Uniform/Periodic B-splines : The spacing is unform and the knots (control points) are equispaced e.g. [0,1,2,3,4,5] These have satisfactory smoothness but lack local control and the sta[r]
Trang 1(c) SE/FIT/HUT 2002
Đường cong trong không gian
3D CURVE
Đường cong - Curve
Why use curves? Quỹ đạo chuyển động của 1 điểm trong không gian
Đường cong biểu diễn Điểm -curve represents points:
Điểm Biểu diễnvà kiểm soát đường cong -Points represent-and control-the curve.
Cách tiếp cận này là cơ sở của lĩnh vực Computer Aided Geometric Design (CAGD).
Phân loại
Trên cơ sở ràng buộc giữa điểm và đường trong cả ứng dụng khoa học và
thiết kế ta co thể phân làm 2 loại:
Xấp xỉApproximation
-Được ứng dụng trong mô hình hoá hình học
Nội suy-Interpolation
Trong thiết kế nôi suy là cần thiết với các đối tượng nhưng không phù hợp
với các đối tượng có hình dáng bất kỳ "free form“
Biểu diễn Đường cong
Tường minh y=f(x)
y = f(x), z = g(x) impossible to get multiple values for a single x
• break curves like circles and ellipses into segments
not invariant with rotation
• rotation might require further segment breaking
problem with curves with vertical tangents
• infinite slope is difficult to represent Không tường minh f(x,y)=0 - Implicit equations:
f(x,y,z) = 0 equation may have more solutions than we want
• circle: x² + y² = 1, half circle: ? problem to join curve segments together
• difficult to determine if their tangent directions agree at their joint point
Đường cong tham biến
Biểu diễn các đường cong tham biến Parametric representation:
x = x(t), y = y(t), z = z(t)
overcomes problems with explicit and implicit forms
no geometric slopes (which may be infinite)
parametric tangent vectors instead (never infinite)
a curve is approximated by a piecewise polynomial curve
Define a parameter space
1D for curves
2D for surfaces
Define a mapping from parameter space to 3D points
A function that takes parameter values and gives back 3D points
The result is a parametric curve or surface
Mapping F :t → (x, y, z)
Parametric Curves
We have seen the parametric form for a line:
Note that x, y and z are each given by an equation that involves:
The parameter t Some user specified control points, x 0 and x 1
This is an example of a parametric curve
1 0
1 0
1 0
) 1 ( ) 1 ( ) 1 (
z t t z z
y t t y y
x t t x x
− +
=
− +
=
− +
=
Trang 2(c) SE/FIT/HUT 2002 7
Đường cong đa thức bậc ba
Phải đảm bảo là đường cong không gian với 3 trục toạ độ x, y, z
tránh được những tính toán phức tạp và những phần nhấp nhô ngoài ý
muốn xuất hiện ở những đường đa thức bậc cao
Why cubic?
P0
p3
P0
P'1
Đ ường cong bậc 3
x = a 1 + b 1 u + c 1 u 2 + d 1 u 3
y = a 2 + b 2 u + c 2 u 2 + d 2 u 3
z = a 3 + b 3 u + c 3 u 2 + d 3 u 3
Với 3 điểm P0, P1, P2, P3 phương trình xác định
Hermite Spline
A spline is a parametric curve defined by control points
The term spline dates from engineering drawing, where a spline was a piece
of flexible wood used to draw smooth curves
The control points are adjusted by the user to control the shape of the curve
Phương pháp Hermite dựa trên cơ sở của cách biểu diễn Ferguson hay Coons
năm 60
A Hermite spline is a curve for which the user provides:
The endpoints of the curve
The parametric derivatives of the curve at the endpoints
• The parametric derivatives are dx/dt, dy/dt, dz/dt
That is enough to define a cubic Hermite spline, more derivatives are required
for higher order curves
Đường cong Hermite
p = p(u) = k0+ k1u + k2u2+ k3u3
p(u) = ∑kiui i∈n
p0 và p1ta có hai độ dốc p0’ và p1’ với u = 0 và u = 1 tại hai điểm đầu cuối của đoạn [0,1].
