Một số vấn đề về đa THỨC

Định nghĩa và tính chất của đa thức Một hàm số dạng được gọi là một đơn thức với là một số bất kì (tổng quát nhất a là một số phức), x là một biến độc lập và k là một số nguyên không âm. Số k gọi là bậc của đơn thức và kí hiệu . Định nghĩa 1.1. Một hàm số được gọi là một đa thức nếu nó có thể biểu diễn dưới dạng tổng hữu hạn các đơn thức, nghĩa là

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA THỨCCHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 Định nghĩa và tính chất của đa thức

Một hàm số dạng được gọi là một đơn thức với là một số bất kì (tổng quát nhất

a là một số phức), x là một biến độc lập và k là một số nguyên không âm Số k gọi là bậc của đơn

Định nghĩa 1.1 Một hàm số được gọi là một đa thức nếu nó có thể biểu diễn dưới dạng tổnghữu hạn các đơn thức, nghĩa là

,

ở đây là các số bất kì, còn là các số nguyên không âm

Dễ thấy một đa thức có thể biểu diễn dưới dạng

1

,11Equation Section (Next) 212\* MERGEFORMAT (.)

ở đây là các số bất kì

Dạng (1.1) gọi là dạng chuẩn tắc của P(x) Các số gọi là các hệ số của đa thức, là

hệ số cao nhất, là hệ số tự do Số tự nhiên n gọi là bậc của P(x) và kí hiệu

Chú ý rằng một số khác không cũng là một đa thức bậc không Quy ước số không là đa thức bậc -

∞

Tính chất: Tổng, hiệu, tích của hữu hạn các đa thức là một đa thức.

,

Nguyên lí so sánh hệ số của đa thức

Định lí 1.1 (Nguyên lí so sánh hệ số của đa thức) Cho hai đa thức

với Chứng minh rằng nếu tồn tại n + 1 số đôi một khác nhau ( với i

Trừ theo vế hai đẳng thức trên ta được Suy ra a1 = b1, kéo theo a0 = b0

Giả sử khẳng định đúng với n – 1 Ta phải chứng minh khẳng định đúng với n Ta có

Dễ thấy với i = 1, 2, …, n ta có

Theo giả thiết toán học suy ra

Vậy ta có điều phải chứng minh

Từ định lí trên ta dễ dàng suy ra các kết quả sau

Định lí 1.2 Dạng chuẩn tắc của mọi đa thức là duy nhất.

Định lí 1.3 Cho A là tập vô hạn các số, còn P(x) và Q(x) là hai đa thức Nếu với mọi thỏa

mãn đẳng thức P(a) = Q(a) thì hai đa thức P(x) và Q(x) bằng nhau.

Định lí 1.4 Cho n > 0 là một số tự nhiên, là những số bất kì đôi một khác nhau và

là những số bất kì Khi đó tồn tại duy nhất một đa thức P(x) có bậc không lớn hơn n

Chứng minh Dễ dàng kiểm tra được đa thức

Tính duy nhất dễ dàng suy ra từ nguyên lí so sánh hệ số đa thức

1.2 Phép chia đa thức

Định nghĩa 1.2 Ta nói rằng đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x) nếu tồn tại một đa thức S(x)

Với phép chia hết ta có một số tính chất sau

1 Với mọi đa thức P(x) và với mọi số ta có

4 Nếu với i = 1, 2, …, n và là những đa thức bất kì thì

Với phép chia có dư ta có một số kết quả đáng chú ý sau

Định lí 1.5 Với hai đa thức bất kì P(x) và Q(x) ≠ 0 tồn tại duy nhất các đa thức S(x) và R(x) thỏa

mãn

trong đó Đặc biệt khi Q(x) là đa thức bậc nhất dạng Q(x) = x – a ta có thể xác định các hệ số của đa thức

thương và số dư R(x) = r tính được từ các công thức sau trongphép chia P(x) cho Q(x):

Ta có thể viết lại các công thức trên theo sơ đồ Horner:

α b0 = a0 b1 = a1 + αb0 bn-1 = an-1 + αbn-2 r = an + αbn-1

1.3 Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

Định nghĩa 1.3 Cho P(x) và Q(x) là hai đa thức không đồng thời đồng nhất bằng không Đa thức

D(x) gọi là ước chung lớn nhất của P(x) và Q(x) nếu

a) Nếu P(x) và Q(x) là hai đa thức sao cho thì chúng có ước chung lớn nhất là

b) Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) có ước chung lớn nhất và là một số bất kì thì

Định lí 1.8 Cho P(x) và Q(x) là hai đa thức có ước chung lớn nhất và R(x) là số dư của phép chia

P(x) cho Q(x) Khi đó Q(x) và R(x) cũng có ước chung lớn nhất và

Từ kết quả trên ta chứng minh được:

Định lí 1.9 Hai đa thức bất kì không đồng thời bằng không đều có ước chung lớn nhất.

