1. Rút gọn và vẽ mạng sau khi rút gọn:.. Chứng minh rằng tập các ma trận tam giác trên cấp n là không gian vec tơ con của không gian vec tơ M n. Chứng minh rằng tập các ma trận có vết bằ[r]
Trang 1ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
D19 Nhóm ngành CN–ĐT
PHẦN B
Giảng viên: HOÀNG PHI DŨNG
BỘ MÔN TOÁN, KHOA CƠ BẢN 1, HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
Năm học: 2019-2020
Bài 1.1 Xét xem hai mệnh đề (p ⇒ q) ⇒ q và p ∨ q có tương đương logic không?
Bài 1.2 Xét biểu thức Boole x ∧ (y ∨ z).
a Dùng bảng chân trị để xem biểu thức trên có hằng đúng không?
b Nếu xem x, y, z lần lượt là 3 tập hợp A, B, C Hãy vẽ sơ đồ Venn của biểu thức Boole trên
Bài 1.3 Cho các tập hợp A1 = {(x, y) ∈ R2|x2+ y2 = 4}, A2 = {(x, y) ∈ R2|x2+ y2 ≤ 4},
B1 = {(x, y) ∈ R2|x − y = 0} và B2 = {(x, y) ∈ R2|x − y ≤ 0} Tính A1∩ B1, A2 \ B2 Quan hệ giữa A1, A2 là gì? Vẽ A2\ B2 trên mặt phẳng tọa độ
Bài 1.4 Chứng minh các đẳng thức sau đây
1 (A \ B) ∩ (B \ A) = ∅;
2 A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C);
3 A \ (A \ B) = A ∩ B
Bài 1.5 Rút gọn sau đó vẽ sơ đồ mạng của công thức đại số Boole sau
A = {[(x0∧ z) ∨ (x ∧ z)] ∧ y} ∨ {x ∧ y ∧ z} ∨ {[(y0∧ z) ∨ (x ∧ z0)] ∧ x}
Bài 1.6 Rút gọn sau đó vẽ sơ đồ mạng của công thức đại số Boole sau
A = {x ∧ y0} ∨ {x ∧ y ∧ z} ∨ {[(y0∧ z) ∨ (x ∧ z0)] ∧ x} ∨ {[(x0∧ z) ∨ (x ∧ z)] ∧ y}
Bài 1.7 Rút gọn và vẽ mạng sau khi rút gọn:
Trang 22 Chương 2
Bài 2.1 Tìm không gian vec tơ con sinh bởi hệ vec tơ
{v1 = (1, 2, 2), v2 = (−2, 6, 4), v3 = (7, −11, −6)}
Bài 2.2 Chứng minh rằng các tập con sau là các không gian con của R4:
V = (x, y, z, t) ∈ R4| x + y − z + t = 0 , W = (x, y, z, t) ∈ R4| x − y + z + t = 0 Tìm một cơ sở và số chiều của các không gian V, W, V ∩ W
Bài 2.3 Chứng minh rằng tập các ma trận tam giác trên cấp n là không gian vec tơ con của
không gian vec tơ Mn Tìm số chiều và cơ sở của nó
Bài 2.4 Với ma trận vuông A cấp n Đặt T r(A) = a11+ · · · + annvà gọi đây là vết của ma trận A Chứng minh rằng tập các ma trận có vết bằng 0 tạo thành một không gian con của
Mn Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con này
Bài 2.5 Chứng minh rằng tập các ma trận đối xứng của Mn các ma trận vuông cấp n tạo thành không gian vec tơ con của Mn
Bài 2.6 Tìm m để hệ vec tơ sau đây là cơ sở của không gian vec tơ R4:
S = {v1 = (m, 1, 1, 1), v2 = (1, m, 1, 1), v3 = (1, 1, m, 1), v4 = (1, 1, 1, m)}
Bài 2.7 Hệ vec tơ sau đây có là cơ sở của không gian vec tơ R5 hay không? Tại sao?
S = {v1 = (0, 1, 1, 1, 1), v2 = (1, 0, 1, 1, 1), v3 = (1, 1, 0, 1, 1), v4 = (1, 1, 1, 0, 1), v5 = (1, 1, 1, 1, 0)}
Bài 2.8 Hệ vec tơ {1, 1 + x, x + x2, x2+ x3} có độc lập tuyến tính hay không? Tại sao?