We have constraints:
The curve must pass through p0 when u=0 The derivative must be p’ 0 when u=0
The curve must pass through p1 when u=1 The derivative must be p’ 1 when u=1
Basis Functions
A point on a Hermite curve is obtained by multiplying each control point
by some function and summing
p = p(u) = p0(1-3u2+2u3) + p1(3u2-2u3)
+ p0’(u-2u2+u3) + p1’(-u2+u3)
p = p(u) = [ 1 u u2 u3]
Trang 3(c) SE/FIT/HUT 2002 13
Đường cong Bezier
Sử dụng điểm và các vector kiểm soát được độ dốc của đường
cong tại nhưng điểm mà nó đi qua.(Hermit)
không được thuận lợi cho việc thiết kế tương tác, không tiếp cận
vào các độ dốc của đường cong bằng các giá trị số (Hermite).
Paul Bezier, RENAULT, 1970 đường và bề mặt UNISURF
po, p3 tương đương với p0, p1 trên đường Hermite diểm trung gian p1, p2 được xác định bằng 1/3 theo độ dài của vector tiếp tuyến tại điểm po và p3
p0’ = 3(p1– p0)
p3’ = 3(p3– p2)
p = p(u) = p0(1-3u2+2u3) + p1(3u2-2u3) + p0’(u-2u2+u3) + p1
’(-u2+ u3)
p = p(u) = p0(1 - 3u + 3u2- u3) + p1(3u-6u2-3u3) + p2(3u2- 3u3) + p3u3
Biểu diễn Ma trận
p = p(u) = [ 1 u u2u3]
−
−
−
−
3 2 1 0
1 3 3 1
0 3 6 3
0 0 3 3
0 0 0 1
p p p p
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
B0 B1 B3
Ưu điểm
dễ dàng kiểm soát hi`nh dạng của đường cong hơn vector tiếp tuyến tại p0’ và p1’ của Hermite
Nằm trong đa giác kiểm soát với số điểm trung gian tuỳ ý( số bậc tuỳ ý)
đi qua điểm đầu và điểm cuối của đa giác kiểm soát, tiếp xúc với cặp hai vector của đầu cuối đó
Example
Bezier Curves
[UW]
Sub-Dividing Bezier Curves
P 0
P 3
M 01
M 12
M 23
M 012
M 123
M 0123
Trang 4(c) SE/FIT/HUT 2002 19
Sub-Dividing Bezier Curves
P 0
P 3
Sub-Dividing Bezier Curves
Step 1: Find the midpoints of the lines joining the original control vertices
Call them M 01 , M 12 , M 23 Step 2: Find the midpoints of the lines joining M 01 , M 12 and M 12 , M 23 Call
them M 012 , M 123 Step 3: Find the midpoint of the line joining M 012 , M 123 Call it M 0123
The curve with control points P 0 , M 01 , M 012 and M 0123exactly follows the
original curve from the point with t=0 to the point with t=0.5 The curve with control points M 0123 , M 123 , M 23 and P 3exactly follows the
original curve from the point with t=0.5 to the point with t=1
de Casteljau’s Algorithm
You can find the point on a Bezier curve for any parameter value t with a similar
algorithm
Say you want t=0.25, instead of taking midpoints take points 0.25 of the way
P 0
P 3
M 01
M 12
M 23 t=0.25
Biểu thức Bezier-Bernstain
Tổng quát hoá với n +1 điểm kiểm soát
p0 pn : vector vị trí của đa giác n+1 đỉnh
) )(
( )
(
) ( ) (
1
0 , 1
0 ,
i i n
i i n
i n
i n i
P p u B n u p
p u B u p
−
=
′
=
+
=
∑
∑
i n i n
)!
i n ( i
! n ) i n ( C
−
=
Tính chất
P0 và Pn nằm trên đường cong
Đường cong liên tục và có đạo hàm liên tục tất cả các bậc
Tiếp tuyến của đường cong tại điểm P0 là đường P0P1 và tại
Pn là đường Pn-1Pn
Đường cong nằm trong đường bao lồi convex hull của các
điểm kiểm soát.