Chứng minh Ta chỉ xét P(x) và Q(x) là hai đa thức khác không và giả sử

Ta chia P(x) cho Q(x):

Nếu R1(x) = 0 thì theo định lí 1.7 ta có Nếu thì

Ta chia Q(x) cho R1(x):

Nếu R2(x) = 0 thì theo định lí 1.7 ta có Nếu thì

Tiếp tục quá trình này ta nhận được dãy đa thức

Dễ thấy quá trình trên chỉ kéo dài hữu hạn bước nên đến một lúc nào đó ta sẽ nhận được đa thức

Rk(x) sao cho Do đó đa thức này chính là ước chung lớn nhất phải tìm

Cách chứng minh trên cho ta cách tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức bằng cách thực hiện hữu hạn bước phép chia giữa thương và số dư Sơ đồ hiện thực quá trình này gọi là thuật toán Euclid.

Định nghĩa 1.4 Bội chung nhỏ nhất của hai đa thức P(x) và Q(x) là một đa thức M(x) khác không

sao cho

Kí hiệu bội chung nhỏ nhất là

Định lí 1.10 Cho P(x) và Q(x) là hai đa thức.

1 Nếu thì bội chung nhỏ nhất của chúng là P(x)

2 Nếu P(x) và Q(x) có bội chung nhỏ nhất và là một số bất kì thì

Định lí 1.11 Chứng minh rằng với bất kì hai đa thức khác không P(x) và Q(x) đều thỏa mãn đẳng

thức sau:

1.4 Nghiệm của đa thức

Nghiệm của đa thức có một số tính chất sau

Định lí 1.12 (Định lí DAlembert) Mọi đa thức bậc khác không với hệ số phức có ít nhất một

trong đó là các nghiệm của đa thức

Xét về mối quan hệ của các nghiệm và các hệ số của đa thức ta có kết quả sau:

Định lí 1.15 (Công thức Viéte) Cho đa thức

Khi xét trong phạm vi các đa thức có hệ số nguyên ta có một số tính chất sau

Định lí 1.16 Cho u và v là những số nguyên tố cùng nhau Nếu số hữu tỉ là nghiệm của đathức với hệ số nguyên

,

thì chia hết cho u và an chia hết cho v.

Định lí 1.17 Cho u và v là những số nguyên tố cùng nhau Nếu số hữu tỉ là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên

,

thì với mọi số nguyên m số P(m) chia hết cho (u – m.v) Trường hợp đặc biệt u + v là ước số của P(- 1), còn u – v là ước số của P(1).

1.6 Đa thức không phân tích được

1.6.1 Định nghĩa

Cho T là một tập hợp số

Định nghĩa 1.5 Một đa thức P(x) khác đa thức bậc không với hệ số trong tập hợp T gọi là không

phân tích được (bất khả quy) trên T, nếu nó không biểu diễn như một tích của hai đa thức khác đathức bậc không với hệ số trong T với những bậc nhỏ hơn bậc của P(x)

Định lí 1.18 Nếu một đa thức hệ số nguyên không phân tích được thành tích hai đa thức hệ số

nguyên thì nó không phân tích thành tích hai đa thức hệ số hữu tỉ

Nhận xét Từ kết quả của định lí trên ta thấy sự phân tích trên tập hợp các số hữu tỉ có thể đưa về

sự không phân tích được trên tập hợp số nguyên

Quy ước: Từ sau trở đi nếu không giải thích gì thêm thì ta chỉ xét sự không phân tích được trên

tập các số nguyên

Xem xét về các tiêu chuẩn để một đa thức không phân tích được ta có một kết quả khá mạnh nhưsau

1.6.2 Tiêu chuẩn Eisenstein

nguyên tố p thỏa mãn những điều kiện sau:

1) a0 không chia hết cho p

2) Tất cả những hệ số khác đều chia hết cho p

3) an không chia hết cho p2

Khi đó đa thức P(x) không phân tích được

1.7 Số đại số

Định nghĩa 1.6 Một số α gọi là số đại số nếu nó là nghiệm của một đa thức hệ số hữu tỉ.