Bài 2.9 Chứng minh rằng hệ vec tơ {v1, , vn} phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một vec tơ biểu diễn tuyến tính qua các vec tơ còn lại
Bài 2.10 Cho không gian vec tơ V Chứng minh rằng nếu hệ vec tơ {v1, , vn} độc lập tuyến tính và hệ {v1, , vn, u} phụ thuộc tuyến tính thì u là tổ hợp tuyến tính của các vivà biểu diễn này là duy nhất
Trang 33 Chương 3
Bài 3.1 Giải phương trình ma trận
"
2 5
1 6
#
X =
"
6 −2
5 3
#
Bài 3.2 Tính
a,
"
cos α − sin α sin α cos α
#n
b,
"
1 a
0 1
#n
c,
0 a b
0 0 a
0 0 0
n
d,
2 1 2
0 1 0
0 0 2
n
Bài 3.3 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận
a,
3 −4 5
2 −3 1
3 −5 1
b,
1 −a 0
0 1 −a
0 0 1
c,
3 1 1
1 3 1
1 1 3
Bài 3.4 Chứng minh rằng
a,
a + b c 1
b + c a 1
c + a b 1
= 0; b,
x x0 ax + bx0
y y0 ay + by0
z z0 az + bz0
= 0; c,
(a + b)2 a2+ b2 ab (c + d)2 c2+ d2 cd (e + f )2 e2 + f2 ef
= 0
Bài 3.5 Không cần tính định thức, chứng minh các đẳng thức sau
a,
1 a a3
1 b b3
1 c c3
= (a + b + c)
1 a a2
1 b b2
1 c c2
; b,
a1 b1 a1x + b1y + c1
a2 b2 a2x + b2y + c2
a3 b3 a3x + b3y + c3
=
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
Bài 3.6 Chứng minh rằng det(kA) = kndet(A), với A là ma trận vuông cấp n
Bài 3.7 Chứng minh rằng nếu A là ma trận phản đối xứng cấp lẻ thì det A = 0.
Bài 3.8. a Tính định thức det(aij)n×nvới aij = min{i, j};
b Tính định thức det(aij)n×nvới aij = max{i, j};
c Tính định thức det(aij)n×nvới aij = |i − j|
Bài 3.9 Cho ma trận vuông cấp n: A = [aij] Gọi T r(A) = a11+ · · · + ann (tổng các phần
tử trên đường chéo chính) là vết của ma trận A Chứng minh rằng với mọi ma trận vuông
A, B cấp n thì
1 T r(A + B) = T r(A) + T r(B);
2 T r(AB) = T r(BA);
Trang 43 Giả sử A có n giá trị riêng phân biệt λ1, , λn Tính T r(Am) theo các giá trị riêng đó
Bài 3.10 Cho ma trận A vuông cấp n.
1 Chứng minh rằng với mọi ma trận khả nghịch P thì
(P−1AP )m = P−1AmP
Tổng quát hơn, nếu f (t) là một đa thức một biến thì f (P−1AP ) = P−1f (A)P ;
2 Giả sử P−1AP =
λ1 0 0
0 λ2 0
. . .
0 λn
Tính P−1f (A)P
Bài 4.1 Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính
ax + y + z = 1
x + ay + z = a
x + y + az = a2
Bài 4.2 Xét mặt phẳng tọa độ Oxy.
a Tìm điều kiện cần và đủ để ba điểm M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3) cùng nằm trên một đường thẳng;
b Tìm điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng
a1x + b1y + c1 = 0
a2x + b2y + c2 = 0
a3x + b3y + c3 = 0
đồng quy (cắt nhau tại một điểm)
Bài 5.1 Cho các ánh xạ f, g : R2 → R2 xác định bởi các công thức
f (x, y) = (x + y, x − y) và g(x, y) = (3x, 0)
a Tính các ánh xạ f + g, f − g, f ◦ g, g ◦ f ;
Trang 5b Tính ker f, Imf, ker g, Img và các số chiều của chúng, từ đó suy ra tính đơn ánh, toàn ánh và song ánh của f và g;
c Viết ma trận của các ánh xạ trên trong cơ sở chính tắc và cơ sở
S = {v1 = (1, 1), v2 = (1, −1)}
Bài 5.2 Cho các ánh xạ f, g : R3 → R3 xác định bởi các công thức
f (x, y, z) = (x, y, 0) và g(x, y, z) = (x − y, 0, z)
a Tính các ánh xạ f + g, f − g, f ◦ g, g ◦ f ;
b Tính ker f, Imf, ker g, Img và các số chiều của chúng, từ đó suy ra tính đơn ánh, toàn ánh và song ánh của f và g;
