Boán nhoùm phöông trình cô baûn vöøa ñeà caäp goàm (1) -phöông trình caân baèng hay laø phöông trình chính yeáu, (2) –phöông trình caân baèng phaàn töû töù dieän ñeà caäp theâm löïc t[r]
Trang 15 Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng
5.1 Định luật Hooke
Bốn nhóm phương trình cơ bản vừa đề cập gồm (1) -phương trình cân bằng hay là phương trình chính yếu, (2) –phương trình cân bằng phần tử tứ diện đề cập thêm lực trên biên, (3) - quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị, (4) –tính tương hợp biến dạng hay là điều kiện liên tục, đúng cho mọi vật thể trong môi trường liên tục, không phân biệt vật thể đàn hồi hay dẻo, đồng chất hay không Tuy nhiên trong cả bốn nhóm phương trình không đề cập tính chất vật lý của vật thể cho nên khi giải quyết bài toán nhằm xác định ứng suất, biến dạng và chuyển vị xẩy ra trong lòng vật thể, bốn nhóm phương trình trên chưa đủ điều kiện xử lý Chưa thể miêu tả được trạng thái ứng suất và trạng thái biến dạng của vật thể bằng ngần ấy phương trình Miêu tả tenso ứng suất gồm sáu thành phần, tenso chuyển vị ba thành phần, không thể thành công nếu chỉ sử dụng ba phương trình vi phân (1.6b) Chính vì vậy nhất thiết phải tìm được qui luật liên quan giữa ứng suất và biến dạng đã xẩy ra trong vật thể, dưới tác động ngoại lực
Trong phạm vi chương trình, khi xác định quan hệ ứng suất-biến dạng, chỉ hạn chế tìm hiểu các vật thể đàn hồi Tính chất đàn hồi của vật liệu được trình bày trong phần mở đầu tài liệu, trong đó nêu rằng công của lực thực hiện trong vật thể làm biến dạng vật thể, không phụ thuộc vào cách thức chuyển vị, nói dễ hiểu hơn, không phụ thuộc quĩ đạo chuyển vị từ vị trí khởi đầu đến vị trí cuối của các điểm vật chất Hậu quả của nó là, sau khi ngừng tác động lực, các điểm quay về vị trí ban đầu theo quĩ đạo mà nó chọn, biến dạng không còn
Trường hợp tổng quát của vật thể ba chiều (3D), có thể coi rằng các thành phần tenso ứng suất tỷ lệ tuyến tính với các thành phần tenso biến dạng Quan hệ giữa
biến dạng-ứng suất của vật liệu đăûng hướng dạng đang đề cập được thể hiện bằng định
luật Hooke1 Quan hệ đó được miêu tả bằng quan hệ tuyến tính, dạng ứng suất-biến dạng như sau:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
+ +
+ +
+
=
+ +
+ +
+
=
+ +
+ +
+
=
+ +
+ +
+
=
+ +
+ +
+
=
+ +
+ +
+
=
zx yz
xy z
y x
zx
zx yz
xy z
y x
yz
zx yz
xy z
y x
xy
zx yz
xy z
y x
z
zx yz
xy z
y x
y
zx yz
xy z
y x
x
d d
d d
d d
d d
d d
d d
d d
d d
d d
d d
d d
d d
d d
d d
d d
d d
d d
d d
γ γ
γ ε
ε ε
τ
γ γ
γ ε
ε ε
τ
γ γ
γ ε
ε ε
τ
γ γ
γ ε
ε ε
σ
γ γ
γ ε
ε ε
σ
γ γ
γ ε
ε ε
σ
66 65
64 63
62 61
56 55
54 53
52 51
46 45
44 43
42 41
36 35
34 33
32 31
26 25
24 23
22 21
16 15
14 13
12 11
(1.127)
Giải hệ phương trình trên đây, gồm 6 phương trình tuyến tính, chứa 6 ẩn, có thể xác lập quan hệ giữa biến dạng - ứng suất theo công thức sau:
1 Robert Hooke (1635-1703)
Trang 2⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
+ +
+ +
+
=
+ +
+ +
+
=
+ +
+ +
+
=
+ +
+ +
+
=
+ +
+ +
+
=
+ +
+ +
+
=
zx yz
xy z
y x
zxy
zx yz
xy z
y x
yz
zx yz
xy z
y x
xy
zx yz
xy z
y x
z
zx yz
xy z
y x
y
zx yz
xy z
y x
x
c c
c c
c c
c c
c c
c c
c c
c c
c c
c c
c c
c c
c c
c c
c c
c c
c c
c c
τ τ
τ σ
σ σ
γ
τ τ
τ σ
σ σ
γ
τ τ
τ σ
σ σ
γ
τ τ
τ σ
σ σ
ε
τ τ