Dễ thấy α là số đại số khi và chỉ khi α là nghiệm của đa thức hệ số nguyên

Cho α là một số đại số bất kì Ta gọi bậc của đa thức có bậc nhỏ nhất và hệ số hữu tỉ nhận α lànghiệm là bậc của α Nguyên đa thức (đa thức có các hệ số là các số nguyên nguyên tố cùng nhau)

có bậc nhỏ nhất và hệ số cao nhất dương gọi là đa thức tối thiểu của số đại số α

Định lí 1.20 Số α là số đại số bậc nhất khi và chỉ khi nó là số hữu tỉ.

Định lí 1.21 Cho α là số đại số có đa thức tối thiểu m(x), P(x) là đa thức hệ số hữu tỉ Khi đó P(α)

= 0 khi và chỉ khi P(x) chia hết cho m(x)

Định lí 1.22 Với mọi số đại số đa thức tối thiểu của nó là duy nhất.

Định lí 1.23 Cho α là một số đại số và P(x) là nguyên đa thức với hệ số cao nhất dương sao cho

P(α) = 0 Khi đó P(x) là đa thức tối thiểu của α khi và chỉ khi P(x) không phân tích được trên tậpcác số hữu tỉ

Định lí 1.24 Cho α là số đại số có đa thức tối thiểu m(x), khi đó m(x) không có nghiệm bội.

311Equation Chapter (Next) Section 1CHƯƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP

2.1 Phương trình hàm đa thức

2.1.1 Quy về đa thức tuần hoàn

Tính chất: Nếu P(x) là một đa thức tuần hoàn, tức là tồn tại số a khác 0 sao cho P(x + a) = P(x)

với mọi x, thì P(x) = C

Ví dụ 2.1 Tìm đa thức hệ số thực thỏa mãn với mọi x

Lời giải.

Cho x bằng các giá trị 0, 1, 2 ta thấy P(x) có các nghiệm 1, 2, 0 Do đó P(x) có dạng

, trong đó Q(x) cũng là một đa thức Thay P(x) vào phương trình đãcho ta được Q(x) = Q(x – 1) với mọi x Suy ra Q(x) = C Vậy P(x) = Cx(x - 1)(x – 2), thử lại thỏamãn yêu cầu của bài

Ví dụ 2.2 Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa mãn với mọi x

Lời giải

Do (x – 1, x – 3) = 1 nên hay P(x) có dạng , trong đó Q(x) cũng là một đa thức Thay P(x) vào phương trình đã cho ta được Q(x) = Q(x + 2) hay Q(x) = C Vậy , thử lại thỏa mãn yêu cầu của bài

Ví dụ 2.3 (Newyork, 1975) Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa mãn P(x) = 0 và

= (x – 1)x(x + 1)(x + 2)Q(x), trong đó Q(x) cũng là một đa thức Thay P(x) vào (2.1) ta được

(2.2)

một đa thức Thay R(x) vào (2.2) ta được R(x – 1) = R(x) hay R(x) = C Vậy

với C là hằng số, thử lại thỏa mãn yêu cầu của bài

Mà an là số nguyên nên .

 Với n = 0 , thay vào phương trình đã cho ta tìm được P(x) = 0 hoặc P(x) = 16

 Với n = 1 thì an = 4 và P(x) = 4x + b, thay vào phương trình đã cho ta tìm được b = 0 Vậy P(x) = 4x

 Với n = 2 thì P(x) = x2 + bx + c, , thay vào phương trình đã cho và đồng nhất hệ số ta tìm được b

Đồng nhất hệ số của an+k hai vế ta được 0 = 2anak Mâu thuẫn với giả thiết Do đó P(x) = anxn So

sánh hệ số của x2n ta thu được Vậy Thử lại thỏa mãn yêu cầu của bài

Đáp số P(x) = 0, P(x) = 1, P(x) = (x + 1)n.

Ví dụ 2.9 (HSGQG 2006) Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa mãn

(2.3)với mọi x

Lời giải.