c Viết ma trận của các ánh xạ trên trong cơ sở chính tắc và cơ sở
S = {v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 1), v3 = (0, 1, 1)}
Bài 5.3 Cho ánh xạ đạo hàm D : P2[x] → P2[x] xác định bởi công thức
D(a0+ a1x + a2x2) = a1 + 2a2x
1 Chứng minh rằng D là ánh xạ tuyến tính;
2 Tìm ma trận của D với cơ sở chính tắc S = {1, x, x2};
3 Tìm ker và Im của ánh xạ D;
4 D có phải là đẳng cấu không? Tại sao?
Bài 5.4 Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính và {e1, e2, , en} là một cơ sở của V
a Chứng minh rằng S = {f (e1), f (e2), , f (en)} là một hệ sinh của Imf ;
b Khi nào thì hệ S là hệ sinh của W ? Tại sao?
c Khi nào thì hệ S là cơ sở của W ? Tại sao?
Bài 5.5 Chứng minh rằng nếu ánh xạ tuyến tính f : V → W là một đơn ánh và {v1, v2, , vn}
là một hệ vec tơ độc lập tuyến tính thì {f (v1), f (v2), , f (vn)} cũng độc lập tuyến tính Cho
ví dụ rằng khẳng định không còn đúng nữa nếu bỏ điều kiện đơn cấu
Bài 5.6 Chứng minh rằng nếu ánh xạ tuyến tính f : V → W là một đẳng cấu và {v1, , vk}
là một hệ vec tơ của không gian vec tơ V thì
rank{v1, v2, , vk} = rank{f (v1), f (v2), , f (vk)}
Bài 5.7 Giả sử ánh xạ tuyến tính f : V → W có ma trận là A đối với một cặp cơ sở nào đó
của V và W Chứng minh rằng rank(f ) = rankA, trong đó rank(f ) = dim Imf
Trang 66 Chương 6
Bài 6.1 Cho hệ vec tơ S = {u1, u2, , um} trong không gian vec tơ Euclide V Chứng minh rằng tập các vec tơ trực giao với hệ lập thành một không gian con của V
Bài 6.2 Trong không gian vec tơ Euclide Rnvới tích vô hướng chính tắc hu, vi =Pn
k=1xiyi, trong đó u = (x1, , xn), v = (y1, , yn) Tìm tất cả các vec tơ trực giao với hệ
u1 = (a11, , a1n), , um = (am1, , amn)
Tính chiều của không gian con trực giao với hệ này
Bài 6.3 Cho không gian vec tơ Euclide V có số chiều n.
a Nếu {w1, , wn} là một cơ sở trực giao của V thì với mọi v ∈ V , ta có
v =
n
X
k=1
hv, wki
hwk, wkiwk.
b Nếu {w1, , wm} là một hệ trực chuẩn của V thì với mọi v ∈ V :
m
X
k=1
hv, wki ≤ kvk2 Dấu bằng xảy ra khi nào?
Bài 6.4 Cho không gian vec tơ Euclide V Chứng minh rằng với mọi u, v, w ∈ V thì
ku − vk2 ≤ 2(ku − wk2+ kw − vk2)
Bài 6.5 Cho W là không gian vec tơ con của không gian vec tơ Euclide V Chứng minh
rằng với mọi v ∈ V , tồn tại duy nhất vec tơ u0 ∈ W sao cho ku0− vk ≤ ku − vk, ∀u ∈ W
u0 ∈ W được gọi là hình chiếu của v xuống W
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2019.
[2] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua các bài tập và ví dụ, NXB Đại học Quốc gia Hà
Nội, 2004
... + b cb + c a
c + a b
= 0; b,
x x0 ax + bx0
y y0 ay + by0
z z0 az + bz0...
=
Bài 3.5 Khơng cần tính định thức, chứng minh đẳng thức sau< /b>
a,
1 a a3
1 b b3... + bz0
= 0; c,
(a + b) 2 a2+ b< small>2 ab (c + d)2 c2+ d2 cd (e