This is because each successive Pi(j) is a convex
combination of the points Pi(j-1) and Pi-1(j-1)
P1 ,P2 , … ,Pn-1 nằm trên đường cong khi và chỉ khi
đường cong là đoạn thẳng
Review:
Bézier Curve Prop’s [1/6]
We looked at some properties of Bézier curves
Generally “Good” Properties
Endpoint Interpolation Smooth Joining Affine Invariance Convex-Hull Property
Generally “Bad” Properties
Not Interpolating
No Local Control
Trang 5(c) SE/FIT/HUT 2002 25
Problem with Bezier Curves
To make a long continuous curve with Bezier segments
requires using many segments
Maintaining continuity requires constraints on the control
point positions
The user cannot arbitrarily move control vertices and automatically
maintain continuity
The constraints must be explicitly maintained
It is not intuitive to have control points that are not free
Invariance
Translational invariance means that translating the control points and then
evaluating the curve is the same as evaluating and then translating the curve
Rotational invariance means that rotating the control points and then evaluating
the curve is the same as evaluating and then rotating the curve These properties are essential for parametric curves used in graphics
It is easy to prove that Bezier curves, Hermite curves and everything else we will study are translation and rotation invariant
Some forms of curves, rational splines, are also perspective invariant Can do perspective transform of control points and then evaluate the curve
Longer Curves
A single cubic Bezier or Hermite curve can only capture a small class of curves
At most 2 inflection points
One solution is to raise the degree
Allows more control, at the expense of more control points and higher degree
polynomials
Control is not local, one control point influences entire curve
Alternate, most common solution is to join pieces of cubic curve together into
piecewise cubic curves
Total curve can be broken into pieces, each of which is cubic
Local control: Each control point only influences a limited part of the curve
Interaction and design is much easier
Piecewise Bezier Curve
“knot”
P 0,0
P 0,3
P 1,0
P 1,3
Continuity
When two curves are joined, we typically want some degree of continuity
across the boundary (the knot)
C 0, “C-zero”, point-wise continuous, curves share the same point where they
join
C 1, “C-one”, continuous derivatives, curves share the same parametric
derivatives where they join
C 2, “C-two”, continuous second derivatives, curves share the same parametric
second derivatives where they join
Higher orders possible
Question: How do we ensure that two Hermite curves are C 1across a
knot?
Question: How do we ensure that two Bezier curves are C 0 , or C 1 , or C 2
across a knot?
Đường bậc ba Spline
Spline đi qua n điểm cho trước mà mỗi đoạn là đường bậc ba độc lập có độ dốc và độ cong liên tục tại mỗi điểm kiểm soát hay điểm nút
Với n điểm:n-1 đoạn với mỗi đoạn 4 vector hệ số 4(n-1) cho n-1 đoạn, và 2(n-1) điều kiện biên và n-2 điều kiện về độ dốc cùng n-2 về độ cong
Spline dùng để chỉ phương pháp biểu diễn đường cong mềm thông qua các đoạn cong tham biến bậc ba với các điều kiện liên tục tại các điểm đầu nút
Trang 6(c) SE/FIT/HUT 2002 31
Spline
u0= 0 với : (u0 un-1) uj+1> uj
ui+1= ui + di+1
C0để không có sự gián đoạn giữa hai đoạn cong
C1tính liên tục bậc nhất hay đạo hàm bậc nhất tại điểm nối
C2đạo hàm bậc hai liên tục của đường cong tại điểm nối
Achieving Continuity
For Hermite curves, the user specifies the derivatives, so C 1is achieved simply by sharing points and derivatives across the knot
For Bezier curves:
They interpolate their endpoints, so C 0is achieved by sharing control points The parametric derivative is a constant multiple of the vector joining the first/last 2 control points
So C 1 is achieved by setting P 0,3 =P 1,0 =J, and making P 0,2 and J and P 1,1
collinear, with J-P 0,2 =P 1,1 -J
C 2 comes from further constraints on P 0,1and P1,2
Bezier Continuity
P 0,0
J
P 1,1
P 1,2
P 1,3
Disclaimer: PowerPoint curves are not Bezier curves, they are
interpolating piecewise quadratic curves! This diagram is an
approximation
B-splines
B-splines automatically take care of continuity, with exactly one control vertex per curve segment
Many types of B-splines: degree may be different (linear, quadratic, cubic,…) and they may be uniform or non-uniform
We will only look closely at uniform B-splines
With uniform B-splines, continuity is always one degree lower than the degree of each curve piece
Linear B-splines have C 0 continuity, cubic have C 2, etc
Đường cong B-spline
Đường cong B-spline là đường cong được sinh ra từ đa giác
kiểm soát mà bậc của nó không phụ thuộc vào số đỉnh của đa
giác kiểm soát.