Thay x bằng – x vào phương trình đã cho rồi trừ hai phương trình cho nhau ta thu được

số giá trị của x Mà P(x) là một đa thức nên đó với mọi x hoặc

với mọi x

 với mọi x (2.4)

dụng kết quả của ví dụ 2.7 suy ra

So sánh với điều kiện (2.4) ta được

 với mọi x (2.5)

Áp dụng kết quả của ví dụ 2.7 ta được

Ví dụ 2.10 Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa mãn

(2.6)với mọi x, y

Hướng dẫn

Cho x thay đổi thì với vô số giá trị của y, suy ra nó cũng đúng với mọi yhay H(y) thỏa mãn yêu cầu của bài.

 Nếu H(y) thỏa mãn H(0) = 0 thì H(y) = y Khi đó

 Nếu H(y) ≠ 0 thì từ đa thức H(y) ta tiến hành phương pháp như trên sẽ thu được đa thức

h1(x) có bậc bằng một nửa bậc của H(y) Cứ tiếp tục quá trình này chỉ sau một số hữu hạn bước ta

sẽ nhận được đa thức x

Như vậy đa thức thỏa mãn yêu cầu của bài chỉ có thể nằm trong dãy

Thử lại thấy các đa thức thuộc dãy trên đều thỏa mãn yêu cầu của bài

Ví dụ 2.12 Cho a ≠ 0, b, c là các số bất kì và là một số tự nhiên Chứng minh rằng tồn tạinhiều nhất một đa thức P(x) hệ số thực bậc n thỏa mãn

(2.8)

Lời giải.

Đồng nhất hệ số của ta nhận được

định duy nhất Do đó nếu P(x) tồn tại thì nó là duy nhất

Ví dụ 2.13 Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa mãn

(2.9)với mọi x.

Lời giải.

Ta sử dụng phương pháp quy nạp

Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta tìm được các đa thức bậc 1, 2, 3, 4, 5 thỏa mãn (2.9) là

ta chứng minh mọi đa thức trong dãy xác định bởi

Giả sử với n nào đó Pn(x), Pn+1(x) thỏa mãn (2 9) Ta có

Trong đó ta đặt

Mặt khác

Vậy ta có điều phải chứng minh Theo ví dụ 2.12 thì các đa thức xác định bởi(2.10) là các đa thức cần tìm

2.2 Đa thức không phân tích được (bất khả quy) trên tập số nguyên

Ví dụ 2.14 Chứng minh rằng đa thức không phân tích được trêntập số nguyên

Lời giải.

Giả sử ngược lại , ở đây P(x) và Q(x) là các đa thức có hệ số nguyên và

Trường hợp 1 degQ(x) = 1, khi đó Q(x) có nghiệm nguyên Dễ thấy nghiệm này chỉ có thể là các

số nhưng kiểm tra thấy các số này không là nghiệm của P(x)

Trường hợp 2 degQ(x) = degR(x) = 2 Khi đó

,

ở đây a, b, c, p, q, r là các số nguyên Đồng nhất hệ số ta có hệ

Không mất tổng quát ta có thể cho rằng a = p = 1 Nghĩa là

Cũng không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

Xét từng trường hợp ta không nhận được cặp số (b, q) nguyên nào thỏa mãn Vậy P(x) là bất khảqui trên tập số nguyên

Ví dụ 1.15 Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố thì đa thức

bất khả quy trên tập số nguyên

Lời giải.

Ta có

Đặt y = x – 1 ta có

Dễ thấy đều chia hết cho p nhưng không chia hết cho p2 nên theo tiêuchuẩn Eisenstein Q(y) bất khả quy trên tập số nguyên VìP(x) = Q(x - 1) nên P(x) cũng bất khả quy trên tập số nguyên

Ví dụ 2.16 Cho các số nguyên đôi một khác nhau Chứng minh rằng đa thức

không thể phân tích thành tích của hai đa thức có hệ số nguyên có bậc bé hơn n

Ví dụ 2.17 Cho đa thức P(x) có hệ số nguyên ( với n = 2m hoặc n = 2m + 1) nhận giá trị bằng

với hơn 2m giá trị nguyên của x thì P(x) không thể phân tích thành tích của hai đa thức có hệ số nguyên có bậc bé hơn n

Ví dụ 2.18 Cho đa thức P(x) bậc n ( ) có hệ số nguyên với hoặc là số nguyên tố với ít nhất 2n + 1 giá trị nguyên khác nhau của a Chứng minh rằng P(x) không thể biểu diễn thành tích hai đa thức bậc nguyên dương với hệ số nguyên.