τ σ
σ σ
ε
τ τ
τ σ
σ σ
ε
66 65
64 63
62 61
56 55
54 53
52 51
46 45
44 43
42 41
36 35
34 33
32 31
26 25
24 23
22 21
16 15
14 13
12 11
(1.128)
Từ hai hệ phương trình (1.127) và (1.128) có thể thấy rõ, các hệ số cij có thể thể hiện qua dij và ngược lại Các hệ số dij và cij, i, j=1,2, ,6 là đặc tính đàn hồi của vật liệu, tại điểm đang xét, không phụ thuộc vào các thành phần ứng suất và biến dạng,
có tên gọi chung các hằng số đàn hồi Nếu các hệ số này không phụ thuộc vào toạ độ của các điểm được xét, vật liệu này được gọi là đồng nhất
Nếu dùng các ký hiệu của phép tính ma trận, hệ phương trình cuối nêu mối quan hệ giữa biến dạng biểu diễn như một vecto {ε} và ứng suất cũng như một vecto {σ}, được viết lại dưới dạng gọn sau đây:
Trong trường hợp có biến dạng ban đầu {ε0}, phương trình đầy đủ cuả {ε} sẽ là:
trong đó các thành phần của vecto {ε} xác định bằng công thức từ phần trên Bỏ qua các thành phần vô cùng nhỏ các thành phần được ghi lại như sau
{ε} = =
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
zx yz xy z y x
γ γ γ ε ε ε
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
u x v y w z u y
v x v z
w y w x
u z
+ + +
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ (1.131)
Các hệ số cij trong các ma trận [C] mang giá trị khác nhau tùy thuộc tính chất vật liệu
•
•
•
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
Trang 3Mặt khác quan hệ giữa ứng suất-biến dạng cũng có thể viết dưới dạng gọn:
trong đó ma trận vuông [D] cũng bao gồm 6x6 = 36 thành phần, giá trị của chúng phụ thuộc vào vật liệu đang sử dụng
•
•
•
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
Vecto ứng suất được ký hiệu như sau trong các phần tiếp theo tài liệu này
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
zx yz xy zz yy xx
σ σ σ σ σ σ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
zx yz xy z y x
τ τ τ σ σ σ
Chúng ta quay lại hình hộp sáu mặt vô cùng bé của vật liệu đẳng hướng để xem xét sâu hơn quan hệ giữa ứng suất gồm ba thành phần và sáu thành phần biến dạng Đầu tiên hãy giả dụ rằng phần tử chỉ chịu ứng suất pháp theo hướng Ox Kết quả của ứng lực này là tạo ra biến dạng thẳng, định nghĩa như sau:
E
x x
σ
Trong công thức E – mô đun đàn hồi của vật liệu Hệ số này có thể xác định từ thí nghiệm độ bền kéo
Biến dạng theo hướng Oy và Oz được tính cùng ảnh hưởng hệ số Poisson
E
x x
y
σ ν νε
E
x x
z
σ ν νε
Tiếp đó nếu áp dụng cách làm này theo hướng trục Oy và Oz sẽ nhận được các quan hệ tương tự:
E
y y
σ
E
y y
x
σ ν νε
ε'' =− '' =− ;
E
y xy
z
σ ν νε
Trang 4z z
σ
E
z z
x
σ ν νε
ε '' =− '' =− ;
E
z zy
y
σ ν νε
Sau tập họp sẽ nhận được hệ phương trình miêu tả biến dạng thẳng sau:
(
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
+
−
=
+
−
=
+
−
=
y x z
z
z x yx
y
z y x
x
E E E
σ σ ν σ ε
σ σ ν σ ε
σ σ ν σ ε
1 1
1
(1.143)
Từ thí nghiệm độ bền chịu xoắn có thể rút ra quan hệ giữa ứng suất cắt và góc cắt, tương tự dạng công thức giành cho biến dạng với ứng suất pháp nêu trên
G
τ
Quan hệ giữa hằng số G – mô đun cắt (shear modulus), mô đun đàn hồi E và
hệ số Poisson được thể hiện bằng công thức:
) 1 (
2 +ν
Như vậy với vật liệu đẳng hướng, ngoài ba công thức vừa nêu (1.143), trong định luật Hooke còn chứa ba thành phần góc cắt:
G G
G
yz yz xz
xz xy
xy