B-Splines:
The Idea [1/2]
The repeated-lirping idea that produced the Bézier curves has the drawbacks that is produces polynomials with high degree that are nonzero almost everywhere
Using functions defined in pieces, we can fix these two
Start: An order-1 B-Spline has blending functions that are always either 1
or 0 When a function is 1, all the rest are zero
So an order-1 B-spline is just a sequence of points
Any number of control points may be used
Now we make higher-order B-splines using a repeated-lirping procedure
But this time, we can use any number of control points
Trang 7(c) SE/FIT/HUT 2002 37
The Idea [2/2]
We form an order-2 B-Spline by lirping between the order-1 blending functions
As discussed, we get functions that start at 0, ramp up to 1 and back down, then stay at
zero Each function is 0 most of the time
So each blending function is defined in pieces Each piece is a polynomial of degree 1
(graph is a line)
So an order-2 B-spline is just the control polygon
Again, any number of control points may be used
We form an order-3 B-Spline by lirping between the order-2 blending functions
Now blending functions are smooth They start at 0, curve up to 1 then back down
Again, each function is 0 most of the time
Again, each blending function is defined in pieces Each piece is a polynomial of
degree 2
We continue this repeated-lirping procedure to define B-splines of higher order
See the blue book for details and graphs
Types of B-Splines Approximation Curves Used
B-Spline approximations can be classified based on the spacing of the knot vector and the use of weights
1 Uniform/Periodic B-splines : The spacing is
unform and the knots (control points) are equispaced e.g
[0,1,2,3,4,5] These have satisfactory smoothness but lack local control and the starting and ending poits are ill defined as above
2 Non-periodic: The knots are repeated at the ends m
times and the interior is equispaced e.g [0 0 0 1 2 3 3 3 ] These can be used to force the control point to start and finish at a control point
3 Non-uniform B-Splines : The spacing is
non-uniform and or repeated knots e.g [0 1 1 2 4 5 6 6
] These can be used to obtain local control
B-Splines
Ví dụ: Uniform Cubic B-spline on
[0,1]
Four control points are required to define the curve for 0≤t<1 (t is the
parameter)
Not surprising for a cubic curve with 4 degrees of freedom
The equation looks just like a Bezier curve, but with different basis functions
Also called blending functions - they describe how to blend the control points to
make the curve
( ) ( ) ( ) ( )3
3 3 2 2 3 2 1 3 2 0
3
0 4
61 3 3 3 1 3 6 4
61 3 3
P
t
B
t
P
i i
+
− + + + +
− +
− +
−
=
=∑= )
Basis Functions on [0,1]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
t
Does the curve interpolate its endpoints?
Does it lie inside its convex hull?
B 0,4
B 3,4
( )3 3
3 2 2
3 2 1 1
3 2 0
6 1
3 3 3 1 6 1
3 6 4 6 1
3 3 1 6 1
t P
t t t P
t t P
t t t P t P
+
− + + +
+
− +
− +
−
= )
Uniform Cubic B-spline on [0,1)
The blending functions sum to one, and are positive everywhere
The curve lies inside its convex hull
The curve does not interpolate its endpoints
Requires hacks or non-uniform B-splines
There is also a matrix form for the curve:
−
−
−
−
=
1 0 0 0 1
1 3 3 3
4 0 6
3 1 3 3 1 6
3
3 2 1
t t P
P P P t
P )
Uniform - B-spline
Ni,k(u) đa thức B-Spline cơ bản Với n+ 1 sô điểm kiểm soát
Pi điểm kiểm soát thứ i
k bậc của đường cong 1<k<n+2
Ui vector nút của đường cong U=[U1,U2 Un+k+1]
i n
i i k
P u N u
=
=
).
( )
(
) ( ) (
) ( ) ( ) (
)
2 1
1 1
, 1 1
1
U U u U u N U U U u u
k i i
i k
i k i i k i k
− +
+
−
−
−
−
−
− +
−
−
=
∈
others 0
] , [ 1 )
1 ,
i i i
u u u u N