Hướng dẫn.

Chứng minh tương tự ví dụ 4 ta cũng suy ra được hoặc với

2n + 1 giá trị nguyên khác nhau của a Vì degQ(x) + degR(x) = n nên ít nhất một trong bốn

phương trình Q(x) = 1, Q(x) = - 1, R(x) =1, R(x) = -1 có nhiều hơn n nghiệm Mâu thuẫn với degQ(x) < n Vậy P(x) bất khả quy trên tập số nguyên

Ví dụ 2.19 Cho các số nguyên đôi một khác nhau Chứng minh rằng đa thức

không thể phân tích thành tích của hai đa thức có hệ số nguyên có bậc bé hơn n

Lời giải.

Giả sử ngược lại, tức là P(x) = Q(x)R(x), trong đó Q(x) và R(x) là hai đa thức có

Ta có

Ta chứng minh Q(ai) = 1 hoặc Q(ai) = - 1 với moi i và tương tự cho R(x) Thật vậy giả sử tồn tại

Q(x0) = 0 Do đó P(x0) = 0, vô lí vì P(x) ≥ 1 với mọi x

Vô lí

 Thay ai vào phương trình ban đầu ta được – 1 = 1 Vô lí

Vậy P(x) bất khả quy trên tập số nguyên

2.3 Nghiệm của đa thức

2.3.1 Sử dụng tính chất chia hết

Tính chất: Cho P(x) là một đa thức với hệ số nguyên, a và b là hai số nguyên khác nhau Khi đó

Ví dụ 2.20 Cho P(x) là đ thức với hệ số nguyên Chứng minh rằng không tồn tại ba số a, b, c phân

biệt sao cho P(a) = b, P(b) = c, P(c) = a

Lời giải

Giả sử tồn tại ba số a, b, c phân biệt thỏa mãn yêu cầu của bài Ta có

Tương tự ta có

 a – b, b – c, c – a cùng dấu hay a – b = b – c = c – a Suy ra a = b = c Loại

 a – b, b – c, c – a có hai số cùng dấu và khác dấu với số còn lại Không mất tính tổng quát

ta giả sử a – b = b – c = - (c – a) Suy ra b = c Mâu thuẫn

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2.21 Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên và P(0), P(1) là các số lẻ Chứng minh rằng P(x)

không có nghiệm nguyên

Lời giải.

Giả sử P(x) có nghiệm nguyên a Ta có: P(a) – P(0) a, suy ra a lẻ

Lại có P(a) – P(1) a – 1, suy ra a chẵn Vô lí Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2.22 Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên và P(x) không chia hết cho 3 với ba giá trị

nguyên liên tiếp nào đó của x Chứng minh rằng P(x) không có nghiệm nguyên

Lời giải.

Giả sử P(x) có nghiệm nguyên a Ta có:

Do đó với mọi bộ ba số nguyên liên tiếp luôn tồn tại một số b mà P(b) b Mâu thuẫn với giả thiết Vậy ta có điều phải chứng minh

2.3.2 Sử dụng định lí Bezuot

Ví dụ 2.23 Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên sao cho với a, b, c là

ba số nguyên phân biệt Chứng minh rằng P(x) không có nghiệm nguyên

Lời giải.

Giả sử P(x) có nghiệm nguyên x0 Khi đó P(x) có dạng , trong đó Q(x) là một

đa thức Ta có

Tương tự ta cũng có Do đó tồn tại hai trong ba số

cùng dấu Mâu thuẫn với giả thiết a, b, c phân biệt Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2.24 Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên và P(x) nhận giá trị bằng 7 với bốn giá trị

nguyên khác nhau của x Chứng minh rằng P(x) – 14 không có nghiệm nguyên

Lời giải.

Giả sử P(x) – 14 có nghiệm nguyên x0 và a, b, c, d là bốn số nguyên phân biệt sao cho

Ta có

nhất hai trong bốn số cùng bằng 1 hoặc – 1 Mâu thuẫn với giả thiết a,

b, c, d phân biệt Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2.25 Cho đa thức P(x) bậc n với hệ số thực và có hệ số bậc cao nhất bằng 1 Biết rằng P(x)