τ γ
τ γ
τ
Từ định luật Hooke có thể viết biểu thức trình bày quan hệ giữa các biến dạng và ứng suất dạng sau đây:
z y x
ε ε
Nếu ký hiệu:
Δ=εx +εy +εz σ = (σx +σy +σz)
3
1
;
biểu thức (*) được hiểu như:
κ
σ
=
Δ , trong đó
κ
−
Trang 5Hằng số κ mang tên gọi bulk modulus trong tiếng Anh
Vì rằng E > 0 và G > 0 có thể suy rằng để mẫu số biểu thức (1.145) khác 0, hệ số Poisson ν > -1 Từ (**) có thể suy diễn tiếp ν ≤ 0,5
Những giá trị liên quan E, G, ν các vật liệu thường gặp là: thép thông dụng
E = 200GPa, ν = 0,3; đồng E = 100GPa, ν = 0,35; nhôm E = 70GPa, ν = 0,33
Ví dụ 1: Tại điểm P trong lòng vật thể lập được tenso ứng suất sau:
0 50 0
50 200 0
0 0 300
−
−
=
ij
σ
Hãy xác định các thành phần tenso biến dạng cho điểm P Vật liệu sử dụng chế tạo là thép cacbon, E = 2x105 MPa, hệ số Poisson ν = 0,3
Biến dạng thẳng tính theo (1.143):
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
−
= +
−
=
=
−
=
=
−
=
−
−
−
5 5
5 5
5 5
10 75 )
200 300 )(
3 , 0 ( 10 2 1
10 55 ) 300 )(
3 , 0 ( 200 10 2 1
10 30 ) 200 )(
3 , 0 ( 300 10 2 1
x
x
x
ε
ε
ε
G=2.105/2,6 = 0,77.105 MPa
Biến dạng góc tính theo công thức (1.46):
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=
=
=
−5
5 64,935.10 10
77 , 0
50 2
1 2
1
0 2
1
0 2
1
xy
xy xy
γ
γ γ
Và như vậy tenso biến dạng của điểm đang xét sẽ là:
5
10 75 935
, 64 0
935 , 64 55
0
0 0
30
−
−
−
−
=
ij
ε
Ví dụ 2: Dùng phương trình từ điều kiện tương hợp (liên tục) xác định chuyển
vị trong mặt phẳng xOy dầm công xôn nêu tại hình 4.1 Mặt cắt dầm trong trường hợp này là hình chữ nhật, độ cứng EJ, hệ số Poisson ν
Trang 6⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂ +
−
=
∂
∂ +
∂
∂
y z
u y z
u G G z
y
2 2
2 2 2
2
ψ ψ
Từ đó ψ ψ Gθ
z
2 2
2
−
=
∂
∂ +
∂
∂ hay là ∇2ψ =−2Gθ , trong đó 2 22 22
z
∂ +
∂
∂
=
Phương trình này có tên gọi phương trình Poisson Trong biểu thức (-2Gθ), θ là góc xoắn đơn vị (unit angle of twist), G- mođun đàn hồi xoắn
n
z z n
y y n
∂
∂
∂ψ
∂
∂
∂
∂ψ
∂
∂ψ
s
z z s
y y s
∂
∂
∂ψ
∂
∂
∂
∂ψ
∂
∂ψ
∂ψ
∂z cos(n,y) - ∂ψ
trong đó cos(n,y) = cos( s,z) =
n
y
∂
∂ =
s
z
∂
∂ , cos(n,z) = - cos( y,z) =
n
z
∂
∂ = -
s
y
∂
∂
s s
y y s
z
∂ψ
∂
∂
∂
∂ψ
∂
∂
∂
Từ điều kiện nhất quán chuyển vị u cho phép viết:
0
= +
z
u dy
y
u
∂
∂
∂
sau khi thay thế biểu thức cuối sẽ là:
∫ [ τxycos(y,s) + τzxcos(z,s)] ds = Gθ∫ [ ycos(y,n) + zcos(z,n)] ds (l) Phương trình cuối được tính chuyển sang phương trình tương đương sau:
trong đó A- diện tích tiết diện đang xét
Như vậy điều kiện nhất quán cho chuyển vị u(y,z) được thể hiện:
∫ ds=− G A
∂
∂ψ
Momen xoắn và hàm Prandtl liên hệ qua công thức:
Mt = - (τ
A
∫∫ xy.z - τzx.y)dydz =
- (
A
z
z
∂
∂ψ
∂
∂ψ
+ )dydz = {
A
∫∫ ∂(∂z zψ)+∂(∂y yψ)}dydz + 2 ψdydz
A
∫∫
Từ đó hàm miêu tả quan hệ momen xoắn và hàm Prandtl có dạng:
Trang 7Mt = 2ψ(y,z)dydz (o)
A
∫∫
Trong lý thuyết đàn hồi cổ điển thường sử dụng hằng số St Venant cho trường hợp xoắn tiết diện bất kỳ của dầm Nếu ký hiệu J - hằng số xoắn theo nghĩa St
Venant, độ cứng chống xoắn (torsional rigidity) được hiểu là C = GJ, góc xoắn θ = M
G J
t
. có thể hiểu ý nghĩa của
θ
G
M
J ≡ t Thứ nguyên của J là thứ nguyên dùng cho momen quán tính mặt cắt Từ quan hệ này có thể viết:
∫∫
∇
=
A
dydz
ψ
2
Nếu áp dụng cách viết quen thuộc Mt = C θ, θ = M
C
t , độ cứng C sẽ là:
A
dydz
G ψ
2