hình chiếu của A’ lên AB Gọi N là hình chiếu của A’ lên AC, K là giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN tại M và N Chứng minh rằng K thuộc một đường thẳng cố định

Lời giải :

I P

H

D

K

M

N A

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN và I là giao điểm của OK và

MN Ta thấy O chính là trung điểm của AA’

Gọi D và P là giao điểm của AA’ với (ABC) và MN

Dễ thấy

2

AM AB=AA′ = AN AC

Suy ra tứ giác BMNC nội tiếp

AMN ACB

Mà

ADB= ACB

Nên

·AMN = ·ADB

Suy ra MPDB nội tiếp

Do đó ta có

2

AP AD=AM AB=AA′

Mà A, A’ và D cố định suy ra P cố định

Gọi H là hình chiếu của K trên AA’

Ta có

2 1 2

4

AP AH = AI AK =IN = AA′

Mà A, P, A’ cố định suy ra H cố định

Vậy K thuộc đường thẳng qua H và vuông góc với AA’

Bài tập

1 Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB, CD Tiếp tuyến của (O) tại B cắt

AC tại E, DE cắt (O) lần thứ hai tại F Chứng minh rằng AF, BC, OE đồng

quy

2 Cho đường tròn tâm O đường kính AB D là một điểm cố định thuộc AB, đường thẳng d đi qua D và vuông góc với AB H là một điểm thay đổi trên d

AH và BH cắt (O) lần lượt tại P và Q Chứng minh rằng PQ luôn đi qua một điểm cố định

3 Cho tam giác ABC và đường cao AH thỏa AD = BC Gọi H là trưc tâm tam giác, M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD Chứng minh rằng HN =

HM

4 Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác OAD và OBC; M, N lần lượt là trung điểm của

AB và CD Chứng minh rằng MN ⊥HK

5 (Dự tuyển IMO 1994) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BA,

CA, AB lần lượt tại D, E, F X là một điểm bên trong tam giác ABC sao cho đường tròn nội tiếp tam giác XBC cũng tiếp xúc với BD tại D, và tiếp xúc với XB, XC lần lượt tại Y, Z Chứng minh rằng EF, YZ và BC đồng quy

6 (USAMO 1997) Cho tam giác ABC Về phía ngoài tam giác dựng các tam giác cân DBC, EAC, FAB có các đỉnh lần lượt là D, E, F Chứng minh rằng các đường thẳng qua A, B, C lần lượt vuông góc với EF, FD và DE đồng quy

7 F là điểm trên cạnh đáy AB của hình thang ABCD sao cho DF = CF E là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Gọi (O1), (O2) lần lượt là đường

tròn ngoại tiếp các tam giác ADF và BCF Chứng minh răng 1 2

EF ⊥O O

8 Cho tam giác ABC Dựng hình vuông DEFG nội có các đỉnh D, E thuộc cạnh

BC, F, G lần lượt thuộc AC và AB Gọi dA là trục đẳng phương của hai

đường tròn (ABD) và (ACE) Các đường thẳng dA, dB được xác định tương

tự Chứng minh rằng dA, dB, dC đồng quy

9 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), M là trung điểm BC, M’ là giao điểm của AM và (O) Tiếp tuyến tại M cắt đường thẳng qua M vuông góc với

AO tại X Y, Z được xác định tương tự Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng hàng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình, Bài tập nâng cao và một số chuyên đề hình học 10

[2] Viktor Prasolov, Problems in plane and solid geometry, vol.1: Plane geometry.

[3] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá

Khánh Trình, Tài liệu giáo khoa chuyên toán Hình học 10, NXB Giáo dục, 2009.